M2100 Matematická analýza II DDÚ
1 Diferenciální rovnice
Rozhodněte, zda je funkce y pro x ∈ I řešením dané diferenciální rovnice:
1. (
√
1 + x2)y′′
− x3
(y′
)2
+ x = 0, y = ln(
√
1 + x2 + x), I = R
[ano]
2. (y′
)2
+ cos(2x)y′′
= 4, y = ln cotg x, I = (0, π
4 )
[ne]
3. (1 + x)y′′
+ y′
= 0, y = ln
√
1 − x2 +
x
0
1
1−t2 dt, I = (−1, 1)
[ano]
1.1 Diferenciální rovnice 1. řádu
1.1.1 Rovnice se separovanými proměnnými
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. y′
= − xy
x+1
[y = C(x + 1)e−x
, C ∈ R]
2. y − y2
+ xy′
= 0
y = 1
1−Cx , C ∈ R; y = 0
3. e−y
(1 + y′
) = 1
[e−y
= 1 − Cex
, C ∈ R]
4. y′
= ex−y
[ey
= ex
+ C, C ∈ R]
5. x(1 + y2
) dx + y(1 + x2
) dy = 0
y2
= C(1 + x2
) − 1, C ∈ R+
Vyřešte diferenciální rovnice s počáteční podmínkou:
1. 2y − x3
y′
= 0, y(1) = 1
y = e1− 1
x2
2. y′
tg x − y2
= 1 − 2y, y(π
2 ) = 1
2
y = 1 − 1
2+ln|sin x|
3. sin y cos x dy = cos y sin x dx, y(0) = π
4
y = arccos cos x√
2
1
M2100 Matematická analýza II DDÚ
1.1.2 Homogenní rovnice
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. xy′
+ y ln x = y ln y
y = xeCx+1
, C ∈ R
2. y′
= x+3y
2x
[y = Cx
√
x − x, C ∈ R]
3. (y2
− x2
) dx = 2xy dy
y2
= −x2
+ Cx, C ∈ R
1.1.3 Zobecněná homogenní rovnice
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. y′
= x+y
x−y
arctg y
x = ln Cx 1 + y2
x2 ), C ∈ R
2. y′
= x+2y−7
x−3
y = −x + 5 + C(x − 3)2
, C ∈ R
3. y′
= 3x+4y−9
2x+y−6
(y − 3x + 9)5
= C(x + y − 3), C ∈ R, y = x + 2
4. y′
= 5x−5y+1
2x−2y+1
[ln |y − x| = −5x + 2y + C, C ∈ R, y = x]
5. y′
= 9x−3y+1
3x−y
2x + (3x − y)2
= C, C ∈ R
2
M2100 Matematická analýza II DDÚ
1.1.4 Lineární rovnice 1. řádu
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. y′
= −2y
y = Ce−2x
, C ∈ R
2. y′
= 2x
1+x2 y
y = C(x2
+ 1), C ∈ R
3. y′
= −2y + 6x
y = 3x − 3
2 + Ce−2x
, C ∈ R
4. y′
cos x = (y + 2 cos x) sin x
y = sin2
x+C
cos x , C ∈ R
5. x dy + (x2
− y) dx = 0
y = −x2
+ Cx, C ∈ R
Vyřešte diferenciální rovnice s počáteční podmínkou:
1. y′
= 4xy + (2x + 1)e2x2
, y(0) = 1
y = (x2
+ x + 1)e2x2
2. y′
− 4y = cos x, y(0) = 1
y = 1
17 sin x − 4
17 cos x + 21
17 e4x
1.1.5 Bernoulliova rovnice
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. y′
= 2xy + 2x3
y2
y = 1
1−x2+Ce−x2 , C ∈ R, y = 0
2. 3x2
y′
+ xy = y−2
y3
= ln|x|+C
x , C ∈ R, y = 0
3. y′
= 4
x y + x
√
y
y = x4
(ln |x| + C)2
, C ∈ R, y = 0
4. y dy = (ay2
x2 + b
x2 ) dx, a = 0
y2
= − b
2a + Ce− 2a
x , C ∈ R, y = 0
3
M2100 Matematická analýza II DDÚ
1.1.6 Metoda záměny proměnných
