Cvičení 4.: Základní pojmy matematické statistiky II, testy normality
Úkol: Měřením délky deseti válečků byly získány hodnoty (v mm): 5,38 5,36 5,35 5,40
5,41 5,34 5,29 5,43 5,42 5,32. Těchto deset hodnot považujeme za realizace náhodného
výběru rozsahu 10 z normálního rozložení s neznámou střední hodnotou μ a známou
směrodatnou odchylkou σ = 0,04.
Na hladině významnosti 0,1 testujte nulovou hypotézu, že střední hodnota délky válečků je
5,35 mm. Proti nulové hypotéze postavte
a) oboustrannou alternativu
b) levostrannou alternativu
c) pravostrannou alternativu.
Test proveďte pomocí
a) kritického oboru
b) intervalu spolehlivosti
c) p-hodnoty.
Systém STATISTICA použijte jako inteligentní kalkulačku.
Návod:
Formulace nulové hypotézy: H0: μ = 5,35, formulace alternativní hypotézy:
ad a) H1: μ ≠ 5,35, ad b) H1: μ < 5,35, ad c) H1: μ > 5,35
Jedná se o jednovýběrový z-test.
Testová statistika T0 =
n
cM


bude mít rozložení N(0, 1), pokud je nulová hypotéza
pravdivá.
Provedení testu:
Ad a) Pomocí kritického oboru
Kritický obor pro oboustrannou alternativu:
W =    ,uu, 2/12/1 .
Kritický obor pro levostrannou alternativu:
W = ).u, 1 
Kritický obor pro pravostrannou alternativu:
W = ),u1  .
Pokud Wt0  , H0 zamítáme na hladině významnosti α.
Ad b) Pomocí intervalu spolehlivosti
Oboustranný interval spolehlivosti pro μ při známém σ:
(d, h) = (m -
n

u1-α/2, m +
n

u1-α/2).
Pravostranný interval spolehlivosti pro μ při známém σ:
(-∞, h) = (-∞, m +
n

