3. Lineární zobrazení
Pojmy: Lineární zobrazení, jádro, obraz, hodnost a defekt, matice
lineárního zobrazení, součet a skládání lineárních zobrazení.
U každého z příkladů 1 až 4 pro odevzdání stačí vybrat
pouze dvě podotázky.
1. Rozhodněte, zda následující zobrazení f : Rn
→ Rm
jsou lineární.
a) f : R3
→ R2
, f(x, y, z) = (x + 2, y + z),
b) f : R3
→ R3
, f(x, y, z) = (x + y, z − y, x + z),
c) f : R2
→ R3
, f(x, y) = (x − y, x + y, x),
d) f : R2
→ R, f(x, y) = (x2
+ 2xy + y2
),
e) f : R3
→ R, f(x, y, z) = (x − y + 3z).
2. Pro ta zobrazení z příkladu 1, která jsou lineární, určete jejich
matici ve standardních bázích, jejich jádro a obraz.
3. Uveďte příklad lineárního zobrazení
a) f : Mat2×2 → R,
b) f : Mat2×2 → Mat3×3,
c) f : P3(x) → R2
,
d) f : R → Mat2×2,
e) f : Mat2×2 → R4
.
Určete jejich jádro a obraz, zvolte nějaké báze příslušných prostorů
a určete matice zobrazení v těchto bázích. Uveďte také příklady
zobrazení těchto prostorů, která nejsou lineární. Dokažte.
4. Uveďte příklad lineárního zobrazení
a) f : R3
→ R3
s jádrem kerf = [(1, 1, 0), (0, 1, 1), (−1, 0, 1)],
b) f : R3
→ R3
s obrazem Imf = [(1, 1, 0), (1, 2, 0)],
c) f : R3
→ R3
které je resp. není izomorfismem,
d) f : R2
→ R2
s jádrem a obrazem kerf = [(1, 1)] = Imf =
[(1, 1)].
5. Lineární zobrazení f : R2
→ R3
zobrazí vektor v1 = (−2, 1)
na f(v1) = (−1, 2, 0), vektor v2 = (1, 3) na f(v2) = (0, −3, 5).
Složky vektorů jsou zadány ve standardních bázích. Určete matici
tohoto zobrazení ve standardních bázích, jádro a image zobrazení.
Určete matici tohoto zobrazení v bázích BR2 = (v1, v2), BR3 =
(f(v1), f(v2), c), kde vektor c zvolte tak, aby systém (f(v1), f(v2), c)
byl lineárně nezávislý. Použijte transformačního vztahu pro matici
lineárního zobrazení.
Domácí úkol
III. Jsou dány vektory u = (1, 2, 0), v = (2, 1, −1), w = (1, −1, −1), c =
(0, 0, 1) v R3
. Zjistěte, zda existuje lineární zobrazení f : R3
→ R2
takové, že
a) f(u) = (1, 2), f(v) = (2, 3), f(w) = (1, 1), f(c) = (0, 0),
b) f(u) = (−2, 1), f(v) = (1, 1), f(w) = (8, −1), f(c) = (0, 0).
V kladném případě takové zobrazení nalezněte (jeho matici ve standardních
bázích).