Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení
Motivace:
K nejčastěji používaným statistickým metodám patří konstrukce intervalů spolehlivosti pro parametry normálního rozložení
či testování hypotéz o těchto parametrech. Normální rozložení je charakterizováno dvěma parametry – střední hodnotou  a
rozptylem 2
 . Budeme tedy řešit úlohy, které se týkají těchto dvou parametrů. K tomu slouží např. jednovýběrový z-test, ttest
či test o rozptylu. Můžeme také mít k dispozici náhodný výběr z dvourozměrného rozložení s vektorem středních hodnot








2
1
a naším úkolem bude posoudit rozdílnost středních hodnot 21, . K řešení tohoto problému slouží párový t-test.
Osnova:
- rozložení statistik odvozených z výběrového průměru a výběrového rozptylu
- vzorce pro meze intervalů spolehlivosti pro střední hodnotu a rozptyl
- jednotlivé typy testů pro parametry normálního rozložení
(z-test, jednovýběrový t-test, test o rozptylu, párový t-test)
Rozložení statistik odvozených z výběrového průměru a výběrového rozptylu
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení N(μ, σ2
). Pak platí
a) M ~ N(μ,
n
2

), tedy U =
n
M


~ N(0, 1).
(Pivotová statistika U slouží k řešení úloh o μ, když σ2
známe.)
b) K = 2
2
S)1n(


~ χ2
(n-1).
(Pivotová statistika K slouží k řešení úloh o σ2
, když μ neznáme.)
c) 2
n
1i
2
i )X(



~ χ2
(n).
(Tato pivotová statistika slouží k řešení úloh o σ2
, když μ známe.)
d) T =
n
S
M 
~ t(n-1).
(Pivotová statistika T slouží k řešení úloh o μ, když σ2
neznáme.)
Vysvětlení
ad a) Výběrový průměr M je lineární kombinace náhodných veličin s normálním rozložením, má tedy normální rozložení
s parametry E(M) = μ, D(M) = σ2
/n. Statistika U se získá standardizací M.
ad b) Vhodnou úpravou výběrového rozptylu S2
, kde použijeme obrat Xi - M = (Xi - μ) – (M - μ), lze statistiku K= 2
2
S)1n(


vyjádřit
jako součet kvadrátů n - 1 stochasticky nezávislých náhodných veličin se standardizovaným normálním rozložením. Tento
součet se řídí rozložením χ2
(n-1).
ad c) Statistika 2
n
1i
2
i )X(



je součet kvadrátů n stochasticky nezávislých náhodných veličin se standardizovaným normálním
rozložením, řídí se tedy rozložením χ2
(n).
ad d) U ~ N(0, 1), K ~ χ2
(n-1) jsou stochasticky nezávislé, protože M a S2
jsou stochasticky nezávislé, tudíž statistika
n
S
M
1n
K
U
T



 ~ t(n-1).
Příklad: Hmotnost balíčku krystalového cukru baleného na automatické lince se řídí normálním rozložením se střední hodnotou
1002 g a směrodatnou odchylkou 8 g. Kontrolor náhodně vybírá 9 balíčků z jedné série a zjišťuje, zda jejich průměrná
hmotnost je alespoň 999 g. Pokud ne, podnik musí zaplatit pokutu 20 000 Kč. Jaká je pravděpodobnost, že podnik bude
muset zaplatit pokutu?
Řešení:
X ~ N(1002, 64), M ~ 





9
64
,1002N
    12924,087076,01125,11
8
9
1
8
9
8
9
UP
9
64
1002999
9
64
1002M
P999MP 










 























