13. Vektorová analýza
1a. Vypočtěte gradient funkcí f(x, y) = x2
+ y2
, g(x, y, z) = 2xyz +
x2
y + y2
z + z2
x.
1b. Rozhodněte, zda vektorová pole A = (2xy, x2
), B = (3x, 4y),
C = (y2
, x2
) jsou gradienty nějaké skalární funkce f(x, y). V kladném
případě tyto funkce určete. Budou určeny jednoznačně?
2. Vypočítejte divergenci, rotaci a 2
vektorových polí: r, a × r,
(sin(xy)
z
, sin(yz)
x
, sin(zx)
y
), kde r = (x, y, z).
3. Převeďte operátor do polárních souřadnic.
4. Dokažte následující identity:
div (A × B) = B rot A − A rot B,
div rot A = 0,
rot grad ϕ = o.
5. Dokažte následující vztahy pro libovolné vektory A , B a spojité
funkce f, g
i) grad(fg) = grad(f)g + fgrad(g)
ii) div(fA) = A · gradf + fdivA
iii) div[A × B] = B · rotA − A · rotB
Domácí úkol
II. Uveďte příklad
• nenulového skalárního pole s nulovým gradientem,
• vektorového pole, které není gradientem žádného skalárního
pole,
• nenulového vektorového pole s nulovou rotací,
• nenulového vektorového pole s nulovou divergencí,
• nenulového vektorového pole s nulovou rotací i divergencí,
• spojitého skalárního pole, které není divergencí žádného vektorového
pole,
• dvou vektorových polí se stejnou, nenulovou, divergencí,
• dvou skalárních polí se stejným, nenulovým, gradientem,
• dvou vektorových polí, se stejnou, nenulovou rotací,
• vektorového pole, které není rotací žádného vektorového pole.