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. y′
= 1
2x−y2
x = y2
2 + y
2 + 1
4 + Ce2y
, C ∈ R
2. (xy + x2
y3
)y′
= 1
x = 1
2−y2+Ce−
y2
2
, C ∈ R
3. 2y dx + (y2
− 4x) dy = 0
x = (−1
2 ln |y| + C)y2
, C ∈ R
1.1.7 Exaktní diferenciální rovnice
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. (2x + y) dx + (1 + x) dy = 0
x2
+ xy + y = C, C ∈ R
2. ey
+ yex
+ 3x2
dx = (2 − xey
− ex
) dy
xey
+ yex
+ x3
− 2y = C, C ∈ R
3. sin y dx + ((x + 1) cos y − y sin x) dy = 0
[x sin y + y cos y = C, C ∈ R]
1.1.8 Clairoutova rovnice
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. y = xy′
+ 1
2y′
y = Cx + 1
2C , C ∈ R; y2
= 2x
2. y = xy′
+ y′
+ ey′
y = Cx + C + eC
, C ∈ R; y = (x + 1) ln(−x − 1) − x − 1
3. y′
= ln(xy′
− y)
y = Cx − eC
, C ∈ R; y = x ln x − x
4
M2100 Matematická analýza II DDÚ
1.1.9 Lagrangeova rovnice
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. y = (y′
− 1)ey′
[x = ep
+ C, y = (p − 1)ep
, C ∈ R; y = −1]
2. y = 2xy′
+ y′
− (y′
)2
x = 2
3 p + C
p2 − 1
2 , y = 2C
p + p2
3 , C ∈ R
3. 2xy′
− y = ln y′
x = 1
p + C
p2 , y = 2C
p − ln p + 2 C ∈ R
1.2 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
1.2.1 Rovnice homogenní
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. y′′
− 16y = 0
y = c1e4x
+ c2e−4x
, c1, c2 ∈ R
2. y′′
+ 16 = 0
[y = c1 cos 4x + c2 sin 4x, c1, c2 ∈ R]
3. y′′′
− 6y′′
+ 12y′
− 8y = 0
y = c1e2x
+ c2xe2x
+ c3x2
e2x
, c1, c2, c3 ∈ R
4. 4y′′′
− 4y′′
+ y′
= 0
y = c1 + c2e
x
2 + c3xe
x
2 , c1, c2, c3 ∈ R
5. y(4)
+ 10y′′
+ 25y = 0
y = (c1 + c2x) cos
√
5x + (c3 + c4x) sin
√
5x, ci ∈ R, i = 1, . . . , 4
Vyřešte diferenciální rovnice s počáteční podmínkou:
1. y′′
− 2y′
+ y = 0, y(0) = 0, y′
(0) = 1
[y = xex
]
2. y′′
+ 7y′
− 8y = 0, y(0) = 1, y′
(0) = 1
[y = ex
]
5
M2100 Matematická analýza II DDÚ
1.2.2 Rovnice nehomogenní
Metodou neurčitých koeficientů vyřešte diferenciální rovnice:
1. y′′
− 9y = 9x2
y = c1e3x
+ c2e−3x
− x2
− 2
9 , c1, c2 ∈ R
2. y′′
− 4y′
+ 4y = (1 + x2
)e2x
y = c1e2x
+ c2xe2x
+ 1
12 e2x
x2
(x2
+ 6), c1, c2 ∈ R
3. y′′
− 3y′
+ 2y = 10 cos x
y = c1ex
+ c2e2x
− 3 sin x + cos x, c1, c2 ∈ R
4. 4y′′
− 2y′
+ 5y = 5e2x
sin x
y = c1ex
+ sin 2x + c2ex
cos 2x + e2x
sin 2x − 1
2 e2x
cos x, c1, c2 ∈ R
5. y′′
− 2y′
= 4x + 2 cos 2x
(Rada: Rozdělte si pravou stranu f(x) na součet f1(x) + f2(x) a hledejte postupně partikulární řešení
yp1
(x) pro f1(x) a yp2
(x) pro f2(x). Výsledné řešení pak bude tvaru y(x) = y0(x) + yp1
(x) + yp2
(x).)
