2. Základní algebraické struktury
Pojmy: grupa, okruh, pole, vektorový prostor a podprostor, báze, dimenze,
reprezentace vektorů v bázích, součet a průnik podprostorů,
doplněk.
U každého z příkladů 1 až 5 pro odevzdání stačí vybrat
pouze dvě podotázky!
1. Rozhodněte (a zdůvodněte), zda následující množiny opatřené
operací jsou grupou.
a) Množina matic m × n s operací sčítání matic.
b) Množina matic n × n s operací násobení matic.
c) Množina regulárních matic n × n s operací násobení matic.
d) Množina diagonálních, regulárních matic s operací násobení ma-
tic.
e) Množina přirozených čísel s operací sčítání.
f) Množina celých čísel s operací sčítání
g) Množina M = {a, b, c} s operací : M × M → M, kde a b =
b a = b, a c = c a = c, a a = a, b c = c b = a, b b = c, c c = b.
2. Rozhodněte (a zdůvodněte), zda následující množiny opatřené
dvěma operacemi jsou okruhem nebo tělesem.
a) Množina matic n × n s operacemi sčítání a násobení matic.
b) Množina regulárních matic n × n s operacemi sčítání a násobení
matic.
c) Množina reálných funkcí reálné proměnné s operacemi sčítání a
násobení funkcí.
d) Číselné obory N, Z, Q, R, C s operacemi sčítání a násobení.
3. Rozhodněte (a zdůvodněte), zda následující množiny opatřené
operací sčítání a násobení skalárem jsou vektorovými prostory nad
R, v kladném případě určete jejich dimenzi a nalezněte nějakou bázi.
a) Množina V všech matic 1×2 nad R, se sčítáním matic, ale skalárním
násobením definovaným triviálně a (x, y) = (x, y) pro všechna
a ∈ R a všechna (x, y) ∈ V.
b) Množina všech polynomů stupně většího než 2 a menšího než 4,
doplněná 0, nad R, s běžnými operacemi sčítání polynomů a násobení
skalárem.
c) Množina všech polynomů stupně nejvýše n s běžnými operacemi
sčítání a násobení polynomů.
d) Množina V = R3
, s operacemi (x, y, z) + (x , y , z ) = (x + x , y +
y , z + z ) a k(x, y, z) = (kx, y, z).
e) Množina V = {(x, y) ∈ R2
|x ≥ 0}, (x, y)+(x , y ) = (x+x , y+y ),
k(x, y) = (kx, ky).
f) Množina V = {(1, x)|x ∈ R}, (1, x) + (1, x ) = (1, x + x ),
k(1, x) = (1, kx).
g) Množina diagonálních matic typu 2×2 s operacemi sčítání matic
a násobení matic skalárem.
4. Rozhodněte, zda následující podmnožiny mají strukturu podprostoru.
V kladném případě určete jeho dimenzi a nalezněte nějakou
bázi, případně tuto bázi doplňte dalšími vektory na bázi celého pro-
storu.
a) Podmnožina P množiny všech čtvercových matic řádu 2 taková,
že a11 + a22 = 0 (matice s nulovou stopou),
b) Podmnožina P ⊂ R2
, P = {(x, y) ∈ R2
|x + y = 0},
c) Podmnožina P ⊂ R2
, P = {(x, y) ∈ R2
|x + y = 1},
d) Podmnožina Z ⊂ R všech celých čísel.
e) Podmnožina P ⊂ P5(x) množiny všech polynomů stupně nejvýše
5, P = {p ∈ P5(x)|p(x) = p(−x)}.
5. Jsou zadány podprostory V1, V2 (V3). Určete jejich bázi a dimenzi,
určete dimenzi a bázi součtu a průniku těchto podprostorů. Ke každému
z prostorů určete také jeho doplněk, bude tento doplňek určen
jednoznačně?
a) V R3
:
V1 = [(1, 2, −1), (−1, 0, 2), (2, −1, 0), (1, 1, 1)],
V2 = [(0, 2, 1), (1, 4, 0)],
b) V R4
:
V1 = [(1, −1, 0, 1), (1, 2, 0, 3), (3, 0, 0, 5)],
V2 = [(0, −1, 1, 4), (0, 2, 3, 2), (0, 0, 1, 2)],
c) V P6(x):
V1 = [x2
+ 2x3
, −x3
+ x6
],
V2 = [2 + x2
, −1 + x6
, x2
+ x3
+ 2x4
],
V3 = [x2
+ x6
, 1 + 3x3
+ x5
, x3
],
d) V Mat2×2:
V1 je podmnožina všech matic s nulovou stopou,
V2 je podmnožina všech diagonálních matic.
Domácí úkol
II. Uveďte další příklady množin s operací, které jsou (resp. nejsou)
grupami. Uveďte další příklady množin s operacemi, které jsou (resp.
nejsou) okruhem (resp. tělesem). Uveďte další příklady množin, opatřených
operací sčítání a násobení skalárem, které jsou (resp. nejsou)
vektorovými prostory (od každého alespoň 3 příklady). Zdůvodněte.