Základy teorie grup, symetrie "Krása a síla teorie grup aplikované ve fyzice spočívá v transformaci mnoha složitých operací symetrie do jednoduché lineární algebry." • Definice grupy • Příklad: grupa permutací P(3) • P(3) jako grupa symetrie rovnostranného trojúhelníka C3v • Další (užitečná!) terminologie a vlastnosti • Representace (jednotné a účinné zacházení) • Charaktery (výběr nej důležitějších vlastností) • Bodové grupy (symetrie molekul a krystalů) i Grupa Množina G prvků A, B, ... s binární operací (AB, násobení) s následujícími vlastnostmi: 1. AB g G (uzavřenost), 2. (AB)C=A(BC) (asociativnost), 3. G obsahuje E takové, že EA=AE=A pro každé A g G (E1 je jednotkový prvek), 4. pro každé A g G existuje A1 takové, že AA_1= A~lA=E (A1 je inverzní k A). Poznámky: Pořadí uvedení prvků je nedůležité. Násobení nemusí být komutativní (AB=BA). Pokud je, grupu označujeme jako Abelovskou. 2 Příklad grupy: permutace tří symbolů P(3) 31=6 prvků (grupa má řád 6), £=(123) A=(132) £=(321) C=(213) D=(312) F=(231) znamená konečné pořadí tří symbolů z výchozího (123) násobení znamená postupné permutace tří symbolů: AD ... prvně D, pak A Tabulka násobení A B C D A B C D F 1 A B C D F A B C D F D F B C F E D C A D F A B C A B F B C A D P(3) jako násobení matic (3x3) ("řádek krát sloupec") £=(123) A=(132) £=(321) 1 100 1 1 100 1 3 00 1 2 = = 010 2 3 — 00 1 2 2 — 0 1 0 3 00 1 3 2 0 1 0 3 1 100 C=(213) D=(312) F=(231) "2" "0 1 0" v "3" "0 0 f "i" "2" "0 1 0" Ti" 1 _ 100 2 1 — 100 2 3 00 1 2 3 00 1 3 2 0 1 0 3 1 100 L3 100 00 1 00 1 00 1 100 0 1 0 AD = 00 1 100 — 0 1 0 = B DA = 100 00 1 — 100 0 1 0 0 1 0 100 0 1 0 0 1 0 00 1 = c P(3) jako množina matic (2x2) (mohou permutovat tři objekty?) E = "1 0" "-1 0" 1 i -Vš A = B=- 0 1 0 1 2 -Vš -i _ 2 i Vš -i Vš -i -Vš Vš -i_ 2 -Vš -i_ 2 Vš -i AD - ~-l 0" 1 -i Vš _ i i -Vš 0 1 2 -Vš -i_ ~2 -Vš -i_ = 5 P(3) reprezentuje operace symetrie rovnostranného trojúhelníka, grupa C 3v X 1 ■s. m ■s. m n. # ■s. M m "s. * "s. # n, ^ "V y % M S m s m v m s m y m s MS A y n, % 2 ^ E = yA -1 0 y -y 0 1 x x A = F=- 1 0 žádná změna 0 1 - 1 0" 23, zrcadlení v (x,z),(l,z) - 0 1 1 1 -Vš l3, zrcadlení v (2, z) 2 _-Vš -i 1 i Vš" l2, zrcadlení v (3,z) 2 _Vš -i_ 1 -i Vš" 1,2,3^3,1,2, 2 -Vš -i rotace o 27T/3 kolem z 1 -i -Vš" 1,2,3^2,3,1, 2 -i rotace o 4%/3 kolem z 6 Další terminologie a vlastnosti 1. Řád G: počet jejích prvků; P(3) je řádu 6. 2. Podgrupa G: množina jejích prvků, tvořící grupu; podgrupy P(3): (E), (E,A\ (E,B), (E,Q, (E,D,F). Řád grupy je dělitelný řádem podgrupy. 3. Rád n prvku A e G: nejmenší hodnota pro Aw=£; v P(3), £" je řádu 1, A, 5, C jsou řádu 2, D,F jsou řádu 3. 4. Perioda Ae G je Abelovská podgrupa (£,A, A2 Aw_1), kde/i je řád A; periody P(3): (£), (£,A), (£,£), (£,Q, {E,D,D2)={E, F,F*) =(E,D,F). 7 pokračování 5. Nechť S=(E,Sl,S2,...,S ) je podgrupa GaleG. Pravý koset S je množina (EX, SlX,S2X, ...,SgX), levý koset je (XE,XSPXS2, ...,XSg). Koset nemusí být grupa. Koset bude podgrupou S jestliže Xe S. Dva kosety dané grupy buď obsahují stejné prvky nebo nemají žádný prvek společný. Příklady s P(3): Nechť S=(E,A)- Pravé kosety S jsou (E,A)E= (£,A)A=(£,A), což je podgrupa, a (E,A)B= (E,A)D= (B,D) a (E,A)C= (E,A)F= (C,F) což podgrupy nejsou. 