Topologie Lukáš Vokřínek 18. května 2013 Obsah 1. Motivace 1 2. Topologický prostor 1 3. Spojitá zobrazení 3 4. Podprostory, součiny 5 5. Axiomy oddělitelnosti 6 6. Kompaktní prostory 8 7. Souvislost 12 8. Lokálně kompaktní prostory 16 9. Reálné íunkce 17 10. Homotopie, fundamentální grupa, nakrytí 20 11. Simpliciální komplexy, Brouwerova věta, invariance dimenze 26 12. Kompaktně generované Hausdorffovy prostory 31 13. Algebry spojitých funkcí 33 14. Topologické grupy, Pontryaginova dualita 35 15. Parakompaktní prostory 38 i Úvod Tento text vznikl sepsáním mých příprav přednášek a cvičení k předmětu „Topologie". Jako výchozí text jsem používal své zápisky, které jsem pořídil když předmět vyučoval prof. Rosický. Ten vycházel z Pultrovy knihy „Podprostory euklidovských prostorů". Některé části jsem rozšířil či doplnil, čerpal jsem především z Bredonovy knihy „Geometry and topology". To se týká také kapitol, které jsem přidal. V textu jsou příklady, které jsme dělali ve cvičeních označeny „cv"; nesepisoval jsem k nim vzorová řešení. Příklady označené „dú" jsem nechal za domácí úkol. Části textu označené „*" jsou technicky náročnější pasáže, které jsem někdy ani neprobíral na přednášce, ale na které se mohu ptát u zkoušky. Části označené „**" považuji za zbytečně těžké nebo speciální a ptát se na ně nebudu. Části označené jako „nd" jsme nedělali, ale mám v plánu je v budoucnu probírat. n 1. Motivace Topologie se zabývá „topologickými prostory" - to jsou zhruba metrické prostory, akorát zapomeneme na konkrétní vzdálenosti mezi body a zapamatujeme si pouze, které body „jsou blízko". Ústředním pojmem je pak spojitosti, konkrétněji spojité zobrazení. Ve výsledku to znamená, že čtverec je „totéž" co kružnice (narozdíl od geometrie). To je proto, že existují spojitá vzájemně inverzní zobrazení mezi čtvercem a kružnicí - dohromady zadávají izomor-fismus. Existují i jiné druhy prostorů - založené na jiných typech zobrazení. Jedná se například o metrické prostory - izometrie diferencovatelné variety - diferencovatelná zobrazení algebraické variety - polynomiální zobrazení PL (po částech lineární) variety - po částech lineární zobrazení polyedry - afinní zobrazení V negeometričnosti (čtverec = kružnice) jde ještě značně dál algebraická topologie, která prohlásí za stejné prostory i wl a prostor sestávající se z jediného bodu, neboť wl lze „spojitě zdeformovat" do bodu. 2. Topologický prostor V metrickém prostoru M definujeme otevřenou kouli okolo x o poloměru e > 0 jako Bs(x) = {y G M I dist(x, y) < e}. Řekneme, že podmnožina U C M je otevřená, jestliže pro každé x G U existuje e > 0 tak, že B£{x) C U. Zkráceně říkáme, že U obsahuje s každým bodem i nějaké jeho okolí. Definice 2.1. Topologie na množině X je systém podmnožin X C V{X) splňující následující podmínky (1) 0,X G X, (2) Ui€X,Í€l^ Uiez Ui G X, (3) Ui G X, i G X, X konečná f]ieX U G X. Topologický prostor je množina X společně s topologií X na X. Prvky X nazýváme oteřené podmnožiny X. Poznámka. Podmínka (0) plyne ze zbylých dvou, 0 je totiž sjednocením prázdného systému podmnožin a X průnik prázdného systému. Příklady 2.2. 1. metrické prostory (podrobněji to dokážeme časem), 2. pro libovolnou množinu X definujeme diskrétní topologii na X jako X = V{X) (vše je otevřené, je zadána metrikou dist(x,y) = 1), 3. pro libovolnou množinu X definujeme triviální topologii na X jako X = {0,X} („nic" není otevřené, je zadána pseudometrikou dist(x,y) = 0), 4. pro libovolnou množinu X definujeme topologii konečných doplňků na X jako X = {U CX|X\ř7 konečná} U {0}, 1 dú 1 5. je-li X libovolná (před)uspořádaná množina, je X = {U C X I U splňuje Vx G U Vy < x : y G U} topologie. Naopak, je-li X libovolná topologie splňující (2) i pro nekonečné indexové množiny I, pak na X existuje předuspořádání zadávající tuto topologii. Pokusíme se nyní dokázat, že otevřené množiny zadané metrikou opravdu definují topologii. K tomu se nám bude hodit následující pojem. Definice 2.3. Systém množin S C V(X) se nazývá subbáze topologie X, jestliže X je nejmenší topologie obsahující S. Systém množin B C V(X) se nazývá báze topologie X, jestliže X jsou právě všechna sjednocení prvků S. Jinými slovy, (protože pak A = \J{U G B | U C A}). Lemma 2.4. Platí, že B je báze nějaké (podle definice však jediné), právě když platí následující podmínky 1. X = \JB a 2. pro každé U,V G B a x e U nV existuje W G B tak, žexeWCUnV. cv Dokažte předchozí lemma. cv Příklad 2.5. Nechť M je metrický prostor. Potom systém koulí B = {B£{x) \ x G M, e > 0} je bází topologie. (Prvně dokažte, že je bází nějaké topologie, pak ji identifikujte jako kanonickou topologii na metrickém prostoru.) Je-li nyní S C V(X) libovolný systém podmnožin, splňuje B = {konečné průniky prvků S} podmínky lemmatu a proto je topologie generovaná S právě Definice 2.6. Podmnožina F C X se nazývá uzavřená, jestliže X \ F je otevřená. Například v prostoru konečných doplňků jsou uzavřené právě konečné množiny a X. Pro X = C lze ekvivalentně uzavřené množiny popsat jako nulové množiny polynomů - tento příklad má zobecnění do Cn, viz algebraická geometrie. Poznámka. Pro uzavřené množiny platí „duální" axiomy k axiomům topologie. Ekvivalentně je možné topologii zadat systémem uzavřených množin, které splňují tyto axiomy. Definice 2.7. Uzávěr A podmnožiny A C X je nejmenší uzavřená podmnožina obsahující X = {AC X \ \/x £ A3U £ B: x £U C A} X = {sjednocení konečných průniků prvků S}. A, tj. F. acf uz. cv Příklad 2.8. Dokažte následující vlastnosti uzávěru 1- 0 = 0, 2. AU B = AU B 2 3. A C A, 4. =Ä = Ä. Dále ukažte, že obecně neplatí A D B = A D B. Pomocí uzávěru (nebo lépe řečeno uzáverového operátoru) lze topologii zrekonstruovat následovně: podmnožina ACJje uzavřená, právě když A = A. Poznámka. Platí, že topologii lze ekvivalentně zadat uzáverovým operátorem (tj. operátorem V{X) ->• V{X) splňujícím axiomy (l)-(4)). Lemma 2.9. Platí ~Ä = {x G X | Vř7 otevřená, x G U : A n U ^ 0}. O bodech z pravé strany mluvíme jako o limitních bodech A (a nepotřebujeme k tomu říct, co je to limita posloupnosti). Důkaz. Platí x ^ A, právě když existuje uzavřená F D A, neobsahující x. Přejitím k doplňkům to je, právě když existuje otevřená U = X \ F, A(~)U = 0a obsahující x. To je ale přesně Definice 2.10. „Duálně" definujeme vnitřek A jako největší otevřenou množinu obsaženou v A, tj. Říkáme, že vnitřní body A jsou ty, které se do A vejdou i s nějakým svým okolím. Přesněji okolí definujeme později. Definice 3.1. Zobrazení /: X —» Y mezi dvěma topologickými prostory se nazývá spojité, jestliže pro pro každou otevřenou U C Y je také f-1 (U) C X otevřená. cv Cvičení 3.2. 1. Spojitost stačí ověřit pro U z nějaké (libovolné) subbáze topologie na Y. 2. Zobrazení / je spojité, právě když vzor každé uzavřené množiny je uzavřený. Definice 3.3. Podmnožina iVCIse nazývá okolím bodu x G X, jestliže existuje otevřená množina U s vlastností x G U CJV. Zejména otevřené okolí bodu x je to samé, co otevřená množina obsahující x. Pomoci okolí se dají charakterizovat otevřené množiny jako ty, které jsou okolími všech svých bodů. Definice 3.4. Řekneme, že zobrazení /: X —> Y je spojité v bodě x G X, jestliže pro každé okolí ./V bodu f(x) je také /_1(A^) okolím bodu x. dú 2 Cvičení 3.5. Dokažte, že zobrazení / : X —> Y je spojité, právě když je spojité v každém bodě x G X. Definice 3.6. Řekneme, že systém J\í okolí bodu x je bází okolí bodu x, jestliže každé okolí bodu x obsahuje jako podmnožinu nějaký prvek J\í. (Dělal jsem později u regulárních.) x i RHS. □ adu ot. 3. Spojitá zobrazení konec 1. přednášky 3 Příklad 3.7. V metrickém prostoru tvoří otevřené koule Be(x), e > 0, se středem v x bázi okolí bodu x. Alternativně tvoří bázi okolí koule Bi/n(x), n £ N. Tato množina je spočetná. Proto každý metrizovatelný prostor, tj. takový prostor, jehož topologie je zadána nějakou metrikou, musí mít spočetnou bázi okolí každého bodu - je tzv. „first countable". nd Cvičení 3.8. 1. Spojitost v bodě x (z X stačí ověřovat na okolích f{x) z nějaké (libovolné) báze okolí. 2. Zobrazení / : M —» N mezi metrickými prostory je spojité, právě když splňuje e-S-definici spojitosti. Důkaz. Část 1. je elementární. Část 2. plyne z toho, že otevřené koule Bs(x), S > 0, tvoří bázi okolí x a Be(f(x)), e > 0, tvoří bázi okolí f(x). □ ** Cvičení 3.9. Dokažte, že zobrazení /: X —» Y mezi předuspořádanými množinami X, Y je spojité, právě když je izotonní. ** Lemma 3.10. Následující podmínky na zobrazení f: X —> Y jsou ekvivalentní 1. f je spojité, 2. f_1{B) C f-1 (B) pro libovolnou podmnožinu B C Y', 3- f (Á) C f (A) pro libovolnou podmnožinu A C X. Poslední podmínka je zobecněným vyjádřením toho, že xn —> x implikuje f(xn) —> f (x) (pro obecné topologické prostory však posloupnosti nemusí být dostačující). Důkaz. Ukážeme prvně ekvivalenci 1. a 2. Jelikož /_1(i3) je uzavřená podmnožina obsahující f^1{B), musí obsahovat i f^1{B). V opačném směru pro uzavřenou F C Y platí /_1(i?) C f (F) = f~ľ(F) a tedy Z"1^) je uzavřeny_ Nyní ukážeme 2. 3. Chceme A C /_1(/(A)), přitom zjevně platí A C /_1(/(A)) a tedy ACf-i(f(A))čf-\f(A)). Zbývá ukázat 3. 2. Chceme f{f^1{B)) C B, přitom zjevně platí f{f^1{B)) C B a tedy /(Z-1^)) C QB. □ Definice 3.11. Zobrazení /: X —> Y se nazývá homeomorfismus, jestliže je / bijekce a obě zobrazení /, f^1 jsou spojitá. Příklad 3.12. 1. Interval (0,1) je homeomorfní M; homeomorfismus (0,1) —> M je například zobrazení t ^ tg(vrí - vr/2). 2. Zobrazení id: X^sc —> XtT[v je spojitá bijekce, ale jeho inverze id: Xtriv —> X^sc spojitá není; viz další příklad. nd 3. Rozmyslete si, kdy je zobrzení id: (X, Xq) —> (X, X\) spojité. 4. Zobrazení [0,1) —> S1, 11—> e27ríí je spojitá bijekce, ale jeho inverze spojitá není. 5. Ve skutečnosti neexistuje homeomorfismus [0,1) S1. To se nejlépe ukáže tak, že se najde nějaký „invariant", který tyto dva prostory odliší. V tomto případě lze například říct (časem to budeme schopni formulovat přesně), že vyjmutím jakéhokoliv bodu z S*1 se prostor nerozpadne, zatímco vyjmutím bodu í / 0 z [0,1) se tento interval rozpadne. Dalším takovým invariantem je kompaktnost. 4 6. Pro m ý n neexistuje homeomorfismus w11 —> w1. Pro n = 1 to lze vidět, podobně jako v předchozím příkladě, pomocí odstraňování bodů a souvislosti. Pro vyšší n je potřeba „vyšší souvislost". cv Příklad 3.13. Popište spojitá zobrazení z triviálního prostoru a spojitá zobrazení do diskrétního prostoru. Poznámka. Topologie je nealgebraická (spojitá bijekce není nutně homeomorfismus). Z jednoho z příkladů vidíme, že úplnost metrického prostoru není topologický pojem, tj. existují homeomorfní prostory, z nichž jeden tuto vlastnost splňuje a druhý ne. Na druhou stranu kompaktnost je topologický pojem, později ji charakterizujeme čistě v řeči otevřených množin. 