Cvičení 6.: Parametrické úlohy
o dvou nezávislých výběrech z normálních rozložení
Úkol 1.: Do programu STATISTICA načtěte soubor studentky.sta, který obsahuje údaje o 48
náhodně vybraných studentkách VŠE v Praze:
1. sloupec – výška, 2. sloupec – známka z matematiky v 1. semestru, 3. sloupec – obor studia
(1 – národní hospodářství, 2 – informatika).
Úkol 2.: Orientačně ověřte normalitu výšky ve skupině studentek oboru národní hospodářství
a oboru informatika vykreslením N-P plotu a histogramu.
Návod:
Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – Proměnné X – na záložce
Kategorizovaný zaškrtneme Kategorie X Zapnuto – Změnit proměnnou – Z - OK – OK.
Podobně pro histogram.
Oček.normál.hodnoty
Z: nh
150 155 160 165 170 175 180 185 190
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Z: inf
150 155 160 165 170 175 180 185 190
Početpozorování
Z: nh
150 155 160 165 170 175 180 185 190
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Z: inf
150 155 160 165 170 175 180 185 190
Komentář: Grafy svědčí o mírném narušení normality, jedná se o mírné kladné zešikmení.
Nyní provedeme testy normality.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností – OK – Select cases – Zapnout filtr
– některé vybrané pomocí Z=1 – OK – Proměnná X – OK - Normalita - zaškrtneme Liliefors
test, Shapiro-Wilk's test - Testy normality. Dostaneme tyto výsledky:
Pro studentky oboru nh
Testy normality (studentky.sta)
Zhrnout podmínku: Z=1
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X: vyska 28 0,167473 p < ,05 0,970969 0,606793
Pro studentky oboru inf
Testy normality (studentky.sta)
Zhrnout podmínku: Z=2
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X: vyska 20 0,172301 p < ,15 0,922747 0,111924
Komentář: Vypočtenou p-hodnotu porovnáváme se zvolenou hladinou významnosti testu
(většinou volíme α = 0,05). Je-li vypočtená p-hodnota ≤ α, pak hypotézu o normalitě
zamítáme na hladině významnosti α. V našem případě dojde k zamítnutí hypotézy o normalitě
výšky na hladině významnosti 0,05 pouze u Lilieforsova testu pro studentky oboru nh.
Úkol 3.: Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu výšky
a) studentek oboru nh,
b) studentek oboru inf.
Návod:
Vzhledem k tomu, že data lze považovat za realizace náhodného výběru z normálního
rozložení, můžeme použít postup pro konstrukci intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu,
když rozptyl neznáme. Výpočet je implementován ve STATISTICE. Meze 95% intervalu
spolehlivosti pro střední hodnotu proměnné X zjistíme pomocí Popisných statistik, kde
zaškrtneme Meze spoleh. prům.
Popisné statistiky (studentky.sta)
Zhrnout podmínku: Z=1
Proměnná
Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
95,000
X 167,3328 172,3100
Popisné statistiky (studentky.sta)
Zhrnout podmínku: Z=2
Proměnná
Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
95,000
X 164,7693 169,0307
Komentář: S pravděpodobností aspoň 95% lze očekávat, že střední hodnoty výška studentek
oboru národní hospodářství leží v intervalu 167,3 cm až 172,3 cm, zatímco u studentek oboru
informatika v intervalu 164,8 cm až 169 cm.
Úkol 4.: Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro podíl rozptylů výšek studentek oboru nh a
inf.
Návod:
K datovému souboru přidáme další dvě proměnné DM a HM pro výpočet dolní a horní meze
intervalu spolehlivosti. Do Dlouhého jména těchto proměnných zapíšeme vzorce pro dolní a
horní mez intervalu spolehlivosti pro podíl rozptylů (viz skripta Základní statistické metody,
Věta 7.1.2.1., bod 4 (a)). Výběrové rozptyly pro 1. a 2. výběr zjistíme pomocí Popisných
statistik.
