M2510 Matematická analýza 2
První zápočtová písemná práce, 25. 4. 2013
Třetí opravná varianta
1. (2 body) Najděte rovnici tečny a normály ke křivce zadané parametricky rovnicemi
x = t2
, y = t, t ∈ R
v bodě určeném hodnotou parametru t = 0.
2. (2 body) Určete třetí Maclaurinův polynom pro funkci f zadanou předpisem
f(x) =
1
√
1 + x
.
3. (3 body) Stanovte limity
(a) (1,5 bodu)
lim
n→∞
√
10n2 − 1 − 2n ,
(b) (1,5 bodu)
lim
n→∞
1
3n
+
2
3n
+
4
3n
+ · · · +
2n−1
3n
.
4. (3 body) Rozhodněte, je-li posloupnost zadaná předpisem
an =
n3
(n + 1)2
rostoucí, příp. klesající, resp. neklesající, příp. nerostoucí a ohraničená shora, resp.
zdola. Přitom všechna svá tvrzení dokažte.
Nápověda: Lze uvažovat funkci f(x) =
x3
(x + 1)2 a otázku monotonie zodpovědět
metodami diferenciálního počtu.