y = c1 + c2e2x
− x2
− x − 1
4 (cos 2x + sin 2x), c1, c2 ∈ R
Metodou variace konstant vyřešte diferenciální rovnice:
1. y′′
− y′
= e2x
sin ex
[y = c1 + c2ex
− sin ex
, c1, c2 ∈ R]
2. y′′
+ 3y′
+ 2y = (ex
+ 1)−1
y = c1e−1
+ c2e−2x
+ (ex
+ e−2x
) ln(ex
+ 1), c1, c2 ∈ R
3. y′′
+ y = 2
cos3 x
y = c1 cos x + c2 sin x + sin2
x
cos x − cos x, c1, c2 ∈ R
4. y′′
− 2y′
+ y = ex
x
[y = ex
(c1 + c2x + x ln |x|), c1, c2 ∈ R]
5. y′′
+ 2y′
+ y = e−x
ln x
y = ex
(c1 + c2x + x2
2 ln x − 3x2
4 ), c1, c2 ∈ R
6
M2100 Matematická analýza II DDÚ
2 Metrické prostory
Rozhodněte, zda je (P, ρ) metrický prostor (tj. zda funkce ρ(x, y) zadává metriku na P):
1. P = R, ρ(x, y) = sgn |x − y|
[ano]
2. P = R, ρ(x, y) = x2
− y2
[ne]
3. P = R, ρ(x, y) = |x − y|
[ano]
4. P = C, ρ(x, y) =
min {|x| + |x| , |x − 1| + |y − 1|} x = y
0 x = y
[ano]
Určete vzdálenost bodů x, y, resp. funkcí f(x), g(x) ∈ P v daných metrikách:
1. P = R2
, x = [0, 1], y = [1, 2]; ρ2, ρ1, ρ∞
ρ2(x, y) =
√
2, ρ1(x, y) = 2; ρ∞(x, y) = 1
2. P = R3
, x = [0, 1, 2], y = [1, 2, 3]; ρ2, ρ1, ρ∞
ρ2(x, y) =
√
3, ρ1(x, y) = 3; ρ∞(x, y) = 1
3. P = C[1, e], f(x) = x, g(x) = ln x; ρC, ρI
ρC(f, g) = e − 1ρI (f, g) = 1
2 (e2
− 3)
4. P = C[0, 1], f(x) = x2
, g(x) = 1 − x; ρC, ρI
ρC(f, g) = 1ρI (f, g) = 2
3
2.1 Vzdálenost množin
Určete vzdálenost bodu b od množiny A, resp. vzdálenost množin A, B v daných metrikách:
1. P = R2
, b = [0, 1], A : y = −x; ρ∞
[ρ∞(b, A) = 1]
2. P = R2
, b = [6, 6], A : x2
+ y2
= 25; ρ1
ρ1(b, A) = 12 − 5
√
2
3. P = R2
, b = [3, 6], A : x2
+ y2
= 25; ρ1
[ρ1(b, A) = 2]
4. P = R2
, A : y = c, c < 0, B : y = x2
− 2x + 1; ρ∞
[ρ∞(A, B) = |c|]
2.2 Izometrické zobrazení
Dokažte, že zobrazení f : C[−1, 1] −→ C[−1, 1], F(f(x)) = f(−x) je izometrické v metrice ρI.
7
M2100 Matematická analýza II DDÚ
3 Diferenciální počet funkcí více proměnných
3.1 Pojem funkce více proměnných
Určete a načrtněte D(f) a H(f) pro funkci f(x, y):
1. f(x, y) = 1 − (x2
9 + y2
4 )
D(f) = [x, y] ∈ R2
: x2
9 + y2
4 ≤ 1 ; H(f) = {z ∈ R : z ∈ [0, 1]}
2. f(x, y) = arccos x
x+y
D(f) = [x, y] ∈ R2
: −1 ≤ x
x+y ≤ 1, x + y = 0 ; H(f) = {z ∈ R : z ∈ [0, π]}
3. f(x, y) =
√
4x−y2
ln(1−x2−y2)
D(f) = [x, y] ∈ R2
: x2
+ y2
< 1, x2
+ y2
= 0, y2
≤ 4x ; H(f) = {z ∈ R}
Určete a načrtněte vrstevnice fc funkce f(x, y) na úrovni c ∈ R:
1. f(x, y) = x2
+ y2
; f0, f1, f4, fc
f0 : [x, y] = [0, 0] , f1 : x2
+ y2
= 1, f4 : x2
+ y2
= 4, fc : x2
+ y2
= c
2. f(x, y) = x2
− y2
; f0, f1, f−1, fc