Interval spolehlivosti je
(d, h) =








−−−− αα )1n,1n(F
s/s
,
)1n,1n(F
s/s
21/2
2
2
2
1
21/2-1
2
2
2
1
, přičemž první výběr tvoří studentky nh,
druhý výběr studentky inf.
Popisné statistiky (Tema7)
Include condition: z=1
Proměnná N platných Rozptyl
X 28 41,18915
Popisné statistiky (Tema7)
Include condition: z=2
Proměnná N platných Rozptyl
X 20 20,72632
Do Dlouhého jména proměnné DM napíšeme:
=(41,18915/20,72622)/VF(0,975;27;19)
(Funkce VF(x;ný;omega) počítá x-kvantil Fisherova – Snedecorova rozložení F(ný, omega).)
Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme:
=(41,18915/20,72622)/VF(0,025;27;19)
Vyjde DM = 0,821186, HM = 4,513831.
S pravděpodobností aspoň 0,95 tedy platí: 0,821 < σ1
2
/ σ2
2
< 4,514.
Úkol 5.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozptyly výšek studentek oboru
nh a inf jsou shodné.
Návod:
Jedná se o F-test, kdy testujeme hypotézu 1:H 2
2
2
1
0 =
σ
σ
proti oboustranné alternativě
1:H 2
2
2
1
1 ≠
σ
σ
1. způsob: lze využít výsledku 4. úkolu. 95% interval spolehlivosti pro podíl rozptylů
obsahuje číslo 1, tedy hypotézu o shodě rozptylů nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
2. způsob: F-test je implementován ve STATISTICE.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – t-test, nezávislé, podle skupin - OK, Proměnné –
Závislé proměnné X, Grupovací proměnná Z – OK – Výpočet
t-testy; grupováno: Z: obor studia (Tema7)
Skup. 1: nh: narodni hospodarstvi
Skup. 2: inf: informatika
Proměnná
Průměr
nh
Průměr
inf
t sv p Poč.plat
nh
Poč.plat.
inf
Sm.odch.
nh
Sm.odch.
inf
F-poměr
rozptyly
p
rozptyly
X 169,8214 166,9000 1,744008 46 0,087837 28 20 6,417878 4,552616 1,987288 0,124925
Komentář: Ve výstupní tabulce nás zajímá hodnota testové statistiky F-testu (v našem
případě 1,987288) a odpovídající p-hodnota: 0,124925. Protože p-hodnota je větší než hladina
významnosti α = 0,05, nelze na hladině významnosti 0,05 zamítnout nulovou hypotézu.
S rizikem omylu nanejvýš 5% se tedy neprokázalo, že by rozptyly výšek studentek oborů nh a
inf byly odlišné.
Úkol 6.: Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot výšek studentek
oboru nh a inf.
Návod:
Meze intervalu spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot lze získat pomocí aplikace pro
dvouvýběrový t-test.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – t-test, nezávislé, podle skupin - OK, Proměnné –
Závislé proměnné X, Grupovací proměnná Z – OK – na záložce Možnosti zaškrtneme Meze
spol. pro odhady, ponecháme implicitní spolehlivost 0,95 – Výpočet. V posledních dvou
sloupcích výstupní tabulky jsou uvedeny meze intervalu spolehlivosti. Vidíme, že
s pravděpodobností aspoň 0,95 platí, že -0,45 cm < µ1 – µ2 < 6,29 cm.
Úkol 7.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty výšek studentek
oboru nh a inf jsou shodné. Výpočet doplňte krabicovými diagramy.
Návod:
Jedná se o dvouvýběrový t-test, kdy testujeme hypotézu 0:H 210 =µ−µ proti oboustranné
alternativě 0:H 211 ≠µ−µ
1. způsob: lze využít výsledku 6. úkolu. 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot
obsahuje číslo 0, tedy hypotézu o shodě středních hodnot nezamítáme na hladině významnosti
0,05.