4. Podprostory, součiny Definice 4.1. Nechť X je topologický prostor & A C X jeho podmnožina. Definujeme na A topologii podprostoru jako {A n U I U C X otevřená}. Množinu A společně s topologií podprostoru nazveme podprostorem X. Důležitou vlastností podprostoru je, že vložení i : A —> X je spojité a má následující univerzální vlastnost: zobrazení /: T —> A je spojité, právě když je spojité i f: T —> X. T--+A i X (obojí plyne z toho, že A n U = i-1 (U)). Důkaz lze shrnout do pozorování: topologie podprostoru je nejmenší taková, pro kterou je inkluze i spojitá. dú 3 Lemma 4.2. Pro podmnožinu B C A platí clA B = A n B, kde CL4 B značí uzávěr B v podprostoru A. Poznámka. Nic podobného neplatí pro vnitřek. Definice 4.3. Systém A C V{X) množin se nazývá pokrytí prostoru X, jestliže |J A = X. cv Cvičení 4.4. Nechť IÁ je otevřené pokrytí prostoru X. Dokažte, že zobrazení /: X —> Y je spojité, právě když každé zúžení f\jj- U —>Y, U G U, je spojité. Podobně dokažte totéž pro konečné uzavřené pokrytí T. dú 4 Cvičení 4.5. Dokažte, že čtverec je homeomorfní kružnici. Definice 4.6. Nechť X, Y jsou topologické prostory. Definujeme na X x Y součinovou topologii generovanou bází {U x V I U G X, V G y}. Množinu X x Y společně se součinovou topologií nazveme součinem topologických prostorů X, Y. 5 Důležitou vlastností součinu je, že projekce p: X x Y —> X, q: X x Y —> Y jsou spojité a mají následující univerzální vlastnost: zobrazení / = (g, h): T —> X x Y je spojité, právě když jsou spojité jeho složky pf = g: T —» X a qf = h: T —» Y. O něco složitější je součin nekonečně mnoha topologických prostorů, kde vodítkem ke správné definici je právě předchozí univerzální vlastnost a její důkaz. Označme /' 11 v >.y; íex projekci na j-tou složku. Definice 4.7. Nechť Xi, i £l, jsou topologické prostory. Definujeme na Yl^x^í součinovou topologii generovanou subbází {Pj1^) \jel,UC Xj otevřená}. Množinu Yliex Xi společně se součinovou topologií nazveme součinem topologických prostorů Xi, i G X. cv Cvičení 4.8. Dokažte, že součin Yliex Fi uzavřených množin Fi C Xi je uzavřený. - konec 2. přednášky - 5. Axiomy oddělitelnosti Poznámka. Existuje axiom oddělitelnosti To- Definice 5.1. Topologický prostor X se nazývá Ti, jestliže pro každé dva body x,y G X, x ^ y existuje otevřené okolí U 3 x disjunktní s y, tj. y ^ U. Lemma 5.2. Topologický prostor X je T±, právě když jsou všechny jeho jednobodové podmnožiny uzavřené. Důkaz. „<í=": V definici stačí volit U = X \ {y}. „=>": Nechť y G X. Pak pro libovolné x ^ y existuje Ux 3 x otevřená neobsahující y. Proto je \Jx-éy Ux = X \ {y} otevřená a {y} tedy uzavřená. □ Definice 5.3. Topologický prostor X se nazývá T2 (Hausdorffův), jestliže pro každé dva body x,y G X, x 7^ y existují disjunktní otevřená okolí U 3 x, V 3 y, tj. U H V = 0. cv Příklad 5.4. Prostor konečných doplňků je Ti, ale není Hausdorffův (pokud nosná množina není konečná). 6 Lemma 5.5. Topologický prostor X je Hausdorffův, právě když Ax C X x X je uzavřená podmnožina. Zde Ax = {(x,x) \ x G X} je „diagonála". Důkaz. „=>": Ukážeme, že X x X \ Ax je otevřená. Nechť (x, y) G X x X \ Ax, tj. x ^ y. Podle definice existují U 3 x, V 3 y disjunktní otevřené. Pak (x, y) G U xľCIxIx Ax, přičemž U x V je bázická otevřená. „<í=": Analogicky; nechť x, y G X, x 7^ y, tj. (x, y) é!xI \ Ax- Protože je X x X \ Ax otevřená, existuje bázická otevřená podmnožina U x V s vlastností (x, y) G ř7 x F C X x X \ Ax- Proto x G f/, y G F a Č7 n V = 0. □ Důsledek 5.6. Nechť f,g:X^Y jsou dvě spojitá zobrazení a Y je Hausdorffův. Potom {x G X | f (x) = g (x)} je uzavřená podmnožina X. Důkaz. Zobrazení (/, g): X —> Y x Y je spojité, přičemž {x€X\f(x)=g(x)} = (f,g)-1(AY). □ cv Příklad 5.7. Ortogoální grupa O (n) C GL(n) je uzavřená. Věta 5.8. 1. Podprostory Hausdorffových prostorů jsou Hausdorffovy. 2. Součiny Hausdorffových prostorů jsou Hausdorffovy. Důkaz. Nechť x, y G A jsou odděleny v X otevřenými množinami U, V. Potom A D U, A D V jsou otevřené množiny v A oddělující x od y. Nechť (xj), (í/j) G Tliel^í jsou různé body. Pak existuje index jel takový, že x j ^ yj. Protože je Xj Hausdorffův, existují U 3 Xj, V 3 yj, U D V = 0. Potom pJ1(V) oddělují (xj) od (í/j). □ Definice 5.9. Ti-prostor X se nazývá T$ (regulární), jestliže pro každý jeho bod x G X a uzavřenou podmnožinu f C X neobsahující x existují otevřená disjunktní okolí U 3 x, v ^ f, tj. unv = 0. Příklad 5.10. Každý metrický prostor M je regulární - uzavřené koule tvoří bázi okolí každého bodu. Za chvíli dokážeme jiným způsobem ještě silnější tvrzení. Lemma 5.11. Topologický prostor X je regulární, právě když pro každý bod x G X tvoří uzavřená okolí x bázi okolí, tj. pro každé okolí N 3 x existuje uzavřené okolí f 3 x splňující N D f. Důkaz. „=>": Stačí pro každé otevřené okolí W 3 x najít uzavřené podokolí. Podle definice lze oddělit x od X \ W, tj. x G U, X \ W C V, UnV = 0. Jinými slovy x £ U C X\V CW, tedy X \V je uzavřené podokolí x. „<í=": Nechť x ^ i7, tj. x G X \ f tvoří otevřené okolí. Podle předpokladu existuje x G g C X \ i7, přičemž G je uzavřené okolí x, tj. x G ř7 C G, FCÍ \ G = f. □ Věta 5.12. 1. Podprostory regulárních prostorů jsou regulární. 7 2. Součiny regulárních prostorů jsou regulární. Důkaz. Nechť F C A je uzavřená neobsahující x £ A. Potom A D F = F, takže x ^ F a lze je oddělit v X pomocí U, V; v A je pak lze oddělit pomocí A(~)U, AD V. Alternativní důkaz vede přes předchozí lemma. Nechť (xí) £ Ylíel^í, (xí) ^ ^ otevřené okolí. Potom existují ji, ■ ■ ■ ,jn £ 2ľ a otevřené množiny Uk C Xjk takové, že (xl)epji1(U1)n---nPjn1(Un)cu. Nechť Xjk £ Fk C jsou uzavřená podokolí. Potom (^)ep711(i?i)n---nPTjii(Fn)cf/. □ uzavřené okolí Definice 5.13. Ti-prostor X se nazývá (normální), jestliže pro každé jeho dvě disjunktní uzavřené podmnožiny F,G C X existují otevřená disjunktní okolí ř7 5 i7, F 5 G. Analogie předchozí věty neplatí - viz důkaz: pokud F,G C A jsou disjunktní uzavřené podmnožiny, nemusí být nutně pravda, že F, G jsou disjunktní. Nemělo by tedy být těžké uvěřit, že existují normální prostory, jejichž podprostory a součiny nejsou normální. Příklad 5.14. Každý metrický prostor M je normální. To je proto, že pro libovolnou ACM funkce dist(A, —): M —> M spojitá (nezkracuje vzdálenosti). Položíme-li nyní = dist(F, x) I[X) ~ dist(F,x) + dist(G,x)' je tato funkce všude definovaná a spojitá, im / C [0,1]. Přitom f{x) = 0 na F a f{x) = 1 na G, takže lze volit t/ = rl[o,i/2), y = ri(i/2,i]. Fenomén z předchozího příkladu je oddělování pomocí spojitých funkcí. Vrátíme se k němu později. 6. Kompaktní prostory Definice 6.1. Topologický prostor X se nazývá kompaktní, jestliže z libovolného jeho otevřeného pokrytí lze vybrat konečné podpokrytí. V dalším budeme velmi často využívat následující interpretaci kompaktnosti podprostoru A C X. Je-li IÁ systém otevřených množin v X takový, že A C [JU, pak existuje konečně mnoho Ui,..., Un G U tak, že A C U\ U • • • U Un. cv Příklad 6.2. M není kompaktní. cv Příklad 6.3. (a, b) není kompaktní (bez najití pokrytí). Věta 6.4. Uzavřený interval [a, b] je kompaktní. 8 Poznámka. Předchozí věta využívá úplnosti reálných čísel - neplatí totiž nad q. Interval [a, b]iQ = q n [a, b] není kompaktní: nechť c g (a, b) je iracionální. Pak [a, b]q = \^J[a,c- l/n)q U (c + 1/n, b]q. Důkaz. Nechť IÁ je otevřené pokrytí [a, b]. Uvažme T = {t g [a, b] j interval [a, t] lze pokrýt konečně mnoha prvky U}. Zjevně a g T a tedy T 7^ 0. Můžeme tedy položit tg = supT. Prvně ukážeme, že tg £ Existuje totiž U £ U tak, že tg £ a proto existuje nějaké ti < tg tak, že celý interval [ti,tg] c [/. Protože t± g T, platí [a, ti] c Ui u • • • u ř7n. Proto [a, tg] C Ui U • • • U Un U U. Nyní ukážeme sporem, že tg = b. Kdyby tg < b, opět dostáváme tg g U g IÁ a T obsahuje i nějaké íi g U, t± > íg. To je spor s tg = supT. □ Věta 6.5. Uzavřený podprostor kompaktního prostoru je kompaktní. Důkaz. Nechť F C X je uzavřený a U je nějaké systém otevřených množin s vlastností [JU ^ F. Potom V = IÁ U {X \ F} je otevřené pokrytí X. Díky kompaktnosti X je I = í/iU---Uf/nU(X\F) a proto F C f/i U • • • U Un. □ - konec 3. přednášky - Věta 6.6. Kompaktní podprostor Hausdorffova prostoru je uzavřený. Důkaz. Nechť C c X je kompaktní, x g' C. Chceme najít nějaké U 3 x, U D C = 0. Nechť y g C. Potom existují disjunktní Uy 3 x, Vy 3 y. Systém {Vy \ y g C} tvoří otevřené pokrytí C. Z kompaktnosti z něj lze vybrat konečné podpokrytí C c Vyi u • • • u Vyn. Potom x g uyi n • • • n uyn = u je otevřené okolí x a U H C = 0, protože ř7 n V^fe C ř7j,fe n V^fe =0. □ Důsledek 6.7. V kompaktním Hausdorffovu prostoru jsou uzavřené množiny právě kompaktní. Věta 6.8. (o součinu) Součin X x Y dvou kompaktních prostorů X, Y je kompaktní. Větu dokážeme později. Důsledek 6.9. Podmnožina w1 je kompaktní, právě když je uzavřená a ohraničená. Důkaz. „=>": Uzavřenost plyne z Hausdorffovosti wl, ohraničenost plyne z pokrytí Bk(0), A: g N. „<í=": Z ohraničenosti A C [— k,k]n, přičemž krychle [— k,k]n je kompaktní podle věty o součinu. Proto i její uzavřená podmnožina A je kompaktní. □ Věta 6.10. Spojitý obraz kompaktního prostoru je kompaktní. 9 Důkaz. Nechť / je spojité zobrazení / : X —> Y z kompaktního prostoru X a nechť IÁ je otevřené pokrytí }'{X). Potom = | U G U} je otevřené pokrytí X a tedy X = f-^Ui) U • • • U rHUn), neboli /(X) C XJX U • • • U Un. □ Věta 6.11. Spojitá bijekce f: X ^ Y z kompaktního prostoru X do Hausdorffova prostoru Y je homeomorfismus. Důkaz. Stačí ukázat, že f^1 je spojité, tedy že pro uzavřenou F C J je i f (F) uzavřená. Přitom je ale F kompaktní, tedy i f(F) je kompaktní a proto uzavřená. □ Definice 6.12. Nechť X je topologický prostor a nechť ~ je relace ekvivalence na X. Označme projekci p: X —> Definujme kvocientovou (identifikační) topologii na rozkladu X/~ jako {V C X/~ | p^iV) C X otevřená}. Rozklad X/~ společně s kvocientovou topologií nazveme kvocientem X podle relace ~. Základní vlastnost kvocientu je, že zobrazení /: X/~ —> Y je spojité, právě když je spojité fp:X^Y, A y A f P Ve spojení s předchozí větou lze některé kvocienty popsat velice konkrétně. Příklady 6.13. cv 1. Popište topologii kvocientu M/Q grupy M podle její podgrupy Q. Není ani Ti byť M je dokonce T4. cv 2. ([0,1] x 5n_1)/({0} x S'"-1) ^ Dn; zde X/A = X/~, kde a ~ a' pro libovolná a, a' G A. (Potřebné zobrazení jsou „polární souřadnice".) cv 3. Dn/Sn~1 = Sn. (Potřebné zobrazení je dané obíháním okolo Sn po hlavních kružnicích, pro něž je jednoduchá formulka.) cv 4. S1 x S1 = [0, l]2/~ (= M2/^2 - zde jde o kvocient grup). 