Základní pojmy matematické statistiky II
Osnova:
Základní typy uspořádání pokusů
- jednoduché pozorování
- dvojné pozorování
- mnohonásobné pozorování
Úvod do testování hypotéz
- nulová a alternativní hypotéza
- chyba 1. a 2. druhu
- testování pomocí kritického oboru
- testování pomocí intervalu spolehlivosti
- testování pomocí p-hodnoty
Testování normality
- Kolmogorovův – Smirnovův test a jeho Lilieforsova varianta
- Shapirův – Wilkův test
- Andersonův – Darlingův test
- srovnání S-W testu, A-D testu a Lilieforsova testu pomocí simulačních studií
Základní typy uspořádání pokusů
Metody matematické statistiky často slouží k vyhodnocování výsledků pokusů. Aby mohl být pokus správně vyhodnocen,
musí být dobře naplánován. Uvedeme zde nejjednodušší typy uspořádání pokusů.
Předpokládejme například, že sledujeme hmotnostní přírůstky selat téhož plemene při různých výkrmných dietách.
a) Jednoduché pozorování: Náhodná veličina X je pozorována za týchž podmínek. Situace je charakterizována jedním
náhodným výběrem X1, ..., Xn.
Náhodně vylosujeme n selat téhož plemene, podrobíme je jediné výkrmné dietě a zjistíme u každého selete hmotnostní
přírůstek. Tím dostaneme realizaci jednoho náhodného výběru.
b) Dvojné pozorování: Náhodná veličina X je pozorována za dvojích různých podmínek. Existují dvě odlišná uspořádání
tohoto pokusu.
Dvouvýběrové porovnávání: situace je charakterizována dvěma nezávislými náhodnými výběry 1n111 X,,X K a
2n221 X,,X K .
Náhodně vylosujeme n1 a n2 selat téhož plemene, náhodně je rozdělíme na dva soubory o n1 a n2 jedincích, první podrobíme
výkrmné dietě č. 1 a druhý výkrmné dietě číslo 2. Tak dostaneme realizace dvou nezávislých náhodných výběrů.
Párové porovnávání: situace je charakterizována jedním náhodným výběrem ( ) ( )2n1n1211 X,X,,X,X K
z dvourozměrného rozložení. Přejdeme k rozdílovému náhodnému výběru Zi = Xi1 – Xi2, i = 1, …, n a tím dostaneme jednoduché
pozorování.
Náhodně vylosujeme n vrhů stejně starých selat téhož plemene, z každého odebereme dva sourozence a náhodně jim přiřadíme
první a druhou výkrmnou dietu. Tak dostaneme realizaci jednoho dvourozměrného náhodného výběru, kde první složka
odpovídá první dietě a druhá složka druhé dietě.
(Párové porovnávání je efektivnější, protože skutečný rozdíl v účinnosti obou diet je překrýván pouze náhodnými vlivy při
samotném krmení a trvání, kdežto vliv různých dědičných vloh, který byl losováním znáhodněn, je u sourozeneckého páru
selat částečně vyloučen.)
c) Mnohonásobné pozorování: Náhodná veličina X je pozorována za r ≥ 3 různých podmínek. Existují dvě odlišná uspořádání
tohoto pokusu.
Mnohovýběrové porovnávání: situace je charakterizována r nezávislými náhodnými výběry 1n111 X,,X K až rrn1r X,,X K .
Náhodně vylosujeme n1 , n2, …, nr selat téhož plemene, náhodně je rozdělíme na r souborů o n1 , n2, …, nr jedincích, první
podrobíme výkrmné dietě č. 1, druhý výkrmné dietě číslo 2 atd. až r-tý podrobíme výkrmné dietě číslo r. Tak dostaneme realizace
r nezávislých náhodných výběrů.
Blokové porovnávání: situace je charakterizována jedním náhodným výběrem ( ) ( )nr1nr111 X,,X,,X,,X KKK z rrozměrného
rozložení.
