III. Tepelné fluktuace: lineární oscilátor Cvičení KOTLÁŘSKÁ 13. BŘEZNA 2013 F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr 2012 - 2013 2 Kapplerův pokus 3 3 Relace neurčitosti Odhad pro kvantové korekce v Kapplerově pokusu (jsou mizivé) 4 4 JIŽ ZNÁME Planckova konstanta jako hraniční hodnota Toto je generická forma Heisenbergových relací. Vlastně je to , ne Pořádně odvozeno To se nám teď hodí na oscilátor, kde pracujeme vlastně přesně, i když tak dalece bez počítání. Musí se ale připomenout 5 5 Odhad z relace neurčitosti To je standard, takže jen schematicky 6 6 Souboj kvantových a termických fluktuací Tady opět bez počítání: • Klasicky je energie oscilátoru daná ekvipartičním zákonem • Při nulové teplotě je ryze kvantová a oscilátor je v nejnižším stavu 7 7 Souboj kvantových a termických fluktuací Tady opět bez počítání: • Klasicky je energie oscilátoru daná ekvipartičním zákonem • Při nulové teplotě je ryze kvantová a oscilátor je v nejnižším stavu 8 8 Souboj kvantových a termických fluktuací Tady opět bez počítání: • Klasicky je energie oscilátoru daná ekvipartičním zákonem • Při nulové teplotě je ryze kvantová a oscilátor je v nejnižším stavu 9 9 Souboj kvantových a termických fluktuací Tady opět bez počítání: • Klasicky je energie oscilátoru daná ekvipartičním zákonem • Při nulové teplotě je ryze kvantová a oscilátor je v nejnižším stavu 10 Z těchto Kapplerových měření odhadneme w vysoký tlak, přetlumený oscilátor snížený tlak, podtlumený oscilátor 11 Z těchto Kapplerových měření odhadneme w 12 Z těchto Kapplerových měření odhadneme w vysoký tlak, přetlumený oscilátor snížený tlak, podtlumený oscilátor 13 Z těchto Kapplerových měření odhadneme w vysoký tlak, přetlumený oscilátor snížený tlak, podtlumený oscilátor 14 Z těchto Kapplerových měření odhadneme w vysoký tlak, přetlumený oscilátor snížený tlak, podtlumený oscilátor JE MALÉ 15 Langevinova rovnice Pro volnou částici ověříme vlastnosti středované LR v konstatním silovém poli ... identifikace s Newtonovským předpokladem podle Einsteina Tady se prostě přepočtou ty rámečky a identifikuje pohyblivost 16 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 17 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 18 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme ustálený stav NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA ´ ´ 19 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 20 Langevinova rovnice I. Původně použita na volnou Brownovu částici. Významné pokroky v pochopení. Difusní řešení je správné v limitě dlouhých časů. Pro krátké časy se projeví inerciální efekty. 21 Langevinovo řešení jeho rovnice pro 1D Brownovu částici myBrown difusní aproximace balistická limita úplné řešení Balisitcký rozlet je zpočátku pomalejší, pak ovšem roste kvadraticky i nadále a od je už mnohem rychlejší. Crossover u t odpovídá první srážce 22 Langevinovo řešení jeho rovnice pro 1D Brownovu částici VÝSLEDEK ª Pro ª Pro 23 Langevinova rovnice II. Pro lineární oscilátor je řešení pomocí středovacích procedur také možné. Středovat budeme trajektorii vyjádřenou pomocí Greenovy funkce Cvičení je věnováno nejprve odvození GF 24 Langevinova rovnice pro lineární oscilátor – řešení Langevinova rovnice pro lineární oscilátor je LODR 2. řádu s pravou stranou (... nehomogenní r.) obecné řešení = obecné řešení homog. rovnice + partikulární řešení nehomog. rovnice sekulární rovnice kritická hodnota podtlumené kmity přetlumené kmity 25 Langevinova rovnice – Greenova funkce PAK Ověření: Proto pulsní excitace partikulární řešení nehomog. rovnice hledáme pomocí Greenovy funkce 26 Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce hledáme Greenovu funkci A kausalita B C okrajové podmínky (sešití při rovných časech) dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´ ü ü ü 27 Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce hledáme Greenovu funkci A kausalita B C okrajové podmínky (sešití při rovných časech) dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´ ü ü ü 28 28 Shrnutí: výsledné formální řešení pro oscilátor formální řešení Bylo odvozeno pomocí ekvipartičního zákona Bílý šum 29 Langevinova rovnice I. & II. Volnou Brownovu částici budeme chápat jako lineární oscilátor s frekvencí konvergující k nule. Najdeme trajektorii vyjádřenou pomocí Greenovy funkce. Pak znovuodvodíme Langevinovu formuli explicitním středováním 27 Limita volné částice z řešení pro oscilátor Taktéž beze změny, nezávisí na Bylo odvozeno pomocí ekvipartičního zákona Bílý šum formální řešení v obecném tvaru zůstává Započtení počátečních podmínek 31 Střední kvadratická odchylka polohy 32 The end