5. Obrázek ilustrující ostatní plochy jako kvocienty mnohoúhelníků; poznámka o hyperbolickém dláždění. ** 6. SS™-1 ^ Sn ** 7. Přímka s dvojnásobným počátkem M x { — 1, l}/~, kde (x, —1) ~ (x, 1) kdykoliv - není Hausdorffův, byť je „lokálně Hausdorffův". dú 5 8. M2/~, x ~ y \x\ = \y\, je homeomorfní M>o Nyní dokážeme větu o součinu. Prvně uveďme lemma. Lemma 6.14. Nechť X je kompaktní prostor, Y libovolný, W C X x Y otevřená množina obsahující X x {y}. Potom existuje otevřené okolí V 3 y takové, že X x V C W. Důkaz. Z definice součinové topologie existují pro každé (x, y) otevřená okolí Ux 3 x a Vx 3 y tak, že Ux x Vx C W. Z pokrytí {Ux \ x G X} lze vybrat konečné podpokrytí UXl,..., UXn. Položme V = VXl D ■ ■ ■ DVXn. Pak f^i x V C ř7Ei x C W a tedy také X x V = \jUXi x V C W. □ 10 dú 6 Příklad 6.15. Dokažte, že lemma je ekvivalentní následujícímu tvrzení: projekce X xY —» Y je uzavřená, tj. obraz uzavřené množiny je uzavřený. Důkaz věty o součinu. Nechť W je otevřené pokrytí X x Y. Pro každé y &Y uvažme podpros-tor X x {y}, který je homeomorfní X a tedy kompaktní. Protože je W jeho otevřené pokrytí, lze vybrat W\)V,..., Wn,y g IÁ pokrývající X x {y}. Podle lemmatu obsahuje W\)V u • • • u Wn,y podmnožinu tvaru X x Vy. Vidíme tedy, že stačí pokrýt Y konečně mnoha Vy, protože je každé X xVy pokryto konečně mnoha prvky W. Protože je ale {Vy \ y g Y} otevřené pokrytí Y, plyne toto z kompaktnosti Y. □ Naším dalším cílem bude důkaz Tichonovovy věty o nekonečných součinech kompaktních prostorů. Dokážeme k tomu prvně tzv. Alexanderovo lemma. Lemma 6.16. Nechi X je topologický prostor. Pokud existuje subbáze S taková, že z každého otevřeného pokrytí U c S lze vybrat konečné podpokrytí, pak X je kompaktní. Důkaz. Důkaz je založen na axiomu výběru, konkrétně na principu maxima, či jak se to česky jmenuje. Předpokládejme, že X není kompaktní a vyberme maximální otevřené pokrytí IÁ, dú 7 které nemá konečné podpokrytí (předpoklady Zornova lemmatu se ověří jednoduše). Nechť x g X je libovolný bod. Jelikož je IÁ pokrytí, existuje x g U g IÁ. Protože je S subbáze, existují pak S\,..., Sn g S tak, že x g Si n • • • n Sn c U. Ukážeme nyní sporem, že nějaké Si je prvkem IÁ. Kdyby Si ^ IÁ, podle maximality IÁ existuje konečná UiCU tak, že {Si} u IÁí je pokrytí, tj. Ui pokrývá X \ Si. Potom ale IÁ\ u • • • u Un pokrývá {x \ Si) u • • • u {x \ sn) = x \ (Si n • • • n sn) 5 x \ u a tedy {U} u IÁ\ u • • • u Un pokrývá X, což je spor. Označíme-li příslušné Si g IÁ jako Sx, máme x g Sx g S D IÁ. Protože je ale {Sx \ x g X} c S otevřené pokrytí prvky S, lze z něj podle předpokladu vybrat konečné podpokrytí. To bude ale zároveň konečným podpokrytím IÁ, spor. □ Věta 6.17 (Tichonov). Součin libovolného množství kompaktních prostorů je kompaktní. Důkaz. Nechť X = YIí^Xí, kde Xi je kompaktní. Ukážeme, že subbáze {Pjľ(u) \J^Z,UC Xj otevřená} splňuje podmínky Alexandrova lemmatu. Nechť IÁ je otevřené pokrytí subbazickými množinami. Definujme Uj jako množinu těch otevřených U q Xj, že pJ1(Uj) g IÁ. Předpokládejme, že žádné Uj není pokrytí. Potom existuje, pro každé j g X, bod x j g X j tak, že x j ^ \}Uj. Potom ale bod se složkami {xj)j<^z neleží v \}IÁ, což je spor s tím, že IÁ je pokrytí. Proto je nějaké Uj pokrytí a díky kompaktnosti z něj lze vybrat konečné podpokrytí U\,..., Un- Potom zřejmě pj (Ui),... ,pj (Un) je konečné podpokrytí U. □ - konec 4. přednášky - Věta 6.18. Kompaktní Hausdorffův prostor je normální. 11 Důkaz. Nechť F C X je uzavřená, x ^ F. Pro libovolný y G -F existují Uy 3 x,Vy 3 y otevřené disjunktní. Protože je F kompaktní, existuje konečně mnoho yi,... ,yn G F takových, že F C Vyi U---UVyn, x G Uyi D ■ ■ ■ D Uyn; ty jsou otevřené a disjunktní, dú 8 Implikace T3=^>T4 je za domáci úkol. □ Hromadný bod posloupnosti (xn) je takový bod x, že pro každé otevřené okolí U 3 x existuje nekonečně mnoho členů xn G U. Naším cílem bude nyní ukázat, že metrický prostor je kompaktní, právě když má každá posloupnost hromadný bod. Říkejme této vlastnosti prozatím sekvenční kompaktnost. Definujme průměr diamA = sup{dist(x, y) \ x, y G A}. Věta 6.19 (Lebesgueovo lemma). NechilÁ je otevřené pokrytí (sekvenčně) kompaktního metrického prostom M. Potom existuje e > 0 takové, že každá podmnožina ACM průměru diam A < e leží v nějakém U E. U. Číslu z věty říkáme Lebesgueovo číslo pokrytí IÁ. Důkaz. Zjevně stačí najít e takové, že každá uzavřená koule o poloměru e leží v nějakém U G IÁ. Předpokládejme, že žádné takové e neexistuje a zvolme, pro každé n G N, kouli Bi/n(xn), která se nevejde do žádné U G IÁ. Přechodem k podposloupnosti můžeme předpokládat, ZG Xyi ^ X • Protože je IÁ otevřené pokrytí, existuje S > 0 tak, že F>2s{x) C U ^U. Pro n S> 0 je dist(xn,x) < S a l/n < S a proto Bi/n(xn) C B2s{x) C U, spor. □ Věta 6.20. Metrický prostor je kompaktní, právě když je sekvenčně kompaktní. Důkaz. Směr „=>" je jednoduchý. Nechť xn je posloupnost, která nemá žádný hromadný bod. Potom pro každé x G M existuje nějaká koule B£x{x) obsahující pouze konečný počet členů posloupnosti. Výběrem konečného podpokrytí dostaneme, že v celém prostoru je pouze konečně mnoho bodů posloupnosti, spor. Pro opačný směr „<í=" nechť e > 0 je Lebesgueovo číslo IÁ. Protože se každá koule o poloměru e vejde do nějaké U G U, stačí M pokrýt konečně mnoha koulemi poloměru e. Volme postupně posloupnost bodů, které jsou navzájem vzdáleny alespoň o e. Taková posloupnost musí být nutně konečná, protože žádná její podposloupnost není cauchyovská a nemůže tedy konvergovat; označme ji x±,..., xn. Potom M = Be{x\) U • • • U B£{xn). □ 7. Souvislost Klasicky se prázdný topologický prostor považuje za souvislý, z různých důvodů je ale výhodnější ho za souvislý nepovažovat. Tomuto dilematu se vyhneme tím, že se omezíme na neprázdné prostory. Definice 7.1. Nechť X je neprázdný topologický prostor. Řekneme, že X je souvislý, jestliže jediné podmnožiny A C X, které jsou zároveň otevřené a uzavřené, jsou 0 a V. Podmnožiny z definice (tj. ty, které jsou jak otevřené, tak uzavřené) se nazývají obojetné, anglicky clopen. Je-li U obojetná a V = X \ U její doplněk, pak celý prostor X je disjunktním slednocením X = U\JV. V části o oddělovacích axiomech jsme pomocí disjunktních otevřených množin oddělovali podmnožiny X a tento rozklad pak odpovídá tomu, že celý prostor se skládá za dvou oddělených částí. 12 cv Lemma 7.2. Neprázdný prostor X je souvislý, právě když každé spojité zobrazení x: X —> {O,1} je konstantní. Věta 7.3. Uzavřený interval [a, b] je souvislý. Poznámka. Tato vlastnost intervalu závisí, stejně jako kompaktnost, na úplnosti reálných čísel. Konkrétně [a, 6]q není souvislý: zvolme libovolné iracionální c s vlastností a < c < b, pak [a, b] Y je spojité zobrazení, kde X je souvislý. Nechť x: f(X) —> {0,1} je libovolná spojitá funkce. Potom je také xf'■ X —> {0,1} spojitá a tedy konstantní. Protože je /: X —> f{X) surjektivní, je také x konstantní. (Jinak: je-li U C f{X) obojetná, je obojetná if-Hu)cx.) □ Věta 7.5. Uzávěr souvislé podmnožiny je souvislý. Důkaz. Je-li x '■ A —> {0,1} spojitá funkce, pak její zúžení na A je konstantní, řekněme x\a = 0. Přitom X X(0) Je uzavřená množina obsahující A a tedy = A, tedy x Je konstantní. □ Věta 7.6. Nechi M je systém souvislých podmnožin v X takový, že A(~)B ^ 0 pro každé dvě A, B 6 M. Potom |J M je souvislý. Důkaz. Nechť /: [JA4 —> {0,1} je spojité zobrazení. Potom její zúžení na každé A £ M je konstantní, díky souvislosti A. Přitom musí být tato konstantní hodnota stejná pro všechna A £ M, díky neprázdnosti průniků. Tedy / je konstantní. □ Důsledek 7.7. Reálná osa M = UneBjt-n> n] Je souvislá. cv Příklad 7.8. Intervaly [a, b], [a, b), (a, b) jsou souvislé - dokažte. Pomocí odebírání bodů dále dokažte, že nejsou homeomorfní. ** Příklad 7.9. Dokažte, že prostor {(x,sinf) | x > 0} U{(0,y) | -1 < y < 1} je souvislý, ale nikoliv obloukově souvislý. Definice 7.10. Komponenta neprázdného prostoru X je maximální souvislá podmnožina. Věta 7.11. Libovolný topologický prostor je disjunktním sjednocením svých komponent. Tyto komponenty jsou uzavřené. 13 Důkaz. Nechť x G X a uvažme systém M = {A C X \ A souvislá, x G A}. Potom U M je souvislá podmnožina obsahující x, zjevně maximální. Kdyby dvě různé komponenty měly neprázdný průnik, bylo by jejich sjednocení souvislé, což by byl spor s maximalitou. Uzavřenost plyne z toho, že uzávěr souvislé podmnožiny je souvislý a z maximality. □ Definice 7.12. Řekneme, že topologický prostor X je totálně nesouvislý, jestliže jeho komponenty jsou jednobodové. dú 9 Příklad 7.13. Dokažte, že q je totálně nesouvislý. Množina obojetných množin společně s inkluzí, (Ob(X), C), tvoří Booleovu algebru (obo-jetné množiny jsou uzavřené na konečné sjednocení, konečné průniky a komplementy). Takto dostaneme všechny Booleovy algebry (až na izomorfismus). Po zúžení na kompaktní totálně nesouvislé prostor dostáváme jednoznačnou korespondenci, tzv. Stoneovu dualitu. - konec 5. přednášky - Příklad 7.14 (Cesta vyplňující čtverec). Začněme s cestou znázorněnou v prvním obrázku, kterou procházíme konstantní rychlostí, označme ji 71. V dalších krocích nahradíme všechny úseky 7n, které vypadají jako 71, odpovídajícími úseky vypadajícími jako 72. Všechny cesty jsou procházeny konstantní rychlostí. 7i 72 73 74 Položme 7 = limn^oo 7n. Jelikož 7n+i(í) a 7n(í) leží v temže čtverci o straně (l/2)n_1, je tato posloupnost stejnoměrně konvergentní a proto je 7 spojitá. Zbývá ukázat, že je surjektivní. Nechť x je libovolný bod čtverce a napišme ho jako průnik posloupnosti čtverců o stranách (l/2)n_1 znázorněných v obrázcích. V každém takovém čtverci leží nějaký bod 7n(ín) a proto je x = limn^oo 7n(ín). Přejitím ke konvergentní podposloupnosti můžeme předpokládat tn —> t a pak 7(í) = limn^oo 7(ín) = limn^oo 7n(ín) = x ze stejnoměrné konvergence. Jinak 0, X1X2X3X4 ... 1—> (0, x±x^ ...; 0, X2X4 ...). Příklad 7.15. Prostory M a W1, kde n > 1, nejsou homeomorfní - opět pomocí odebírání bodů. K tomu je potřeba dokázat, že Wl \ {0} je souvislý. Lze ho napsat jako sjednocení souvislých množin tvaru W x M± x W, kde M± je buď množina kladných nebo záporných čísel & i + l+ j=n. Tyto množiny sice nemají neprázdné průniky, ale to nastane pouze pro dvojice W x M+ xE3 a W x M_ xlJ a ty mají neprázdný průnik s kteroukoliv jinou množinou ze systému (n > 1). Věta 7.16. Součin dvou souvislých prostorů je souvislý. Důkaz. Nechť / :Ixľ-> {0,1} je spojité zobrazení a nechť {x, y) a {x', y') jsou dva body X xY. Potom f{x, y) = f{x', y) ze souvislosti X x {y} = X a f (x', y) = f{x', y1) ze souvislosti {x1} x Y ^ Y. Je tedy / konstantní. □ 14 Věta 7.17. Libovolný součin souvislých prostorů je souvislý. Důkaz. Nechť opět / : YlieI^í ~~^ 1} a nechť x = (xi) G /_1(0). Protože je / spojité, nabývá hodnoty 0 také na nějakém okolí pJ^Uj^ D ■ ■ -r\pJ^(Ujn) bodu x. Zejména / nabývá hodnoty 0 na všech bodech y splňujících Xj1 = yj1, Xjn = yjn. V předchozím důkazu jsme ukázali, že / má stejné hodnoty na bodech lišících se v konečně mnoha komponentách. Dohromady je / konstantní. □ Od teď budeme značit / = [0,1]. Definice 7.18. Cesta v X je spojité zobrazení 7: I —> X. Říkáme, že 7 spojuje body 7(0), 7(1)- Definice 7.19. Neprázdný prostor X se nazývá cestově souvislý (tradičně obloukově souvislý), jestliže lze každé dva jeho body spojit cestou. Věta 7.20. Libovolný cestově souvislý prostor je souvislý. Důkaz. Je-li *yx cesta spojující nějaký vybraný bod xq G X s bodem x, pak X = [Jxex 'im^fx, přičemž každý im^fx je souvislý (jako obraz /) a všechny se protínají v xq. □ V opačném směru věta neplatí vždy, ale pouze za jistých omezujících podmínek. Řekneme, že prostor X je lokálně cestově souvislý, jestliže cestově souvislá okolí tvoří bázi okolí v každém bodě, tj. jestliže pro každé okolí N 3 x existuje cestově souvislé okolí O splňující N ^) O 3 x. cv Příklad 7.21. Otevřené podmnožiny eukleidovských prostorů jsou lokálně cestově souvislé. Obecné podmnožiny lokálně cestově souvislé být nemusí (viz Přiklad 7.9). Lemma 7.22. Pokdu lze spojit cestou x s y a y se z, pak také x lze spojit cestou se z. cv Důkaz. Nechť 7 je cesta spojující x s y a S cesta spojující y se z. Položme ' 7(2í) 0 < t < 1/2 (T l í(2t-l) 1/2 < * < 1 Protože intervaly [0,1/2] a [1/2,1] tvoří konečné uzavřené pokrytí a na každém je ry*S spojité, je spojité na celém [0,1]. Přitom (7 * <5)(0) = 7(0) = x a (7 * <5)(1) = S(l) = z. □ Věta 7.23. Je-li X souvislý a lokálně cestově souvislý, pak je cestově souvislý. Důkaz. Nechť x G X a uvažme C (x) = {y G X \ x lze spojit cestou s y}. Podle předpokladu lokální cestové souvislosti je C{x) otevřená - kdykoliv lze x spojit s y a O je libovolné cestově souvislé okolí y, pak lze x spojit s kterýmkoliv bodem O. Jelikož je X disjunktním sjednocením C{x), kde x G X, je i doplněk C{x) otevřený a proto je C{x) obojetná. Přitom x G C (x), takže ze souvislosti plyne C (x) = X, a tedy x lze spojit s každým bodem X. □ dú 10 Poznámka. Pro obecný prostor X se množina C (x) z předchozího důkazu nazývá cestová komponenta a podobně lze ukázat, že pro lokálně cestově souvislý X se jeho komponenty shodují s cestovými komponentami. 