Cvičení 12: Porovnání empirického a teoretického rozložení
Úkol 1.: Ze souboru rodin s pěti dětmi bylo náhodně vybráno 84 rodin a byl zjišťován počet
chlapců:
Počet chlapců 0 1 2 3 4 5
Počet rodin 3 10 22 31 14 4
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozložení počtu chlapců se
řídí binomickým rozložením Bi(5; 0,5).
Řešení:
Testujeme H0: náhodný výběr X1, …, X84 pochází z Bi(5; 0,5) proti H1: non H0.
Pravděpodobnost, že náhodná veličina s rozložením Bi(5; 0,5) bude nabývat hodnot p0, ..., p5
je ,50,1,j,
32
1
j
5
pj K=





= .
Výpočty potřebné pro stanovení testové statistiky K uspořádáme do tabulky.
j nj pj npj
0 3 0,03125 84.0,03125=2,625
1 10 0,15625 84.0,15625=13,125
2 22 0,3125 84.0,3125=26,25
3 31 0,3125 84.0,3125=26,25
4 14 0,15625 84.0,15625=13,125
5 4 0,03125 84.0,03125=2,625
Podmínky dobré aproximace nejsou splněny, sloučíme tedy první dvě varianty a poslední dvě
varianty.
j nj pj npj
( )
j
2
jj
np
npn −
0 a 1 13 0,1875 84.0,1875=15,75 0,480159
2 22 0,3125 84.0,3125=26,25 0,688095
3 31 0,3125 84.0,3125=26,25 0,859524
4 a 5 18 0,1875 84.0,1875=15,75 0,321429
Vypočteme realizaci testové statistiky: K = 0,48059 + 0,688095 + 0,859524 + 0,321429 =
2,3492, počet tříd r = 4, počet odhadovaných parametrů p = 0, r – p - 1 = 3, kritický obor
( ) ) ( ) ) )∞=∞χ=∞−−χ= α− ;8147,7,3,1prW 95,0
2
1
2
. Protože WK ∉ , nulovou hypotézu
nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor se dvěma proměnnými a čtyřmi případy. Proměnná nj obsahuje
zjištěné četnosti (po sloučení variant), proměnná npj pak teoretické četnosti.
Statistiky – Neparametrická statistika – Pozorované vs. očekávané χ2 – OK – Proměnné –
Pozorované četnosti nj, očekávané četnosti npj – OK – Výpočet.
Pozorované vs. očekávané četnosti (Tabulka1)
Chi-Kvadr. = 2,349206 sv = 3 p = ,503161
Případ
pozorov.
nj
očekáv.
npj
P - O (P-O)^2
/O
C: 1
C: 2
C: 3
C: 4
Sčt
13,00000 15,75000 -2,75000 0,480159
22,00000 26,25000 -4,25000 0,688095
31,00000 26,25000 4,75000 0,859524
18,00000 15,75000 2,25000 0,321429
84,00000 84,00000 0,00000 2,349206
V záhlaví výstupní tabulky je uvedena hodnota testového kritéria (2,349206), počet stupňů
volnosti = 3 a p-hodnota (0,503161). Nulová hypotéza se tedy nezamítá na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
Úkol 2.: Na jistém nádraží byl sledován počet přijíždějících vlaků za 1 h. Pozorování bylo
prováděno celkem 15 dnů (tj. 360 h) a výsledky jsou uvedeny v tabulce:
Počet vlaků za 1 hodinu 0 1 2 3 4 5 6 7 a víc
četnost 27 93 103 58 50 21 6 2
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že počet přijíždějících vlaků za
1 h se řídí Poissonovým rozložením, a to a) testem dobré shody, b) jednoduchým testem Poissonova
rozložení.
Řešení:
Testujeme H0: náhodný výběr X1, …, X360 pochází z Po(λ) proti H1: non H0.
