Aplikace tenzorové algebry v geologii MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Aplikace tenzorové algebry v geologii Rostislav MELICHAR BRNO Verze ze dne: 8. května 2011 Rostislav Melichar: Aplikace tenzorové algebry v geologii. Masarykova univerzita v Brně. Brno, 8. května 2011. ©Rostislav Melichar, 8. května 2011 ISBN 00-00000-00-0 Předmluva Předložený text je stručným přehledem základních termínů a pravidel pro počítání s tenzory; má spíše charakter mírně rozšířených vysokoškolských poznámek než normální učebnice. Cílem bylo spíše vymezit potřebné znalosti, než je vyložit jako v klasické učebnici matematiky. Text psaný velkým písmem je povinným obsahem základního kurzu, malým písmem jsou některé doplňkové informace a hvězdičkou jsou označeny podkapitoly, které jsou určeny pro hlubší porozumění problematiky pro zájemce. Součástí kurzu je využití programu Excel s doplňkem Matrix, který lze volně získat. V Ex-celu je nutno zvládnout následující základní matematické operace, základní matematické funkce, vkládání vzorců, vkládání interaktivní proměnné do vzorců, přenášení a kopírování vzorců: Operátory český název = ruční vložení vzorce (vepsáním) + sčítání — odčítání * násobení / dělení Funkce český název ODMOCNINA(a) MOD(a; b) RADIANS(a) DEGREES(a) SIN(a) COS(a) T G (a) ARCSIN(a) ARCCOS(a) ARCTG(a) ARCTG2(x; y) druhá odmocnina z čísla a zbytek po celočíselném dělení a/b převod úhlů ze stupňů na radiány převod úhlů z radiánů na stupně sinus úhlu v radiánech cosinus úhlu v radiánech tangens úhlu v radiánech akus sinus - vrátí úhel v radiánech akus cosinus - vrátí úhel v radiánech akus tangens - vrátí úhel v radiánech akus tangens ze souřadnic x, y - vrátí úhel v radiánech Ovládání český název Ctrl + C zkopírovat do paměti Ctrl + vyjmout do paměti Ctrl + V vložit z paměti 5 Ačkoliv Ecel obsahuje některé maticové funkce, je lepší užívat funkce doplňku Matrix, neboť Excelovské funkce někdy dávají chybné znaménko výsledku. V doplňku Matrix jsou definovány následující operace, které je nutno v kurzu zvládnout: Funkce český název MAbs MNorm MNormalize norma (délka) vektoru nebo norma matice Norm of vector or matrix norma (délka) vektoru nebo norma matice Vector of matrix norm vektor normovaný na jednotkovou délku (=směrový vektor) Vectors normalization MAdd součet vektorů nebo matic stejných rozměrů Matrix addition MSub rozdíl vektorů nebo matic stejných rozměrů Matrix subtraction MMultS ProdScal ProdVect MProd MT MDet skalární násobek vektoru nebo matice Matrix scalar multiplication skalární součin dvou vektorů stejných rozměrů Scalar product vektorový součin dvou vektorů v trojrozměrném prostoru Vector product součin dvou nebo více matic, předchozí matice musí mít vždy počet sloupců rovný počtu řádků matice následují Matrix product transponovaná matice Matrix transpose determinant čtvercové matice Determinant MInv inverzní matice z čtvercové regulární matice Matrix inverse MEigenvalJacobi MEigenvecJacobi Ovládání matice charakteristických čísel symetrické čtvercové matice Eigenvalues of symmetric matrix matice charakteristických vektorů symetrické čtvercové matice Eigenvectors of symmetric matrix český název Ctrl + Shift + OK vložení výsledku maticové funkce do všech vybraných buněk Obsah 1 Kvantifikace deskriptivních údajů a základní algebraické struktury 9 1.1 Relační údaje................................... 9 1.2 Kvantifikované údaje............................... 9 1.2.1 Míra kvantifikace............................. 9 1.2.2 Veličiny podle míry složenosti...................... 9 1.3 Základní algebraické operace........................... 10 1.3.1 Vlastnosti binárních algebraických operací............... 10 1.4 Algebraické struktury............................... 11 1.4.1 Struktury s jednou vnitřní operací.................... 11 1.4.2 Struktury se dvěma vnitřními operacemi................ 12 2 Základy vektorové matematiky 13 2.1 Základní informace o vektorech......................... 13 2.2 Sčítání vektorů.................................. 14 2.2.1 Odčítání vektorů............................. 15 2.3 Skalární násobek vektoru............................. 15 2.3.1 Dělení skalárem.............................. 16 2.4 Skalární součin............. ..................... 17 2.5 Vektorový součin................................. 18 2.5.1 Složené a vícenásobné součiny vektorů................. 19 2.6 Vztahy mezi směrovými vektory......................... 20 2.6.1 Obecné vztahy mezi vektory jednoho souřadnicového systému .... 20 2.6.2 *Reciproké vektory a rozklad vektoru do libovolné báze........ 20 3 Základy maticové matematiky 23 3.1 Matice....................................... 23 3.1.1 Základní termíny............................. 