15 8. Lokálně kompaktní prostory Definice 8.1. Hausdorffův prostor X se nazývá lokálně kompaktní (Hausdorffův), jestliže kompaktní okolí tvoří bázi okolí každého bodu, tj. pokud každé okolí N 3 x obsahuje kompaktní podokolí N C 3 x. Příklad 8.2. 1) Každý kompaktní Hausdorffův prostor je lokálně kompaktní, protože je regulární (uzavřená okolí tvoří bázi okolí) a uzavřená=kompaktní. 2) Každý eukleidovský prostor je lokálně kompaktní - uzavřené koule tvoří bázi okolí a jsou kompaktní. 3) Diskrétní prostory jsou lokálně kompaktní. 4) Racionální čísla q nejsou lokálně kompaktní - žádné okolí není kompaktní. Následující asi přeskočit, ten důkaz je dost o ničem; jinak samozřejmě pomůže obrázek -používal jsem konevnci kulaté=otevřené, hranaté=uzavřené. ** Věta 8.3. Má-li každý bod Hausdorffova prostoru X nějaké kompaktní okolí, pak je lokálně kompaktní. Důkaz. Nechť C je kompaktní okolí bodu x a N libovolné jeho okolí. Potom C D N je okolí x v kompaktním Hausdorffově prostrou C. Proto existuje kompaktní podokolí x G D C C D N. Protože je D okolím x v C a C je okolím x v X, je D také okolím x v X. □ Věta 8.4. Součin dvou lokálně kompaktních prostorů je lokálně kompaktní. Důkaz. Zjevně stačí najít kompaktní okolí (x,y) G X x Y, které se vejde do U x V 3 (x, y). Nechť U^)C3xaV^)D3y. Potom C x Ľ je ono hledané kompaktní okolí. □ Konstrukce 8.5 (jednobodová kompaktifikace). Nechť X je lokálně kompaktní prostor a oo ^ X. Položme X+ = X U {oo}. Definujme na X+ topologii následujícím způsobem: U C X+ je otevřená, právě když • oo ^ U a U je otevřená v X nebo • oo G ř7 a X \ ř7 je kompaktní. Tento prostor se nazývá jednobodová kompaktifikace prostoru X. dú 11 Příklad 8.6. Dokažte, že se jedná opravdu o topologii (k tomu budete potřebovat dokázat, že konečné sjednocení kompaktních podmnožin je kompaktní). Věta 8.7. Prostor X+ je kompaktní Hausdorffův prostor, jehož je X podprostorem. Důkaz. Zjevně všechny „stopy" X n U otevřených U C X+ jsou otevřené (k tomu je potřeba Hausdorffovost), takže je vskutku X podprostorem X+. Nechť IÁ je libovolné otevřené pokrytí X+. Pak nějaké Uq G IÁ obsahuje oo a z otevřenosti je X \ řTo kompaktní. Proto lze z IÁ vybrat konečně mnoho Ui,... ,Un pokrývajících X \ Xq. Dohromady Uq, Ui, ..., Un pokrývají X+. Body X lze oddělit otevřenými podmnožinami v X. Zbývá tedy oddělit x G X a oo. Díky lokální kompaktnosti existuje kompaktní okolí C 3 x. Z definice okolí C 5 U 3 x a potom U 3 x a X+ \ C 3 oo jsou hledané oddělující otevřené množiny. □ cv Příklad 8.8. Výše uvedenými požadavky je topologie na X+ jednoznačně určena. 16 cv Příklad 8.9. Popište jednobodovou kompaktifikaci Wl. (popsat stereografickou projekci Sn —> W1, x i—> f^rf, ukázat, že je spojitá společně se svou inverzí v i—> i+^l " e0 + • v ~ °bě jsou dány vzorečkem (moje univerzální zdůvodňování) - a použít předchozí příklad). Vzoreček pro inverzi lze nechat za DU s tím, že bych jim odvodil, že musí být tvaru eo + k (v — eo). 12 Příklad 8.10. Popište jednobodovou kompaktifikaci kompaktního Hausdorffova prostoru. - konec 6. přednášky - Tvrzení 8.11. Spojitá bijekce f: X —» Y mezi lokálně kompaktními prostory je homeomor-fismus, právě když je „řádné" (proper, tj. vzor kompaktní množiny je kompaktní). Důkaz. Podle definice topologie na jednobodové kompaktifikaci je /+ : X+ —> Y+ spojité, právě když je / řádné. Potom se ale jedná o spojitou bijekci mezi kompaktními Hausdorf-fovými prostory a tedy o homeomorfismus. Jeho zúžení / pak musí být také homeomorfis-mus. □ To lze (možná) použít na příklad stereografické projekce S'n\{eo} —> W1 - je však potřeba dokázat řádnost. Věta 8.12. Lokálně kompaktní prostory jsou právě otevřené podprostory kompaktních Haus-dorffových prostorů. Důkaz. „=>": každý lokálně kompaktní prostor X je otevřeným podprostorem X+. „<=": každý kompaktní Hausdorffův prostor je lokálně kompaktní a tyto jsou zjevně uzavřené na otevřené podprostory. □ Poznámka. Platí také, že uzavřená podmnožina lokálně kompaktního podprostoru X je lokálně kompaktní: kompaktní okolí x v F lze dostat jako průniky F s kompaktními okolími x v X. ** Ještě obecněji platí, že podmnožina A C X je lokálně kompaktní, právě když je průnikem otevřené a uzavřené podmnožiny (konkrétně je A otevřená v A). 9. Reálné funkce Definice 9.1. Kompaktifikace prostoru X je vložení X K prostoru X do nějakého kompaktního Hausdorffova prostoru K jako podprostoru takové, že platí X = K. Základním příkladem je výše zmiňovaná jednobodová kompaktifikace. Opačným extrémem je tzv. Stoneova-Čechova kompaktifikace, která naopak přidá bodů co nejvíce. Tato kompaktifikace funguje pro libovolné úplně regulární prostory - těmi se budeme zabývat v této kapitole. Definice 9.2. Nechť X je Ti topologický prostor. Řekneme, že X je T3i (úplně regulární), jestliže pro každý jeho bod x G X a uzavřenou podmnožinu F C X neobsahující x existuje spojitá funkce /: X —> [0,1] taková, že f{x) = 0 a f\p = 1. Příklad 9.3. Každý metrický prostor je úplně regulární. Dokázali jsme dokonce, že je „úplně normální", tj. že lze oddělit funkcí libovolné dvě uzavřené množiny. Za chvíli uvidíme, že tato podmínka je ekvivalentní normalitě. Věta 9.4. Úplně regulární prostory jsou uzavřené na podprostory a součiny. 17 Důkaz. Je-li A C X libovoný podprostor & x £ A, F C A uzavřená v A a neobsahující x, tak potom x a F jsou také disjunktní v X. Proto existuje /: X —> [0,1] oddělující x od F. Její zúžení na A odděluje x od F. Nechť nyní Xí jsou úplně regulární, i g X, a uvažme součin X = Yl^x^i- Je-li x g X aFCI uzavřená neobsahující x, potom x g X \ i7 (otevřená) a podle definice topologie součinu x g^(t/i)n• • • n^(t/n) a\F pro nějaké otevřené Uk C Xjfe. Přechodem k doplňkům F/u = Xjfe \ t/fc dostáváme pT^FOu-.-UpT1^) DF a uzavřená množina nalevo stále neobsahuje x. Stačí ji proto od x oddělit. Zvolme spojité funkce : Xjfe —> [0,1] oddělující Pjk{x) od i7*, a položme /(x) = max{/i(p3l(j;)),..., fn(pjn(x))}. □ cv Cvičení 9.5. Dokažte, že pro spojité funkce f,g: X —> M je spojitá i max{/,g}. Věta 9.6. Úplně regulární prostory jsou právě podprostory krychlí [0, l]s. Důkaz. Každý podprostor [0, l]s je úplně regulární podle předchozí věty. Nechť tedy naopak X je úplně regulární a položme S = {f : X —> [0,1] | / je spojité}. Komponenty t g [0, l]s budeme psát jako t f = p f (t). Definujme zobrazení h: X —> [0,l]s pomoci jeho komponent X--^[0,1}s [0,1] tedy h (x) = (f(x))feg. Podle univerzální vlastnosti součinu je h spojité. Dále ukážeme, že je injektivní a na závěr, že je homeomorfismem na svůj obraz. Nechť x, y g V jsou dva různé body a nechť /: X —> [0,1] je spojitá funkce oddělující x od y. Potom {h{x))f = 0 a {h{y))f = 1, proto h (x) ^ h{y). Zbývá ukázat, že obraz uzavřené množiny F C 1 je uzavřený v h{X). Zvolme proto libovolný bod h (x) ^ h(F) a hledejme jeho okolí disjunktní s h{F). Díky injektivitě platí x ^ F a proto existuje / : X —> [0,1] oddělující x od F. Potom ale (h(x))f = 0, zatímco Pf\h(f) = 1- Pľoto (pj)_1[0,1) je hledané otevřené okolí h (x) disjunktní s h{F). □ Důsledek 9.7. Topologický prostor má kompaktifikaci, právě když je úplně regulární. Důkaz. Pokud má X kompaktifikaci, je podprostorem kompaktního Hausdorffova prostoru, o kterém jsme dokázali, že je normální. Za chvíli uvidíme, že T4 T3i (Uryshohnova věta). Nechť naopak X je úplně regulární. Potom X je homeomorfní podprostoru krychle a tedy úplně regulární. □ Definice 9.8. Pro vložení h : X —> [0, l]s z předchozího důkazu položme P{X) = h(X). Jedná se o kompaktifikaci prostoru X a říká se jí Stoneova-C echová kompaktifikace. 18 Poznámka. Stoneova-Čechova kompaktiŕikace má následující univerzální vlastnost: je-li X <^-» K libovolná kompaktiŕikace, pak existuje jediné spojité rozšíření f3(X) —> K (jednoduše se rozšíří na zobrazení f3(X) —> /3(K) = K). Z tohoto důvodu se jedná o „největší" možnou kompaktifikaci. * Věta 9.9. Úplně regulární topologický prostor se spočetnou bází topologie je metrizovatelný. Důkaz. Analýzou důkazu věty o vložení do krychle lze jednoduše dospět k následujícímu pozorování. Nechť 5*0 C S = {f : X —> I spojité}. Potom zobrazení ho : X —> Ps° s komponentami ho = (f)/es0 je vložení, jestliže pro každou uzavřenou množinu F a bod x ^ F existuje / £ 5o taková, že f (x) = 0, f\p = 1. V dalším nalezneme spočetnou množinu 5*0 s touto vlastností. Potom ho '■ X <^-» lw a na 1^ existuje metrika dist(x,y) ='^2^E\xn - yn\. dú 13 Dokažte, že tato metrika zadává na lw součinovou topologii lw = f^nLi I- Metrika na X = ho{X) se pak dostane zúžením metriky na 1^. Zbývá nalézt Sq. Nechť [/Cl/ jsou bazické otevřené množiny. Pokud existuje nějaká spojitá /: X —> I s vlastností f\jj = 0, f\x^v = 1) nějakou takovou zvolme a označme Fuy. Položme 5*0 = {fu,V \ U C.V bazické takové, že fuy existuje}. Je potřeba ověřit podmínku. Nechť x ^ F, tedy x G X \ F. Podle definice báze topologie existuje bázická V s vlastností x G V C X \ F. Díky úplné regularitě pak existuje f: X —> I taková, že f{x) = 0 a f\x [0,1] takové, že f\p = 0 a f\c = 1. Důkaz. Položme Fq = F, XJ\ = X \ G. Hledáme tedy funkci / s vlastnostmi f\jjQ = 0, flx-^Ui = 1- Z normality existují Fo C U1/2 F1/2 — U\ (neboť X \ F1/2 je okolí X \ Ui disjunktní s Ui/2)- V dalším kroku dostáváme Fo C U1/4 C F1/4 C U1/2 C Fx/2 C ř/3/4 C F3/4 C Ui. a induktivně pak systém otevřených množin Um/2" a uzavřených množin i?m/2" splňující ř7r C Fr a pro r < s také i7,, C f/s. Položme /(a;) = inf{r = m/2n G [0,1] | x G ř7r}, přičemž /(a;) = 1, pokud x neleží v žádném Ur. Zejména tedy f\x-^Ui = lj zřejmě také /|jr0 = 0. Spojitost zobrazení / plyne z jednoduše ověřitelného vzorečku f^1{a,b) = {Ja [0,1] lze rozšířit na f: X —> [0,1]. 