u1-α).
Levostranný interval spolehlivosti pro μ při známém σ:
(d, ∞) = (m -
n

u1-α, ∞).
Pokud číslo c (v našem případě 5,35) nepatří do 100(1-α)% intervalu spolehlivosti pro μ, H0
zamítáme na hladině významnosti α.
Ad c) Pomocí p-hodnoty
Vzhledem k tomu, že testová statistika T0 je spojitá náhodná veličina, můžeme použít úpravu
P(T0 ≥ t0) = P(T0 > t0) = 1 – Φ(t0).
Vzorec pro výpočet p-hodnoty pro oboustrannou alternativu:
p = 2 min{P(T0 ≤ t0), P(T0 ≥ t0)} = 2 min{Φ(t0), 1 – Φ(t0)}.
Vzorec pro výpočet p-hodnoty pro levostrannou alternativu:
p = P(T0 ≤ t0) = Φ(t0).
Vzorec pro výpočet p-hodnoty pro pravostrannou alternativu:
p = P(T0 ≥ t0) = 1 – Φ(t0).
Pokud p ≤ α, H0 zamítáme na hladině významnosti α.
Zjištěné hodnoty zapíšeme do nového datového souboru o 10 případech a jedné proměnné,
kterou nazveme X.
Pomocí Popisných statistik spočteme realizaci výběrového průměru: m = 5,37.
Pro pomocné výpočty otevřeme nový datový soubor o jednom případu a 10 proměnných,
které nazveme t0, p1, p2, p3, kv1, kv2, d, h, d1, h2.
Do proměnné t0 uložíme realizaci testové statistiky. Do jejího Dlouhého jména napíšeme
vzorec pro výpočet testové statistiky:
= (5,37-5,35)/(0,04/sqrt(10)).
Zjistíme, že t0 = 1,5811.
Nyní již můžeme provést test pomocí p-hodnoty.
Do Dlouhého jména proměnné p1 napíšeme vzorec pro výpočet p-hodnoty pro oboustrannou
alternativu:
=2*min(INormal(t0;0;1);1-INormal(t0;0;1))
Vypočtená p-hodnota je 0,1138, což je větší než hladina významnosti 0,1 a nulovou hypotézu
nelze na této hladině významnosti zamítnout ve prospěch oboustranné alternativy.
Do Dlouhého jména proměnné p2 napíšeme vzorec pro výpočet p-hodnoty pro levostrannou
alternativu:
=INormal(t0;0;1)
I tato p-hodnota (0,9431) je větší než 0,1, což znamená, že nulovou hypotézu nelze na hladině
významnosti 0,1 zamítnout ve prospěch levostranné alternativy.
Do Dlouhého jména proměnné p3 napíšeme vzorec pro výpočet p-hodnoty pro pravostrannou
alternativu:
=1-INormal(t0;0;1)
Vyjde nám 0,0569, tedy na hladině významnosti 0,1 zamítáme nulovou hypotézu ve prospěch
pravostranné alternativy. S rizikem omylu nejvýše 10 % jsme prokázali, že střední hodnota
délky válečků je větší než 5,35 mm.
Dále provedeme test pomocí kritického oboru, nejprve pro oboustrannou alternativu.
Do proměnné kv1 uložíme kvantil u1-α/2 = u0,95:
= VNormal(0,95;0;1).
Vyjde nám 1,6449.
Kritický obor pro oboustrannou alternativu je tedy   ,6449,16449,1,W .
Vidíme, že testová statistika nepatří do W, což znamená, že H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,1 ve prospěch oboustranné alternativy.
Pro testování nulové hypotézy proti jednostranným alternativám musíme znát kvantil u1-α =
u0,9. Uložíme ho do proměnné kv2:
= VNormal(0,9;0;1).
Vyjde nám 1,2816.
Kritický obor pro levostrannou alternativu je tedy ).2816,1,W 
Vidíme, že testová statistika 1,5811 nepatří do W, což znamená, že H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,1 ve prospěch levostranné alternativy.
Kritický obor pro pravostrannou alternativu je tedy ),2816,1W 
Vidíme, že testová statistika1,5811 patří do W, což znamená, že H0 zamítáme na hladině
významnosti 0,1 ve prospěch pravostranné alternativy.
Nakonec provedeme test pomocí intervalu spolehlivosti.
Pro oboustrannou alternativu:
Do Dlouhého jména proměnné d (resp. h) napíšeme vzorec pro dolní (resp. horní) mez
oboustranného 90% intervalu spolehlivosti pro μ při známém σ:
=5,37-0,04*kv1/sqrt(10) (resp. =5,37+0,04*kv1/sqrt(10))
Zjistíme, že číslo c = 5,35 patří do intervalu (5,3492; 5,3908), tedy H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,1 ve prospěch oboustranné alternativy.
Pro levostrannou alternativu:
Do Dlouhého jména proměnné h2 napíšeme vzorec pro horní mez pravostranného 90%
intervalu spolehlivosti pro μ při známém σ:
=5,37+0,04*kv2/sqrt(10)
Protože 5,35 patří do intervalu (-∞; 5,3862), H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,1 ve
prospěch levostranné alternativy.
Pro pravostrannou alternativu:
Do Dlouhého jména proměnné d1 napíšeme vzorec pro dolní mez levostranného 90%
intervalu spolehlivosti pro μ při známém σ:
=5,37-0,04*kv2/sqrt(10)
Protože 5,35 nepatří do intervalu (5,3538; ∞), H0 zamítáme na hladině významnosti 0,1 ve
prospěch pravostranné alternativy.
Kolmogorovův – Smirnovův test normality dat
Testujeme nulovou hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z normálního
rozložení s parametry μ a σ2
. Distribuční funkci tohoto rozložení označme ΦT (x). Nechť
Fn(x) je výběrová distribuční funkce. Testovou statistikou je statistika
)x()x(FsupD Tn
x
n 

. Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, když Dn
≥ Dn(α), kde Dn(α) je tabelovaná kritická hodnota.
V případě, že neznáme parametry μ a σ2
normálního rozložení (což je nejčastější případ),
změní se rozložení testové statistiky Dn. V takovém případě jde o Lilieforsovu modifikaci
Kolmogorovova – Smirnovova testu. Příslušné modifikované kvantily byly určeny pomocí
simulačních studií.
Poznámka ke K-S testu ve STATISTICE
Test normality poskytuje hodnotu testové statistiky (ozn. max D) a dvě p-hodnoty. (p-hodnota
vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou číselné realizace x1, ..., xn náhodného výběru X1, ..., Xn
podporují nulovou hypotézu, je-li pravdivá. P-hodnotu porovnáváme s námi zvolenou
hladinou významnosti α. Jestliže p-hodnota ≤ α, pak H0 zamítáme na hladině významnosti α,
je-li p-hodnota > α, pak H0 nezamítáme na hladině významnosti α.) První p-hodnota se
vztahuje k případu, kdy střední hodnotu μ a rozptyl σ2
známe předem, druhá (ozn.
Lilieforsovo p) se vztahuje k případu, kdy μ a σ2
neznáme. Objeví-li se ve výstupu p = n.s. (tj.
non significant), pak hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Shapirův – Wilkův test normality dat
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z rozložení N(μ, σ2
).
Test je založen na zjištění, zda body v Q-Q grafu jsou významně odlišné od regresní přímky
proložené těmito body.
(S-W test se používá především pro výběry menších rozsahů, n < 50, ale nyní již existuje
modifikace pro velká n. V systému STATISTICA je implementováno rozšíření na n kolem
5000.)
Andersonův – Darlingův test
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z normálního rozložení
N(μ, σ2
).
Testová statistika má tvar:
   
,n
s
mx
1ln
s
mx
ln)1i2(
n
1
AD
n
1i
i1ni






























 





