Grupy a symetrie II
• vibrace pyramidy XY3 (C3v)
• pravidelný čtyřstěn: P(4) a bodová grupa Td
• notace pro bodové grupy (Schoenflies a mezinárodní)
• direktní součin matic a grup
• příklad D3h = C3v ×C1h
• notace pro reprezentace• notace pro reprezentace
• operace symetrie na funkcích souřadnic
• bázové funkce
1
Molekulární vibrace - Herzberg II, pyramidální XY3 (C3v); normální módy
3N-6=6 vibrací, povolené v IR i Ramanově rozptylu, dvě jsou dvojnásobně
degenerované
(rozvážit chování v izolované molekule a v molekulárním krystalu
2
Další příklad - Td
Operace symetrie pravidelného čtyřstěnu (struktura ZnS):
identita E,
osm rotací C3 kolem diagonál (čárkovaně),
tři rotace C2 kolem x,y,z,
šest os S4 kolem x,y,z, odpovídajícím rotacím
o ±π/2
šest zrcadlení σd (diagonální roviny)
řád grupy Td je 24,
je izomorfní s grupou permutací P(4),
5 tříd, tabulka charakterů je matice 5x5
3
Příklad - Td
Tabulky charakterů grupy Td ze dvou zdrojů:
Inui, Tanabe, Onodera, Group theory and its applications in physics, Springer 1976
(43m)
M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio, Group theory, Applications to the physics of Condensed Matter,
Springer 2008
4
Příklad - Td
Tabulky charakterů pro bodovou grupu Td a (izomorfní) grupu P(4)
z Dress_2008.
Co vede označení tříd grupy P(4), a jaká je souvislost s operacemi symetrie Td ?
Všimnout si rozdílného značení ireducibilních reprezentací.
5
(Krystalografické) bodové grupy – dvě hlavní konvence pro označování:
Schoenfliesova a „mezinárodní“ (Hermann-Maguin, international)
Translační symetrie omezuje n-násobné rotační osy Cn na n=1,2,3,4 a 6.
Schoenflies international
Cn 1,2,3,4,6
σ (zrcadlení) m
S (rotačně-inverzní osa) 1,3,4,6Sn (rotačně-inverzní osa)
Symbol m pro rovinu zrcadlení nerozlišuje mezi vertikální, horizontální a
diagonální rovinou; místo toho,
n/m znamená horizontální rovinu kolmou k n-násobné ose,
nm znamená horizontální rovinu obsahující n-násobnou osu.
1,3,4,6
6
Bodové grupy – dvě hlavní konvence pro 32 krystalografických bodových grup
7
Bodové grupy – dvě hlavní konvence pro 32 krystalografických bodových grup
8
Direktní součin matic
Nechť jsou A a B matice s lAc lAr a lBc lBr prvky:
Aij , i=1,...,lAr , j=1,...,lAc , and Bkm , k=1,...,lBr, m=1,...,lBc .
Matice C=A×B, označovaná jako direktní součin, je tvořena lAr lAc lBr lBc všemi
součiny Aij Bkm = Cik,jm. Alternativní symbol je C=A⊗B.
Pro zacházení s maticemi je vhodné pravoúhlé uspořádání prvků.
Pár symbolů ik označuje řádky, pár jm sloupce pravoúhlého pole
l l řádků a l l sloupců matice C.lArlBr řádků a lAclBc sloupců matice C.
Vodítkem pro definici násobení matic vzniklých direktním součinem je požadavek, aby „transformace“
byly reprezentovány postupným násobením matic:
A’’=A’A reprezentuje operaci A následovanou operací A’;
podobně B’’=B’B a C’’=C’C=A’A×B’B. Prvky direktního součinu jsou
' ' ' ' '
, , ,( ' ) ,= = =∑∑ ∑∑ ∑∑ik jm ip pj kq qm ip kq pj qm ik pq pq jm
p q p q p q
C C A A B B A B A B C C
což vyjde s použitím obvyklého pravidla “řádek-krát-sloupec” s maticemi C’ a C.
9
Pravoúhlé uspořádání prvků A×B :
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
,
.
...
 
 
 
× =  
 
  
Ac
Ac
Ar Ar Ar Ac
l
l
l l l l
A B A B A B
A B A B A B
A B
A B A B A B
kde B je pravoúhlý blokkde B je pravoúhlý blok
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
...
 