19 Důkaz. O něco symetričtější je případ funkce s hodnotami v intervalu [—1,1]. Definujme postupné aproximace rozšíření /, přičemž bude / = limn fn. Uvažme uzavřené množiny F = g_1[— 1, —1/3] a G = g~1[l/3,1] a zvolme libovolnou funkci f\ : X —> [—1/3,1/3] tak, aby fi\p = —1/3 a fi\c = 1/3. Potom \g{x) — fi{x)\ < 2/3. V dalším kroku se podobně snažíme aproximovat funkci g -f\: F [-2/3,2/3] a opět se nám podaří najít f2: X ->• [-2/32,2/32] tak, že \(g(x) - - f2{x)\ < 22/32... Obecně pak /„: X -> [-2n-73n, 2n~73n] a \g(x) - h(x) - ... - fn(x)\ < 2n/3n. Protože je posloupnost částečných součtů fi + ■ ■ ■ + fn stejnoměrně konvergentní, je součet f\ + f2 + • • • spojitá funkce a podle odhadů se na F shoduje s g. □ 10. Homotopie, fundamentální grupa, nakrytí Definice 10.1. Nechť X, Y jsou topologické prostory, fo, fi : X —> Y spojitá zobrazení. Řekneme, že fo, fi jsou homotopická, jestliže existuje spojité zorazení h : [0,1] x X —» Y takové, že h(0,x) = fo(x), h(l,x) = fi(x). Značíme fo ~ f±, případně h: fo ~ f±. Zobrazení h se nazývá homotopie mezi f o a f\. cv Příklad 10.2. Každá dvě zobrazení fo, fi : X —> W1 jsou homotopická. To samé platí pro libovolnou konvexní podmnožinu W1. Příklad 10.3 (důkaz později). Vložení S1 ->• r2 \ {0} není homotopické s žádným konstantním zobrazením. V dalším víceméně ukážeme, že homotopické třídy zobrazení S*1 —> M2 \ {0} jsou v bijekci s Z, přičemž číslo odpovídající zobrazení / je tzv. navíjecí číslo /, tj. počet oběhů / okolo počátku. Věta 10.4. Homotopie je relace ekvivalence na množině spojitých zobrazení. Důkaz. Pro reflexivitu / ~ / stačí vzít homotopii (t,x) 1—> f{x) („konstantní homotopie"). Pro symetrii h: fo^fi^h: f\ ~ fo stačí vzít h(t,x) = h{l — t,x). Je-li h: fo ~ f± a k: fi ~ f2, pak (h*k)(tx)-( M2Í'X)' je homotopie f o ~ f2- Její spojitost plyne z toho, že [0, |] x V a [^,1] x V tvoří konečné uzavřené pokrytí I x X. □ Věta 10.5. Jsou-li fo ~ /1: X —> Y a go ~ gi- Y —^ Z, potom také gofo ~ 51/1: X —^ Z. Důkaz. Nechť /i je homotopie f o ~ /1 a homotopie 50 ~ 5i- Potom fc(í, /i(í, x)) je homotopie mezi fc(0, h(0,x)) = gofo(x) a fc(l, h(l,x)) = gifi(x). □ - konec 7. přednášky - Definice 10.6. Prostory X, Y se nazývají homotopicky ekvivalentní, jestliže existují spojitá zobrazení f: X —>Y, g: Y —> X taková, že gf ~ idx, fg ~ idy. Značíme X ~ Y. Zobrazení / a g se nazývají homotopické ekvivalence. cv Příklad 10.7. Platí Mn ~ {*}, tj. Mn je stažitelný; Mn \ {0} ~ S n—l 20 Fundamentální grupa (Poincaré). Nechť xq,x±,X2 £ X jsou pevně zvolené body. Tak jako v důkazu tranzitivity definujme pro cestu 7 z xq do x\ a cestu S z a?i do a?2 jejich o^-J 0(2*), *G[0,é] P 7()" l 7(2*-1), Tato operace je „skoro asociativní", konkrétně asociativní až na homotopii. Definujeme ho-motopii cest mezi 70 a 71 jako homotopii h: [0,1] x [0,1] —> X splňující h(0,x) = 70(2:), fr(l,x) = 71 (x), fr(t, 0) = x0, ft(í, l)=xi. (Jinými slovy všechny cesty mezi 70 a 71 začínají a končí v týchž bodech xq, x\.) Speciálním případem cest jsou smyčky v xq, tj. cesty z xq do io- V takovém případě se homotopie cest nazývá homotopii smyček. Definujeme tvi(X,xq) = {smyčky v xq}/homotopie smyček. Na tti(X, xq) definujeme operaci [/3] ■ [7] = [(3 * 7]. Věta 10.8. Výše uvedená operace je dobře definovaná a zadává na tvi(X, xq) strukturu grupy. Důkaz. Je-li h homotopie smyček /3q ~ /3± a k homotopie smyček 70 ~ 71, pak (h*k)(t s)-í ň(2M)' je homotopie smyček /3o * 7o ~ /^i * 7i • Asociativita: definujme a * (3 * 7, smyčku, která projde všechny tři smyčky a, /3, 7 třikrát rychleji. Obě a * (/3 * 7), (a * (3) * 7 jsou nějaké reparametrizace, konkrétně a * (/3 * 7) = (a * (3 * 7) o ipri (a * /3) * 7 = (a * (3 * 7) o <^ř, kde (pr,(fi: I —> I jsou konkrétní spojitá zobrazení, viz obrázek. Protože je / konvexní, máme tfr ~ tpi a proto také a * (/3 * 7) ~ (a * /3) * 7. dú 14 Proč je to homotopie smyček? Jednotka je konstantní cesta e(t) = xq, opět 5*7 a 7 * e jsou „reparametrizace" smyčky 7. Inverze je dána smyčkou 7(í) = 7(1 — t). dú 15 Ukažte, že se jedná vskutku o inverzi. □ Příklad 10.9. Platí 7ri(Mn,0) = {e}. cv Příklad 10.10. Pokud lze xq,x± £ X spojit cestou, pak tvi(X,xq) = tvi(X,x\). Tento isomorfismus závisí na volbě cesty - identifikujte jej pro smyčku (tj. pro xq = x\). cv Příklad 10.11. Dokažte tti(X x Y, (xo,yo)) = tti(X,xq) x tvi(Y, yo). Definice 10.12. Disjunktní sjednocení topologických prostorů X, Y je množina XUY = ({0} x X) U({1} x Y) společně s topologií {W Q X UY \ X C\W Q X otevřená, Y n W C Y otevřená} 21 Poznámka. Alternativně je topologie dána {U U V \ U C X otevřená, V C Y otevřená}. Označíme-li inkluze i: X —> X \JY, j: ľ-íIUľ, má disjunktní sjednocení následující univerzální vlastnost tj. zobrazení /: X U Y —» Z je spojité, právě když obě zúžení fi:X^Z,fj:Y^Z jsou spojitá. To je proto, že X n U = i_1(ř7), Y n U = j_1(ř7). Zobrazení / značíme též / = [g, h], kde g = fi, h = fj jsou jeho zúžení na podprostory X, Y. cv Příklad 10.13. Dokažte, že topologický prostor je nesouvislý, právě když je homeomorfní disjunktnímu sjednocení dvou neprázdných prostorů. Je-li Z = X U Y jako množina, pak Z má topologii disjunktního sjednocení, právě když X, Y jsou obojetné. Poznámka. Pokud mají X, Y metriku, dodefinujme ji na metriku n&X\JY pomocí dist(x, y) = 1. To zadává na X U Y topologii disjunktního sjednocení. Definice 10.14. Nechť Xi, i G I, jsou topologické prostory. Definujeme disjunktní sjednocení jako \JieX Xi = \JieX{i} x Xi spolu s topologií {U C |J Xi | Vi G X : X,t n U C Xi otevřená} íex Topologický prostor \_\iex Xi má opět univerzální vlastnost a opět je každé Xi otevřený a uzavřený podprostor. Definice 10.15. Spojité zobrazení p: Y —> X se nazývá nakrytí, jestliže pro každé x £ X existuje otevřené okolí U 3 x a homeomorfismus P-HU) U kde [id]: \_\iex U —> U je zobrazení, které je na každém sčítanci identita, tedy ptp(i, x) = x. cv Příklad 10.16. Dokažte, že p: r —> S1, t ^ e2mt je nakrytí. Věta 10.17 (zvedání cest). Nechi p : Y —» X je nakrytí 07: / —> X cesta. Pro každé í/o g p_1(7(0)) existuje jediná cesta 7 : / —» Y taková, že 7(0) = yo, P7 = 7. Říkáme jí zvednutí cesty 7 začínající v y$. Důkaz. Z definice nakrytí je X pokryto otevřenými množinami U takovými, že p_1(ř7) = |J U; toto pokrytí označme U. Dále uvažme 7~1(ZY) = {'J~1(U) \ U g U}, otevřené pokrytí /. Podle Lebesgueova lemmatu existuje n g N takové, že každý interval [^——] leží v nějakém 1~\U) g -f-HU), tj. 7[^-i, £] C U. Definujme 7 postupně na intervalech [£ £],..., Rr1, 22 Nechť při homeomorfismu ip : Ujex^ — P_1iU) Je počáteční bod zvednutí 7Jji. 1j. □ Věta 10.18 (zvedání homotopií). Nechť p: Y —» X je nakrytí, h: I x P —» X homotopie a Hq-.P^Y (částečné zveduntí) takové, žep(ho(z)) = h(0,z). Potom existuje jediná homotopie h: I x P —» Y taková, že h(0, z) = ho (z), ph(t, z) = h(t, z). Říkáme jí zvednutí homotopie h začínající v ho. - konec 8. přednášky - ** Důkaz. Podle přechozí věty pro každé z G P existuje jediné spojité zvednutí h( — , z) začínající v ho (z), označme jej h( — ,z). Tím je dokázána jednoznačnost h, zbývá ukázat jeho spojitost. Nechť zq £ P je pevné a zvolme Ui,... ,Un C X otevřené tak, že h(—, zq)[^^, ^] C Uk. Nechť ifk : p_1(t/fc) = |J Uk je lokální trivializace a ik takový index, že (pkh(-,zo)[!^, C {ik} x Uk. Jednoduše se ukáže, že na nějakém okolí N 3 zq platí tytéž vztahy (použitím tube lemma). To ale znamená, že pro t G [^p> ^] a z £ JV platí (fkh(t, z) = (ik, h(t, z)). Protože je ipk homeomorfismus, je h\,k-i k,xN spojitá. Díky tomu, že jsou intervaly uzavřené a je jich konečně mnoho, je i h\iXN spojitá a tedy i h. □ Definice 10.19. Topologický prostor X se nazývá jednoduše souvislý (1-souvislý), jestliže je cestově souvislý a tti(X, xq) = {e} pro každé/nějaké xq G X. Lemma 10.20. Je-li X jednoduše souvislý a x,y G X, potom existuje cesta z x do y, jediná až na homotopii cest. Důkaz. Nechť 7, S jsou dvě cesty z x do y. Potom 7 * ey * S je smyčka v x. Díky jednoduché souvislosti je homotopická triviální smyčce. Tato homotopie lze „přeskládat" na homotopii mezi 7 a S, viz Věta 10.21. Nechť p: Y —» X je nakrytí, kde Y je jednoduše souvislý. Potom existuje bijekce mezi tti(X, xq) ap~1(xo). 23 Důkaz. Zafixujme yo G p 1(xq)- Definujme zobrazení P_1(^o) tti(X,x0), y ^ [p-fy], kde 7j, je libovolná cesta z yo do y. Podle definice je jednoznačná až na homotopii cest a tedy Ply Je jednoznačná až na homotopii smyček (p(yo) = xq = p(y)). Inverzní zobrazení je 7Ti(X, x0) ->• P_1(x0), [7] ^ 7(1), kde 7 je zvednutí 7 začínající v yo. Nechť [7] = [<5], tj. 7 ~ S jako smyčky, a nechť h je nějaká taková homotopie smyček. Podle věty o zvedání homotopii existuje jediné zvednutí h začínající v h(0, s) = yo, musí tedy být h(t, 0) = 7(í), h(t, 1) = <5(i) a proto h(l, s) je cesta z 7(1) do <5(1) ležící v p_1(xo). Protože je však p_1(a;o) diskrétní (z lokální trivializace nakrytí), musí být tato cesta konstantní a 7(1) = (5(1); proto je zobrazení dobře definované. Zbývá ověřit, že výše uvedená zobrazení jsou vzájemně inverzní. To je ale jasné vhodnou volbou dat, pomocí kterých se definují. □ Definice 10.22. Nechť p : Y —> X je libovolné spojité zobrazení, yo £ Y libovolný bod a xq = p(yo) G X jeho obraz. Definujeme indukované zobrazení P* ■ vřiyo) vri(X, x0), [7] ^ [p7]. Protože ^(7 * <5) = (^7) * (p<5), jedná se o homomorfismus grup. dú 17 Příklad 10.23. Dokažte, že pro nakrytí p: Y —> X je indukované zobrazení injektivní. ** Věta 10.24. Nechť p: Y —?► X je nakrytí, Y cestově souvislý. Potom existuje bijekce mezi p*7Ti(Y, yo)\vři(-X", xq) ap^1{xo) (připomeňme, že kvocient H\G je množina tříd Hg, g G G). cv Příklad 10.25. Spočtěte fundamentální grupu kružnice 7ri(1S'1,l) a popište reprezentanty všech homotopických tříd. (Podle předchozí věty je v bijekci se Z; dokažte, že je to ve skutečnosti isomorfismus grup. Reprezentanti jsou dáni zobrazeními z 1—> z11.) ** Příklad 10.26. Fundamentální grupa S*1 V S1, jeho nekonečné nakrytí a nekonečně generovaná volná podgrupa volné grupy na dvou generátorech. Nechť / : X —> X je zobrazení X do sebe. Řekneme, že x G X je pevný bod f, jestliže f(x) = x. Věta 10.27 (Brouwerova věta v dimenzi 2). Každé spojité zobrazení f: D2 —> D2 má pevný bod. Důkaz. Důkaz zredukujeme na následující tvrzení: neexistuje retrakce D2 na S1, tj. spojité zobrazení r: D2 —> S1 takové, že r\si = id. Kdyby r existovalo, dostali bychom S1 c-► D2-► S*1 TTlOS1, 1) -^l{D2, 1) -►TTlCS1, 1) II II II Z {e} Z přičemž podle definice retrakce je složení rovno id, a tedy id^ by se faktorizovala přes {e}, což nelze. 