f0 : y = ±x, f1 : y = ±
√
x2 − 1, f−1 : y = ±
√
x2 + 1, fc : y = ±
√
x2 − c
3. f(x, y) =
√
xy; f0, f1, f−1, fc
f0 : x = 0, y = 0, f1 : y = 1
x , f−1 : y = 1
x , fc : y = c2
x
3.2 Limita a spojitost funkce
Vypočtěte limity:
1. lim(x,y)→(1,1)
x+y
x2+y2
[1]
2. lim(x,y)→(e2,1)
ln x
y
[2]
3. lim(x,y)→(−4,−1)
(x−y)2
−9
x2+y2
[0]
4. lim(x,y)→(0,0) xy2
cos xy2
8
M2100 Matematická analýza II DDÚ
[0]
5. lim(x,y)→(0,0)
√
x2+y2+1−1
x2+y2
1
2
6. lim(x,y)→(0,0)(x2
+ y2
)x2
y2
[0]
7. lim(x,y)→(0,2)
sin xy
xy
[1]
8. lim(x,y)→(0,2)
sin xy
y
[0]
9. lim(x,y)→(0,0)
x2
+y2
xy
[neexistuje]
10. lim(x,y)→(∞,∞)
x2
+y2
x4+y4
[0]
Určete body nespojitosti funkce f(x, y):
1. f(x, y) = x−y
x2+y2−1
x2
+ y2
= 1
2. f(x, y) = x+y
x4+xy3
[y = −x, x = 0]
3. f(x, y) = 1√
x2+y2
[(x, y) = (0, 0)]
4. f(x, y) = xy√
x+y
[y = −x]
5. f(x, y) = 1
cos(x−y)
y = x + (2k + 1)π
2 , k ∈ Z
6. f(x, y) = sin 1
xy
[x = 0, y = 0]
7. f(x, y) = 1
sin x sin y
[x = kπ, y = kπ, k ∈ Z]
9
M2100 Matematická analýza II DDÚ
8. f(x, y) = 1
e
x
y −1
[x = 0, y = 0]
9. f(x, y) = ln 1√
(x−a)2+(y−b)2
[(x, y) = (a, b)]
10. f(x, y) = 1√
|ln|x−y||
[x = y, y = x + 1, y = x − 1]
3.3 Parciální derivace
Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce f(x, y), resp. f(x, y, z):
1. f(x, y) = x3
+ 2x2
y + 3xy2
+ 4x − 5y + 10
fx = 3x2
+ 4xy + 3y2
+ 4, fy = 2x2
+ 6xy − 5
2. f(x, y) = e− x
y
fx = −1
y e− x
y , fy = x
y2 e− x
y
3. f(x, y) = ln x+4
y2
fx = 1
x+4 , fy = − 2
|y|
4. f(x, y) = sin x
y cos y
x
fx = 1
y cos x
y cos y
x + y
x2 sin x
y sin y
x , fy = − x
y2 cos x
y cos y
x − 1
x sin x
y sin y
x
5. f(x, y) = ln(x + x2 + y2)
fx = 1√
x2+y2
, fy = y
x2+y2+x
√
x2+y2
6. f(x, y) = arcsin
√
x2−y2
√
x2+y2
fx =
√
2xy
(x2+y2)
√
x2−y2
, fy = −
√
2x2
(x2+y2)
√
x2−y2
7. f(x, y) = xy ln(x + y)
fx = y(ln(x + y) + x
x+y ), fy = x(ln(x + y) + x
x+y )
8. f(x, y) = (2x + y)2x+y
fx = 2(2x + y)2x+y
(ln(2x + y) + 1), fy = (2x + y)2x+y
(ln(2x + y) + 1)
10
M2100 Matematická analýza II DDÚ
9. f(x, y, z) = x 1 − y2 + y
√
1 − x2 − z 1 − x2 − y2
fx = 1 − y2 − xy√
1−x2
+ xz√
1−x2−y2
, fy = − xy√
1−y2
+
√
1 − x2 + yz√
1−x2−y2
, fz = − 1 − x2 − y2
10. f(x, y, z) = ex2
(1−y−z)
fx = 2x(1 − y − z)ex2
(1−y−z)
, fy = fz = −x2
ex2
(1−y−z)
Vypočtěte parciální derivace 2. řádu funkce f(x, y):
1. f(x, y) = x4
+ y4
− 4x2
y2
fxx = 12x2
− 8y2
, fxy = −16xy, fyy = 12y2
− 8x2
2. f(x, y) = x
y2
fxx = 0, fxy = − 2
y3 , fyy = 6x
y4
3. f(x, y) = x sin(x + y)