 
 
=  
 
  
Bc
Bc
Br Br Br Bc
l
l
l l l l
B B B
B B B
B
B B B
10
Direktní součin grup
Dvě grupy,
GA s prvky Ai , i=1,...,nA , a
GB s prvky Bj , j=1,...,nB , takové že AiBj=BjAi pro všechny jejich prvky,
tvoří grupu - direktní součin - GA×GB tvořenou všemi AiBj.
Všechny čtyři axiomy jsou splněny:
1. AiBjAkBl = (AiAk)(BjBl ),i j k l i k j l
2. jednotkový prvek je EAEB,
3. inverzní prvek... Ai
-1Bj
-1 , neboť Ai
-1Bj
-1AiBj=EAEB,
4. násobení je asociativní.
Jestliže GA a GB nemají žádný společný prvek (jednotku bychom asi mohli považovat
za společnou), řád GA×GB je nAnB.
11
Direktní součin grup - příklad
Operace symetrie rovnostranného trojúhelníka
(Schoenfliesova notace)
tvoří bodovou grupu C3v {E,3σv ,2C3}, pokud je horní a dolní strana trojúhelníka
odlišitelná (například „pyramidové“ molekuly typu NH3);
3
y
x
1
2
bez této asymetrie přibude další operace symetrie:
σh , zrcadlení v horizontální rovině.
Protože σhσh = E, grupa C1h {E,σh} je cyklickou grupou řádu 2.
Horizontální zrcadlení komutuje se všemi prvky C3v, celková symetrie je tedy popsána
grupou D3h = C3v ×C1h s 12-ti prvky
{E, σ1, σ2, σ3, C3, C3
2, σh, σhσ1, σhσ2, σhσ3 , σhC3, σhC3
2}.
12
Direktní součin grup – příklad D3h = C3v ×C1h , tabulka násobení
s jednodušší notací P(3): σ1≡A,σ2≡B,σ3≡C,C3≡D,C3
2≡F; dále σh≡S:
vpravo
vlevo
E A B C D F
E E A B C D F
A A E D F B C
B B F E D C A
C C D F E A B
D D C A B F E
E S
E E S
S S E
D D C A B F E
F F B C A E D
vpravo
vlevo
E A B C D F S SA SB SC SD SF
E E A B C D F ?
A A E D F B C
B B F E D C A ?
C C D F E A B ?
...
13
Příklad D3h = C3v ×C1h , třídy, ireducibilní reprezentace
šest tříd:
{E}, {σ1, σ2, σ3},{C3,C3
2},
{σh},{σhσ1, σhσ2, σhσ3},{σhC3, σhC3
2}
hledáme matici 6x6 s charaktery ireducibilních reprezentací direktního součinu
(z Inui, Tanabe, Onodera, Group theory and its applications in physics, Springer 1976)
14
Příklad D3h = C3v ×C1h , charaktery ireducibilních reprezentací
matice 3x3 (C3v) je pro D3h 3x zopakovaná, dolní diagonální blok
má opačné znamení díky druhé ireducibilní reprezentaci C1h ,
s charakterem A´´=(1,-1)
15
Direktní součin grup – příklad D3h = C3v ×C1h , třídy, ireducibilní reprezentace
jiná notace pro některé třídy
(charaktery z M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio, Group theory, Applications to the physics of
Condensed Matter, Springer 2008)
řádky a sloupce jsou odlišné (ortogonální) → lze najít korespondenci s předchozí
verzí tabulky (charaktery jsou stejné)
16
Bodové grupy: označení reprezentací
Chemická notace (Mulliken,1933) běžná v molekulární fyzice nebo v mřížové
dynamice. Používá symboly
A a B pro jednorozměrné reprezentace (B tehdy, je-li lichá při nejmenší rotaci
kolem hlavní osy),
E pro dvojrozměrné reprezentace,
T,U,V,W pro reprezentace dimenze 3,4,5,6.
Fyzikální (Bethe, 1929; Koster, Dimmock, Wheeler and Statz, 1963):
Γ Γ ΓΓ1, Γ2, Γ3,... ; v novější literatuře o kondenzovaných látkách.
Alternativně, občas (Bouckaert, Smoluchowski and Wigner, 1935);
příklad pro Td:
Mulliken KDWS BSW
A1 Γ1 Γ1
A2 Γ2 Γ2
E Γ3 Γ12
T1 Γ4 Γ15
T2 Γ5 Γ25 17
Bodové grupy: označení reprezentací
Mullikenovo značení má další pravidlo:
jestliže grupa obsahuje inverzi, symbol reprezentace má další index, buď
“g” (gerade) pro sudou paritu při inverzi, nebo
“u” (ungerade) pro lichou paritu.
Příklad ortorombické bodové grupy D2h=D2×CI , CI ={E,I} je cyklická grupa řádu 2.
18
Operace symetrie působící na funkce souřadnic
Rotace o úhel α v rovině (x,y):
1
' cos sin cos sin cos sin
( ) , ( ) , ( ) .
' sin cos sin cos sin cos
x x y x
R R R
y x y y
α α α α α α
α α α
α α α α α α
−
− −         
= = = =         + −         
Tato transformace souřadnic transformuje také jejich funkce, f(x,y), jako jsou
například f1(x,y)=x, f2(x,y)=x2+ y2, f3(x,y)=x2-y2, f4(x,y)=xy, f5(x,y)=x3-3xy2,...
Transformované funkční hodnoty jsouTransformované funkční hodnoty jsou
'( ', ') ( , ),f x y f x y=
transformovaná funkce vychází z originální působením operátoru PR (působícím
na funkce):
' , ( ', ') ( , ) ( 'cos 'sin , 'cos 'sin ).R Rf P f P f x y f x y f x y y xα α α α= = = + −
Explicitní tvar transformované funkce je tedy
( , ) ( cos sin , cos sin ).RP f x y f x y y xα α α α= + −
19
Operace symetrie působící na funkce souřadnic
Rotace Rα transformuje komplexní funkci dvou reálných argumentů fc1(x,y)=x+iy do
Pro f2(x,y)=x2+ y2, f3(x,y)=x2-y2, f4(x,y)=xy, dostáváme následující příklady
transformací:
1 1( , ) cos sin ( cos sin ) ( , ).i
R c cP f x y x y i y x e f x yα
α α α α −
= + + − =
2 2
2 2' ,f x y f= + =2 2
2 2 2 2 2 2
4 3 4
' ,
' cos sin ( ) (cos sin ) cos sin (cos sin ) .
f x y f
f x y xy f fα α α α α α α α
= + =
= − − + − = − + −
20
Operace symetrie působící na funkce souřadnic
Pro každou transformaci R třírozměrného vektoru r=(x,y,z), r’=Rr, dostaneme
transformovanou funkci pomocí následujícího pravidla:
1
1
( ') ( ) ( '), i.e.,
( ) ( ).
R
R
P f f f R
P f f R
−
−
= =
=
r r r
r r
Dvě po sobě následující operace R and S transformují libovolnou funkci f
následujícím způsobem:
1 1 1
( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ),S R S R SP P f P P f P g g S f R S− − −
= = = =r r r r r
kde g=PRf.
Složené působení operace R (provedené prvně) a S je součin SR:
1 1 1
( ) [( ) ] ( ),SRP f f SR f R S− − −
= =r r r
vedoucí ke stejnému výsledku jako součin PSPR. Můžeme tedy použít stejný
symbol pro operace R a PR:
1
( ) ( ).Rf f R−
≡r r
21
Bázové funkce reprezentace
Soubor nezávislých funkcí f1, f2, ..., fd označíme jako bázi d-rozměrné
reprezentace, tvořené maticemi s prvky Dkl(Ai), je-li
1
( ) pro .
d
i l kl i k i
k
A f D A f A G
=
= ∈∑
To je podmínka pro uzavřenost souboru funkcí pro operace grupy G.
Jednotlivé funkce z tohoto souboru se označují jako bázové funkce, nebo bázové
vektory.
l-tý bázový vektor je lineární kombinací s koeficienty z l-tého sloupce matic
reprezentace; „přísluší k l-tému sloupci“.
22
Následující (reducibilní) 3-rozměrná reprezentace P(3) může být použita jako
transformace funkcí f1=x, f2=y, f3=z prvky C3v:
E C3 C3
-1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
     