Náhodně vylosujeme n vrhů stejně starých selat téhož plemene, z každého odebereme r sourozenců a náhodně jim přiřadíme
první až r-tou výkrmnou dietu. Tak dostaneme realizaci jednoho r-rozměrného náhodného výběru, kde první složka odpovídá
první dietě , druhá složka druhé dietě atd. až r-tá složka odpovídá r-té dietě.
Úvod do testování hypotéz
Motivace: Častým úkolem statistika je na základě dat ověřit předpoklady o parametrech nebo typu rozložení, z něhož pochází
náhodný výběr. Takovému předpokladu se říká nulová hypotéza. Nulová hypotéza vyjadřuje nějaký teoretický předpoklad,
často skeptického rázu a uživatel ji musí stanovit předem, bez přihlédnutí k datovému souboru. Proti nulové hypotéze
stavíme alternativní hypotézu, která říká, co platí, když neplatí nulová hypotéza. Alternativní hypotéza je formulována
tak, aby mohla platit jenom jedna z těchto dvou hypotéz. Pravdivost alternativní hypotézy by znamenala objevení nějakých
nových skutečností, nebo zásadnější změnu v dosavadních představách.
Např. výzkumník by chtěl na základě dat prověřit tezi (nový objev), že pasivní kouření škodí zdraví. Jako nulovou hypotézu
tedy položí tvrzení, že pasivní kouření neškodí zdraví a proti nulové hypotéze postaví alternativní, že pasivní kouření škodí
zdraví.
Testováním hypotéz se myslí rozhodovací postup, který je založen na daném náhodném výběru a s jehož pomocí rozhodneme
o zamítnutí či nezamítnutí nulové hypotézy.
Nulová a alternativní hypotéza
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení L(ϑ ), kde parametr Ξ∈ϑ neznáme. Nechť h(ϑ ) je parametrická funkce a c
daná reálná konstanta.
a) Oboustranná alternativa: Tvrzení H0: h(ϑ) = c se nazývá jednoduchá nulová hypotéza. Proti nulové hypotéze postavíme
složenou oboustrannou alternativní hypotézu H1: h(ϑ) ≠ c.
b) Levostranná alternativa: Tvrzení H0: h(ϑ ) ≥ c se nazývá složená pravostranná nulová hypotéza. Proti jednoduché nebo
složené pravostranné nulové hypotéze postavíme složenou levostrannou alternativní hypotézu H1: h(ϑ) < c.
c) Pravostranná alternativa: Tvrzení H0: h(ϑ ) ≤ c se nazývá složená levostranná nulová hypotéza. Proti jednoduché nebo
složené levostranné nulové hypotéze postavíme složenou pravostrannou alternativní hypotézu H1: h(ϑ) > c.
Testováním H0 proti H1 rozumíme rozhodovací postup založený na náhodném výběru X1, ..., Xn, s jehož pomocí zamítneme
či nezamítneme platnost nulové hypotézy.
Chyba 1. a 2. druhu
Při testování H0 proti H1 se můžeme dopustit jedné ze dvou chyb: chyba 1. druhu spočívá v tom, že H0 zamítneme, ač ve
skutečnosti platí a chyba 2. druhu spočívá v tom, že H0 nezamítneme, ač ve skutečnosti neplatí. Situaci přehledně znázorňuje
tabulka:
rozhodnutískutečnost
H0 nezamítáme H0 zamítáme
H0 platí správné rozhodnutí chyba 1. druhu
H0 neplatí chyba 2. druhu správné rozhodnutí
Pravděpodobnost chyby 1. druhu se značí α a nazývá se hladina významnosti testu (většinou bývá α = 0,05, méně často 0,1
či 0,01). Pravděpodobnost chyby 2. druhu se značí β. Číslo 1–β se nazývá síla testu a vyjadřuje pravděpodobnost, že bude
H0 zamítnuta za předpokladu, že neplatí. Obvykle se snažíme, aby síla testu byla aspoň 0,8. Obě hodnoty, α i 1–β, závisí na
velikosti efektu, který se snažíme detekovat. Čím drobnější efekt, tím musí být větší rozsah náhodného výběru.