[fxx = 2 cos(x + y) − xsin(x + y), fxy = cos(x + y) − x sin(x + y), fyy = −x sin(x + y)]
4. f(x, y) = (1 + x2
)y
fxx = 2y(1 + x2
)y−2
(−x2
+ 2x2
y + 1), fxy = 2x(1 + x2
)y−1
(1 + y ln(1 + x2
)), fyy = (1 + x2
)y
ln2
(1 + x2
)
Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce f(x, y), resp. f(x, y, z) v bodě (x0, y0), resp. (x0, y0, z0):
1. f(x, y) = y2
+ y
√
1 + x2, (x0, y0) = (2, 5)
(fx, fy)(2, 5) = (2
√
5, 10 +
√
5)
2. f(x, y) = ln(x + y
2x ), (x0, y0) = (1, 2)
(fx, fy)(1, 2) = (0, 1
4 )
3. f(x, y) = x cos y−y cos x
1+sin x+sin y , (x0, y0) = (0, 0)
[(fx, fy)(0, 0) = (1, −1)]
4. f(x, y, z) = sin2
x + sin2
y + sin2
z, (x0, y0, z0) = (0, 0, π
4 )
(fx, fy, fz)(0, 0, π
4 ) = (
√
2,
√
2,
√
2
2 )
11
M2100 Matematická analýza II DDÚ
3.4 Diferenciál funkce
Určete diferenciál funkce f(x, y), resp. f(x, y, z) v bodě (x0, y0), resp. (x0, y0, z0):
1. f(x, y) = xy + x
y , (x0, y0) = (1, 1)
[df(1, 1) = 2 dx]
2. f(x, y) = arctg y
x , (x0, y0) = (1, −1)
df(1, −1) = 1
2 dx − 1
2 dy
3. f(x, y) = x2 + y2, (x0, y0) = (3, 4)
df(3, 4) = 3
5 dx + 4
5 dy
4. f(x, y, z) = x
y
z , (x0, y0, z0) = (2, 1, 1)
[df(2, 1, 1) = dx + 2 ln 2 dy − 2 ln 2 dz]
5. f(x, y, z) = z√
x2+y2
, (x0, y0, z0) = (1, 0, 1)
[df(2, 1, 1) = −2 dx + dz]
3.4.1 Přibližný výpočet funkčních hodnot
Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte:
1. arctg 1,02
0,95
π
4 + 0, 035
2. (1, 02)3 + (1, 97)2
[2, 95]
3. (1,03)2
3
√
0,98·(1,05)4
[1]
3.4.2 Geometrický význam totálního diferenciálu
Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) v bodě (x0, y0, z0):
1. f(x, y) = 1 − x2 − y2, (x0, y0, z0) = ( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
x + y + z =
√
3
2. f(x, y) = x2
+ xy + 2y2
, (x0, y0, z0) = (1, 1, 4)
[3x + 5y − z = 4]
12
M2100 Matematická analýza II DDÚ
3. f(x, y) = ex2
+y2
, (x0, y0, z0) = (0, 0, 1)
[z = 1]
Na grafu funkce f(x, y) najděte bod, v nmž je tečná rovina rovnoběžná s danou rovinou:
1. f(x, y) = x3
+ y3
, r : 12x + 3y − z = 0
[(2, 1); (2, −1); (−2, 1); (−2, −1)]
2. f(x, y) = xy
, r : x − z = 0
[(1, 1)]
3. f(x, y) = 1 − x2 − y2, r : ax + by − z = 0
(− a√
1+a2+b2
, − b√
1+a2+b2
)
3.4.3 Diferenciály vyšších řádů
Vypočtěte diferenciál řádu n funkce f(x, y):
1. f(x, y) = x ln xy, n = 2
d2
f(x, y) = dx2
x + dx dy
y − dy2
y2
2. f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy(x − y), n = 2
d2
f(x, y) = 6(x − y)dx2
+ 12(y − x)dx dy + 6(x − y)dy2
3. f(x, y) = ln(x + y), n = k
dk
f = (−1)k−1
(k−1)!