24 Zbývá ukázat, jak z neexistence retrakce plyne Brouwerova věta - opět sporem. Kdyby existovalo spojité zobrazení /: D2 —> D2 bez pevného bodu, vyrobíme z něj retrakci r tak, že r(x) bude průsečík S*1 s (otevřenou) polopřímkou vedenou z f(x) bodem x. Jednoduše lze pro r odvodit formulku, která dokazuje, že je to spojité zobrazení. □ Věta 10.28 (Základní věta algebry). Každý nekonstantnípolynom nad C má kořen. Důkaz. Základní myšlenkou důkazu je, že lze spočítat počet kořenů (počítaných podle své násobnosti) uvnitř daného kruhu. Ukážeme si to prvně na triviálním příkladu polynomu fn(z) = zn. Zabývejme se smyčkou ^y(t) = Re2mt, která ohraničuje kruh o poloměru R. Složení /n7 : / —> M2 \ {0} je dáno předpisem fninif)) = Re27rmt a oběhne počátek právě n-krát; proto v grupě 7ri(M2 \ {0}, 1) = Z reprezentuje prvek n. Hlavní ideou důkazu pak bude, že to samé platí pro libovolný polynom g stupně n - pokud všechny jeho kořeny leží uvnitř kruhu o poloměru R, pak 57 je smyčka reprezentující prvek n. Nechť g(z) = zn+an_izn_1 + - • -A-aiz+aQ. Prvně omezíme možné kořeny tohoto polynomu. Nechť R > |an_i| + • • • + |ai| + |ao|> Ä > 1. Potom pro \z\ = R platí \g{z)\ > \zn\ - |an-i^n_1 H-----h a±z + a0\ >Rn- flan-iliT-1 + • • • + |ai|Ä + \ao\) > R^^R - (|an_i| + • • • + M + |a0|)) > 0 a tedy g má všechny své kořeny uvnitř kruhu o poloměru R. Ze stejného důvodu má pro í £ í polynom zn + í(an_izn_1 + • • • + a\z + ao) kořeny pouze uvnitř kruhu o poloměru R. Uvážíme opět smyčku 7(í) = Re2mt. Pak výše uvedená homotopie polynomů určuje homotopii 57 ~ fn^ smyček vť \ {0}. Spočítali jsme, že druhá smyčka reprezentuje prvek jiěZ = 7Ti(M2 \ {0}, 1) a to samé tedy platí pro 57. Předpokládejme nyní, že g nemá žádné kořeny. Pak libovolná homotopie h : 7 ~ e s konstantním smyčkou zadává homotopii smyček 57 ~ e v M2 \ {0}. To je ale možné pouze pro n = 0. □ Poznámka. V důkazu jsme „počítali" pouze kořeny uvnitř dostatečně velkého kruhu. Stejně lze počítat kořeny g uvnitř libovolné oblasti omezené křivkou 7: / —> C jakožto homotopickou třídu smyčky 57 v r2 \ {0}. Z tohoto principu plyne i „spojitá závislost" kořenů na polynomu. Je-li zq kořen polynomu g a g' je polynom blízký g, potom g' má kořen blízký zq. - konec 9. přednášky - cv Příklad 10.29. Dokažte, že Tii(Sn) = {e} pro každé n > 1. (Nápověda: každou cestu rozsekejte na navázání cest, které leží v doplňku severního/jižního pólu a každou pozměňte homotopii na cestu s „malým obrazem".) cv Příklad 10.30. Uvažujme na Vn = V(Wl+1) topologii kvocientu S'n/~, x ~ —x. Dokažte, že zobrazení Sn —> Vn, x 1—> [x], je nakrytí a spočtěte 7ri(Pn), n > 1. (Nápověda: leží-li otevřená množina U uvnitř jedné hemisféry, pak pro kanonickou projekci p: Sn —?► Vn platí, že p: U ^> p(U); důvodem je, že p je otevřené.) dú 18 Příklad 10.31. Předchozí zobecnit na „properly discontinuous" akce (viz Bredon, ale název nesedí s klasickou definicí), tj. akce splňující: pro každý bod x £ X existuje okolí U 3 x takové, že gU n U = 0 pro g 7^ e. V takovém případě je projekce X —> G\X nakrytí a pokud je X jednoduše souvislé, pak tt\{G\X) = G. 25 19 Příklad 10.32. Popište fundamentální grupu Kleinovy láhve jakožto G\M.2. ** Příklad 10.33. Dokažte, že pro cestově souvislý prostor X platí [S^X] = 7ri(X)/conj. 11. Simpliciální komplexy, Brouwerova věta, invariance dimenze V dalším dokážeme Brouwerovu větu v obecné dimenzi. Věta 11.1 (Brouwerova věta). Každé spojité zobrazení Dn —> Dn má pevný bod. Prvně si rozmysleme, co říká v dimenzi 1. Máme D1 = [—1,1] a tedy tvrdíme, že každé zobrazení /: [—1,1] —> [—1,1] má pevný bod. To ale plyne z toho, že /(— 1) > —1, /(l) < 1 a tedy někde v intervalu [—1,1] musí být f(x) = x. Brouwerovu větu budeme dokazovat kombinatoricky. Proto prvně potřebujeme nahradit disk Dn nějakým kombinatorickým objektem. K tomu nám poslouží následující věta, ve které dX = X \ X je hranice X. Věta 11.2. Nechi X C W1 je kompaktní konvexní podmnožina s neprázdným vnitřkem. Potom existuje homeomorfismus h: Dn —> X takový, že h(Sn^1) = dX. Důkaz. Nejprve můžeme případným posunutím X, které je homeomorfismus, dosáhnout toho, že počátek 0 je vnitřním bodem X. Definujme zobrazení d: S11^1 —> M+ jako d(v) = max{í G M+ | tv G X}. Protože je 0 vnitřním bodem, je výše uvedená množina neprázdná a díky kompaktnosti také ohraničená a uzavřená; proto maximální prvek existuje. Důležitým krokem bude ukázat spojitost zobrazení d. Potom definujeme tí: I x S'^1 -+ X, h'(t, v) = td(v)v; to zřejmě posílá {0} x S11^1 na 0 a indukuje tak zobrazení h: Dn^(Ix S'"-1)/^} x S'"-1) X, které je spojité a podle definice také bijekce mezi kompaktními Hausdorffovými prostory. To je onen hledaný homeomorfismus. Ukážeme prvně, že pro t G M+ a v G S11^1 platí tv G X, právě když t < d(v). To přesně odpovídá podmínce h(Sn~1) = dX. Zjevně pro vnitřní bod tv je t < d(v). Naopak stejnolehlost se středem v d(v)v převádějící 0 na tv posílá nějakou kouli Be(0) C X na nějakou kouli B£i (tv) C X a proto je tv vnitřní. Nyní dokážeme spojitost zobrazení d. Nechť vn —> v je konvergentní posloupnost. Protože je d(Sn~1) omezená, stačí dokázat, že každá konvergentní podposloupnost d(vn) konverguje k d(v). Předpokládejme pro jednoduchost, že sama d(vn) konverguje k nějakému t. Protože d(vn)vn tv a posloupnost vlevo leží v X, musí také to £ X a proto t < d(v). Předpokládejme nyní, že t < d(v). Potom tv je vnitřní bod X a proto také d(vn)vn je vnitřní bod pro n>0. Podle předchozího odstavce se ale jedná o hraniční body, spor. □ 26 Nyní popíšeme náš kombinatorický model disku Dn. Řekneme, že body Aq, ..., Ak G Mn jsou afinně nezávislé, jestliže A\ — Aq, ..., Ak — Aq jsou lineárně nezávislé vektory. Simplexem dimenze k (také fc-simplex) nazveme konvexní obal s = [A0, ...,Ak]= {ŠqAq + ■■■ ÍkAk | ii > 0, & + • • • + ík = 1}, afinně nezávislých bodů Aq, ..., Ak. Příklad 11.3. Standardní simplex Ak dimenze k je definovaný jako konvexní obal Ak = [eo, • • •, ek] vektorů standardní báze Mn+1. Je-li s = [Aq, ..., Ak] libovolný jiný fc-rozměrný simplex, pak existuje jediné afinní zobrazení Ak —> s posílající e\ na A\ a jedná se o homeo-morfismus. Libovolné dva simplexy dimenze k jsou tedy homeomorfní. Podle předchozí věty je libovolný simplex dimenze n homeomorfní Dn - protože jsou každé dva simplexy dimenze n homeomorfní, plyne to z případu konvexního obalu n-tice afinně nezávislých bodů v W1 (ten má neprázdný vnitřek). Stěna simplexu s je [AiQ,..., Aie], kde 0 < Íq, ..., Í£ < k (a můžeme předpokládat, že jsou tyto indexy navzájem různé a uspořádané). Kombinatorický vnitřek s je intcs = {£0A0 + • • • £kAk | & > 0, £0 + • • • + = 1} a kombinatorická hranice pak dcs = s \ intc s. Simpliální komplex K v W1 je konečná množina simplexů taková, že • každá stěna simplexu z K leží v K, • jsou-li s, t dva simplexy z K, pak s n t je jejich společná stěna. Tělesem komplexu K je množina \K\ = |J K = [JseK s. Podmnožina P C Wl se nazývá polyedrem, jestliže existuje simpliciální komplex K takový, že P = \K\. Simpliciální komplex K se pak nazývá triangulací polyedru P. Příklad 11.4. Čtverec má triangulaci sestávající se ze dvou trojúhelníků. Složitější je krychle - ta má triangulaci sestávající se z šesti čtyřstěnů. Podrozdělení L komplexu K je simpliciální komplex takový, že \L\ = \K\ a každý simplex s G L leží v nějakém simplexu t G K, tj. s C t. B ary centrické podrozdělení sd K je definováno následovně: sd[Ao,..., Ak] je dáno všemi stěnami fc-simplexů [Aí0, \ {Ai0 + A^),..., -^y[{Ai0 + • • • + -Ajfe)], kde íq, ..., ik je libovolná permutace 0,..., k; barycentrické podrozdělení sd K je sjednocením všech sd s, s G K. Jemnost triangulace K je fi(K) = maxjdiams | s G K} = max{dist(A, B) \ [A, B] G K}, tj. největší průměr simplexu K nebo, ekvivalentně, největší vzdálenost bodů spojených hranou. Lemma 11.5. /x(sdK) < ^L.^K). Důkaz. V důkazu několikrát využijeme následující pozorování: největší vzdálenost bodu od bodu simplexu se vždy realizuje v nějakém vrcholu tohoto simplexu.1 největší vzdálenost bodu X od s je stejná jako největší vzdálenost X' od s, kde X' je projekce X do lineárního podprostoru L generovaného s. Podle důkazu předchozí věty (s má neprázdný vnitřek uvnitř Ľ) je tato maximální pro body z hranice. Dále se použije indukce. 27 Tvrzení zřejmě stačí dokázat pro simplex s = [Aq, ..., A^]. Nechť t je simplex jeho barycentrického podrozdělení. Průměr t je maximální délka hrany mezi jeho vrcholy. Pokud tato hrana neobsahuje -^-^{Aq + • • • + Ak), jedná se o simplex barycentrického podrozdělení nějaké stěny s a můžeme použít indukci vzhledem k dimenzi k. Maximální vzdálenost -^-^{Aq + - ■ - + Ak) od vrcholů barycentrického podrozdělení nastane pro některý vrchol Aí a tedy /x(sds) < max{dist(Aj, ^(A) H-----h Ak)) \ i = 0,... ,k}, přičemž dist(A, k+r(Ao -\-----h Ak)) = ^ dist(A, ±{Ai H----Aí----Y ak)) a toto je omezeno k^-násobky vzdáleností Aí od některého z vrcholů Aj, j 7^ i. □ Věta 11.6 (Spernerovo lemma). Nechť T je triangulace simplexu [aq,...,an] a nechť tp je zobrazení množiny vrcholů T do množiny {0,..., n} takové, že pro B G [Aíq, ..., Aik] je dcAn. Z případné retrakce zkonstruujeme označení vrcholů sd^ An, N > 0, které 2 Formálně to plyne z toho, že každý n-simplex s mající r za stěnu leží právě v jednom z poloprostorů určených r. Pokud tedy existuje takový s jediný, nemůže r ležet uvnitř [Ao, ■ ■ ■, An]. V případě, že dva takové n-simplexy s, s' leží v témž poloprostoru, tak se protínají v nějakém vnitřním bodě; tato možnost tedy nemůže v simpliciálním komplexu nastat. 28 bude v rozporu se Spernerovým lemmatem. Označení tp(B) vrcholu B g sd An je dáno indexem i libovolného takového e^, pro nějž ve vyjádření r(B) = £0e0 H-----h £nen je £j největší ze všech (těch může být víc - v takovém případě vybereme libovolný z nich; vrchol ej je nejblíž k bodu r{B)). Myšlenkou důkazu pak je, že při dostatečně jemné triangulaci budou obrazy simplexů malé a nebudou moct mít vrcholy označené všemi 0,..., n. Nyní definujeme otevřené pokrytí Uq, ..., Un hranice dcAn předpisem Ui = fôjeo H----Uen | & < ^} Protože jsou £j nezáporná a jejich součet je 1, je jediným bodem An nepatřícím do UqU- • -Uř7n barycentrum ^i(eo + • • • + en), které ovšem neleží na hranici. Zároveň je také zřejmé, že pro r{B) g Ui není nejbližší vrchol k r (B). Podle Lebesgueova lemmatu existuje e > 0 takové, že každá podmnožina průměru e leží v některé z r_1(ř7o), • • • ,r~1(Un). Zvolme N S> 0 tak, aby //(sd^ An) < e. Potom pro s g sdN An bude platit r(s) c C/ť pro nějaké i a zejména všechny vrcholy s budou ohodnoceny čísly z množiny {0,..., i — 1, i + 1,..., n}. Ke sporu se Spernerovým lemmatem pak stačí ověřit hraniční podmínku. Nechť tedy B g sd^ An je vrchol ležící ve stěně [ej0,..., ejj. Potom r{B) = B = £oeo + • • • + Ínen s koeficienty £j = 0 pro všechna j ^ {íq, • • •, ik}] zejména ip{B) g {ío5 • • • > D Věta 11.7 (o invarianci dimenze). Pokud W1 = Mm jsou homeomorfnt, potom n = m. Začneme s jednoduchou redukcí. Pokud W1 = W11, budou homeomorfní i jednobodové kompaktifikace, Sn = Sm. V dalším ukážeme, že sféry různých dimenzí nejsou dokonce ani homotopicky ekvivalentní. Řekneme, že zobrazení / : X —> Y je nepodstatné, je-li homotopické konstantnímu zobrazení. V opačném případě řekneme, že je podstatné. Věta 11.8. Nechť Y je topologický prostor. Spojité zobrazení f : Sn —^ Y je nepodstatné, právě když lze spojitě rozšířit na Dn+1. cv Důkaz. Pokud lze / rozšířit na g : Dn+1 —> Y, homotopie / s konstantním zobrazením je třeba h(t,x) = g{tx); je totiž h(0,x) = g(0) = const a h{l,x) = g{x) = f{x). Nechť naopak h: / x Sn —> Y je homotopie mezi konstantním zobrazením a /. Jelikož je h(0, x) nezávislé na x, dostáváme z univerzální vlastnosti kvocientu spojité zobrazení tí: Dn+1 = (I x S'n)/~ —^ Y, kde (0,x) ~ (0,x'). To je hledané rozšíření. □ Věta 11.9. Každý homeomorfismus f: Sn —^ Y je podstatný. Důkaz. To je přímý důsledek Brouwerovy věty a předchozí věty. Případné rozšíření g: Dn+1 —> Y by dávalo retrakci Dn+1 i^Y 1^ Sn. □ Zejména platí, že žádná sféra Sn není stažitelná, tj. homotopicky ekvivalentní jednobodovému prostoru. To je totiž ekvivalentní tomu, že identita je nepodstatná. 