rozhodnutískutečnost
zdravý nemocný
jsem zdravý zdravý a neléčený zdravý a léčený
jsem nemocný nemocný a neléčený nemocný a léčený
Testování pomocí kritického oboru
Najdeme statistiku T0 = T0(X1, ..., Xn), kterou nazveme testovým kritériem. Množina všech hodnot, jichž může testové kritérium
nabýt, se rozpadá na obor nezamítnutí nulové hypotézy (značí se V) a obor zamítnutí nulové hypotézy (značí se W a
nazývá se též kritický obor). Tyto dva obory jsou odděleny kritickými hodnotami (pro danou hladinu významnosti α je lze
najít ve statistických tabulkách).
Jestliže číselná realizace t0 testového kritéria T0 padne do kritického oboru W, pak nulovou hypotézu zamítáme na hladině
významnosti α a znamená to skutečné vyvrácení testované hypotézy. Jestliže t0 padne do oboru nezamítnutí V, pak jde o
pouhé mlčení, které platnost nulové hypotézy jenom připouští.
Pravděpodobnosti chyb 1. a 2. druhu nyní zapíšeme takto:
P(T0 ∈ W/H0 platí) = α, P(T0 ∈V /H1 platí) = β.
Stanovení kritického oboru pro danou hladinu významnosti α:
Označme tmin (resp. tmax) nejmenší (resp. největší) hodnotu testového kritéria.
Kritický obor v případě oboustranné alternativy má tvar
W = ( )max2/12/min t),T(K)T(K,t α−α ∪ , kde Kα/2(T) a K1-α/2(T) jsou kvantily rozložení, jímž se řídí testové kritérium T0, je-li
nulová hypotéza pravdivá.
Kritický obor v případě levostranné alternativy má tvar:
W = ( )T(K,tmin α .
Kritický obor v případě pravostranné alternativy má tvar:
W = )max1 t),T(K α− .
Testování pomocí intervalu spolehlivosti
Sestrojíme 100(1-α)% empirický interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(ϑ). Pokryje-li tento interval hodnotu c,
pak H0 nezamítáme na hladině významnosti α, v opačném případě H0 zamítáme na hladině významnosti α.
Pro test H0 proti oboustranné alternativě sestrojíme oboustranný interval spolehlivosti.
Pro test H0 proti levostranné alternativě sestrojíme pravostranný interval spolehlivosti.
Pro test H0 proti pravostranné alternativě sestrojíme levostranný interval spolehlivosti.
Testování pomocí p-hodnoty
p-hodnota udává nejnižší možnou hladinu významnosti pro zamítnutí nulové hypotézy. Je to riziko, že bude zamítnuta H0 za
předpokladu, že platí (riziko planého poplachu). Jestliže p-hodnota ≤ α, pak H0 zamítáme na hladině významnosti α, je-li phodnota
> α, pak H0 nezamítáme na hladině významnosti α.
Způsob výpočtu p-hodnoty:
Pro oboustrannou alternativu p = 2 min{P(T0 ≤ t0), P(T0 ≥ t0)}.
Pro levostrannou alternativu p = P(T0 ≤ t0).
Pro pravostrannou alternativu p = P(T0 ≥ t0).
Ilustrace významu p-hodnoty pro test nulové hypotézy proti oboustranné, levostranné a pravostranné alternativě:
(Zvonovitá křivka reprezentuje hustotu rozložení, kterým se řídí testové kritérium, je-li nulová hypotéza pravdivá.)
p-hodnota vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou číselné realizace x1, ..., xn náhodného výběru X1, ..., Xn podporují H0, je-li
pravdivá. Statistické programové systémy poskytují ve svých výstupech p-hodnotu. Její výpočet vyžaduje znalost distribuční
funkce rozložení, kterým se řídí testové kritérium T0, je-li H0 pravdivá.