6. Prvek Be G se označuje jako sdružený (konjugovaný) s Ae G, je-li B=XAX~l, kde X je libovolný prvek G. Je-li 5 konjugovaný s A a C je konjugovaný s B, pak C je konjugovaný s A. 7. Třída je množina prvků které dostaneme z daného prvku G sdružením. Jednotkový prvek je jedinou třídou, která tvoří podgrupu. Všechny prvky třídy mají stejný řád. Abelovská grupa má tolik tříd jako prvků. P(3) má tři třídy: (£), (A,B,Q,md (D,F). 8 Pojem třídy je velmi důležitý; prověříme třídy grupy P(3)\ třída (užitečný je pohled na inverzní prvky, A-1 =A, Bl=B, Cl = C, Dl=F, F~l =D): (E) triviální, neboť XEXl=E pro každé X eG, (A,B,C) prvky řádu 2, v tabulce součinů červené, (D,F) prvky řádu 3, v tabulce součinů zelené; je-li některý ze součinů ve sdružení mimo třídu, zbylý ho "vrací" pokračování 8. Podgrupa N grupy G se značí jako samosdružená (nebo invariantní, nebo normální), je-li XNX~l=N, kde X je libovolný prvek G. Samosdružená podgrupa musí obsahovat celé třídy. Pravé a levé kosety samosdružené podgrupy jsou stejné. Součiny prvků dvou pravých kosetů samosdružené podgrupy tvoří další pravý koset. Například, (E,D,F) je samosdružená podgrupa P(3), zatímco (E,A), (E,B), (E,C) nejsou; pravé a levé kosety (E,D,F)A=(A,C,B) a A(E,D,F)=(A,B,C) jsou stejné součiny (A,C,B)(E,D,F) tvoří pravý koset (A,B,C), součiny (A,B,C)(A,B,C) tvoří pravý koset (E,D,F). 9. Grupa bez samosdružené podgrupy se označuje jako prostá. 10 pokračování 10. Faktorová grupa grupy G vychází ze samosdružené podgrupy N jako množina jejích kosetů, neboli, každý koset považujeme za prvek faktorové grupy. N je někdy označována jako normální dělitel. Všechna čtyři pravidla násobení jsou samozřejmě splněna: 1. Uzavřenost: (N^iN^N^XN^ )Y=Ni(NkX)Y=(NiNk)(XY) pro I,ľeGa NifN^Nke N, Nk=XNj X~K 2. Asociativnost je splněna neboť platí pro všechny prvky G. 3. Jednotkovým prvkem faktorové grupy je koset obsahující Ee G. 4. Existuje inverzní prvek: (XN)(XAN)= (NX)(XAN)=NN=N. 11. Index podgrupy je celkový počet kosetů. Řád faktorové grupy je index samosdružené podgrupy. n pokračování Například, S=(E,D,F) je samosdružená podgrupa P(3), A=(A,B, C) je její jediný (pravý i levý) koset. 6 a A tvoří (Abelovskou) faktorovou grupu s tabulkou součinů Tato grupa je izomorfní (ekvivalentní, s jedno-jednoznačnou korespondencí) s grupou P{2) permutací dvou objektů, nebo s podgrupami (E,A), (E,B), (E,C) grupy P(3). 12 Teorie reprezentací Dvě grupy, G=(A,B,C,D,...) ag=(í/,v,...), jsou homomorfní, existuje-li zobrazení (korespondence) G do g, například, A—>u, (B,C) —»v,..., takové, že AB^uv, AC —>uv,... Je-li zobrazení jedna k jedné (řády G a g jsou stejné), tyto dvě grupy jsou izomorfní. Například zobrazení P(3) do P(2), (E,D,F) ->£, (A,B,C) je homomorfismus. Korespondence premutační grupy P(3) s grupou symetrie rovnostranného trojúhelníka je izomorfismus. 13 Teorie reprezentací Homomorfismus nebo or isomorfismus grupy G s grupou čtvercových matic označujeme jako reprezentaci G. Ke každému A e G přiřazujeme matici D(A) tak, že D(AB)=D(Ä)D(B), s obvyklým násobením matic ("řádek krát sloupec"). Příkladem homomorfní reprezentace permutační grupy P(3) is je grupa dvou j ednorozměrných matic [ 1 ], [-1 ]: (E,D,F) ^>[1], (A,B,Q ^>[-l] . Tabulka součinů této grupy matic je [-i] [-i] [-i] [-i] Teorie reprezentací Jinou reprezentací grupy P(3), kterou velmi snadno dostaneme je grupa sestávající z jediné jednorozměrné matice [ 1 ]: (E,A,B,Q AF)-K1L Tabulka součinů je [i] [i] Jednorozměrná reprezentace [1] je reprezentací kterékoliv grupy. 