Ad a) Nejprve odhadneme parametr λ Poissonova rozložení:
[ ] ( ) 3,272193027
360
1
xn
n
1
mˆ
r
0j
jj =⋅++⋅+⋅===λ ∑=
K
Pravděpodobnost, že náhodná veličina s rozložením Po(λ), kde λ = 2,3 bude nabývat hodnot
0, 1, ..., 7 a víc je ( )6107
3,2
jj
j ppp1p0,1,...,6,j,e
!j
3,2
e
!j
p ++−===
λ
= −λ−
K .
Výpočty potřebné pro stanovení testové statistiky K uspořádáme do tabulky.
j nj pj npj
0 27 0,1003 36,0932
1 93 0,2306 83,0143
2 103 0,2652 95,4665
3 58 0,2033 73,1910
4 50 0,1169 43,0848
5 21 0,0538 19,3590
6 6 0,0216 7,4210
7 a víc 2 0,0094 3,3703
Podmínky dobré aproximace nejsou splněny, sloučíme tedy varianty 6 a 7 a víc.
j nj pj npj (nj - npj)2
/ npj
0 27 0,1003 36,0932 2,2909
1 93 0,2306 83,0143 1,2012
2 103 0,2652 95,4665 0,5945
3 58 0,2033 73,1910 3,1529
4 50 0,1169 43,0848 1,4887
5 21 0,0538 19,3590 0,1391
6 a víc 8 0,0300 10,7912 0,7220
K = 2,2909 + 1,2012 + … + 0,7220 = 9,5892, r = 7, p = 1, r – p – 1 = 5, χ2
0,95(5) = 11,0705.
Protože 9,5892 < 11,0705, nulovou hypotézu nezamítáme na asymptotické hladině významnosti
0,05. Nepodařilo se tedy prokázat, že počty přijíždějících vlaků za 1 h se neřídí Poissonovým
rozložením.
Ad b)
Nejprve musíme vypočítat realizaci výběrového průměru a výběrového rozptylu:
( ) 3,272193027
360
1
m =⋅++⋅+⋅= K
( ) ( ) ( )[ ] 121448,23,2723,21933,2027
359
1
s
2222
=−⋅++−⋅+−⋅= K
Testová statistika:
( ) 1304,331
3,2
121448,2359
M
S1n
K
2
=
⋅
=
−
= .
Kritický obor: ( ) ( ) ) )∞∪=∞χ∪χ= ,4,4134,308,0,359359,0W 975,0
2
025,0
2
.
H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Načteme datový soubor vlaky.sta.
Ad a) Statistiky – Prokládání rozdělení – Diskrétní rozdělení – Poissonovo – OK – Proměnná
POCET – klikneme na ikonu se závažím – Proměnná vah CETNOST – Stav Zapnuto – OK –
Výpočet.
Proměnná: pocet, Rozdělení:Poissonovo, Lambda = 2,29444 (vlaky.sta)
Chí-kvadrát = 9,60335, sv = 5, p = 0,08729
Kategorie
Pozorované
Četnosti
Kumulativ.
Pozorované
Procent
Pozorované
Kumul. %
Pozorované
Očekáv.
Četnosti
Kumulativ.
Očekáv.
Procent
Očekáv.
Kumul. %
Očekáv.
<= 0,00000
1,00000
2,00000
3,00000
4,00000
5,00000
< Nekonečno
27 27 7,50000 7,5000 36,29426 36,2943 10,08174 10,0817
93 120 25,83333 33,3333 83,27517 119,5694 23,13199 33,2137
103 223 28,61111 61,9444 95,53512 215,1045 26,53753 59,7513
58 281 16,11111 78,0556 73,06667 288,1712 20,29630 80,0476
50 331 13,88889 91,9444 41,91185 330,0831 11,64218 91,6897
21 352 5,83333 97,7778 19,23288 349,3160 5,34247 97,0322
8 360 2,22222 100,0000 10,68405 360,0000 2,96779 100,0000
V tomto případě je parametr λ Poissonova rozložení neznámý, je odhadnut pomocí výběrového
průměru a odhad činí 2,29444. Dále je v záhlaví výstupní tabulky uvedena hodnota testové
statistiky (Chí kvadrát = 9,60335), počet stupňů volnosti r – p – 1 = 5 – 1 – 1 = 3 a p-hodnota
(0,0879). Nulová hypotéza se tedy nezamítá na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Pro vytvoření grafu se vrátíme do Proložení diskrétních rozložení – Základní výsledky – Graf
pozorovaného a očekávaného rozdělení.