23 3.1.2 Transponování matice .......................... 23 3.2 Základní operace s maticemi........................... 23 3.2.1 Sčítání matic............................... 23 3.2.2 Odčítání matic .............................. 23 3.2.3 Násobení matice skalárem........................ 23 3.2.4 Násobení matic.............................. 23 3.2.5 Inverze matice............................... 23 3.2.6 Rozklad matice na sloupcové a řádkové vektory............ 24 3.2.7 Invarianty matice 3x3.......................... 24 3.2.8 Rozklad tenzoru na symetrickou a antisymetrickou složku....... 24 3.2.9 Rozklad symetrické matice na matici diagonální a matici rotace (spektrální rozklad matrice) ............................. 25 7 s 4 Transformace souřadnicových systémů 27 4.1 Rotace veličin................................... 27 4.1.1 Rotace vektoru.............................. 27 4.1.2 Rotace tenzoru.............................. 27 4.2 Vlastnosti matice rotace............................. 28 4.2.1 *Matice rozdílu orientace......................... 28 4.2.2 * Charakteristická čísla matice rotace.................. 28 4.2.3 * Charakteristické vektory matice rotace ................ 29 4.3 * Operace symetrie ................................ 29 4.3.1 *Symetrie podle rotačních os....................... 29 4.3.2 *Středová symetrie............................ 29 4.3.3 *Zrcadlová symetrie ........................... 29 5 *Odvození matic rotace 31 5.1 Matice rotace kolem základních souřadných os................. 31 5.1.1 Rotace kolem osy x............................ 31 5.1.2 Rotace kolem osy y............................ 31 5.1.3 Rotace kolem osy z............................ 31 5.2 Rotace kolem obecných os............................ 32 5.2.1 Rotace kolem libovolné horizontální osy................. 32 5.2.2 Rotace plochy do horizontální polohy.................. 32 5.2.3 Rotace kolem libovolné osy........................ 33 5.3 Geometrické prvky určené maticí rotace .................... 34 5.3.1 Lineace určená maticí rotace....................... 34 5.3.2 Plocha určená maticí rotace....................... 34 5.3.3 Lineace a plocha určené maticí rotace.................. 35 5.3.4 Ortogonální prvek určený maticí rotace................. 35 5.3.5 Ortogonální prvek určený Eulerovými úhly............... 36 6 *Goniometrické vzorce a sférická geometrie 37 6.1 Základní hodnoty goniometrických funkcí.................... 37 6.1.1 Znaménka goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech .... 37 6.1.2 Hodnoty goniometrických funkcí základních úhlů ........... 37 6.1.3 Převod goniometrických funkcí do I. kvadrantu ............ 37 6.2 Součin a součet úhlů a goniometrických funkcí................. 37 6.2.1 Převody goniometrických funkcí na jiné goniometrické funkce..... 37 6.2.2 Goniometrické funkce součtu úhlů.................... 38 6.2.3 Součet goniometrických funkcí...................... 38 6.2.4 Součin goniometrických funkcí...................... 38 6.3 Goniometrické funkce dvojnásobného a polovičního úhlu........... 38 6.3.1 Převod kvadrátů a součinů téhož úhlu na dvojnásobné úhly...... 38 6.3.2 Goniometrické funkce dvojnásobného úhlu............... 39 6.3.3 Goniometrické funkce polovičního úhlu................. 39 6.4 Sférická trigonometrie .............................. 39 6.4.1 Pravoúhlý sférický trojúhelník...................... 39 6.4.2 Obecný sférický trojúhelník....................... 40 Kapitola 1 Kvantifikace deskriptivních údajů a základní algebraické struktury 1.1 Relační údaje Při zpracovávání údajů nejprve zvládáme pouze porovnávání jevů (relace), později je umíme do různé míry kvantifikovat. Základní relační vztahy Rovnost a různost dat: jednotlivé údaje můžeme porovnávat a můžeme určit, zda jsou shodné (a — b) nebo rozdílné (o / 6) . Neumíme je jinak srovnat, ani je seřadit podle velikosti. Nerovnosti dat: jednotlivé údaje můžeme porovnávat, umíme určit, zda je den větší než druhý (a > b), umíme je seřadit podle velikosti (a > b > c) . Základní vlastnosti relací Vlastnost Rovnost Různost Nerovnost Reflexivnost: a — a - - Symetričnost: a — b =>• b — a a > b =>• b < a (obrácené znaky) Tranzitivnost: (a — b) A (b — c) z předpokladu (a ^ b) A (b ^ c) a > b A b > c =>• a — c nelze usoudit, že « ^ c =>• a > c Pro různost neplatí reflexivnost a tranzitivnost. Pro nerovnosti neplatí reflexivnost a symetričnost. 1.2 Kvantifikované údaje Kvantifikované údaje se mohou lišit jednak podle míry možné kvantifikace, jednak mohou být složené. Vždy však jsou vyjádřeny čísly - proto také zavádíme "fyzikální"jednotky. Mezi složitější kvantitativní vztahy patří např. komplexní čísla a také tenzory, kterým je věnována hlavní část výkladu. 