     =     
          
x x
y y
z z
1 0 0     x x 0 0 1     z x
σ1 σ2 σ3
0 1 0     y x
0 0 1
1 0 0
0 1 0
     
     =     
          
z x
x y
y z
0 1 0
0 0 1
1 0 0
     
     =     
          
y x
z y
x z
1 0 0
0 0 1
0 1 0
     
     =     
          
x x
z y
y z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
     
     =     
          
z x
y y
x z
0 1 0
1 0 0
0 0 1
     
     =     
          
y x
x y
z z
23
Její charakter je
P3=A1+E,
je ortogonální k A2
(projekce na A2
je nulová)
E 3σv 2C3
P3 3 1 0
A1 1 1 1
A2 1 -1 1
E 2 0 -1
Funkce
1 1 2 3= + + = + +Af f f f x y z
je invariantní při všech operacích z C3v;
tvoří bázi reprezentace A1, nebo, transformuje se jako A1.
Podobně, funkce
1 2(2 ) / 6, ( ) / 2= − − = −E Ef x y z f y z
tvoří bázi ireducibilní reprezentace E.
24
tvoří bázi ireducibilní reprezentace E.
Bázi reprezentace A2 dostaneme například z polynomů třetího řádu:
2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ).= − + − + −Af x y z y z y z x y