7. Skalární součin II.
Pojmy: ortogonální systém vektorů, ortogonalizační proces, ortonormální
báze, matice přechodu mezi ortonormálními bázemi, ortogonální
doplněk, ortogonální projekce a komponenta.
U příkladů 1 až 4 a u domácího úkolu stačí pro odevzdání
vybrat pouze jednu nebo dvě podotázky
1. Ortogonalizujte systém vektor˚u v prostorech se zadaným skalárním
součinem:
a) P2[x] se skalárním součinem p|q =
1
0
p(x)q(x)dx, u = 1, v = x,
w = x2
,
b) použijte vektory z příkladu 2 cvičení 5,
c) V = R4
, složky jsou zadány v ortonormální bázi, u = (1, 2, 0, 0)T
,
v = (0, 1, 0, −1)T
, w = (−1, 0, 0, 1)T
,
d) V = R3
,
G =



1 1 0
1 2 −1
0 −1 3


 ,
u = (1, 0, 0)T
, v = (0, 1, 0)T
, w = (0, 0, 1)T
.
2. Určete ortogonální doplněk k podprostor˚um, skalární součin je
zadán:
a) V = R3
, L = [(1, 1, 0)T
], složky jsou v ortonormální bázi.
b) V = R3
, L = [(1, 1, 0)T
],
G =



1 1 0
1 2 −1
0 −1 3


 ,
c) použijte zadání příkladu 2 cvičení 5, podprostor L = [u, v].
3. Rozhodněte, zda následující systémy vektor˚u v prostorech se zadaným
skalárním součinem jsou ortogonální nebo ortonormální:
a) Něco si vymyslete.
4. Určete ortogonální doplněk k podprostoru L v R4
:
L = [(1, −1, 2, 0)T
, (−1, 1, 1, 1)T
], složky vektorů jsou zapsány v ortonormální
bázi. Určete matici projekce na podprostor L.
4. Zadejte skalární součin ve V tak, aby uvedený systém vektorů byl
ortonormální:
a) V = R3
, u = (1, 1, 0)T
, v = (0, 1, 1)T
,
b) V = Mat2×2,
u =
1 1
0 0
, v =
0 −1
0 1
.
5. Určete ortogonální doplněk k podprostoru L v R4
:
L = [(1, −1, 2, 0)T
, (−1, 1, 1, 1)T
], složky vektorů jsou zapsány v ortonormální
bázi. Určete matici projekce na podprostor L.
Domácí úkol
VII. Doplňte následující (ortogonální — prověřte) systém vektorů
na ortogonální bázi V a vektory normujte.
a) Použijte ortogonalizovaných vektorů z příkladu 1,
b) V = P3[x], p|q =
1
0
p(x)q(x)dx, u = x + 1, v = 9x − 5,
c) V = R3
, u = (1, 2, 3)T
, v = (−1, −1, 1)T
, složky jsou zadány v
ortonormální bázi.