15 Teorie reprezentací Izomorfní reprezentací permutační grupy P(3) je grupa následujících šesti třídimenzionálních matic: (tyto matice permutují prvky sloupcového vektoru s obvyklým pravidlem na násobení matic) D(E) = D(C) = 100 0 1 0 00 1 "0 1 0 100 00 1 D(A) = D(D) = 100 00 1 0 1 o "0 0 1" 100 0 1 o D(B) = D(F) = 00 1 0 1 0 100 0 1 0 00 1 100 16 Teorie reprezentací Jinou izomorfní reprezentací permutační grupy P(3) je grupa následujících šesti dvojrozměrných matic: (srovnat s předchozí transformací poloh vrcholů rovnostranného trojúhelníka) D(E) = 1 0 0 1 D(A) = -1 0 0 1 i -Vš -Vš -i DiO = \ i Vš Vš -i D(D) = i -i Vš -Vš -i D{F) = \ -i -Vš Vš -i 17 Teorie reprezentací Reprezentace jsou obecně tvořeny maticemi s komplexními prvky. Symbol * používáme pro komplexní sdružení, T pro transpozici, symbol + pro sdružení: D = dn d12 ... d2l d22... DT = dn d2i d12 d22 D+ = ^12 ^22 *•• Hermitovská matice je definována pomocí DT=D*, or D+=D. Unitární matice pomocí D+=Dl. Unitární matice zachovávají normu vektoru: (Dv)+Dv = (v+D+)(Dv) = v+v, kde v je sloupcový vektor, v+ je sdružený řádkový vektor. Dimenzionalita reprezentace je dimenzionalita jejích matic (počet sloupců a řádků). 18 Teorie reprezentací Reprezentace nejsou jedinečné. Jednoduchý způsob, jak získat novou reprezentaci je vytvoření matic následujícím způsobem D(A) = D (A) O O T kde Dn(A) a Dm (A) jsou matice nějaké n— a m—dimenzionální reprezentace, a O je matice tvořená nxm nulami. Blokový tvar matic D(A) nahoře znamená, že tvoří reducibiní reprezentaci (obsahuje nejméně dvě reprezentace). Nulové matice „oddělují'4 dvě reprezentace ve složené matici. Dále, použití podobnostní transformace UD(A)Ul dává novou reprezentaci, označovanou jako ekvivalentní. 19 Teorie reprezentací Jestliže nějaká podobnostní transformace vede k témuž blokovému tvaru matic, označujeme reprezentaci jako reducibilní; v opačném případě je ireducibilní. Jinými slovy, ireducibilní reprezentace nemůže být vyjádřena pomocí reprezentací menší dimenze. Grupa P(3) má tři ireducibilní reprezentace (dvě jedno- a jednu dvojrozměrnou): prvek grupy: symbol reprezentace E A B c D F [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [-1] [-1] [-1] [1] [1] rv r2 pol r-ioi x Ti -vt M LoiJ 2[_vš-i_ lľl 73 \S -i. i ľ-i Vš" 2[-VŠ -1_ iľ-i -Vš" 2[vš -i 20 Teorie reprezentací Příklad reducibilní reprezentace rR grupy P(3) je: E A 5 ... |~1 0 0 0 [1 000] [1 000] 0-10 0 0 1 0 0 0-1 0 0 l _Vš 0010 00 -1 0 ° ° 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 Ji i 0 0 "v -2 2 Ireducibilní reprezentace v ní obsažené se obvykle uvádějí ve tvaru: rR=rl + rr + r2. 21 Teorie reprezentací Zvláštní důležitost mezi různými reprezentacemi mají ty, které jsou tvořeny unitárními maticemi. Každá reprezentace (D(A),j=l,...,n) s nenulovými determinanty může být přivedena k unitárnímu tvaru pomocí podobnostní transformace. Snadno to vidíme pomocí Hermitovské matice která může být diagonalizována unitární transformací U vytvořenou z ortonormálních vlastních vektorů H: Všechny prvky diagonální matice Hd jsou kladné; existuje tedy její odmocnina a pomocí ní můžeme najít hledanou podobnostní transformaci jako: n Hä=irlHU. Du(Aj) = H-dU2U-1D(Aj)UH1J2. 