2. způsob: dvouvýběrový t-test je implementován ve STATISTICE.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – t-test, nezávislé, podle skupin - OK, Proměnné –
Závislé proměnné X, Grupovací proměnná Z – OK – Výpočet
t-testy; grupováno: Z: obor studia (Tema7)
Skup. 1: nh: narodni hospodarstvi
Skup. 2: inf: informatika
Proměnná
Průměr
nh
Průměr
inf
t sv p Poč.plat
nh
Poč.plat.
inf
Sm.odch.
nh
Sm.odch.
inf
F-poměr
rozptyly
p
rozptyly
X 169,8214 166,9000 1,744008 46 0,087837 28 20 6,417878 4,552616 1,987288 0,124925
Komentář: Ve výstupní tabulce najdeme hodnotu testového kritéria (t0 = 1,744006) a
odpovídající p-hodnotu. Protože p-hodnota = 0,087837 je větší než hladina významnosti 0,05,
nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nanejvýš 5% se
tedy neprokázal rozdíl mezi středními hodnotami výšek studentek oborů nh a inf.
Konstrukce krabicových diagramů: V tabulce t-test, nezávislé, podle skupin zvolíme
Krabicový diagram. Dostaneme graf:
Krabicový graf : X: vyska
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
nh inf
Z
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
X
Komentář: Ze vzhledu krabicových diagramů je vidět, že rozložení výšek v obou skupinách
je vcelku symetrické kolem průměru, odlehlé ani extrémní hodnoty se nevyskytují, variabilita
vyjádřená směrodatnou odchylkou se liší jen nepatrně a průměrná výška ve skupině studentek
oboru inf je o něco menší než ve skupině studentek oboru nh.
Poznámka: Protože F-test neprokázal odlišnost rozptylů, mohli jsme ve STATISTICE použít
variantu dvouvýběrového t-testu se shodnými rozptyly. Pokud by však F-test zamítl na dané
hladině významnosti hypotézu o shodě rozptylů, museli bychom zvolit variantu
dvouvýběrového t-testu se separovanými odhady rozptylů.
Úkol k samostatnému řešení: Hejtman Jihomoravského kraje chtěl porovnat situaci svého
kraje s ostatními moravskými kraji vzhledem ke znečištění ovzduší oxidem siřičitým, oxidy
dusíku a oxidem uhelnatým. Požádal proto Stranu zelených, aby na základě údajů ze
Statistické ročenky ČSÚ za léta 2000 až 2006 její experti provedli příslušnou analýzu. Roční
měrné emise jsou uvedeny v tunách na km2
. Data jsou uložena v souboru znecisteni.sta.
Vaším úkolem bude provést srovnání středních hodnot znečištění oxidem siřičitým
v Jihomoravském kraji a Olomouckém kraji. Na hladině významnosti 0,05 ověřte normalitu
dat, homogenitu rozptylů a proveďte test shody středních hodnot. Výpočty doplňte
krabicovými grafy a rovněž vypočtěte Cohenův koeficient věcného účinku.
Výsledek:
Průměrné znečištění oxidem siřičitým v Jihomoravském kraji v letech 2000 – 2006 je 0,51,
v Olomouckém 1,23. Testová statistika pro test shody rozptylů se realizuje hodnotou 1,94117,
odpovídající p-hodnota je 0,4397, tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o
shodě rozptylů.
(Upozornění: v případě zamítnutí hypotézy o shodě rozptylů je zapotřebí v tabulce t-testu pro
nezávislé vzorky dle skupin na záložce Možnosti zaškrtnout volbu Test se samostatnými
odhady rozptylu.)
Testová statistika pro test shody středních hodnot se realizuje hodnotou -12,247, počet stupňů
volnosti je 12, odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0, tedy hypotézu o shodě středních
hodnot zamítáme na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že s rizikem omylu nejvýše 5%
se prokázal rozdíl ve středních hodnotách znečištění oxidem siřičitým v Jihomoravském a
Olomouckém kraji.
Cohenův koeficient nabyl hodnoty 6,55, vliv kraje na velikost znečištění oxidem siřičitým je
tedy velký. (Výpočet Cohenova koeficientu je možno provést pomocí programu Cohen.svb.)