Pravděpodobnost, že podnik bude platit pokutu, je asi 12,9%.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Využijeme toho, že STATISTICA pomocí funkce INormal(x;mu;sigma) umí vypočítat hodnotu distribuční funkce normálního
rozložení se střední hodnotou mu a směrodatnou odchylkou sigma. Tedy    999999MP  , kde Ф je distribuční
funkce rozložení N(1002, 64/9).
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu. Dvakrát klikneme na název proměnné Prom1. Do Dlouhého
jména této proměnné napíšeme = INormal(999;1002;8/3).
V proměnné Prom1 se objeví hodnota 0,130295.
Vzorce pro meze 100(1-α)% empirických intervalů spolehlivosti pro μ a σ2
a) Interval spolehlivosti pro μ, když σ2
známe (využití pivotové statistiky U)
Oboustranný: (d, h) = (m -
n

u1-α/2, m +
n

u1-α/2)
Levostranný: (d, ∞) = (m -
n

u1-α, ∞)
Pravostranný: (-∞, h) = (-∞, m +
n

u1-α)
b) Interval spolehlivosti pro μ, když σ2
neznáme (využití pivotové statistiky T)
Oboustranný: (d, h) = (m -
n
s
t1-α/2(n-1), m +
n
s
t1-α/2(n-1))
Levostranný: (d, ∞) = (m -
n
s
t1-α(n-1), ∞)
Pravostranný: (-∞, h) = (-∞, m +
n
s
t1-α(n-1))
c) Interval spolehlivosti pro σ2
, když μ neznáme (využití pivotové statistiky K)
Oboustranný: (d, h) = 











 )1n(
s)1n(
,
)1n(
s)1n(
2/
2
2
2/1
2
2
Levostranný: (d, ∞) = 











,
)1n(
s)1n(
1
2
2
Pravostranný: (-∞, h) = 










 )1n(
s)1n(
, 2
2
d) Interval spolehlivosti pro σ2
, když μ známe (využití pivotové statistiky 2
n
1i
2
i )X(


)
Oboustranný: (d, h) =





















)n(
)x(
,
)n(
)x(
2/
2
n
1i
2
i
2/1
2
n
1i
2
i
Levostranný: (d, ∞) =


















,
)n(
)x(
1
2
n
1i
2
i
Pravostranný: (-∞, h) =


















)n(
)x(
, 2
n
1i
2
i
Příklad: 10 krát nezávisle na sobě byla změřena jistá konstanta μ. Výsledky měření byly: 2 1,8 2,1 2,4 1,9 2,1 2 1,8 2,3
2,2. Tyto výsledky považujeme za číselné realizace náhodného výběru X1, ..., X10 z rozložení N(μ, σ2
), kde parametry μ, σ2
neznáme. Najděte 95% empirický interval spolehlivosti jak pro μ, tak pro σ2
a to
a) oboustranný,
b) levostranný,
c) pravostranný.
Řešení: m = 2,06, s2
= 0,0404, s = 0,2011, α = 0,05, t0,975(9) = 2,2622, t0,95(9) = 1,8331, χ2
0,975(9) = 19,023, χ2
0,025(9) = 2,7,
χ2
0,95(9) = 16,919, χ2
0,05(9) = 3,325
ad a) Oboustranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu μ
d = m -
n
s
t1-α/2(n-1) = 2,06 -
10
2011,0
2,2622 = 1,92
h = m +
n
s
t1-α/2(n-1) = 2,06 +
10
2011,0
2,2622 = 2,20
1,92 < μ < 2,20 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Oboustranný interval spolehlivosti pro rozptyl σ2
 
 
0191,0
023,19
0404,09
1n
s1n
d
2/1
2
2







 
 
1347,0
7,2
0404,09
1n
s1n
h
2/
2
2







0,0191 < σ2
< 0,1347 s pravděpodobností aspoň 0,95.
ad b) Levostranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu μ
d = m -
n
s
t1-α(n-1) = 2,06 -
10
2011,0
1,8331 = 1,94
1,94 < μ s pravděpodobností aspoň 0,95.
Levostranný interval spolehlivosti pro rozptyl σ2
 
 
0215,0
919,16
0404,09
1n
s1n
d
1
2
2







σ2
> 0,0215 s pravděpodobností aspoň 0,95.
ad c) Pravostranný interval spolehlivosti pro střední hodnotu μ
h = m +
n
s
t1-α(n-1) = 2,06 +
10
2011,0
1,8331 = 2,18
μ < 2,18 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Pravostranný interval spolehlivosti pro rozptyl σ2
 