Proměnná: pocet, Rozdělení:Poissonovo, Lambda = 2,29444
Chí-kvadrát test = 9,60335, sv = 5, p = 0,08729
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
Kategorie (horní meze)
0
20
40
60
80
100
120
Početpozorování
Ad b) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnná počet –
OK – zapneme proměnnou vah cetnost – OK. Na záložce Detailní výsledky zaškrtneme Počet
platn., Průměr, Rozptyl – Výpočet.
K výstupní tabulce přidáme za proměnnou Rozptyl tři nové proměnné, a to Test. Stat., Kvantil1,
Kvantil 2.
Do Dlouhého jména proměnné Test. Stat. napíšeme:
=(v1-1)*v3/v2
Do Dlouhého jména proměnné Kvantil 1 napíšeme:
=VChi2(0,025;359)
Do Dlouhého jména proměnné Kvantil 2 napíšeme:
=VChi2(0,975;359)
Dostaneme výslednou tabulku:
Popisné statistiky (vlaky.sta)
Proměnná N platných Průměr Rozptyl Test. Kvantil 1 Kvantil 2
pocet 360 2,294444 2,074621 324,6053 308,4009 413,3862
Vidíme, že testová statistika se nerealizuje v kritickém oboru )∞∪= ,4,4134,308,0W ,
tedy H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
(Malé rozdíly mezi ručním výpočtem a výpočtem ve STATISTICE plynou ze zaokrouhlovacích
chyb.)
Úkol 3.: Jsou známy počty občanů města Brna podle měsíce narození (stav k 31.12.2001).
měsíc narození počet osob
leden 32309
únor 30126
březen 35010
duben 34761
květen 34955
červen 32883
červenec 33255
srpen 31604
září 31173
říjen 30536
listopad 28571
prosinec 29467
celkem 384650
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 ověřte hypotézu, že počty narozených jsou pro
všechny měsíce stejné. Počty narozených lidí v jednotlivých měsících roku rovněž znázorněte
graficky.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Načteme datový soubor obyvatele_brna.sta. Tento soubor má tři proměnné (počet, délka
měsíce a teor. počet) a 12 případů. Proměnná počet obsahuje absolutní četnosti z předchozí
tabulky. Proměnná délka měsíce obsahuje počtu dnů v jednotlivých měsících roku. Proměnná
teor. počet obsahuje teoretické četnosti, tj. její hodnoty získáme tak, že do jejího Dlouhého
jména napíšeme:
=384650/(365/v2)
Statistiky – Neparametrická statistika – Pozorované versus očekávané χ2
– OK - Pozorované
četnosti počet, Očekávané četnosti teor. počet - OK – Výpočet. Dostaneme tabulku:
Pozorované vs. očekávané četnosti (obyvatele_brna.sta)
Chi-Kvadr. = 1506,153 sv = 11 p = 0,000000
POZN.: Nestejné součty pozor. a oček. četností
Případ
pozorov.
pocet
očekáv.
teor. pocet
P - O (P-O)^2
/O
C: 1
C: 2
C: 3
C: 4
C: 5
C: 6
C: 7
C: 8
C: 9
C: 10
C: 11
C: 12
Sčt
32309,0 32668,9 -359,90 3,965
30126,0 29507,4 618,60 12,969
35010,0 32668,9 2341,10 167,766
34761,0 31615,1 3145,93 313,043
34955,0 32668,9 2286,10 159,976
32883,0 31615,1 1267,93 50,851
33255,0 32668,9 586,10 10,515
31604,0 32668,9 -1064,90 34,713
31173,0 31615,1 -442,07 6,181
30536,0 32668,9 -2132,90 139,254
28571,0 31615,1 -3044,07 293,099
29467,0 32668,9 -3201,90 313,821
384650,0 384650,0 -0,00 1506,153
Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když K ≥ χ2
1-α(r-1-p).