1.2.1 Míra kvantifikace Rozdílové údaje: Můžeme určit rozdíl (a — b) , tj. o kolik je jeden údaj větší či menší nežli údaj druhý. Nevíme však, jaká je pozice absolutní nuly, a proto si často volíme nulu dohodou. Poměr velikostí údajů však určit nelze, nař. teplota ve stupních Celsia. Poměrové údaje: Můžeme určit nejen rozdíl, ale i poměr velikostí (a / b) , neboť je známo, jaká je absolutní nula. Např. teplota v Kelvinech. 1.2.2 Veličiny podle míry složenosti Fyzikální veličiny podle jejich složitosti rozdělujeme do několika typů: • skalár - veličina je určena jedním (3° — 1) číslem (teplota, hustota, objem, ...) • vektor - veličina je určena třemi (31 — 3) čísly (napětí, síla, rychlost, ...) 9 10KAPITOLA 1. KVANTIFIKACE DESKRIPTIVNÍCH ÚDAJŮ A ZÁKLADNÍ ALGEBRAICKÉ STRUKTURY • tenzor 2. řádu - veličina je určena obecně 3 2 — 9 čísly, matice 3x3 (napjatost, optická indikatrix, ...) • tenzor 3. řádu - veličina je určena obecně 33 — 27 čísly, zjednodušeně jako matice 3x6 (piezoelektrický jev, ...) • tenzor 4. řádu - veličina je určena obecně 34 — 81 čísly, zjednodušeně jako matice 6x6 (elastické vlastnosti, ...) • tenzor ... atd. Obecně můžeme všechny označit za tenzory, přitom skaláry za tenzory nultého řádu, vektory za tenzory prvního řádu a tenzory s. s. za tentory s. I. druhého řádu. Skaláry U skalární veličiny lze v každém místě (x, y, z) a čase (í) určit jednoznačně velikost (případně znaménko) dané veličiny: a = f(x,y,z,t) (1.1) Skalární veličiny označujeme zpravidla malými nebo velkými písmeny latinské abecedy, a to tzv. matematickou kurzívou. Vektory Vektory mají v každém bodě a čase jak svoji velikost, tak i svůj směr (případně smysl - znaménko). Vektory znázorňujeme v maticovém zápisu jako sloupcový vektor. Značíme je obvykle malými písmeny (latinskými či řeckými), a to tučně nebo se šipkou nad tímto písmenem (n — ň). Vektor se znázorňuje pomocí orientované (směrované) šipky, jejíž délka vyjadřuje velikost vektoru. Tenzory Tenzory se znázorňují elipsoidem, u kterého je nutno znát délky všech tří poloos a rovněž jejich orientaci. Směr poloos, které jsou na sebe kolmé, je dán třemi nezávislými složkami jako ortogonální směrový systém. Tenzory se označují obvykle velkými písmeny latinské abecedy tučně nebo v hranatých závorkách. 1.3 Základní algebraické operace Algebraické operace umožňují kvantitativně zpracovávat vědecká data. Algebraická operace přiřazuje uspořádané n-tici prvků (údajů) nejvýše jeden prvek výsledný. Podle počtu prvků, které do ní vstupují, rozlišujeme operace unární (s jedním prvkem), binárni (se dvěma prvky), ternární (tříprvkové) atd. Binární algebraickou operaci vyznačujeme různými znaky umístěnými mezi oba prvky vstupujícími do operace, např. +,—,-, x,:, / a další, pro obecné označení nějaké operace používáme obvykle o. Při aditivním charakteru operace (sčítání) užíváme + nebo ©, při multiplikativním (násobení) zase -,Q nebo x,<8> apod. Podle toho, zda jsou vstupní a výstupní prvky z téže množiny nebo nikoliv, rozlišujeme operace vnitřní (prvky ze stejné množiny) a nebo vnější, pokud výsledný prvek a prvky vstupní patří jiným množinám. U vnitřních operací můžeme rozlišit ještě operace „na množině ", které přiřazují výsledný prvek všem možným kombinacím prvků, a nebo operace „v množině", které výsledný prvek přiřazují jen některým kombinacím. 1.3.1 Vlastnosti binárních algebraických operací Následující vlastnosti mohou ale nemusí mít určitá algebraická operace. Při tom existence některých podmiňuje možnost dalších a případně také jejich použití. Pro jednoduchost odvolávání se na jednotlivé vlastnosti je u nich vzynačeno zkratkové označení písmenem. Neomezená existence operace vlastnost E Ke každým dvěma prvkům a,b <^ A vstupujícím do operace existuje i prvek výsledný: a o b — c. Tato vlastnost je důležitá pro to, zda se musíme starat o charakter vstupních dat, případně která data do operace vstupovat nemohou. Např. u dělení reálných čísel nelze užít nulu ve jmenovateli, zatímco u násobení čísel mohou do operace vstupovat všechna data. 1.4. ALGEBRAICKÉ STRUKTURY 11 Komutativnost operace vlastnost K Pro každé dva prvky a, b G A platí: a o b — b o a. Asociativnost operace vlastnost A Pro každé tři prvky a,b, c G A platí: (a o b) o c — a o (b o c). Existence neutrálního prvku vlastnost N V množině prvků existuje takový prvek e G A , že pro každý prvek a 'E A platí: a o e — e o a — a). Neutrální prvek je tedy takový, že v operaci nemění hodnotu prvku druhého. Pokud se jedná o sčítání, označujeme takový prvek jako nulový: 0, v případě násobení jako prvek jednotkový: 1. Existence inverzního prvku vlastnost I Pro každý prvek a E A existuje prvek inverzní a .