 
 

kde x(i) jsou vzestupně uspořádané realizace náhodného výběru, Φ je distribuční funkce
rozložení N(0,1). Hypotéza H0 se zamítá na hladině významnosti , je-li vypočítaná hodnota
testové statistiky AD větší než kritická hodnota D1-α.
Úkol 1. : U 48 studentek VŠE v Praze byla zjišťována výška a obor studia (1 – národní
hospodářství, 2 – informatika). Hodnoty jsou uloženy v souboru vyska.sta. Pomocí
Lilieforsovy modifikace K-S testu, pomocí S-W testu a pomocí A-D testu testujte na hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že data pocházejí z normálního rozložení. Pomocí N-P grafu
posuďte vizuálně předpoklad normality.
Návod:
Provedení Lilieforsova a S-W testu: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky
četností – OK – Proměnné X – OK – Normalita – zaškrtneme Lilieforsův test a S-W test –
Testy normality.
Testy normality (vyska.sta)
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X: vyska 48 0,155621 p < ,01 0,965996 0,176031
Výstupní tabulka obsahuje počet pozorování, hodnotu testové statistiky Lilieforsovy
modifikace K-S testu (max D = 0,155621), p-hodnotu (p < 0,01), testovou statistiku S-W testu
(W = 0,965996) a odpovídající p-hodnotu (p = 0,176031). Vidíme, že Lilieforsův test zamítá
hypotézu o normalitě na hladině významnosti 0,05, zatímco S-W test nikoli.
Provedení A - D testu:
Statistiky – Rozdělení & simulace – proložení dat rozděleními – OK – Proměnné Spojité: X –
na záložce Spojité proměnné ponecháme zaškrtnuté pouze Normální, na záložce Možnosti
vybereme Anderson – Darling – OK – Souhrnné statistiky rozdělení.
Souhrn rozdělení for Proměnná: X (vyska.sta)
K-S d K-S
p-hodn.
AD stat. AD p-hodn. Chí-kvadrát Chí-kvadr.
p-hodn.
Chí-kvadr.
SV
Posun
(práh/poloha)
Normální (poloha,měřítko) 0,155621 0,175802 0,660990 0,591425 15,37500 0,017532 6,000000
Vidíme, že Testová statistika A – D testu je 0,661, odpovídající p-hodnota je 0,5914, tedy
hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Vytvoření N-P grafu:
Návod: Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – Proměnné X – OK.
150 155 160 165 170 175 180 185 190
Pozorovaný kvantil
-3
-2
-1
0
1
2
3
Oček.normál.hodnoty
Tečky se řadí podél ideální přímky, normalita je jen lehce porušena.
Samostatný úkol: Testy normality a grafické ověření normality proveďte jak pro výšky
studentek oboru národní hospodářství, tak pro výška studentek oboru informatiky.
Pro kontrolu:
Výsledky pro obor národní hospodářství:
Testy normality (vyska.sta)
Zhrnout podmínku: z=1
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X: vyska 28 0,167473 p < ,05 0,970969 0,606793
Vidíme, že Lilieforsova varianta K-S testu zamítá hypotézu o normalitě na hladině
významnosti 0,05 (p-hodnota je menší než 0,05), zatímco S-W test hypotézu o normalitě
nezamítá (p-hodnota je větší než 0,05).
Souhrn rozdělení for Proměnná: X (vyska.sta)
Zhrnout podmínku: z=1
K-S d K-S
p-hodn.
AD stat. AD p-hodn. Chí-kvadrát Chí-kvadr.
p-hodn.
Chí-kvadr.
SV
Posun
(práh/poloha)
Normální (poloha,měřítko) 0,167473 0,370570 0,419238 0,828398 2,000000 0,157299 1,000000
A-D test poskytne hodnotu testové statistiky 0,4192, odpovídající p-hodnota je 0,8284, tedy
A-D test nezamítá hypotézu o normalitě na hladině významnosti 0,05.
Výsledky pro obor informatika:
Testy normality (vyska.sta)
Zhrnout podmínku: z=2
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X: vyska 20 0,172301 p < ,15 0,922747 0,111924
Souhrn rozdělení for Proměnná: X (vyska.sta)
Zhrnout podmínku: z=2
K-S d K-S
p-hodn.
AD stat. AD p-hodn. Chí-kvadrát Chí-kvadr.
p-hodn.
Chí-kvadr.
SV
Posun
(práh/poloha)
Normální (poloha,měřítko) 0,172301 0,536360 0,566019 0,678546
V tomto případě ani jeden z testů hypotézu o normalitě nezamítá na hladině významnosti
0,05.
Upozornění: V archivu závěrečných prací https://is.muni.cz/auth/th/77721/prif_m/ je uložena
diplomová práce Dominika Grůzy „Ověřování normality“.
Zkoumání vlastností testů normality pomocí simulací je popsáno v bakalářské práci Marka
Haičmana https://is.muni.cz/auth/th/150689/prif_b_a2/