Doporučený postup při testování hypotéz
1. Stanovíme nulovou hypotézu a alternativní hypotézu. Přitom je vhodné zvolit jako alternativní hypotézu ten předpoklad,
jehož přijetí znamená závažné opatření a mělo by k němu dojít jen s malým rizikem omylu.
2. Zvolíme hladinu významnosti α. Zpravidla volíme α = 0,05, méně často 0,1 nebo 0,01.
3. Najdeme vhodné testové kritérium a na základě zjištěných dat vypočítáme jeho realizaci.
4.
a) Testujeme-li pomocí kritického oboru, pak ho stanovíme. Jestliže realizace testového kritéria padla do kritického oboru,
nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme alternativní hypotézu. V opačném případě nulovou
hypotézu nezamítáme na hladině významnosti α.
b) Testujeme-li pomocí intervalu spolehlivosti, vypočteme empirický 100(1-α)% interval spolehlivosti pro parametrickou
funkci h(ϑ). Pokud číslo c padne do tohoto intervalu, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti α. V opačném
případě nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme alternativní hypotézu.
c) Testujeme-li pomocí p-hodnoty, vypočteme ji a porovnáme ji s hladinou významnosti α. Jestliže p ≤ α, pak nulovou
hypotézu zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme alternativní hypotézu. Je-li p > α, pak nulovou hypotézu
nezamítáme na hladině významnosti α.
5. Na základě rozhodnutí, které jsme učinili o nulové hypotéze, provedeme nějaké konkrétní opatření, např. seřídíme
obráběcí stroj.
(Při testování hypotéz musíme mít k dispozici odpovídající nástroje, nejlépe vhodný statistický software. Nemáme-li ho
k dispozici, musíme znát příslušné vzorce. Dále potřebujeme statistické tabulky a kalkulačku.)
Příklad: 10 x nezávisle na sobě byla změřena jistá konstanta µ. Výsledky měření byly: 2 1,8 2,1 2,4 1,9 2,1 2 1,8 2,3
2,2. Tyto výsledky považujeme za číselné realizace náhodného výběru X1, ..., X10 z rozložení N(µ, 0,04). Nějaká teorie tvrdí,
že µ = 1,95.
1. Oboustranná alternativa
Proti nulové hypotéze H0: µ = 1,95 postavíme oboustrannou alternativu
H1: µ ≠ 1,95. Na hladině významnosti 0,05 testujte H0 proti H1 všemi třemi popsanými způsoby.
Řešení:
m = )2,2...2(
10
1
++ = 2,06, σ2
= 0,04, n = 10, α = 0,05, c = 1,95
a) Test provedeme pomocí kritického oboru.
Pro úlohy o střední hodnotě normálního rozložení při známém rozptylu používáme pivotovou statistiku U =
n
M
σ
µ−
~ N(0, 1).
Testové kritérium tedy bude
T0 =
n
cM
σ
−
a bude mít rozložení N(0, 1), pokud je nulová hypotéza pravdivá. Vypočítáme realizaci testového kritéria:
t0 =
10
2,0
95,106,2 −
=1,74. Stanovíme kritický obor:
W = ( )max2/12/min t),T(K)T(K,t α−α ∪ = ( )∞∪∞− α−α ,uu, 2/12/ = ( )∞∪−∞− α−α− ,uu, 2/12/1 = ( )∞∪−∞− ,uu, 975,0975.0 =
( )∞∪−∞− ,96,196,1, .
Protože 1,74 ∉ W, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
b) Test provedeme pomocí intervalu spolehlivosti.
Meze 100(1-α)% empirického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu µ při známém rozptylu σ2
jsou:
(d, h) = (m -
n
σ
u1-α/2, m +
n
σ
u1-α/2).
V našem případě dostáváme:
d = 2,06 -
10
2,0
u0,975 = 2,06 -
10
2,0
.1,96 = 1,936,
h = 2,06 +
10
2,0
u0,975 = 2,06 +
10
2,0
.1,96 = 2,184.
