Jméno:
1	2	3	4	5	6	Celkem
						
1. test ze semináře z matematiky II, březen 2013
Max. počet bodů 24
1. Napište definici lineární nezávislosti vektorů v\, t>2,..., ffc ve vektorovém prostoru V.
(±1 bod)
Napište definici jádra lineárního zobrazení.
(±1 bod)
Napište definici infinia množiny M C M.
(±1 bod)
Pomocí kvantifikátorů napište, co znamená, že reálná funkce / nemá v bodě 00 reálnou limitu.
(±1 bod)
2. Dokažte z definice spojitosti, že funkce / : M —> M definovaná předpisem f(x) — 2 — x pro x racionální a f(x) — x pro x iracionální je spojitá v bodě 1 a je nespojitá v bodě 0.
(4 body)
3. Pomocí "axiomu o infimu"detailně dokažte: Každá klesající posloupnost kladných reálných čísel má limitu.
(4 body)
4. Dokažte z definice limity: Jestliže
lim f(x) — A,    lim g{x) — B,
pak
lim f(x)g(x) = A- B.
(4 body)
5. Definujte součet tří podprostorů U, V a W v prostoru Z množinovým předpisem
U + V + W = {... }.
Nechť platí:
(Vz e U + V + W)(3\u e U)(3\v e y)(3!w e       = « + v + w).
Dokažte, že potom
(u + v) n w = {o}.
(4 6ody)
6. Mějme prosté lineární zobrazení ip : U —> V a vektory «i, «2, ■ ■ ■, uj- G U. Dokažte: Jsou-li vektory u\, ií2, • • • , itfc lineárně nezávislé v prostoru U, jsou lineárně nezávislé také vektory ip(u\), ip{u2), ... ,tp{uk) v prostoru V.
(4 body)
1