(cos a.ei + sin a.ez) + sin (fi.es) (2-6) kde a je velikost vektoru a on jsou směrové a 0| a.a§.e3 |a"| = 1 Velikosti jednotlivých složek odpovídají směrovým kosinům: ai a2 «3 cos ai cos a2 cos «3 (2.20) (2.21) (2.22) kde úhly a\ jsou úhly mezi i-tým vektorem báze (souřadnou osou) a daným vektorem. 2.4. SKALÁRNÍ SOUČIN 17 Lineární závislost vektorů Platí-li lineární závislost mezi vektory ai, a2, a3 ... an vyjádřená vztahem: fci.ai + k2.&2 + k3.a3 H-----han = 0 (2.23) kde ki, k2, k3 ... kn jsou libovolná nenulová čísla, pak vektory ai, a2, a3 ... an označujeme jako lineárně závislé. Jedná-li se o dva vektory, říkáme, že jsou kolineárni a jsou navzájem paralelní. Jedná-li se o tři vektory, říkáme, že jsou komplanárni a všechny tři potom leží v jedné rovině. Více než tři vektory jsou v trojrozměrném prostoru vždy lineárně závislé, proto také každý vektor v trojrozměrném prostoru můžeme rozložit na maximálně tři lineárně nezávislé vektory (složky). Jsou-li vektory lineárně závislé, lze ze vztahu ref linearnizavislost vyjádřit jeden z vektorů (ai) pomocí skalárních násobků zbylých vektorů: Obrázek 2.1: Odvození vektorové rovnice přímky. *Vektorová rovnice přímky Přímka daná polohovým vektorem jednoho bodu ri a směrovým vektorem 1: r = ri + fc.l kde r je polohový vektor jakéhokoliv bodu přímky a k je libovolné reálné číslo (parametr). Přímka daná polohovými vektory dvou bodů přímky: r = ri + fc.(r2 - ri) 2.4 Skalární součin Skalární součin je součet součinů odpovídajících složek. Je to skalár, jehož velikost je dána součinem velikostí odbou vektorů a kosinu úhlu Ô, který svírají: a.b — a\.b\ + a2.b2 + a3.b3 — ab. cosS (2.25) Skalárního součinu s výhodou užíváme k testování vzájemné orientace dvou vektorů. Pro kolmé vektory platí: a.b = 0 (2.26) a pro paralelní vektory: a.b = ab (2.27) Jsou-li oba vektory jednotkové délky, pak je součin roven jedné. Součin libovolného vektoru a a vektoru jednotkového b° je roven délce průmětu prvního do směru druhého: a.b0 = a. cos ô (2.28) Tak můžeme určit i složky vektoru v dané bázi vektorového prostoru: ai = a.ei (2.29) a2 — a.e2 (2.30) a3 = a.e3 (2-31) Poznámka: Zde je uveden vektorový zápis skalárního součinu. V textu je užíván maticový zápis: a.b — aT.b (podrobněji viz níže). 18 KAPITOLA 2. ZÁKLADY VEKTOROVÉ MATEMATIKY Pravidla pro skalární součiny Pro skalární součiny platí komutativní a distributivní zákon. „2 a.a |a| a.b k. (a.b) a.b (k.a). (£.b) b.a (k.a). b — a. (k.b) ob. a°.b° kl. (a.b) (2.32) (2.33) (2.34) (2.35) (2.36) (2.37) (2.38) (2.39) (a + b).c — a.c + b.c Poznámka: V maticovém zápisu není násobení komutativní, platí však: aT.b — bT.a (viz níže). Řešení rovnic se skalárním součinem Řešením rovnice se skalárním součinem a • x — 0 jsou všechny vektory, které jsou kolmé na vektor a. Řešením rovnice se skalárním součinem a • x — k jsou všechny vektory pro něž platí |x|. cosáXía — Jsou to všechny vektory které mají stejný průmět na vektor a (terminopolární vektory). Jsou to všechny vektory které mají počátek v počátku vektoru aa konec ležící v rovině kolmé k vektoru a a ležící ve vzdálenosti j^-. Při skalárním součinu se ztrácí informace o složce vektoru x, která je kolmá na vektor a. Proto také nelze vytvořit inverzní operaci ke skalárnímu součinu vektorů. *Vektorová rovnice roviny Rovina daná polohovým vektorem jednoho bodu ri a normálovým vektorem roviny n: (r — ri) • n = 0 kde r je polohový vektor jakéhokoliv bodu roviny. Rovina daná polohovými vektory tří bodů (ri, r2, rs): r = n + fc.(r2 - ri) +£(r3 - ri) kde r je polohový vektor jakéhokoliv bodu přímky a k a l jsou libovolná reálná čísla (parametry). 2.5 Vektorový součin Vektorový součin svou vektorů je vektor, který je kolmý na oba činitele a jeho velikost je dána součinem velikostí obou činitelů a sinu úhlu Ô, který svírají: «2&3 - «3^2 a3bx - aib3 aib2 - a2bi ei e2 e3 di ci2 a>3 h b2 b3 — |a|.|b|.sin5 ab . a° x b° Základní vlastnosti vektorového součinu (2.40) (a2b3 - a362)-ei + (a3b1 - aib3).e2 + (a\b2 - a2&i).e3 (2.41) (2.42) (2.43) (2.44) Existence operace - vektorově násobit lze pouze vektory téhož významu a rozměru, jinak je existence operace neomezená. Jako binární operace (tj. do níž vstupují právě dva činitelé) existuje pouze v trojrozměrném prostoru. 