Protože 1,95 ∈(1,936; 2,184), H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
c) Test provedeme pomocí p-hodnoty.
Protože proti nulové hypotéze stavíme oboustrannou alternativu, použijeme vzorec
p = 2 min{P(T0 ≤ t0), P(T0 ≥ t0)} = 2 min {P(T0 ≤ 1,74), P(T0 ≥ 1,74)} =
= 2 min { Φ(1,74), 1 – Φ(1,74) } = 2 min { 0,95907, 1 – 0,95907 } = 0,08186.
Jelikož 0,08186 > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Ilustrace významu p-hodnoty pro oboustranný test
2. Levostranná alternativa
Proti nulové hypotéze H0: µ = 1,95 postavíme levostrannou alternativu
H1: µ < 1,95. Na hladině významnosti 0,05 testujte H0 proti H1 všemi třemi popsanými způsoby.
Řešení:
a) Test provedeme pomocí kritického oboru.
Na rozdíl od oboustranné alternativy bude mít kritický obor tvar
W = )645,1,)u,)u, 05,0 −∞−=∞−=∞− α .
Protože 1,74 ∉ W, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
b) Test provedeme pomocí intervalu spolehlivosti.
Meze 100(1-α)% empirického pravostranného intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu µ při známém rozptylu σ2
jsou:
(-∞, h) = (-∞, m +
n
σ
u1-α).
V našem případě dostáváme: h = 2,06 +
10
2,0
u0,95 = 2,06 +
10
2,0
.1,645 = 2,164.
Protože 1,95 ∈(-∞; 2,164), H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
c) Test provedeme pomocí p-hodnoty.
Protože proti nulové hypotéze stavíme levostrannou alternativu, použijeme vzorec
p = P(T0 ≤ t0) = Φ(1,74) = 0,95907.
Jelikož 0,95907 > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Ilustrace významu p-hodnoty pro levostranný test
3. Pravostranná alternativa
Proti nulové hypotéze H0: µ = 1,95 postavíme pravostrannou alternativu
H1: µ > 1,95. Na hladině významnosti 0,05 testujte H0 proti H1 všemi třemi popsanými způsoby.
Řešení:
a) Test provedeme pomocí kritického oboru.
Na rozdíl od oboustranné alternativy bude mít kritický obor tvar
W = ),645,1),u),u 95,01 ∞=∞=∞α− .
Protože 1,74 ∈ W, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05 ve prospěch pravostranné alternativy.
b) Test provedeme pomocí intervalu spolehlivosti.
Meze 100(1-α)% empirického levostranného intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu µ při známém rozptylu σ2
jsou:
(d, ∞) = (m -
n
σ
u1-α, ∞).
V našem případě dostáváme: d = 2,06 -
10
2,0
u0,95 = 2,06 -
10
2,0
.1,645 = 1,956.
Protože 1,95 ∉ (1,956, ∞), H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05 ve prospěch pravostranné alternativy.
c) Test provedeme pomocí p-hodnoty.
Protože proti nulové hypotéze stavíme pravostrannou alternativu, použijeme vzorec
p = P(T0 ≥ t0) = 1 - Φ(1,74) = 1 - 0,95907 = 0,04093.
Jelikož 0,04093 ≤ 0,05, nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,05 ve prospěch pravostranné alternativy.
Ilustrace významu p-hodnoty pro pravostranný test
Testy normality dat
K ověřování normality dat slouží celá řada testů, které jsou podrobně popsány ve statistické literatuře. Zde se omezíme na tři
testy, které jsou implementovány v systému STATISTICA, a to Kolmogorovův – Smirnovův test a jeho Lilieforsovu variantu,
Shapirův – Wilksův test a Andersenův – Darlingův test.
