F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav
Molekula AB jako problém dvou těles
Michal Bednář
Dvě částice AB
A
interakce
B
Systém tvořen dvěma rozdílnými částicemi A a B
Na každou částici připadají 3 stupně volnosti v 3D prostoru
Systém má celkem 6 stupňů volnosti x = (x,x,x,x,x,x)
j r v  1'    2'    3'    4'    5' 6y
Obě částice spolu navzájem interagují (závisí na vzdálenosti částic) 3 stupně volnosti připadají na translaci a 2 na rotaci celé soustavy 1 stupeň zbývá na kmitání částic v ose molekuly
Problém dvou těles
• Problém můžeme řešit s použitím Lagrangeovy funkce
1 '1
• L=2mArA+2mBr2B~V^rA~r^
• Funkci transformujeme do souřadnic polohy těžiště R a vzájemné polohy r
1 1
• L=-{mA+mB)R2+-mr2-V{r), kde m je tzv. redukovaná hmotnost
• První člen odpovídá translaci těžiště a z druhého členu vyplyne ZZMH a vztah pro kmitání podél osy molekuly (r)
Řešení rovnice pro podélný kmit
Pro podélný kmit v ose molekuly po řešení E-L rovnice
-dV{r)
mr =
dr
Pro potenciál můžeme použít Morseho model
V okolí minima můžeme funkci aproximovat parabolou
mr = — k(r — r.
Z rovnice je patrné, že systém bude kmitat s frekvencí co2= k/m
flissociation fLnergy
Internuclear Separation (r)
Harmonická aproximace
u.
3 Á
Energie interakce V(R)
u.
3n-1
U
U
3n-2
Pro systém s n částicemi se používá tzv. harmonická aproximace Energie V se rozvine v blízkosti rovnovážné pozice pomocí TR Zavádí se 3n vektor, obecně v = (v ,v ,v ,...,v   ,v   ,v )
' v  1'  2'  3'    '  3n-2'  3n-l' 3n7
Pak pozice částic v rovnovážné poloze jsou dány vektorem RQ Výchylky z rovnovážných pozic jsou dány vektorem u
3N 3N
V{R = R0+u)=V{R0) + fí^-ul+\fltl
i = l   0 Ui Z    /       j     ~ J
První a druhý člen jsou nulové a členy vyšších rádů zanedbáme
dU
——-— UjU j + cvr
du, d u
Soustava pohybových rovnic
Máme 3N pohybových rovnic, kde i-tá rovnice pro i-tou výchylku je
-dv{R)   y eu       ^ r
dUj j o Ujdu j j
Rovnice je možné přepsat pomocí maticového formalismu
Mii=-ku
Předpokládejme, že každá částice kmitá s frekvencí co u = weiwt
Pak můžeme soustavu pohybových rovnic zapsat
det((ú2M-k) = 0
Dvě částice AB
A
B
u
u.
Zpátky k jednoduchému systému dvou částic
Jediný stupeň volnosti v ose molekuly redukuje matice na 2x2
Uvažujme znovu jednoduchý potenciál V = K(u -u )2/2
m Au) — K K
K
mB(Ď2 — K
= 0
2 K co = —
M
Kvantová mechanika a problém dvou těles
Popis systému je dán pomoci stavových vektorů v Hilbertově prostom SSR je dána HM^E^K, kde H je operátor (zobrazení) Hamiltoniánu
i ii
K danému H přísluší vlastní stavy H> s energií E. Pro systém molekul s elektrony nabývá H tvaru
N
N,
r2
r2
2m    K 2MK   UK \r-RK
2 i.j.i^j \ri  rj
K,L,K^L
RK~RL
Zjednodušení Hamiltoniánu
S využitím rozdílu ve hmotnostech jader a elektronů je možno zanedbat kinetický člen pro jádra (ztráta kmitů molekuly)
Můžeme definovat tzv. elektronový Hamiltonián
H = T +V +V {R}, který je závislý na pevné konfiguraci jader R
Můžeme hledat vlastní stavy a hodnoty H
H {R}^ =E W
ei     ei ei
Při pevné konfiguraci jsme našli energii systému, avšak musíme započíst i energii od členu, který jsme vynechali V (R)
E  (R) = E {R}+V (R)
tot iv   '        eil   J      J-Jv '
Při neznámé konfiguraci R musíme nalézt takové R že minimalizujeme funkci základního stavu (i=0) E (R)
Je zřejmá provázanost mezi konfigurací jader a elektronů
Děkuji za pozornost a přeji hezký zbytek dne