(x+y)k (dx + dy)k
3.4.4 Kmenová funkce
Zjistěte, zda daný výraz je diferenciálem nějaké funkce H(x, y), resp. H(x, y, z) a najděte ji.:
1. (y2
− 1) dx + (2xy + 3y) dy
H(x, y) = xy2
− x + 3
2 y2
+ c, c ∈ R
2. (x sin 2y) dx + (x2
cos 2y) dy
H(x, y) = x2
2 sin 2y + c, c ∈ R
3. * (3x2
− 3yz + 2) dx + (3y2
− 3xz + ln y + 1) dy + (3z2
− 3xy + 1) dz
H(x, y, z) = x3
+ y3
+ z3
− 3xyz + 2x + y ln y + z + c, c ∈ R
13
M2100 Matematická analýza II DDÚ
3.5 Parciální derivace složené funkce
Využitím dané substituce najděte všechny funkce z(x, y), resp. ρ(x, y, z) splňující danou rovnost:
1. xzx + yzy=0, u = x, v = y
x
z(x, y) = f(y
x )
2. ρx + ρy + ρz = 0, u = x + y − 2z, v = x − 2y + z, w = z
[ρ(x, y, z) = f(x + y − 2z, x − 2y + z)]
3. zxx − yzyy − 1
2 zy = 0, u = x − 2
√
y, v = x + 2
√
y
z(x, y) = f(x − 2
√
y) + g(x + 2
√
y)
Diferenciální rovnici transformujte do nových proměnných u, v:
1. x2
zxx − 2xyzxy + y2
zyy + xzx + yzy = 0, u = xy, v = x
y
[2uzuv = zv]
2. xzxx + yzxy + zx = 0, u = x + y, v = y
x+y
[vzvv + zv = 0]
3. xzxx − yzyy = 0, u =
√
x +
√
y, v =
√
x −
√
y
(u2
− v2
)zuv + vzu − uzv = 0
3.6 Taylorova věta
Určete Taylorův polynom 2. stupně se středem v bodě (x0, y0) funkce f(x, y), resp. f(x, y, z):
1. f(x, y) = 1 − x2 − y2, (x0, y0) = (1
2 , 1
2 )
T2(x, y) =
√
2
2 +
√
2
2 ((x − 1
2 ) + (y − 1
2 )) −
√
2
4 ((x − 1
2 )2
+ 2(x − 1
2 )(y − 1
2 ) + (y − 1
2 )2
)
2. f(x, y) = cos x
cos y , (x0, y0) = (0, 0)
T2(x, y) = 1 − x2
2 + y2
2
3. f(x, y) = ln x2 + y2, (x0, y0) = (1, 1)
T2(x, y) = ln 2
2 + 1
2 ((x − 1) + (y − 1)) − 1
2 (x − 1)(y − 1)
4. f(x, y, z) = x
y
z , (x0, y0, z0) = (1, 1, 1)
[T2(x, y, z) = 1 + (x − 1)(y − 1) − (x − 1)(z − 1)]
Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte:
1. arctg 1,04
0,98
[0, 815]
2. sin 29o
tg 46o
[0, 5]
14
M2100 Matematická analýza II DDÚ
3.7 Lokální a absolutní extrémy
Najděte lokální extrémy funkce f(x, y), resp. f(x, y, z):
1. f(x, y) = 4(x − y) − x2
− y2
[lok. max. [2, −2, 16]]
2. f(x, y) = xy + 50
x + 20
y
[lok. min. [5, 2, 30]]
3. f(x, y) = x2
+ xy + y2
− ln x − ln y
[lok. min. [1, 1, 3 + ln 3]]
4. f(x, y) = x − 2y + ln x2 + y2 + 3 arctg y
x
[−]
5. f(x, y, z) = x3
+ y2
+ z2
+ 12xy + 2z
[lok. min. [24, −144, −1, −6913]]
Určete absolutní extrémy funkce f(x, y) na množině M:
1. f(x, y) = x2
+ y2
+ 3xy + 2, M je omezena grafy funkcí y = |x| a y = 2
[max [2, 2, 22] , min [−2, 2, −2]]
2. f(x, y) = 2x2
+ 4y2
, M = [x, y] : x2
+ y2
≤ 9
[max [0, ±3, 36] , min [0, 0, 0]]
3. f(x, y) = x2
− xy + y2
, M = {[x, y] : |x| + |y| ≤ 1}
[max [±1, 0, 1] a [0, ±1, 1] , min [0, 0, 0]]
Rozložte kladné číslo h na:
1. * součet tří nezáporných čísel tak, aby jejich součin byl největší.
h
3
2. * součin tří kladných čísel tak, aby jejich součet byl nejmenší.