K závěrům těchto testů však přistupujeme s určitou opatrností. Máme-li k dispozici rozsáhlejší datový soubor (orientačně n
> 30) a test zamítne na obvyklé hladině významnosti 0,01 nebo 0,05 hypotézu o normalitě, i když vzhled diagnostických
grafů svědčí jenom o lehkém porušení normality, nedopustíme se závažné chyby, pokud použijeme statistickou metodu založenou
na normalitě dat.
Kolmogorovův – Smirnovův test a jeho Lilieforsova varianta
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z normálního rozložení s parametry µ a σ2
.
Distribuční funkci tohoto rozložení označme ΦT (x).
Nechť Fn(x) je výběrová distribuční funkce.
Testovou statistikou je statistika )x()x(FsupD Tn
x
n Φ−=
∞<<∞−
.
Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, když Dn ≥ Dn(α), kde Dn(α) je tabelovaná kritická hodnota.
Pro n ≥ 30 lze Dn(α) aproximovat výrazem
α
2
ln
n2
1
.
Shapirův – Wilkův test normality dat
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z normálního rozložení N(µ, σ2
).
Testová statistika má tvar:
( )
( ) ( )[ ]
( )∑
∑
=
=
+−
−
−
= m
1i
2
i
m
1i
2
i1in
n
i
MX
XXa
W ,
kde m = n/2 pro n sudé a m = (n-1)/2 pro n liché. Koeficienty ai
(n)
jsou tabelovány.
Na testovou statistiku W lze pohlížet jako na korelační koeficient mezi uspořádanými pozorováními a jim odpovídajícími
kvantily standardizovaného normálního rozložení. V případě, že data vykazují perfektní shodu s normálním rozložením, bude
mít W hodnotu 1. Hypotézu o normalitě tedy zamítneme na hladině významnosti α, když se na této hladině neprokáže
korelace mezi daty a jim odpovídajícími kvantily rozložení N(0,1).
Lze také říci, že S – W test je založen na zjištění, zda body v Q-Q grafu jsou významně odlišné od regresní přímky proložené
těmito body.
(S-W test se používá především pro výběry menších rozsahů, n < 50, ale v systému STATISTICA je implementováno jeho
rozšíření i na výběry velkých rozsahů, kolem 2000.)
Andersonův – Darlingův test
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z normálního rozložení N(µ, σ2
).
Testová statistika má tvar:
( ) ( )
,n
s
mx
1ln
s
mx
ln)1i2(
n
1
AD
n
1i
i1ni
−





























 −
Φ−+




 −
Φ−−= ∑=
−+
kde x(i) jsou vzestupně uspořádané realizace náhodného výběru, Φ je distribuční funkce rozložení N(0,1).
Hypotéza H0 se zamítá na hladině významnosti α, je-li vypočítaná hodnota testové statistiky AD větší než kritická hodnota
D1-α. Pro velký rozsah výběru se přibližná 95% kritická hodnota počítá podle vzorce






−−= 295,0
n
93,0
n
013,1
10348,1D
Příklad:
Jsou dány hodnoty 10, 12, 8, 9, 16. Pomocí Lilieforsova testu, S – W testu a A – D testu testujte na hladině významnosti
0,05 hypotézu, že tato data pocházejí z normálního rozložení.
Řešení:
Vytvoříme nový datový soubor o jedné proměnné nazvané X a pěti případech. Do proměnné X zapíšeme uvedené hodnoty.
Provedení Lilieforsova a S-W testu:
V menu vybereme Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností – OK, Proměnné X – OK. Na záložce zvolíme
Normalita a zaškrtneme Lilieforsův test a Shapiro – Wilksův W test – Testy normality.
Testy normality (Tabulka1)
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X 5 0,224085 p > .20 0,912401 0,482151
Vidíme, že testová statistika K-S testu je d = 0,22409, odpovídající Lilieforsova p-hodnota je větší než 0,2, tedy hypotézu o
normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Testová statistika S-W testu je W = 0,9124, odpovídající p-hodnota je 0,48215, tedy hypotézu o normalitě nezamítáme na
hladině významnosti 0,05.