29 * Příklad 11.10. Dokažte, že každá homotopická ekvivalence /: Sn —> Y je podstatná. V dalším ukážeme, že každé zobrazení f : Sn —> Sm, n < m, je nepodstatné. Podle předchozího pak nemůže být homeomorfismus, což dokazuje větu o invarianci dimenze. Definice 11.11. Nechť K, L jsou dva simpliciální komplexy. Řekneme, že zobrazení / : \K\ —> \L\ je simpliciální vzhledem k triangulacím K, L, jestliže pro libovolný simplex s = [A0,...,Ak] G Kp\&tí[f(A0),...,f(Ak)] G L a na s je/ afinní, tj. platí /(£0A) H-----\-íkAk) = (af{Ao) + --- + Íkf{Ak). Zdůrazněme, že vrcholy /(Aq), ... ,f(Ak) nemusí být různé, dostáváme tak simpliciální zobrazení z trojúhelníku na úsečku. To příliš nekoresponduje s kombinatorickou definicí sim-pliciálního komplexu jako množiny simplexů různých dimenzí, které něco splňují - dalo by se předpokládat, že simpliciální zobrazení bude posílat fc-simplexy na fc-simplexy. Míra obecnosti definice je však potřeba - jinak by neexistovalo žádné simpliciální zobrazení netriviálního polyedru do bodu.3 Věta 11.12. (o simpliciální aproximaci) Nechť K, L jsou dva simpliciální komplexy a nechť f: \K\ —> \L\ je spojité zobrazení. Potom existuje podrozdělení K' triangulace K takové, že f je homotopické zobrazení g: \K'\ —> \L\, které je simpliciální vzhledem k triangulacím K', L. Před vlastním důkazem věty o simpliciální aproximaci dokažme větu o invarianci dimenze. Důkaz věty o invarianci dimenze. Jak již bylo řečeno, stačí ukázat, že každé zobrazení / : Sn -> Sm, n < m, je nepodstatné. Díky homeomorrismům Sn ^ <9An+1, Sm ^ <9Am+1 pak stačí, že každé zobrazení /' : dAn+1 —> dAm+1, n < m, je nepodstatné. Podle věty o simpliciální aproximaci je /' homotopické simpliciálnímu zobrazení g' : \K\ —> \L\. Protože je g' na každém simplexu afinní, je jeho obraz sjednocením simplexů dimenzí nejvýše n a zejména není g' surjektivní (protože má L větší dimenzi). Zpětným přechodem ke sférám je / homotopické zobrazení g, které není surjektivní a tedy g: Sn Sm\{P}^ Sm. Protože je Sm \ {P} = Mm stažitelný, je první zobrazení homotopické konstantnímu a to stejné tedy platí i pro kompozici g. □ Nyní se vrátíme k důkazu věty o simpliciální aproximaci. Označme pro vrchol A triangulace K jeho otevřenou hvězdu st(A)= {J mtc[A, Au ..., Ak], [a,au...,ak]eK tj. sjednocení vnitřků všech simplexů obsahujících A. dú 20 Dokažte, že st (A) C \K\ je otevřené okolí bodu A. Protože je Pli=o st(^«) sjednocením vnitřků těch simplexů, které obsahují všechny vrcholy Aq, ..., Ak, je tento průnik neprázdný, právě když [Aq, ..., Ak] G K. To se nám bude hodit v důkazu. 3Formálně lze tento „problém" obejít tak, že uvážíme také formální „degenerované" fc-simplexy [Aq, ..., Ak] u nichž nepožadujeme, aby vrcholy byly různé (stále ale chceme, aby množina {Ao,...,Ak} byla afinně nezávislá). Tyto úvahy vedou na tzv. simpliciální množiny. 30 Důkaz věty o simpliciální aproximaci. Simpliciální zobrazení g je jednoznačně určeno svými hodnotami na vrcholech triangulace K', která bude násobným barycentrickým podrozdělením, K' = sdN K. Homotopie mezi / a g bude lineární - potřebujeme tedy, aby pro každý x G \K\ ležely f(x), g{x) v témž simplexu L. Nechť ./V S> 0 je takové, aby se otevřená hvězda každého vrcholu A G K' = sáN K zobrazila pomocí / do otevřené hvězdy nějakého vrcholu B G L. To je možné proto, že {st(i3) | B G L} je otevřené pokrytí |L|, tedy U = {f~1(st(B)) | B G L} otevřené pokrytí \K\, a st(A) C B^K/-j(A). Stačí tedy zvolit ./V tak, aby jemnost ^{K') byla menší než Lebesgueovo číslo otevřeného pokrytí IÁ. Nyní můžeme definovat g{A). Zvolme vrchol B G L libovolně tak, aby f(st(A)) C st(B) a položme g (A) = B. Nechť [A0, ...,Ak] G K'. Potom k f{mtc[A0,...,Ak}) C f]st(g(Ai)) i=0 a průnik napravo je tedy neprázdný; to ale znamená, že [g(Aa),..., g(Ak)] G L a g je opravdu simpliciální. Nechť x leží uvnitř [Ao,...,Afc]. Podle předchozího pak f{x) leží ve vnitřku nějakého simplexu s obsahujícího g(Ao),..., g(Ak). Protože g{x) leží uvnitř simplexu [gi(Ao),..., g(Ak)], který je stěnou s, leží úsečka spojující f(x), g{x) v s C \L\ a lineární homotopie mezi f a g má opravdu hodnoty v \L\. □ - konec 11. přednášky - 12. Kompaktně generované Hausdorffovy prostory Definice 12.1. Topologický prostor X se nazývá kompaktně generovaný Hausdorffův (CGH), jestliže je Hausdorffův a pro podmnožinu A C X platí: je-li pro každou kompaktní C C X průnik C D A otevřený v C, pak A je otevřená. V dalším budeme množinu A, pro níž je CD A C C otevřená, nazývat kompaktně otevřená. Analogicky se definuje kompaktně uzavřená množina. Je tedy X kompaktně generovaný, jestliže každá kompaktně otevřená množina je otevřená. Příklad 12.2. Každý lokálně kompaktní Hausdorffův prostor X je kompaktně generovaný: nechť U je kompaktně otevřená a x G U. Existuje kompaktní okolí C 3 x a díky definici kompaktní otevřenosti je C D U CC otevřená, tedy průnikem C D V s otevřenou množinou l^CI. Protože jsou obě C, V okolími x, je také C(~)U = C(~)V okolím x a tím spíš U 5 C(~)U. Nechť X je Hausdorffův prostor. Označme kX množinu X společně s topologií danou systémem kompaktně otevřených podmnožin. cv Cvičení 12.3. Zobrazení /: kX —> Y je spojité, právě když /: X —> Y je spojité na každé kompaktní podmnožině. Lemma 12.4. Prostor kX je kompaktně generovaný Hausdorffův prostor. Důkaz. Protože je v kX víc otevřených množin, je to zřejmě Hausdorffův prostor. Ukážeme, že má stejné kompaktní podprostory. Identické zobrazení kX —> X je spojité a proto každý kompaktní podprostor kX je kompaktní i v X. Nechť naopak C C ľ je kompaktní. Podle 31 cvičení je složení C —> X —> kX spojité (neboť id: kX —> kX je spojitá), takže jeho obraz je kompaktní množina. Dvě možné topologie na C, jako podprostoru X a jako podprostoru kX, jsou totožné, protože obě identity na C jsou spojité. Kompaktně otevřené množiny X a kX jsou tedy stejné a proto je kX kompaktně generovaný (kompaktně otevřená podmnožina kX je kompaktně otevřená v X, tedy otevřená v kX). □ Definice 12.5. Nechť Y, Z jsou topologické prostory. Na množině spojitých zobrazení ZY = {/: Y -+Z\f spojité} definujme compact-open topologii pomocí subbáze M(C,U) = {f £ZY \f(C)CU}, kde C C y je kompaktní a U C Z otevřená. * Příklad 12.6. Nechť Y je kompaktní Hausdorffův prostor a Z metrický prostor. Definujme metriku stejnoměrné konvergence na ZY pomocí předpisu dist(/,p) = max{dist(/(y),0(y)) | y G Y}. Tato metrika zadává na ZY přesně compact-open topologii. O něco obecněji pro lokálně kompaktní Hausdorffův prostor Y je compact-open topologie na ZY dána stejnoměrnou konvergencí na kompaktních podmnožinách. Pro zobrazení /:Ixľ->Z definujme : X —> ZY, f^(x)(y) = f(x,y). Naopak, pro g: X —> ZY definujme g$: X x Y —> Z, g$(x,y) = g(x)(y). Definujeme X x& Y = k(X x Y). Důležitost této konstrukce spočívá v následující větě. Věta 12.7 (o adjunkci). Nechi X, Y jsou kompaktně generované Hausdorffovy prostory a Z libovolný prostor. Potom zobrazení f: X x & Y —?► Z je spojité, právě když je spojité zobrazení f: X -> ZY. Důkaz. Spojitost stačí ověřit na každé kompaktní podmnožině C C X a lze vyjádřit následovně. Nechť M(D, U) je subbazická množina. Pak {xeC\Vy£D: f(x,y)£U} je otevřená v C. To plyne ze spojitosti / : X x Y —>Zn&CxD&z kompaktnosti D s použitím „tube lemma". Spojitost / je ekvivalentní spojitosti /: X x Y —> Z na každé kompaktní množině C x D C X x Y. Nechť U C Z je otevřená a nechť f (x,y) G U. Protože je f (x, —) : Y —?► Z spojité & D C Y lokálně kompaktní, existuje kompaktní okolí y G D' C D takové, že f (x, D') C U. To znamená, že x G (f^)~1(M(D', U)) a ze spojitosti existuje okolí x G C" C C takové, že f\C) C M(ZT, f/), tj. f (C x D') C ř7. Tedy / je spojité na C x D. □ Poznámka. Spojitost /b je ekvivalentní spojitosti : X —> k(ZY). To znamená, že kategorie kompaktně generovaných Hausdorffových prostorů je kartézský uzavřená (neboť X x k Y je součin v této kategorii a k(ZY) je objekt funkcí). 32 Nechť ~ je relace ekvivalence na kompaktně generovaném Hausdorffově prostoru X taková, že X/~ je opět Hausdorffův. Pak je kompaktně generovaný Hausdorffův. To plyne z toho, že projekce X —> X/~ indukuje spojité zobrazení X = kX —> fc(X/~). Protože je ale X/~ největší topologie, pro kterou je toto zobrazení spojité, a má víc otevřených množin, musí být = tj. X/~ je kompaktně generovaný Hausdorffův. Důsledek 12.8. Nechť ~ je relace ekvivalence na kompaktně generovaném Hausdorffově prostoru X taková, že X/~ je také Hausdorffův. Pak existuje homeomorfismus (X xkY)/~^(X/~) xkY. Důkaz. Spojité zobrazení {X x k Y)/~ —> {Xj ~) x k Y je ekvivalentně zadáno jako Ix^ľ-í (X/~) xkY respektující relaci. Stačí tedy vzít p x id, kde p: X —> X/~ je kanonická projekce. Ze spojitosti pak plyne, že také {X xk Y)/~ je Hausdorffův prostor. V opačném směru, spojité zobrazení (X/~) xk Y —> {X xk Y)/~ je ekvivalentně zadáno jako X/~ —> ((X xk y)/~)y, tedy jako zobrazení X —> ((X xk Y)/~)y respektující relaci, a tedy jako zobrazení X xk Y —> {X xk Y)/~ respektující relaci. Stačí vzít kanonickou projekci. □ Důležitým speciálním případem je, když Y je lokálně kompaktní. Tvrzení 12.9. Nechť X je kompaktně generovaný Hausdorffův, Y lokálně kompaktní Hausdorffův. Pak X xkY = X xY. Důkaz. Nechť A C X x Y je kompaktně otevřená a (xq, yo) G A. Potom také ({^o} x Y) D A je komapktně otevřená v {xq} xY = Y & díky kompaktní generovanosti Y otevřená. Existuje tedy kompaktní okolí yo £ D C Y s vlastností {xq} x D C A. Uvažme množinu U = {x G X | {x} x C C A} C X. Ukážeme, že U je kompaktně otevřená, tedy otevřená - je-li CCI kompaktní, je (C x D)(~)A otevřená v C x D; C D U je pak otevřená podle „tube lemma". Proto (xo,yo) £ U x D C A. Protože bylo (xo,yo) libovolné, je A otevřená. Alternativní důkaz spočívá v následujícím: zobrazení in : X —> (X xk Y)Y je spojité podle věty o adjunkci a evaluace ev : ZY xY^-Z, (f,y) i—> f(y), je spojitá díky velice jednoduchému argumentu (je-li U 3 f {y) otevřená, tak ze spojitosti / a lokální kompaktnosti Y existuje kompaktní okolí C 3 y; pak M{C, U) x C je okolí (/, y), které se zobrazí do U). Proto je spojitá i kompozice XxY-> (X xkY) xY—> X xkY a proto je X x Y kompaktně generovaný. □ 13. Algebry spojitých funkcí Připomeňme, že (asociativní, s jednotkou) C-algebra A je vektorový prostor nad C společně s bilineárním zobrazením A x A —> A, které dělá z A okruh. Zobrazení C —> A, z i—> zl, je potom homomorfismus okruhů. Naopak, každý homomorfismus okruhů l: C —> A zadává na A strukturu vektorového prostoru nad C pomocí za = l{z) ■ a. Jednoduše se ověří, že se jedná 33 o C-algebru, právě když obraz t leží v centru okruhu A. Zejména komutativní C-algebra je přesně homomorřismus okruhů C —> A. Homomorfismus C-algeber <3?: A —> B je homomorřismus okruhů, který je zároveň lineární. Ekvivalentně komutuje diagram C Nechť X je kompaktní Hausdorffův prostor. Definujme C(X) = {/: X -+ C spojitá}. Společně se sčítáním a násobením funkcí se jedná o okruh. Vložení konstantních funkcí je homomorfismus C —> C{X) a jedná se tedy o C-algebru. Věta 13.1. Existuje přirozená bijekce mezi body X a maximálními ideály C{X). Důkaz. Prvně popíšeme maximální ideály odpovídající bodům X. Nechť x £ X. Definujeme mx = {fe C{X) | f{x) = 0}. Protože je mx jádrem surjektivního homomorfismu C-algeber (zejména okruhů) evx:C(X)^C, a C je těleso, je mx = kerev^ opravdu maximální ideál. Ukažte, že přiřazení x i—> mx je injektivní. Zbývá ukázat, že každý maximální ideál je tvaru mx pro nějaké x £ X. Předpokládejme sporem, že I C. C{X) je maximální ideál různý od m^. Potom existuje fx G / \ m^. Vynásobením komplexně sdruženou funkcí fx dostáváme nezápornou funkci gx = fxfx G / s vlastností gx{x) > 0. Položme Ux = {y £ X \ gx{y) > 0}. Dostáváme tak otevřené pokrytí U = {Ux | x G X}. Díky kompaktnosti X = UX1 U • • • U UXn a funkce g = gXl + • • • + gXn je kladná na celém X. Proto g^1 existuje a / obsahuje 1 = g^g a nemůže být maximální. □ Poznámka. Předchozí věta neplatí bez podmínky kompaktnosti X. Ideál / = {/: rn -+ C | 3C kompaktní: / = 0 na rn \ C} neleží v žádném maximálním ideálu m^. Musí tedy ležet v nějakém maximálním ideálu různém od mx a zejména takové maximální ideály m existují. Poznamenejme ještě, že dimenze C(X)/m bude vždy nekonečná. (Předpokládejme, že je tato dimenze konečná a položme f{x) = \x\. Potom [1, /, f2,...] má nekonečnou dimenzi - ^ anfn(x) = 0 pouze pro f(x) kořenem ^ anzn, těch je konečně mnoho a nemůže tedy rovnost platit pro všechna x. Proto musí být nějaké h = anfn G m a množina nul Z{h) je kompaktní; dále postupujeme jako v důkazu věty.) 34 Z algebry C(X) lze tedy zrekonstruovat X jako množinu; ukažme si nyní, jak lze zrekonstruovat topologii. Je-li / C C(X) libovolný ideál, je množina zv=n =ix e x iv/e /: f(x)=°} uzavřená (jedná se o množinu společných nul ideálu /). 