2.5. VEKTOROVÝ SOUČIN 19 Komutativnost - vektorový součin není komutativní operací: (a x b) — —(b x a). Obrácením pořadí při vektorovém násobení je výsledkem vektor stejné délky, stejného směru, ale v opačném směru -výsledkem je tedy vektor opačný. Platí tedy rovnost pro délky: |a x b| — |b x a|. Asociatívnosť - vektorový součin není asociativní operací: ax(bxc) = (a.c).b (a.b).c (2.45) (a x b) x c = (a.c).b - (b.c).a (2.46) (2.47) výsledky nejsou stejné - závorku tedy musíme psát. Distributivnost - vektorový součin je distributivní vzhledem k odčítání a sčítání vektorů, a to jak při násobení zprava, tak i při násobení zleva: ax(b + c) — axb + axc (2.48) (a + b)xc = axc + bxc (2.49) Existence neutrálního prvku - neexistuje vektor (x), který původní vektor v operaci nemění: a x x — a, pokud vektor a není nulový (a — 0). Existence inverzního prvku - neexistuje inverzní prvek, protože neexistuje neutrální prvek. Existence inverzní operace - neexistuje ani inverzní operace. Další pravidla pro upravování vektorvých součinů Opakované vektorové násobení - při vektorovém násobení opakovaně týmž vektorem je výsledkem nulový vektor: a x a — 0. *Vektor plochy Jako vektor plochy označujeme vektor, který je na danou plochu kolmý (normálový vektor) a který má velikost rovnu velikosti dané plochy. Např. vektor plochy tvaru obecného kosodélníku omezeného dvěma vektory a a b je roven vektorovému součinu obou vektorů. Nebo vektor plochy tvaru trojúhleníku omezeného dvěma vektory a a b je roven: rip = ^ a x b = i b x (b — a) = 7: a x (b — a) = i (a — b) x a = i (a — b) x b (2.50) Z Z Z Z z Vektor povrchu tělesa je vektorový součet všech ploch stěn tohoto tělesa, které tvoří jeho povrch. Pro uzavřené povrchy je tento součet roven nule. 2.5.1 Složené a vícenásobné součiny vektorů Kombinace vektorového násobení a skalárního násobku L(axb) = (k.a) x b = a x (k.b) (2.51) |fc.(axb)| = \k\.\axb\ (2.52) (k.a) x (£.b) = k£.(axb) (2.53) (2.54) Smíšený součin Smíšený součin je skalární veličina d, jejíž geometrická interpretace je objem hranolu s hranami odpovídajícími jednotlivým vektorům: d d (a x b).c — (a, b, c) — abc. sin S cos 7 (2.55) dl d2 0>Z h b2 b3 = aib2c3 - aib3c2 + a2b3ci - a2bic3 + a3bic2 - a3b2ci (2.56) Cl c2 c3 20 KAPITOLA 2. ZÁKLADY VEKTOROVÉ MATEMATIKY kde úhel ô je úhel mezi vektorem a a b a úhel 7 je úhel mezi vektorem c a kolmicí na vektory a a b. Pravidla pro používání smíšeného součinu: smíšený součin není komutativní, tvoří-li trojice systém pravotočivý je součin kladný, jedná-li se o levotočivý systém, má součin zápornou hodnotu. a.(b x c) — (a x b).c — (a, b, c) (2-57) (a, b, c) — (b, c, a) — (c, a, b) (2.58) (c, b, a) — (a, c, b) — (b, a, c) (2.59) (a, b, c) = -(c, b, a) (2.60) Další násobné součiny vektoru (a.b). c — ab. cos S. c (2-61) (a.b).c ^ a.(b.c) (2.62) (a x b) x (c x d) — (d, a, b).c — (a, b, c).d — (c, d, a).b — (b, b, c).d (2.63) a x [b x (c x d)] = (b.d).(a x c) - (b.c).(a x d) (2.64) [(a x b) x c] x d = (a.c).(b x d) - (b.c).(a x d) (2.65) (axb).(cxd) = (b.d).(a.c) - (b.c).(a.d) (2.66) 2.6 Vztahy mezi směrovými vektory 2.6.1 Obecné vztahy mezi vektory jednoho souřadnicového systému Jednotkové směrové vektory souřadnicových os mají jednotkovou délku, pro vztah geografických a napja-tostních souřadnic pak platí tyto vztahy: x\ + x) +x\ = l x\ + yf + z} = 1 (2.67) Směrové vektory souřadnicových os jsou na sebe kolmé, tj. jejich skalární součiny jsou rovny nule: XiXj + ylyj + ZiZj = 0 xxy% + Xjyj + xkyk = 0 (2.68) Všechny tyto vztahy vedou k závislosti složek matice transformace R, která má sice devět složek, avšak pouze tři jsou na sobě nezávislé. Uvedené vztahy využíváme také k vyloučení parametrů s indexem 2, např. pomocí vzorců: n\ + n\ + ng — 1 odkud získáme n\ — 1 — n\ — (2.69) n\li + 712I2 + ?t-3^3 — 0 odkud získáme TI2I2 — — n^l^ (2.70) 2.6.2 *Reciproké vektory a rozklad vektoru do libovolné báze K systému tří nekomplanárních vektorů ei, e% a e3 lze vytvořit systém tří reciprokých vektorů , ej a . Vlastnosti reciprokých vektorů: • skalární součin daného vektoru a k němu reciprokého (inverzního) je roven jedné: ej.ei = 1 (2.71) e;.e2 = 1 (2.72) e^.ea = 1 (2.73) • každý reciproký vektor je kolmý na některou ze stěn rovnoběžnostěnu vymezeného původními vektory, tj. e{.e2 = 0 e{.e3 = 0 (2.74) eá.ei = 0 e;.e3 = 0 (2.75) e3.ei = 0 e3.e2 = 0 (2.76) 2.6. VZTAHY MEZI SMĚROVÝMI VEKTORY 21 Z druhého požadavku vyplývá, že vektor e\ bude paralelní, tj. skalárním násobkem určitého čísla k\ a vektorového součinu e2 x e3: e{ = fci . e2 x e3 (2.77) eí.ei = fci . (e2 x e3). ei = 1 (2.78) fcl = ----r = ----r (2.79) (e2,e3,eij (ei,e2,e3J Potom lze vyjádřit reciproké vektory jako: » e2 x e3 „ e3 x ei » ei x e2 (ei,e2,e3)' (ei,e2,e3)' (ei,e2,e3 (2.80) Reciproké vektory lze s výhodou použít pro rozklad vektoru do systému tří nekomplanárních vektorů. Máme-li rozložit vektor u do složek daných vektorovou bází ai, a2 a a3 podle vzorce: u = Mi.ai +ii2.a2 +ii3.a3 (2-81) Jednotlivé složky u\, U2 a uz lze vyjádřit vztahy: Mi = u.aj, U2 = u.a2, uz = u.a3, (2.82) KAPITOLA 2. ZÁKLADY VEKTOROVÉ MATEMATIKY Kapitola 3 Základy maticové matematiky 3.1 Matice 3.1.1 Základní termíny Rádek matice, sloupec matice. Rozměry matice jsou dány počtem řádků a sloupců: [mC„] - m-řádků a n-sloupců. Matice obdélníková m 7^ n, čtvercová m = n. 3.1.2 Transponování matice = prohozaní řádků za sloupce a naopak: [C] = [A]T Cíj — Cljí Determinant matice det[T] = íi2.