Provedení A - D testu:
Statistiky – Rozdělení & simulace – proložení dat rozděleními – OK – Proměnné Spojité: X – na záložce Spojité proměnné
ponecháme zaškrtnuté pouze Normální, na záložce Možnosti vybereme Anderson – Darling – OK – Souhrnné statistiky
rozdělení.
Souhrn rozdělení for Proměnná: x (Tabulka4)
K-S d K-S
p-hodn.
AD stat. AD p-hodn. Chí-kvadrát Chí-kvadr.
p-hodn.
Chí-kvadr.
SV
Posun
(práh/poloha)
Normální (poloha,měřítko) 0,224085 0,915101 0,295219 0,940172
Testová statistika A – D testu je 0,2952, odpovídající p-hodnota je 0,9402, tedy hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Srovnání S-W testu, Lilieforsovy varianty K-S testu a A-D testu pomocí simulačních studií
Simulační studie byly provedeny v bakalářské práci Marka Haičmana Simulace a testy normality.
Odhad pravděpodobnosti chyby 1. druhu
Bylo vygenerováno 100 000 náhodných výběrů z normálního rozložení, jejichž rozsahy se pohybovaly od 5 do 1000. Na
tyto výběry byly aplikovány oba testy (s hladinou významnosti 0,05) a byla stanovena relativní četnost těch případů, kdy
došlo k neoprávněnému zamítnutí pravdivé nulové hypotézy. Tato relativní četnost je považována za odhad
pravděpodobnosti chyby 1. druhu.
Závislost odhadu pravděpodobnosti chyby 1. druhu na rozsahu výběru (hodnoty na vodorovné ose jsou logaritmovány)
Výsledek:
Lileforsův test má pravděpodobnost chyby 1. druhu nezávislou na rozsahu výběru, udržuje se na 5 %.
S-W test má do velikosti výběru 60 vyšší pravděpodobnost chyby 1. druhu, poté poklesne pod 5 % a již nevystoupí nad 5 %.
Odhad pravděpodobnosti chyby 2. druhu
Pro toto zkoumání byla vybrána následující rozložení: rovnoměrné spojité, exponenciální, logaritmicko – normální,
Studentovo s jedním, třemi a pěti stupni volnosti. Pro každé z těchto rozložení bylo vygenerováno 100 000 náhodných
výběrů o rozsazích 5 až 1 000. Při aplikaci všech tří testů byla zjišťována relativní četnost těch případů, kdy test nezamítl
nepravdivou nulovou hypotézu. Tato relativní četnost je považována za odhad pravděpodobnosti chyby 2. druhu.
Ilustrace pro rovnoměrné spojité rozložení a exponenciální rozložení: závislost odhadu pravděpodobnosti chyby 2.
druhu na rozsahu výběru (hodnoty na vodorovné ose jsou logaritmovány)
Výsledek:
Lilieforsův test a A-D test nejméně chybují u velmi malých výběrů, orientačně do 10 prvků.
S-W test a A-D test se pro výběry větších rozsahů (nad 60) vesměs nedopouštějí chyby. K chybám však dochází i pro velmi
rozsáhlé výběry ze Studentova rozložení.
Stanovení hranice 20 % odhadu pravděpodobnosti chyby 2. druhu
Zde byl hledán rozsah výběru z rovnoměrného, exponenciálního, logaritmicko – normálního a Studentova rozložení tak, aby
odhadu pravděpodobnosti chyby 2. druhu byl nanejvýš 20 %.
Tabulka minimálních rozsahů výběrů, pro něž je odhad pravděpodobnosti chyby 2. druhu nejvýše 20 %:
Výsledek:
S-W test a A-D test je možno použít na výběry menších rozsahů než Lilieforsův test.
U výběrů, jejichž rozsah je menší než 15, nemá příliš smysl testovat hypotézu o normalitě, neboť pravděpodobnost chyby 2.
druhu je příliš vysoká (nad 70 %).