22 Teorie reprezentací Následujícím výpočtem zjistíme, že matice Du jsou unitární: DM(A.)D„+(A.) = H-^U-'DiA^UHfiH^U-'DiA^UHft = H-mU-lD(Aj)UHdU-lD\Aj)UH-m n = Hfl2U-lD{Aj)U[Y,U-lD{Ak)UU-lD\Ak)m k=i n k=í kde / je jednotková matice. Suma v posledním řádku je diagonální matice Hd, neboť násobení pevnými maticemi D(A) pouze přeskupuje prvky reprezentace. 23 Teorie reprezentací Ireducibilní reprezentace má dvě následující vlastnosti ohledně komutačních vlastností, MD(Aj) = D(Aj)M,j = l,...,n, s pomocnými maticemi M (Schurovo první a druhé lemma): 1. Jediná matice komutující se všemi maticemi ireducibilní reprezentace je násobek jednotkové, const.x/. Jestliže existuje nekonstantní komutující matice, reprezentace je reducibilní. 2. Jsou-li (Da(A), j= 1,...,n) a (Db(A),j=l,...,n) reprezentace dané grupy dimenzionality po řadě da a db, pak, pokud je matice M (daxdb) taková, že MDa(Aj) = Db(AjW,j = l...,n, M musí být nulová pro da^db. Pro da=db , M je nenulová pouze pro dvě reprezentace odlišující se pouze podobnostní transformací, tedy ekvivalentní. 24 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace (Da(A), j= 1,...,n) a (Db(A) J=l,...,n) dané grupy, s dimenzemi pořade da a db, splňují následující velký teorém o ortogonalitě (great orthogonality theorem): YD (A.)Dht (A:l) = — ShStS , / i a,rs v j/ o,tu v j ' t ab rt suy J=l "a kde Z)a r5 je prvek Da z r-tého řádku a s-tého sloupce, Sab je Kroneckerův symbol: Sah =1 pro a=£> a =0 pro a#>. Pro unitární reprezentace se tato relace zjednodušuje na YDa,JAj)DUAj) = -SabSrtSsu. (GOT) J=l "a 25 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace grupy P(3): E A B C D F [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [-1] [-1] [-1] [1] [1] ľio] [-ío] íľi -Vš |_o íj L o íj \S -i _ íľi Vš" \S -i i[-i Vš" 2[S -1 i[-i -Vš" 4vš -i Kontrola ortogonality: 1. Součty pro rx a rv jsou nulové: stejný počet matic [1] a [-1], součet je [0]. 2. Součet pro I\ a r2 je nulový: "1 0" + "-1 0" 1 +— 2 i -Vš 1 +— 2 i Vš 1 +— 2 -1 Vš" 1 +— 2 -1 -Vš" "0 0" 0 1 0 1 -Vš -i _ _Vš -i _-Vš -i -i 0 0 26 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace grupy P(3): E A B C D F [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [-1] [-1] [-1] [1] [1] ľiol [-ío] i[i -Vš |_o íj L o íj 4-VŠ -i _ íľi Vš" 2^VŠ -1_ i ľ-i Vš" 2[-Vš -i_ i[-i -Vš" 4vš -i 3. Suma v (GOT) pro rv a r2 Je nulová: "1 0" "-1 0" 1 i -Vš i i Vš 1 +— 2 -1 Vš" 1 +— 2 -1 -Vš" "0 0" 0 1 0 1 2 _-Vš -i _ 2 Vš -i_ _-Vš -i -i 0 0 27 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace grupy P(3): E A B C D F [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [-1] [-1] [-1] [1] [1] ľiol [-ío] íľi -Vš |_o íj L o íj 4-VŠ -i _ íľi Vš" 2^VŠ -1_ i ľ-i Vš" 2[-Vš -i_ i[-i -Vš" 4vš -i Součty v (GOT) pro a-b jsou: r{. [i]2+[i]2+[i]2+[i]2+[i]2+[i]2 = [6]. rľ: [l]2+[-l]2+[-l]2+[-l]2+[l]2+[lf=[6]. "1 0" 2 "-1 0" 2 1 "i -Vš" 2 1 "i Vš" 2 1 "-i Vš" 2 1 -1 -Vš" 2 "3 0" + +— _-Vš -i _ +— Vš -i_ +— _-Vš -i_ + — .Vš — 0 1 0 1 4 4 4 4 -1 28 _0 3_ Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Relace v (GOT) mohou být interpretovány následujícím způsobem. Maticové prvky unitární ireducibilní reprezentace mohou být do množiny (sloupcových nebo řádkových) vektorů v prostoru dimenze n (řád grupy): vfl,w=>/^[^,w(A)^fl,w(AX...