4. Křivočaré souřadnice I + ještě něco o
lineárních zobrazeních
Pojmy k opakování: Kartézská soustava souřadnic, souřadnicové
přímky a roviny.
Pojmy: Polární, válcové, kulové, sférické a jiné křivočaré souřad-
nice.
1. Nechť ϕ : Vn → Wn je lineární transformace. Dokažte, že následující
podmínky jsou ekvivalentní:
a) ϕ je regulární,
b) ϕ(Vn) = Wn,
c) d(ϕ) = 0,
d) existuje inverzní lineární zobrazení.
Návod: Využijte skutečnosti, že obrazy vektorů báze generují Im(ϕ) a vztahu
h(ϕ) + d(ϕ) = n.
2. NEPOVINNÉ
Nechť Pn+1(x) je vektorový prostor všech polynomů jedné proměnné
stf ≤ n s reálnými koeficienty. Definujme zobrazení ϕ : Pn+1(x) →
Pn+1(x) takto (f značí derivaci):
Pn+1(x) f(x) → ϕ(f(x)) = f (x) ∈ Pn+1(x).
a) dokažte, že ϕ je lineární transformace,
b) určete její jádro a image, hodnost a defekt,
c) je tato transformace regulární? Proč?
d) Zapište matici této transformace v bázi (1, x, . . . , xn
) resp. v
bázi (1, x, 1
2
x2
, . . . , 1
n
xn
) a přesvědčte se o platnosti transformačního
vztahu pro tuto matici.
3a. Bod P ∈ R2
je zadán svými kartézskými souřadnicemi. Určete
jeho souřadnice polární, složky vektorů fρ, fϕ vzhledem k bázi
e1, e2 a vyjádřete polární plošný element v bodě P.
• P = [xP yP ] = [4 3],
• P = [xP yP ] = [5 − 12].
3b. Určete kartézské souřadnice bodu P ∈ R2
na základě uvedených
údajů.
• P = [ρP , ϕP ] = 8 7π
6
,
• P = [ρP , ϕP ] = 13 5π
3
,
• ϕP = 11
6
π , ∆SP ≈ 4, 5∆ρ∆ϕ .
4. Zapište kartézské rovnice souřadnicových křivek Cρ a Cϕ určujících
bod P v polárních souřadnicích pro každý z bodů P v úlohách
(1a) a (1b).
5a. Zapište kartézské rovnice souřadnicových ploch Sρ, Sϕ, Sz určujících
body P1, P2, P3 ve válcových souřadnicích, konkrétní polohy
bodů zvolte sami.
5b. Napište kartézské rovnice souřadnicových křivek Cρ, Cϕ, Cz bodů
P z úlohy (5a).
Domácí úkol
IVa. Zapište polární i kartézskou rovnici elipsy, pro niž a = 5cm,
= 0, 8 a jejíž pravé ohnisko F leží v počátku soustavy souřadnic.
Osy elipsy jsou rovnoběžné s osami soustavy souřadnic.
IVb. NEPOVINNÉ
Odvoďte polární rovnici paraboly, jejíž ohnisko F leží v počátku soustavy
souřadnic a jejíž osa splývá s osou x. Zapište i její kartézskou
rovnici.