Í33 + Í13.Í22 + Í23-ÍH ~~ Í11-Í22-Í33 — 2.íi2.íl3-Í23 3.2 Základní operace s maticemi 3.2.1 Sčítání matic [C] = [A] + [B] C-ij — ď i j ~\~ &ij 3.2.2 Odčítání matic [C] = [A] - [B] C-ij — d i j &jj 3.2.3 Násobení matice skalárem [C]=fc.[A] Cij — k.&ij 3.2.4 Násobení matic 3.2.5 Inverze matice [C] = [A]-1 CiÍ ~ detA kde Aíj je doplněk k prvku By, počíta se jako subdeterminant matice vzniklé vynecháním i-tého řádku a jŕ-tého sloupce a násobený znaménkovým koeficientem (—l)l+3. Inverzní matice k matici ortogonální (např. matice rotace) je rovna matici transponované. 23 24 KAPITOLA 3. ZÁKLADY MATICOVÉ MATEMATIKY 3.2.6 Rozklad matice na sloupcové a řádkové vektory Jednotlivé sloupcové vektory A = [ai,a2,as] lze vypočítat podle vzorce: sa = A ■ e4 Jednotlivé prvky matice v daném souřadném systému lze vypočítat podle vzorce: d í j — 6 í ■ A. ■ G j 3.2.7 Invarianty matice 3x3 Invarianty jsou hodnoty matice, které nezávisí na zvoleném souřadnicivém systému. První invariant První invariant = stopa (trace) matice: h = trA = fflu + ffl22 + a33 Druhý invariant Jakou hodnotu má první invariant inverzní matice? (3.1) (3.2) trA" fflu + fl22 + a33 Au A22 A33 detA detA detA detA (Au + A22 + A3 (3.3) Protože první invariant inverzní matice i determinant matice A jsou invarianty, musí být i součet subdeterminantů k prvvkům hlavní diagonály (výraz v závorce) invariantem. Třetí invariant Jaký je objem rovnoběžnostěnu vymezeného třemi sloupcovými vektory matice T = [a, b, c]? V = (a, b, c) = det T (3.4) Je tedy determinant invariantem (objem se nezmění při změně souřadnic). 3.2.8 Rozklad tenzoru na symetrickou a antisymetrickou složku Libovolný tenzor vyjádřený maticí T lze rozložit na dvě složky, jednu symetrickou Ts a druhou antisymetrickou Ta: T = Ts + Ta Pro symetrickou složkuku platí: Ts 1 = Ts A podobně pro antisymetrickou (antimetrickou) složku: rp T _ rp 1 : i — J- a Tyto dvě složky lze vyjádřit vztahy: (3.5) (3.6) Ts = \ (T + TT) \ (T - TT) a pro transponovaný tenzor a jeho složky platí: til |(íl2+Í2l) |(íl3 + Í3l) |(íl2+Í2l) Í22 |(Í23 + Í32) |(íl3+Í3l) |(Í23+Í32) Í33 0 |(íl2 — Í2l) §(tl3 — Í3l) \(tl\— Í12) 0 |(Í23 — Í32) \(t3\ — Í13) |(*32 — Í23) 0 (3.7) (3.8) (3.9) TT = Ts Ta (3.10) 3.2. ZÁKLADNÍ OPERACE S MATICEMI 25 3.2.9 Rozklad symetrické matice na matici diagonální a matici rotace (spektrální rozklad matrice) Matici [3T3] s prvky iý lze spektrálně rozložit pomocí charakteristických čísel a vektorů na tvar: in Í12 Í13 Í12 Í22 Í23 Í13 Í23 Í33 Ti.[ti].[ti]T + T2.[t2].[t2]T +T3.[t3].[t3]T (3.11) Charakteristická čísla vypočteme řešením kubické rovnice: t3 + A.t2 + B.t + C = 0 kde: A = -tr [T] = -(tu + Í22 + Í33) B = Í11.Í22 + til.Í33 + Í22-Í33 — Í12 ~ Íl3 ~ Í23 C = det[T] = ti2.Í33 + Í13-Í22 + Í23-Í11 — Í11-Í22-Í33 — 2.íi2.íl3-Í23 (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) Postup řešení kubické rovnice: P = 2.Aa A.B Q COS íf) + C Q v\p\3 2-\Ap~\ a jednotlivé charakteristické hodnoty matice jsou rovny: ib A r.cos--- Tfe -r. cos[ tp - 180° A 3 3" tp + 180° _ A 3 ~ 3 (3.16) (3.17) (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) Složky charakteristických vektorů vypočteme např. ze vztahů: E = £11 — n F = (t22-n).E-t212 G = -E.Í23 — Í13-Í12 txi = íi2-G — tn-F tyi = G.E (3.23) (3.24) (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) Druhé dva charakteristické vektory t3 a tfe získáme dosazením dalších charakteristických čísel matice r3 a r^. Nakonec charakteristické vektory převedeme na jednotkovou délku. KAPITOLA 3. ZÁKLADY MATICOVÉ MATEMATIKY Kapitola 4 Transformace souřadnicových systémů Transformaci jednoho souřadnicového systému vyjadřujeme maticí rotace [pR„], která vyjadřuje transformaci ze souřadného systému p (původní) do systému n (nový). Za systém p, n si lze dosadit geografický, napjatostní nebo zlomový systém. cosan cos «12 cos «13 COS «21 COS «22 COS «23 COS «31 COS «32 COS «33 í"ii r12 ri3 í"21 í"22 í"23 í"31 í"32 í"33 (4.1) Úhly «ý- jsou úhly mezi souřadnými osami, první index i určuje původní souřadnici, druhý j novou. Řádky tvoří složky vektorů nových souřadných os v původní souřadnicové soustavě, sloupce tvoří vektory vyjadřující orientaci původních souřadnicových os v nové souřadnicové soustavě. 4.1 Rotace veličin 4.1.1 Rotace vektoru Transformaci souřadnic libovolného vektorového prvku v původní souřadnicové soustavě ap do nové souřadnicové soustavy a„ počítáme podle vzorce: [a„] = [pR„].