5. Křivočaré souřadnice II.
Pojmy: Transformace souřadnic, parciální derivace, Jacobiho matice, Jacobián, elementární plocha a objem.
1. Je zadána funkce M —>■ R3, M C R2, určete její Jacobiho matici, pokuste se o geometrickou interpretaci řádků matice:
• {fl{u, v), f2(u, v), f3(u, v)) = (cos u sin v, sin u sin v, cos f),
• {fl{u, v), f2(u, v), f3(u, v)) = {u cos v, u sin v, m2) .
2. Zadanými křivkami vymezeny oblasti v R2, v nichž může ležet bod P. Popište bod P G R2 dvojicí vhodně zvolených křivočarých souřadnic, zapište množinu M (definiční obor) křivočarých souřadnic, najděte transformační vztahy mezi kartézskými souřadnicemi [x,y] a křivočarými souřadnicemi [u,v], určete souřadnicové křivky, jejich tečné vektory v bodě P, obecný tvar Jacobiho matice a hodnotu jakobiánu v bodě P.
y
123456789 10 Obecně a pak pro konkrétní bod P = [xp,yp] = [2,1].
3. Zobecněné polární souřadnice v R2, [p, ip], jsou definovány vztahy x = ap cos íp, y = bp sin íp, a, b jsou kladné konstanty, p G [0, oo), <p G [0,27r). Určete p a íp jako funkce x,y. Zapište souřadnicové křivky (parametrické i kartézské rovnice), Jacobiho matici a jakobián.
4. Zobecněné kulové souřadnice v R3 r, ip, ů jsou definovány vztahy x = ar cos íp sin ů, y = br sin íp sin ů, z = cr cos ů
a, b, c jsou kladné konstanty, r G [Q,oó),(p G [0,27r),$ G [0,7r]. Určete r,íp a ů jako funkce £, y, z. Zapište souřadnicové křivky (parametrické rovnice) a souřadnicové plochy (kartézské rovnice), Jaco-biho matici a jakobián.
5. Rovinný útvar M v rovině xy je omezen křivkami y = 4x3, y = 8a;3, y = x~2, y = 6x~2 a má plošnou hustotu cr(x,y) = kx~l, k > 0 je konstanta. Vypočtěte jeho hmotnost užitím věty o transformaci integrálu. Návod: zvolte vhodné křivočaré souřadnice [u, v], určete Jacobiho matici a jakobián, M = J a(u, v) • J(u, v)dudv, jaké budou meze integrálu? Správnost výsledku si můžete ověřit výpočtem v kartézských souřadnicích.
Domácí úkol
V. Plocha v R3 má kartézskou rovnici ^ ^ ' = p, najděte vhodné zobrazení / : M —>■ R3, kde M C R2, které určuje tuto plochu, a spočtěte jeho Jacobiho matici.