3
√
h
15
M2100 Matematická analýza II DDÚ
3.8 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí
Určete Jacobiho matici inverzního zobrazení k zobrazení F(x, y) v bodě [x0, y0]:
1. F(x, y) = x2 + y2, xy , [x0, y0] = [0, 1]
0 1
1 0
2. F(x, y) = [xy
, yx
], [x0, y0] = [1, 1]
1 0
0 1
Určete souřadnicové funkce (složky) zobrazení:
1. * Osová souměrnost podle příky p o rovnici ax + by + c = 0.
F(x, y) = x(b2
−a2
)−2a(by+c)
a2+b2 , y(a2
−b2
)−2b(ax+c)
a2+b2
2. * Složení osové souměrnosti podle přímky y = x a projekce bodu na jednotkovou kružnici (bodu
[x, ] = [0, 0] je přiřazen bod na jednotkové kružnici, který je průsečíkem kružnice s přímkou určenou
počátkem a bodem [x, ]).
F(x, y) = y√
x2+y2
, x√
x2+y2
3.9 Funkce zadané implicitně
Vypočtěte y′
pro funkci y = f(x) zadanou implicitně rovnicí:
1. x − y2
= ln y
y′
= y
1+2y2
2. xy
= yx
, x > 0, y > 0
y′
= y2
(1−ln x)
x2(1−ln y)
Určete rovnici tečny, resp. tečné roviny, ke křivce, resp. ploše:
1. 3x2
+ 7xy + 5y2
+ 4x + 5y + 1 = 0 procházející počátkem.
[2x + 5y = 0 a 2x + y = 0]
2. 7x2
− 2y2
= 14 kolmou k přímce p : 2x + 4y − 3 = 0.
[2x − y ± 1 = 0]
3. x2
+ 2y2
+ 3z2
= 21 rovnoběžné s rovinou ρ : x + 4y + 6z = 0.
16
M2100 Matematická analýza II DDÚ
[x + 4y + 6z ± 21 = 0]
Najděte lokální extrémy funkce y = f(x), resp. z = f(x, y), zadané implicitně rovnicí:
1. 3x2
+ 2xy − y2
+ x − 3y − 5
4 = 0
lok. min. 0, −1
2 , lok. max. 1
2 , −2
2. 2x2
+ 2y2
+ z2
+ 8xz − z + 8 = 0.
lok. min. [−2, 0, 1] , lok. max. 16
7 , 0, −8
7
3.10 Vázané extrémy
Určete vázané extrémy funkce f na množině M:
1. f(x, y, z) = xy2
z3
, M : x + 2y + 3z = 6, x, y, z > 0
[lok. max. [1, 1, 1, 1]]
2. f(x, y, z) = sin x sin y sin z, M : x + y + z = π
2
lok. max. π
6 , π
6 , π
6 , 1
8
3. f(x, y, z) = xyz, M : x2
+ y2
+ z2
= 1, x + y + z = 0
lok. min. 1√
6
, 1√
6
, − 2√
6
, − 1
3
√
6
, 1√
6
, − 2√
6
, 1√
6
, − 1
3
√
6
, − 2√
6
, 1√
6
, 1√
6
, − 1
3
√
6
lok. max. − 1√
6
, − 1√
6
, 2√
6
, 1
3
√
6
, − 1√
6
, 2√
6
, − 1√
6
, 1
3
√
6
, 2√
6
, − 1√
6
, − 1√
6
, 1
3
√
6
Vyřešte:
1. * Do elipsoidu x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1 vepište hranol s maximálním objemem. Tento objem určete.
hrany : 2a√
3
, 2b√
3
, 2c√
3
V = 8
3
√
3
abc
2. * Do úseče eliptického paraboloidu z
c = x2
a2 + y2
b2 , z ≤ c vepište hranol s maximálním objemem. Tento
objem určete.
hrany : a, b, c
2 , V = abc
2
3. * Do kužele s poloměrem podstavy r a výškou h vepište hranol s maximálním objemem. Tento objem
určete.
hrany : 2
√
2
3 r, 2
√
2
3 r, 1
3 h, V = 8
27 r2
h
17