V našem případě je r = 12, p = 0 a ( ) .675,19112
95,0 =χ Protože K = 1506,153 ≥19,675, zamítáme
nulovou hypotézu na asymptotické hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše
5 % jsme prokázali, že obyvatelé Brna se rodí v průběhu roku nerovnoměrně.
Výpočet doplníme sloupkovým diagramem pozorovaných četností a očekávaných četností.
Pozorované a teoretické počty obyvatel Brna narozených v jednotlivých měsících roku
pozorov.
očekáv.
leden
únor
březen
duben
květen
červen
červenec
srpen
září
říjen
listopad
prosinec
28000
29000
30000
31000
32000
33000
34000
35000
36000
Komentář: Největší rozdíly mezi pozorovanými a očekávanými relativními četnostmi jsou
v prosinci, dubnu a listopadu, naopak nejmenší v lednu a září.
Úkol 4.: Firma, která vlastní několik supermarketů, se zajímá, zda zákazníci dávají přednost
některému dnu v týdnu pro nákup. Náhodně bylo vybráno 300 zákazníků, kteří měli říci, který
den v týdnu nejčastěji nakupují v supermarketu.
Výsledky:
Den pondělí úterý středa čtvrtek pátek sobota neděle
Počet 10 20 40 40 80 60 50
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že žádný den v týdnu nemá při
nakupování v supermarketu přednost před jinými dny.
Návod:
Načteme datový soubor nakupy.sta. Proměnná X obsahuje pozorované absolutní četnosti a Y
vypočítané teoretické četnosti (v našem případě 300/7).
Statistiky – Neparametrické statistiky – Pozorované vs. očekávané χ2
– Proměnné Pozorované
X, Očekávané Y, OK – Výpočet. Dostaneme tabulku:
Pozorované vs. očekávané četnosti (nakupy.sta)
Chi-Kvadr. = 78,00000 sv = 6 p = ,000000
Případ
pozorov.
X
očekáv.
Y
P - O (P-O)^2
/O
C: 1
C: 2
C: 3
C: 4
C: 5
C: 6
C: 7
Sčt
10,0000 42,8571 -32,8571 25,19048
20,0000 42,8571 -22,8571 12,19048
40,0000 42,8571 -2,8571 0,19048
40,0000 42,8571 -2,8571 0,19048
80,0000 42,8571 37,1429 32,19048
60,0000 42,8571 17,1429 6,85714
50,0000 42,8571 7,1429 1,19048
300,0000 300,0000 0,0000 78,00000
Komentář: Ve výstupní tabulce najdeme hodnotu testové statistiky (Chi-Square = 78) a odpovídající
p-hodnotu, kterou porovnáme se zvolenou hladinou významnosti. V našem případě
je p-hodnota velmi malá, takřka nulová, takže nulová hypotéza se zamítá na asymptotické
hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5 % jsme tedy prokázali, že zákazníci
nakupují během týdne nerovnoměrně.
Příklad 1 k samostatnému řešení: D rybníka bylo umístěno 5 pastí, přičemž každá past svítila
jiným světlem (bílým, žlutým, modrým, zeleným, červeným). Do těchto pastí se chytilo
56, 72, 41, 53 a 38 jedinců. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že
barva světla v pasti nemá vliv na počet chycených jedinců.
Výsledek: Testová statistika nabývá hodnoty 14,1154, kritický obor je )∞= ;488,9W , tedy
na asymptotické hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu zamítáme. S rizikem omylu
nejvýše 0,05 jsme prokázali, že barva světla v pasti má vliv na počet chycených jedinců.
Příklad 2 k samostatnému řešení: Byla zjišťována doba životnosti 45 součástek (v h). Ze
získaných údajů byla vypočtena realizace výběrového průměru m = 99,93 h a výběrového
rozptylu s2
= 7328,9 h2
. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte Darlingovým testem
hypotézu, že doba životnosti součástek se řídí exponenciálním rozložením.
Výsledek: Testová statistika nabývá hodnoty 32,2924, kritický obor je
( ) ( ) ) )∞∪=∞χ∪χ= ;202,64575,27;0,4444,0W 975,0
2
025,0
2
, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 nulovou hypotézu nezamítáme.