 
1094,0
325,3
0404,09
1n
s1n
h 2
2







σ2
< 0,1094 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o jedné proměnné X a 10 případech. Do proměnné X napíšeme dané hodnoty.
Statistika – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Detailní výsledky – zaškrtneme
Meze spolehl. prům. a Meze sp. směr. odch. (ostatní volby zrušíme) – pro oboustranný 95% interval spolehlivosti ponecháme
implicitní hodnotu pro Interval 95,00, pro jednostranné intervaly změníme hodnotu na 90,00.
Výsledky pro oboustranné 95% intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu μ, pro směrodatnou odchylku σ a rozptyl σ2
:
Proměnná
Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
95,000
Spolehlivost
Sm.Odch.
-95,000%
Spolehlivost
Sm.Odch.
+95,000%
NProm1
=v3 ^2
NProm2
=v4 ^2
X 1,916136 2,203864 0,138329 0,367145 0,019135 0,134795
Vidíme, že
1,92 < μ < 2,20 s pravděpodobností aspoň 0,95,
0,1383 < σ < 0,3671 s pravděpodobností aspoň 0,95.
0,0191 < σ2
< 0,1348 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Výsledky pro jednostranné 95% intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu μ, pro směrodatnou odchylku σ a rozptyl σ2
:
Proměnná
Int. spolehl.
-90,000%
Int. spolehl.
90,000
Spolehlivost
Sm.Odch.
-90,000%
Spolehlivost
Sm.Odch.
+90,000%
NProm1
=v3^2
NProm2
=v4^2
X 1,943421 2,176579 0,146678 0,330862 0,021514 0,10947
Vidíme, že
μ > 1,94 s pravděpodobností aspoň 0,95,
μ < 2,20 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ > 0,1467 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ < 0,3309 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ2
> 0,0215 s pravděpodobností aspoň 0,95,
σ2
< 0,1095 s pravděpodobností aspoň 0,95,
Jednotlivé typy testů pro parametry normálního rozložení
a) Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr N(μ, σ2
), kde σ2
známe. Nechť n ≥ 2 a c je konstanta.
Test H0: μ = c proti H1: μ  c se nazývá jednovýběrový z-test.
b) Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr N(μ, σ2
), kde σ2
neznáme. Nechť n ≥ 2 a c je konstanta.
Test H0: μ = c proti H1: μ  c se nazývá jednovýběrový t-test.
c) Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr N(μ, σ2
), kde μ neznáme. Nechť n ≥ 2 a c je konstanta.
Test H0: σ2
= c proti H1: σ2
 c se nazývá test o rozptylu.
Provedení testů o parametrech μ, σ2
pomocí kritického oboru
a) Provedení jednovýběrového z-testu
Vypočteme realizaci testového kritéria
n
cm
t0


 . Stanovíme kritický obor W. Pokud t0  W, H0 zamítáme na hladině významnosti
α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: μ = c proti H1: μ  c. Kritický obor má tvar:    ,uu,W 2/12/1 .
Levostranný test: Testujeme H0: μ = c proti H1: μ < c. Kritický obor má tvar:   1u,W .
Pravostranný test: Testujeme H0: μ = c proti H1: μ > c. Kritický obor má tvar:   ,uW 1 .
b) Provedení jednovýběrového t-testu
Vypočteme realizaci testového kritéria
n
s
cm
t0

 . Stanovíme kritický obor W. Pokud t0  W, H0 zamítáme na hladině významnosti
α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: μ = c proti H1: μ  c. Kritický obor má tvar:        ,1nt1nt,W 2/12/1 .
Levostranný test: Testujeme H0: μ = c proti H1: μ < c. Kritický obor má tvar:   1nt,W 1   .
Pravostranný test: Testujeme H0: μ = c proti H1: μ > c. Kritický obor má tvar:     ,1ntW 1 .
c) Provedení testu o rozptylu
Vypočteme realizaci testového kritéria
 