22 Ukažte, že každá uzavřená množina vznikne tímto způsobem z nějakého ideálu. Věta 13.2. Existuje přirozená bijekce mezi spojitými zobrazeními ip-.X^-Ya homomorfismy C-algeber C{Y) -> C(X). Důkaz. Nechť p> : X —> Y je spojité zobrazení. Definujme homomorfismus C-algeber tp* : C(Y) —> C(X) předpisem p*(f) = f o p. Ukážeme nyní, že každý homomorfismus C-algeber 3>: C(Y) C(X) je tohoto tvaru. Nechť x G X a uvažme ideály m, C C(X), í>_1(m2;) C C (Y). Indukované zobrazení C(Y)/$>~1(mx) —> C(X)/mx je zjevně injektivní. Oba kvocienty obsahují C jako podtěleso, a to je tímto zobrazením fixované. Protože je C(X)/mx rovno C, jedná se o izomorfismus. Proto je 3>~1(mx) také maximální a 3>~1(mx) = pro nějaké p(x) G Y. Tím je určeno zobrazení p: X —> Y. - konec 12. přednášky - Zbývá ukázat, že p je spojité, a že <3? = tp*. Nechť xq G X, yo = íf{xo)\ potom myo $_1(™zo)> tedy ®(.myo) ^ m*o- Počítejme Hf) = Hf(yo) +(/ - f(y0))) = f(y0) + Hf - f(y0)) e f(y0) + m^, konst em. vo tj- $(f)(x0) = evxo $(/) = evxo f(y0) = f(y0) = f(p(x0)) = (p*f)(x0). Protože bylo x0 G X libovolné, máme $(/) = p*f, tj. <í> = p*. Pro spojitost si stačí uvědomit, že Z(I) = {y G Y \ I C rrij,}. Potom Z(<ř(/)) je množina těch x G X, pro něž Cm, J C í^K) = m^) (x) G Z(J), tedy Z(<ř(/)) = (/?_1(Z(/)) a zejména je (/?_1(Z(/)) uzavřená. Protože je každá uzavřená množina tvaru Z(I), je p> spojité. □ 14. Topologické grupy, Pontryaginova dualita Definice 14.1. Topologická grupa G je Hausdorffův topologický prostor a zároveň grupa takovým způsobem, že grupové operace fi: G x G G, fi(x,y) = xy; v. G —¥ G, v(x) = x^1 jsou spojité. Definujme levou translaci Aj,: x i—> yx a pravou translaci py : x i—?► xy. Obě jsou homeo-morfismy, protože (Aj,)-1 = A^-i a (p?,)-1 = P^-i- Podobně jsou homeomorfismy inverze v a konjugace x \—> yxy^1. 35 Lemma 14.2. Každá otevřená podgrupa je zároveň uzavřená. Zejména podgrupa obsahující nějaké okolí jednotky e obsahuje celou komponentu jednotky. Důkaz. Doplněk uzavřené podgrupy H C G je sjednocením G \ H = Uz^ií x^' přičemž xH = XX(H) je otevřená - je homeomorŕismus a H je otevřená; je tedy otevřená i G \ H a H je skutečně uzavřená. Komponenta jednotky Ge je souvislá uzavřená podgrupa - obrazy Ge ■ Ge = /i(Ge x Ge), G^1 = v{Ge) jsou také souvislé a obsahují e, proto musí ležet v Ge. Je-li H Q G libovolná podgrupa obsahující nějaké okolí U 3 e, pak je zjevně otevřená - s každým x £ H obsahuje i nějaké okolí xíl 3 x. Proto je průnik GeD H otevřená podgrupa souvislé grupy Ge a musí být tedy rovný Ge. □ Lemma 14.3. Uzávěr podgrupy je podgrupa. Uzávěr normální podgrupy je normální podgrupa. Důkaz. Je-li H C G podgrupa, platí H x H C Není těžké se přesvědčit4, že H x H = H x H a proto také H x H C p-1 (H), tj.H-HCH. Společně s H C v'1 (H), tj. TT1 C H, to znamená, že H je grupa. Normálnost plyne podobným způsobem pomocí konjugací. □ Příklad 14.4. dú 23 1. Dokažte, že Hausdorffovost topologické grupy plyne ze slabšího požadavku Ti, ve skutečnosti z uzavřenosti {e}. (Nápověda: jsou-li U, V dvě okolí e a x, y dva body G, pak xU n yV = 0, právě když x^y ^ U ■ V-1.) ** 2. Každá topologická grupa je regulární topologický prostor. Tvrzení 14.5. Kvocient G/H topologické grupy G podle uzavřené normální podgrupy H C G je topologická grupa. (Zde G/H je vybaven topolgií kvocientu.) Důkaz. Díky předchozímu příkladu stačí ukázat, že násobení a inverze na G/H jsou spojité, a že G/H je Ti. Označme p: G —?► G/H kanonickou projekci. Libovolný bod G/H je uzavřený, protože jeho vzor je třída xH = XX(H). Prvně si uvědomme, že projekce p je otevřená - pro libovolnou otevřenou U C G je i p(U) C G/H otevřená - je totiž p^ipiU)) = \JyeU yH = U H = \JxeH Ux. Spojitost násobení plyne z následujícího diagramu G x G---> G pxp G/H x G/H--+G/H Je-li W C G/H otevřená, je také ([i')~1(W) = (pxp)(fí1(p1(W))) otevřená díky otevřenosti zobrazení pxp. Spojitost inverze je podobná, ale jednodušší. □ Kvocient grupy G podle (uzavřené) nenormální podgrupy H je pouze množina, v našem případě Hausdorffův topologický prostor. Říkáme mu homogenní prostor. Homogenní prostory charakterizuje následující věta v případě kompaktní grupy G. Existuje i rozšíření této věty na lokálně kompaktní grupy, je však technicky náročnější. 4Platí, že A x B je množina hromadných bodů Ax B, tj. těch (x,y), jejichž každé okolí protíná Ax B. Zjevně se stačí omezit na libovolnou bází okolí, např. na okolí tvaru U x V. Pak podmínka protínání A x B je přesně AC\U ^ $ &, B C\V ^ To je ekvivalentní lel&jeB. 36 Tvrzení 14.6. Nechť G je kompaktní topologická grupa mající spojitou akci na Hausdorffově prostoru X. Potom zobrazení je homeomorfismus kvocientu G/Gx podle stabilizátoru x na orbitu G{x) procházející x. Důkaz. Spojitost zobrazení G/Gx —> G{x) plyne z univerzální vlastnosti kvocientu. Protože je to zároveň bijekce a G/Gx je kompaktní a G{x) Hausdorffův, je to homeomorfismus. □ Příklad 14.7. cv 1. Ukažte, že GL+(n), SO(n) jsou souvislé. (To lze také ukázat přes SO(n+l)/ SO(n) = Sn a díky souvislosti Sn - k tomu se hodí, že projekce SO(n + 1) —> Sn je otevřená.) cv 2. 0(n + l)/0(n) = Sn. cv 3. 0(n)/({E} x 0(n - k)) 2é Vk{Wl). cv 4. 0(n)/(0(fc) x 0(n - k)) d= Gfc(Mn). Nechť G je lokálně kompaktní abelovská grupa a definujme T = G = hom(G, T) C TG, tj. prostor spojitých homomorfismů G —> T do komplexních jednotek T = M/Z. Opět se jedná o lokálně kompaktní abelovskou grupu - její prvky se nazývají charaktery. Vezměme nyní druhý duál T. Existuje přirozené zobrazení Podstatou Pontryaginovy duality je, že E je izomorfismus topologických grup. Příklad 14.8. Platí ř = r, ť = Z, Ž = T. Potom na G existuje míra /i definovaná na množině Borelovských podmnožin E C G, tj. nejmenší u-algebře obsahující uzavřené množiny, s následujícími vlastnostmi 1. je regulární, fi(E) = sup{/x(C) | C C E kompaktní} = inf{/i(ř7) | U 5 E otevřená}, 2. je translačně invariantní, fi(xE) = ^(E), 3. není identicky nulová. Taková míra se nazývá Haarova míra, existuje a je jednoznačná až na násobek. V případě G = M je Lebesgueova míra Haarovou mírou. Pro obecné G se konstrukce Haarovy míry provádí následovně: zkonstruuje se vhodná spojitá lineární forma CC{G) —> C, kde CC{G) jsou funkce s kompaktním nosičem; podle Rieszovy reprezentační věty pak tato lineární forma odpovídá jediné míře, přičemž vlastnosti míry se odvodí z vlastností tohoto funkcionálu. Definuje se potom Fourierova transformace kde L1(G) je prostor absolutně integrabilních funkcí. Inverzní Fourierova transformace je dána G/Gx^G{x), gGx^gx kde v je jistá „duální" míra na T. 37 Tyto transformace jsou vůči sobě inverzní na prostoru funkcí absolutně integrabilních i se svým kvadrátem a zadávají izometrii L2(G) L2(T) (tzv. Plancherelova věta). Z těchto úvah plyne Pontryaginova dualita poměrně jednoduše. - konec 13. přednášky - 15. Parakompaktní prostory Definice 15.1. Nechť IÁ je pokrytí prostoru X. Řekneme, že pokrytí V je zjemněním pokrytí IÁ, jestliže každý prvek F G V leží v nějakém U Řekneme, že pokrytí V je lokálně konečné, jestliže každé x G X má okolí N 3 x, které protíná pouze konečně mnoho F G V. Řekneme, že Hausdorffův topologický prostor X je parakompaktní, jestliž každé jeho otevřené pokrytí má lokálně konečne otevřené zjemnění. Lemma 15.2. Sjednocení lokálně konečného systému uzavřených množin je uzavřené. Důkaz. Nechť T je lokálně konečný systém uzavřených množin a x ^ T. Potom nějaké jeho okolí N 3 x protíná pouze konečně mnoho prvků T a tedy N n\JJ- je uzavřená v N a neobsahující x, tedy ./V \ |J T je okolí x a X \ |J T je otevřená. □ Lemma 15.3. Uzavřený podprostor parakompaktního prostoru je parakompaktní. Důkaz, podobný jako pro kompaktní. □ Tvrzení 15.4. Každý parakompaktní prostor je normální. Důkaz. Dokážeme regulárnost, normálnost se pak dokáže stejně. Nechť x ^ F, kde F C X je uzavřená. Pro každý y G i7 zvolme otevřené okolí Uy 3 y takové, že x ^ Uy; dostáváme tak otevřené pokrytí {Uy \ y G Y} množiny F. Protože je tato parakompaktní podle předchozího lemmatu, existuje jeho lokálně konečné otevřené zjemnění V. Potom Uyev ^ Je uzavřené (díky lokální koečnosti) okolí (obsahuje |J V) množiny F, které neobsahuje x. □ Definice 15.5. Nosič spojité funkce /: X —> M je množina supp/ = \ {0}). Nechť IÁ je otevřené pokrytí X. Řekneme, že systém funkcí f\ : X —> I, A G A, je rozklad jednotky podřízený IÁ, jestliže je {supp/^ | A G A} lokálně konečné zjemnění a platí SagA /a = 1- Součet v definici dává smysl, protože je systém nosičů lokálně konečný, tj. v okolí každého bodu je tento součet konečný. Ze stejného důvodu je takový součet vždy spojitá funkce. Věta 15.6. Nechť U je otevřené pokrytí parakompaktního prostoru X. Potom existuje rozklad jednotky podřízený IÁ. Důkaz. Můžeme předpokládat, že IÁ je lokálně konečné pokrytí (případným přechodem ke zjemnění). Nechť IÁ = {U\ | A G A} a zvolme na indexové množině A dobré uspořádání. Rozklad jednotky budeme konstruovat transfinitní indukcí. Zjevně stačí zkonstruovat systém 38 funkcí f x takový, že supp/A c Ux a / = A > 0 - takový systém pak stačí normovat, tj. nahradit každou f x podílem f\/f. Pro již zkonstruované funkce f x označme V\ = /-r"1(0,1]. Indukcí budeme předpokládat, že pro i < A platí Vi C Ui a Uia Ui = X. Z tohoto důvodu je Fx = ( f](x \ Vi) n H(x x ^)) c í/a ja a fx: X —> I volíme libovolně tak, že je 1 na F\ a má nosič uvnitř Ux - to je možné díky normálnosti X. Je jednoduché ověřit, že X^AeA A > 0, Ja^ chceme. □ Platí, že každý lokálně kompaktní Hausdorffův prostor se spočetnou bází topologie je parakompaktní (důkaz není obtížný). Také každý metrický prostor je parakompaktní, důkaz tohoto tvrzení už je ale poměrně náročný. 39