8. Vlastní vektory a vlastní hodnoty
lineárních transformací
Pojmy: vlastní hodnota a vlastní vektor lineární transformace, charakteristická
matice, spektrum
1. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory transformace πL,L (projekce
na podprostor).
2-3. Určete spektrum a vlastní vektory lineární transformace ϕ, je-li
v bázi (e1, . . . , en) reprezentována maticí A. Ve všech případech uvažujte
vektorový prostor Vn nad R. Diskutujte diagonalizovatelnost.
a)
0 a
−a 0
b)



1 −1 0
0 1 −4
−1 0 4



c)



0 1 1
2 0 −2
2 2 0


 d)



4 4 0
−1 0 0
−2 −4 2



e)





1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1





4. NEPOVINNÉ
Lineární transformace se nazývá idempotentní, jestliže f ◦ f = f,
ukažte, že každá idempotentní transformace je diagonalizovatelná a
může mít pouze vlastní hodnoty 0 a 1.
Návod: Předpokládejte, že vektor a je vlastní vektor příslušný nějaké vlastní
hodnotě a využijte předpokladu (f(f(a)) = f(a). Dále ukažte, že jádro je tvořeno
vlastními vektory příslušnými vlastní hodnotě λ = 0, ukažte, že každý
vektor z obrazu Imf je vlastní vektor příslušný hodnotě λ = 1. Využijte skutečnosti,
že součet hodnosti a defektu lineární transformace je roven celkové
dimenzi prostoru.
Lineární transformace se nazývá involuce, jestliže f ◦f = id, ukažte,
že involuce je diagonalizovatelná a může mít pouze vlastní hodnoty
1 a -1. Uveďte nějaký příklad idempotentní transformace a involuce.
Návod: Při určování vlastních hodnot postupujte analogicky. Dále předpokládejte,
že systém (e+
i ) resp. (e−
j ) tvoří bázi podprostoru vlastních vektorů příslušných
vlastní hodnotě +1 resp. −1. Uvažujte vektory (ck) jako doplnění těchto
systémů na bázi celého prostoru. Ukažte, že každý vektor c+f(c) resp. c−f(c) je
vlastní a s využitím této skutečnosi dokažte, že c je lineární kombinací vektorů
ze systému (e+
i , e−
j ).
5. Uveďte příklad lineární transformace na reálném vektorovém prostoru,
která
• nemá žádnou vlastní hodnotu,
• nemá žádný vlastní vektor,
• má vlastní hodnotu, ale přesto ji nelze reprezentovat v diagonálním
tvaru,
• má pouze nulovou vlastní hodnotu, ale přesto není nulovou
transformací,
• je v každé bázi reprezentována diagonální maticí,
• pro kterou jsou všechny vektory v daném prostoru její vlastní.
Domácí úkol
VIII. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory lineárních transformací
reprezentovaných v bázi (e1, e2, e3) následujícími maticemi a
o každé z nich rozhodněte, zda je možné ji reprezentovat v diagonálním
tvaru. V kladném případě nalezněte matici přechodu od
původní báze k bázi, ve které je transformace reprezentována diagonální
maticí (jakou?), je tato báze určena jednoznačně?



1 0 2
0 1 0
2 0 1


 ,



1 2 −1
2 0 3
−1 3 2


 .