^fl,w(AI)]. Jednotlivé vektory jsou označeny symbolem reprezentace, a, a indexy ras řádku a sloupce. Všechny tyto vektory jsou navzájem ortogonální ("projekce na zbylé členy jsou nulové"). Navíc, zahrnutí normalizačního faktoru (odmocnina ve formuli nahoře) zaručuje normalizaci (jednotkovou délku vektoru): v v+ =1. a,rs a,rs Maximální počet ortogonálních vektorů v /i-rozměrném prostoru je n. 29 Teorie reprezentací - ortogonalita ireducibilních reprezentací Ireducibilní reprezentace rv a r2 SruPy ^(3) obsahuje následující ortonormální vektory: normalizační faktor v2 v3 V4 V5 V6 l/Vó 1 1 1 1 1 1 l/Vó 1 -1 -1 -1 1 1 1/V3 1 -1 1/2 1/2 -1/2 -1/2 1 0 0 -1/2 1/2 1/2 -1/2 1 0 0 -1/2 1/2 -1/2 1/2 1/V3 1 1 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 30 Teorie reprezentací - charaktery Matice (Da(A), j=l,...,n) dané reprezentace jsou velmi užitečné při zacházení s grupou G; jsou ovšem dány až na podobnostní transformaci UDJJ1. Žádoucí je tedy tuto nejednoznačnost odstranit. Označme %a(Aj) stopu stopu (trace) matice Da(A), zMj) = T*{DM,)} = £i>..r Soubor stop pro všechny prvky grupy, Za (A )' Za (A )i~">Za (A )' označujeme jako charakter reprezentace (Da). Protože Tr {UD} = X (Z U]kDk]) =X (Z DkjUjk) = Tr {DU}, j k k j podobnostní transformace nemění charakter reprezentace: Tľ{UDU~1} = Tľ{U(DU~1)} = Tľ{(DU~l)u) = Tľ{D(U~lU)} = Tľ{D}. Ekvivalentní reprezentace jsou navzájem svázány podobnostní transformací, mají tedy stejný charakter. Teorie reprezentací - charaktery Prvky grupy uvnitř jedné třídy jsou spojeny sdružením, odpovídající matice reprezentace jsou spojeny podobnostní transformací —► odpovídající části charakteru libovolné reprezentace jsou stejné. Tabulka charakterů ireducibilních reprezentací grupy P(3)\ V úsporném zápisu vypisujeme pouze třídy: 32 Teorie reprezentací - charaktery Charaktery ireducibilních reprezentací (Da(A), j= 1,...,n) a (Db(A) J=l,...,n) splňují relace ortogonality: n které jsou důsledkem (GOT) pro matice. Charaktery také splňují druhou relaci ortogonality, obsahující sumaci přes reprezentace namísto sumace přes prvky grupy: n, a kde %a(Ck) je (společná) hodnota z charakteru pro &-tou třídu, tvořenou nk prvky, a nc je počet tříd, který je roven počtu neekvivalentních ireducibilních reprezentací. 33 Teorie reprezentací - charaktery Ortogonalitu řádků v tabulce charakterů ireducibilních reprezentací grupy P(3) můžeme snadno prověřit: rep~eter X(A) %(B) X(0 rx ^ i i i 1 1 1 1 1 1 1 stejně jako ortogonalitu sloupců v tabulce obsahující třídy: 34 Teorie reprezentací - konstrukce tabulky charakterů Nejdřív je třeba najít třídy. Pak můžeme použít následující vlastnosti: (1) Počet nr neekvivalentních ireducibilních reprezentací je roven počtu tříd, n=nr (2) Součet čtverců dimenzionalit, dj,j=l,..., nr, je roven řádu grupy. (3) Vždy je přítomna identická reprezentace, která dává řádek jedniček. (4) Vždy je přítomna třída obsahující jednotkový prvek, která dává sloupec se stopami jednotkových matic, tedy dimenzionalit. (5) Platí ortogonalita charakterů, pro řádky i sloupce. Teorie reprezentací - konstrukce tabulky charakterů grupy P(3), izomorfní s C3v, s použitím Schoenfliesovy notace pro prvky symetrie bodových grup E\ identita; nutná pro grupu. Cn\ rotace o 27t/n\ rotační ose říkáme /i-četná. Osa s nej větším n, označovaná jako hlavní, je "vertikální" O", zrcadlení v rovině, s třemi indexy.