[ap] (4.2) a pokud známe matici pro obrácenou transformaci [„RJ, můžeme snadno provést i zpětnou transformaci: [ap] = [„Rp].[a„] (4.3) Matici pro obrácenou transformaci [„Rp] matici lze určit podle vzorce [nR„] = [pUn]-1 (4.4) avšak výpočet inverzní matice [pR„]_1 je poměrně náročný (viz matematická příloha). Matice rotace je zvláštním typem matic - je to tzv. ortogonální matice - a pro tento typ matic platí: [pRn]-1 = [PR„]T (4.5) kde [pR„]T je tzv. transponovaná matice, tj. matice, v níž jsou oproti matici původní zaměněny řádky a sloupce. Zpětnou transformaci vypočteme podle vzorce: [ap] = [pR„]T.[a„] (4.6) 4.1.2 Rotace tenzoru Transformaci souřadnic tenzorových veličin (např. napjatosti) provádíme podle složitějších vzorců. Tenzorová veličina určuje vztah mezi dvěma vektorovými veličinami a a b v původních i v nových souřadnicích (např. vztah orientace plochy a napětí na ní působící): [bp] = [Tp].[ap] (4.7) [b„] = [T„].[a„] (4.8) 27 28 KAPITOLA 4. TRANSFORMACE SOUŘADNICOVÝCH SYSTÉMŮ Chceme-li zjistit vztah jak tenzor T„ v nových souřadnicích získat transformací tenzoru Tp z původní souřadnicové soustavy, postupujeme podle následujícího odvození. Vyjdeme ze vztahu pro rotaci (transformaci) vektoru b z původních do nových souřadnic (4.2), který upravíme dosazením 4.7 a 4.8: [b„] = [pR„]. [bp] ■ [aj = Rn m-R-n (4.9) 4.2 Vlastnosti matice rotace 4.2.1 *Matice rozdílu orientace Rozdíl orientace je tenzor AR, který lze určit jako součin tenzorů rotace, které určují orientaci obou prvků - nejprve rotujeme z orientace prvk A do referenční soustavy souřadnic a pak rotujeme do orientace prvku B: Ai? — Rg.R\ (4.10) 4.2.2 *Charakteristická čísla matice rotace Charakteristické hodnoty a vektory lze určit z rovnice Ra — A.a kde R je matice orientace, a je charakteristický vektor a A je skalár. Potom: (R- A.I) a = 0 K získání netriviálního řešení (a nerovno 0) musí být determinant roven nule: det(R- A.I) = 0 (4.11) (4.12) (4.13) To vede k řešení kubické rovnice a ke třem řešením. Avšak při uvážení, že charakteristický vektor musí být stále zachováván při transformacích - bude charakteristickým vektorem osa rotace. Ta musí být zachována i při zpětné rotaci a tak R 1 musí zachovávat tentýž vektor. Můžeme tedy psát: Ra = R (R-R_1).a = 0 (R-RT).a = 0 (4.14) (4.15) (4.16) Zbytková matice má tvar: R — R 0 r12 - r2i r13 - r31 T2i - n2 0 r23 - r32 í"3i - n3 r32 - r23 0 (4.17) Matice rotace má charakteristické číslo rovno ±1. 4.3. *OPERACE SYMETRIE 29 4.2.3 *Charakteristické vektory matice rotace Matice rotce má jeden charakteristický vektor a= [ai, a2, «3]T; který odpovídá vektoru osy rotace: a2 «3 Uhel rotace je pak roven: í"23 - - í"32 \/(r23 - r32)2 H h(r3i í"31 - -ri3)2H - Í"13 h (ri2 - í"2l)2 \/(r23 - r32)2 H h(r3i Í"12 - -ri3)2H - í"21 h (ri2 - í"2l)2 \/(r23 - r32)2 H h(r3i -ri3)2H h (ri2 - í"2l)2 (4.18) tr cos a — - 2 Matici rotace můžeme zapsat jako: R — (I nnT). cos lo — (n x I). sin lo + nnT (4.19) (4.20) 4.3 * Operace symetrie Pojmem symetrie je míněno to, že po provedené operaci je výsledek tentýž, neměnný. Matice rotace je určena kosiny úhlů mezi novou a starou souřadnicovou soustavou, které jsou ve vztahu k referenční soustavě určeny pomocí matic: R = R X„ Xp — Vil Vi3 ■X-pl i Xp21 Xp3 (4.21) cos(x„i,xpi) cos(x„i,xp2) cos(x„i,xp3) cos(x„2,xpi) cos(x„2,xp2) cos(x„2, xp3) cos(xn3,xpi) cos(x„3,2ľp2) cos(x„3, xp3) Matici rotace určíme porovnáním orientace souřadné soustavy před a po rotaci. Například při zrcadlové symetrii, kde plocha zrcadla odpovídá ploše x\x2 — (^3), existuje pro každý bod P[xi, x2, x3] symetrický ekvivalentní bod P'[xi, x2, — x3]. 4.3.1 *Symetrie podle rotačních os Identický tvar získáme otočením kolem osy o určitý úhel. Požadavek je, abychom na konci - při otočení o poslední díl - dosáhli původní pozice (otočení o 360°). Počet úhlů otočení do 360° označujeme jako četnost osy rotace a osu rotace jako n-četnou osu rotace (A: n-fold rotation axis). 4.3.2 *Středová symetrie Středová symetrie se někdy označuje jako symetrická operace druhého druhu (vytváří zrcadlově identický obraz, zatímco rotace vytváří identický obraz). Determinant matice transformace detT — — 1. R -1 0 0 -1 0 o -1 (4.22) 4.3.3 *Zrcadlová symetrie Matice transformace při zrcadlení podle zrcadlové plochy (x): R -10 0 0 1 o o o 1 (4.23) KAPITOLA 4. TRANSFORMACE SOUŘADNICOVÝCH SYSTÉMŮ Kapitola 5 * Odvození matic rotace 5.1 Matice rotace kolem základních souřadných os 5.1.1 Rotace kolem osy x Rotace kolem osy x o úhel lú: 1 0 0 0 cos lú — sin lo 0 sin lú cos lú 5.1.2 Rotace kolem osy y Rotace kolem osy y o úhel lú: cos lú 0 sin lú 0 1 0 — sin lú 0 cos lú 5.1.3 Rotace kolem osy Rotace kolem osy z o úhel lú: cos lú — sin lú 0 sin lú cos lú 0 0 0 1 31 32 KAPITOLA 5. *ODVOZENÍ MATIC ROTACE 