9. Lineární transformace v prostorech se
skalárním součinem
Pojmy: Ortogonální transformace, symetrická transformace, spektrální
reprezentace symetrické lineární transformace.
1. Uveďte příklady
• symetrické lineární transformace a transformace, která není sy-
metrická,
• ortogonální lineární transformace a transformace, která není
ortogonální,
• lineární transformace, která je symetrická a současně ortogo-
nální.
2.-3. Symetrické lineární transformace jsou v ortonormální bázi zadány
následujícími maticemi. Najděte jejich spektrální reprezentace
(oběma způsoby). Pro odevzdání stačí vybrat tři příklady.





0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 −1 0










1 −1 0 0
−1 1 0 0
0 0 −1 1
0 0 1 −1










0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0








1 0 1
0 1 0
1 0 1






1 1 3
1 5 1
3 1 1






2 −2 1
−2 1 −2
0 −2 0



9 −2
−2 6
4. NEPOVINNÉ
Dokažte, že ortogonální projekce na podprostor je symetrická.
5. Zjistěte nutné a postačující podmínky pro to, aby složení (resp.
součet, resp. násobek skalárem) dvou symetrických lineárních transformací
byla opět symetrická lineární transformace.
Domácí úkol
IX. Nechť matice A reprezentuje ortogonální lineární transformaci
v obecné bázi. Jaký je vztah mezi A−1
a AT
, je-li skalární součin
reprezentován v téže bázi maticí G.