c
s1n
t
2
0

 . Stanovíme kritický obor W. Pokud t0  W, H0 zamítáme na hladině
významnosti α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: σ2
= c proti H1: σ2
 c. Kritický obor má tvar:.
      ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
Levostranný test: Testujeme H0: σ2
= c proti H1: σ2
< c. Kritický obor má tvar:  1n,0W 2
  .
Pravostranný test: Testujeme H0: σ2
= c proti H1: σ2
> c. Kritický obor má tvar:     ,1nW 1
2
.
Příklad: Podle údajů na obalu čokolády by její čistá hmotnost měla být 125 g. Výrobce dostal několik stížností od kupujících,
ve kterých tvrdili, že hmotnost čokolád je nižší než deklarovaných 125 g. Z tohoto důvodu oddělení kontroly náhodně
vybralo 50 čokolád a zjistilo, že jejich průměrná hmotnost je 122 g a směrodatná odchylka 8,6 g. Za předpokladu, že hmotnost
čokolád se řídí normálním rozložením, můžeme na hladině významnosti 0,01 považovat stížnosti kupujících za opráv-
něné?
Řešení: X1, ..., X50 je náhodný výběr z N(μ, σ2
). Testujeme hypotézu
H0: μ = 125 proti levostranné alternativě H1: μ < 125. Protože neznáme rozptyl σ2
, použijeme jednovýběrový t-test.
Testové kritérium 4667,2
50
6,8
125122
n
s
cm




.
Kritický obor      4049,2,49t,1nt,W 99,01   .
Jelikož testové kritérium se realizuje v kritickém oboru, zamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,01. Stížnosti
kupujících tedy lze považovat za oprávněné.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme Rozdíl mezi dvěma průměry
(normální rozdělení) – zaškrtneme Výběrový průměr vs. Střední hodnota a zvolíme jednostr. – do políčka Pr1 napíšeme 122,
do políčka SmOd1 napíšeme 8,6, do políčka N1 napíšeme 50, do políčka Pr2 napíšeme 125 - Výpočet. Dostaneme phodnotu
0,0086, tedy zamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,01
Náhodný výběr z dvourozměrného rozložení
Nechť 











n
n
1
1
Y
X
,,
Y
X
 je náhodný výběr z dvourozměrného rozložení, přičemž n ≥ 2. Označíme μ = μ1 - μ2 a zavedeme
rozdílový náhodný výběr Z1 = X1 - Y1, ... , Zn = Xn-Yn, o němž předpokládáme, že se řídí normálním rozložením.
Vypočteme 


n
1i
iZ
n
1
M ,  



n
1i
2
i
2
MZ
1n
1
S .
Vzorec pro meze 100(1-α)% empirického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu rozdílového náhodného výběru
Oboustranný: (d, h) = (m -
n
s
t1-α/2(n-1), m +
n
s
t1-α/2(n-1))
Levostranný: (d, ∞) = (m -
n
s
t1-α(n-1), ∞)
Pravostranný: (-∞, h) = (-∞, m +
n
s
t1-α(n-1))
Příklad: Dvěma rozdílnými laboratorními metodami se zjišťoval obsah chemické látky v roztoku (v procentech). Bylo
vybráno 5 vzorků a proměřeno oběma metodami. Výsledky měření jsou obsaženy v tabulce:
číslo vzorku 1 2 3 4 5
1. metoda 2,3 1,9 2,1 2,4 2,6
2. metoda 2,4 2,0 2,0 2,3 2,5
Za předpokladu, že data mají normální rozložení, sestrojte 90% empirický interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot
výsledků obou metod.
Řešení:
Přejdeme k rozdílovému náhodnému výběru, jehož realizace jsou: -0,1 -0,1 0,1 0,1 0,1. Vypočteme m = 0,02, s2
= 0,012,
s = 0,109545. Předpokládáme, že tato data pocházejí z normálního rozložení N(μ, σ2
). Vypočteme meze 90% oboustranného
intervalu spolehlivosti pro μ při neznámém σ:
    0844,01318,2
5
109545,0
02,04t
5
109545,0
02,01nt
n
s
md 95,02/1  
    1244,01318,2
5
109545,0
02,04t
5
109545,0
02,01nt
n
s
mh 95,02/1  
-0,0844 < μ < 0,1244 s pravděpodobností aspoň 0,9.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 5 případech. Do 1. proměnné X napíšeme hodnoty pro 1. metodu, do 2.
proměnné Y hodnoty pro 2. metodu a do 3. proměnné Z rozdíly mezi X a Y.
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky, OK - Proměnné Z, Detailní výsledky – zaškrtneme Meze
spolehl. Prům. – Interval 90% - Výpočet. Dostaneme tabulku:
Popisné statistiky (chemicka latka)
Proměnná
Int. spolehl.
-90,000%
Int. spolehl.
90,000
Z -0,084439 0,124439
Vidíme tedy, že -0,0844 < μ < 0,1244 s pravděpodobností aspoň 0,9.
Párový t-test
Nechť 