5.2 Rotace kolem obecných os 5.2.1 Rotace kolem libovolné horizontální osy Rotaci kolem osy L a^/O o úhel lú provedeme tak, že nejprve rotujeme osu do směru x, provedeme rotaci o úhel oj kolem osy x a nakonec osu totace vrátíme do původní polohy: [Rl v Rp.l.LRT cos a sin a 0 — sin a cos a 0 0 0 1 1 0 0 0 cos lú — sin lú 0 sin lú cos lú cos a — sin a 0 sin a cos a 0 0 0 1 cos a sin a 0 sin a cos lú cos a cos lú — sin lú - sin a sin lú cos a sin lú cos w cos2 a + sin2 a cos w sinacosa(l — coscj) sinacosa(l — coscj) sin2 a + cos2 a cos w — sin a sin w cos a sin w sm a sin w — cos a sin lú cos a; kde 1 - b.y2 b.xy —c.y c.x b.xy c.y 1 — b.x2 —c.x l-b b — 1 — cos lú x — cos a c — sm lú y — sin a. (5.1) 5.2.2 Rotace plochy do horizontální polohy Plocha S as/V S Je rotována kolem směrnice do vodorovné polohy. Ostatní směrové prvky se rotují pomocí stejné matice rotace. Rotaci provedem tak, že nejprve rotujeme zpět o azimut sklonu, takže osa rotace-směrnice se ztotožní s osou y a kolem ní rotujem o velikost sklonu ip, nakonec azimutálně vrátíme do původní pozice: R yR-z yR-z cos a sin a 0 — sin a cos a 0 0 0 1 cos ip 0 sin ip 0 1 0 — sin ip 0 cos p cos a — sin a 0 sin a cos a 0 0 0 1 cos a cos p sm a cos p sm p — sin a cos a 0 — cos a sin p — sin a sin p cos p cos2 a cos p + sin2 a — sin a cos a( 1 — cos p) cos a sin p — sin a cos a(l — cos — cos a sin y sin2 a cos p + cos2 a — sin a sin y - sm a sm L 0 cos p L — srn al cos «l 0 - cos al srn yl - sin al sin pl cos L kde x.a -y —x.c y.a x -y-c c 0 a a x cos p L cos «l c srn p L sin «i (5.3) První sloupec matice rotace je přímo vektor 1. 5.3.2 Plocha určená maticí rotace Vycházíme z předpokladu, že normála plochy je osa z rotovaná do dané polohy: [n] = [As].[z] (5.4) Vlastní výpočet matice rotace provedeme tak, že osu x rotujeme kolem osy y o úhel p v záporném směru a pak kolem osy z o azimut sklonu a s'- [Aí [asRz]-[—Vs-Ry] cos p s 0 — sin p s 0 1 o sin ps 0 cos ps cos as — sin as 0 sin as cos as 0 0 0 1 cos as cos ps sin as cos ^5 sin (^5 — sm «5 cos «5 0 - cos as sm ps - sin «5 sin ps cos s kde x.a -y —x.c y.a x -y-c c 0 a a x cos p s cos «5 c sm (^5 sin as (5.5) První sloupec matice rotace je přímo vektor spádnice, druhý sloupec je přímo vektor směrnice a třetí sloupec je přímo vektor normály plochy n. 5.3. GEOMETRICKÉ PRVKY URČENÉ MATICÍ ROTACE 35 5.3.3 Lineace a plocha určené maticí rotace Plocha je určena orientací S as/V S a lineace je upčená úhlem p (pitch). Vycházíme z předpokladu, že lineace je osa x a normála plochy je osa z rotované do dané polohy: [nl [Als].[x] [Als].[z] Vlastní výpočet matice rotace provedeme tak, že osu x rotujeme kolem osy z o úhel 90 — p (budoucí spádnice plochy je natočena k severu), pak kolem osy y o úhel — (p s (plocha je ukloněna) a nakonec kolem osy z o azimut sklonu a s'- [A LS [as R-z] ■ [-<ŕs R-y] ■ [90-pR-z sin p — cos p 0 cos p sin p 0 0 0 1 cos p g 0 — sin p g 0 10 sin p g 0 cos p g cos ip g cos p — cos p g cos p — srn p g cos p sin p 0 sin p g sin p — sin p g cos p cos p g cos a g — sin a g 0 sin a g cos a g 0 0 0 1 cos ag cos pg cosp — sin ag cosp — cos ag cos p cosp — sin ag sinp sin a g cos p g cos p + cos a g cos p — sin a g cos ips cos p + cos a g sin p sin p g sin p — sin p g cos p — cos a 5 srn p g — sin a g sinips COS 1^5 První sloupec matice rotace je přímo vektor lineace 1, druhý sloupec je vektor ležící v ploše a kolmý na lineaci a třetí sloupec je přímo vektor normály plochy n. 5.3.4 Ortogonální prvek určený maticí rotace Směr e1 je určen orientací L ai/(pi, druhý směr e2 je určen úhlem p (pitch). Vycházíme z předpokladu, že směr ei je osa x, směr e2 je osa y a směr e3 je osa z rotovaná do dané polohy: [ei] [e2] [e3] [Ao].[x] [Ao].[y] [Ao].[z] Vlastní výpočet matice rotace provedeme tak, že osu y rotujeme kolem osy x o úhel p (budoucí směr e2 získal p v ploše y z), pak kolem osy y o úhel —ipi (budoucí směr ei je ukloněn) a nakonec kolem osy z o azimut sklonu a±: [Ao] — [a1R-z]-[-tp1R-y]-[pR-x] 10 o 0 cosp — sinp 0 sin p cos p cos pi 0 sin pi 0 — sin pi 1 0 0 cos pi cos pi 0 sin pi — sin pi sinp cosp cos pi sinp — sin pi cosp — sinp cos pi cosp cos a± — sin a± 0 sinai cosai 0 0 0 1 cosai cos pi — cosol\ sin p\ sinp — sinai cosp sinai cosp\ — sinot\ sin p\ sinp + cosot\ cosp sinici cosp\ sinp — cosai sinici cosp + sinai sinp — sinol\ sin p\ cosp — cosot\ sinp cos p\ cosp První sloupec matice rotace je přímo vektor směru ei, druhý sloupec je vektor směru e2 a třetí sloupec je přímo vektor směru e3. 36 KAPITOLA 5. *ODVOZENÍ MATIC ROTACE 5.3.5 Ortogonální prvek určený Eulerovými úhly cos p — sin p 0 sin p cos p 0 0 0 1 1 0 0 0 cos p — sin p 0 sin p cos p sin a cos a 0 — cos a sin a 0 0 0 1 cos p sin p 0 cos p sin p cos