2. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 11.3. 2013
Z dvojice úloh A a B je druhá obtížnější a je určena těm, pro které je prvá úloha jednoduchá. Stačí, když odevzdáte řešení jedné z nich.
IA. Dokažte: Vektory ui,U2,... ,un tvoří bázi prostoru U, právě když platí
(Vv G ř7)(3!(<2i, a2, . . ., an) G IRn)(-u = a\U\ + a2u2 + • • • + anun).
IB. Nechť U a, V jsou vektorové podprostory v prostoru W. Dokažte: U H V = {0}, právě když
(yweU + V)(3\u G U)(3\v eV){w = u + v).
2A. Mějme prosté lineární zobrazení ip : U —> V. Nechť dimf/ < oo. Potom
dim U = dim ker ip + dim im ip.
Dokažte.
2B. Nechť >p> : U —> f/ je lineární operátor s vlastností
ip{ip{u)) = ip{u) pro všechna u G U. Dokažte, že potom
U = kenp © im</?.
(Návod: Prvně musíte dokázat, že každý vektor u G U je součtem vektoru z imi^ a vektoru z ker >p>. Dále musíte dokázat, že každý prvek z průniku im >p> H ker 99 je nulový.)
3A. Dokažte z definice spojitosti. Je-li funkce / spojitá v bodě a a funkce g je spojitá v bodě f (a), pak je v bodě a spojitá i složená funkce g o /.
3B. Pomocí věty o supremu dokažte: Je-li funkce / : [a, b] —> IR spojitá, f {a) < 0 a f(b) > 0, pak existuje c G (a, 6) takové, že
m = 0.
1