n
n
1
1
Y
X
,,
Y
X
 je náhodný výběr z dvourozměrného rozložení, přičemž 2n  . Označíme 21  a zavedeme
rozdílový náhodný výběr nnn111 YXZ,,YXZ   , jehož výběrový průměr je 


n
1i
iZ
n
1
M a výběrový rozptyl je
 



n
1i
2
i
2
MZ
1n
1
S . Předpokládáme, že tento náhodný výběr pochází z normálního rozložení. Test hypotézy o rozdílu
středních hodnot 21  se nazývá párový t-test a provádí se stejně jako jednovýběrový t-test aplikovaný na rozdílový
náhodný výběr nnn111 YXZ,,YXZ   .
Provedení párového t-testu
Vypočteme realizaci testového kritéria
n
s
cm
t0

 . Stanovíme kritický obor W. Pokud t0  W, H0 zamítáme na hladině
významnosti α a přijímáme H1.
Oboustranný test: Testujeme H0: μ = c proti H1: μ  c. Kritický obor má tvar:        ,1nt1nt,W 2/12/1 .
Levostranný test: Testujeme H0: μ = c proti H1: μ < c. Kritický obor má tvar:   1nt,W 1   .
Pravostranný test: Testujeme H0: μ = c proti H1: μ > c. Kritický obor má tvar:     ,1ntW 1 .
Příklad: V následující tabulce jsou údaje o výnosnosti dosažené 12 náhodně vybranými firmami při investování do
mezinárodního podnikání (veličina X) a do domácího podnikání (veličina Y):
č.firmy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
X 101214121217 9 15 9 11 7 15
Y 11141511131610131117 9 19
(Výnosnost je vyjádřena v procentech a představuje podíl na zisku vložených investic za rok.)
Za předpokladu, že data pocházejí z dvourozměrného rozložení a jejich rozdíl se řídí normálním rozložením, na hladině
významnosti 0,1 testujte hypotézu, že neexistuje rozdíl mezi střední hodnotou výnosnosti investic do mezinárodního a
domácího podnikání proti oboustranné alternativě.
Testování proveďte
a) pomocí intervalu spolehlivosti, b) pomocí kritického oboru.
(Pro úsporu času známe realizace výběrového průměru m = 3,1 a výběrového rozptylu s2
= 78,4 rozdílového náhodného
výběru Zi = Xi – Yi, i = 1, …, 12.)
Řešení:
Testujeme H0: μ = 0 proti H1: μ ≠ 0
ad a) 90% interval spolehlivosti pro střední hodnotu μ při neznámém rozptylu σ2
má meze:
  4677,27959,1
12
78,4
3,11nt
n
s
md 95,0 
  1989,07959,1
12
78,4
3,11nt
n
s
mh 95,0 
Protože číslo c = 0 neleží v intervalu (-2,4677; -0,1989), H0 zamítáme na hladině významnosti 0,1.
ad b) Vypočítáme realizaci testové statistiky 11085,2
12
78,4
3,1
n
s
cm
t0 




Stanovíme kritický obor        ,7959,17959,1,,11t11t,W 95,095,0
Protože testová statistika se realizuje v kritickém oboru, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,1.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o 2 proměnných a 12 případech. Do 1. proměnné X napíšeme hodnoty pro mezinárodní
podnikání, do 2. proměnné hodnoty pro domácí podnikání.
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – t-test pro závislé vzorky, OK - Proměnné X, Y – OK – Výpočet. Dostaneme
tabulku:
t-test pro závislé vzorky (investovani)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Rozdíl Sm.odch.
rozdílu
t sv p
X
Y
11,91667 2,937480
13,25000 3,048845 12 -1,33333 2,188122 -2,11085 11 0,058490
Vypočtenou p-hodnotu 0,05849 porovnáme se zvolenou hladinou významnosti α = 0,1. Protože p ≤ α, zamítáme nulovou
hypotézu na hladině významnosti 0,1.