Cvičení 3
Příklady na využití exponenciálního rozložení
Příklad 1.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že oprava
bude ukončena do dvou dnů? [0,4866]
Příklad 2.: Životnost žárovky má exponenciální rozložení se střední hodnotou 600 h. Jaká je
pravděpodobnost, že žárovka bude svítit dalších aspoň 200 h, jestliže již svítila aspoň 800 h?
[0,7165]
Příklad 3.: Náhodné doby života dvou součástek jsou stochasticky nezávislé náhodné
veličiny, přičemž Xi ~ Ex(λi), i = 1, 2. Střední hodnota doby života první součástky je 2 roky,
druhé součástky 3 roky. Jaká je pravděpodobnost, že druhá součástka přežije první? [0,6]
Příklad 4.: Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté
nemocnici, se řídí exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 h. Jaká je
pravděpodobnost, že uplyne více než 5 h bez naléhavého příjmu? [0,082]
Příklad 5.: Zkoumá se funkce dvou nezávisle na sobě pracujících přístrojů. Doba
bezporuchové funkce i-tého přístroje je náhodná veličina Xi ~ Ex(λi), i = 1, 2. Jaká je
pravděpodobnost, že za dobu t0 > 0 a) ani jeden přístroj neselže, b) selže aspoň jeden přístroj?
Řešení:
[ad a) ( )210t
e λ+λ−
, ad b) ( )210t
e1 λ+λ−
− ]
Příklad 6.: Najděte 5. percentil náhodné veličiny X ~ Ex(0,1). [0,5129]
Využití exponenciálního rozložení při analýze příjmů
Úvod do problému: Je známo, že příjmy obyvatelstva ve společnosti jsou rozděleny
nerovnoměrně. Jako první zkoumal toto rozdělení italský inženýr Vilfredo Pareto na konci 19.
století. Zjistil, že příjmy lze modelovat mocninnou funkcí. V dalších letech se ukázalo, že
tento tzv. Paretův zákon platí jen pro 5 % nejbohatších lidí. Příjmy ostatních 95 % obyvatel
lze modelovat pomocí exponenciálního rozložení. (Proč to tak je? To je vysvětleno v článku
F. Slaniny, Vesmír č. 9, rok 2001)
Nechť náhodná veličina X udává měsíční příjem náhodně vybraného zaměstnance.
Předpokládejme, že X ~ Ex(λ). Podle údajů Českého statistického úřadu dosáhla průměrná
hrubá mzda v ČR ve 4. čtvrtletí roku 2010 hodnoty 25 752 Kč.
Úkol 1.: Zjistěte parametr λ pro náhodnou veličinu X. [0,00003883]
Úkol 2.: Odvoďte obecný vzorec pro výpočet α-kvantilu náhodné veličiny X a pak vyjádřete
medián náhodné veličiny X.
Co lze říci o vztahu střední hodnoty a mediánu?
[ ( ) ( )α−
λ
−=α 1ln
1
XK , ( ) 17850XK 50,0 = , medián je vždy menší než střední hodnota]
Úkol 3.: Kolik procent zaměstnanců má podprůměrnou hrubou mzdu? [63,21 %]
Práce se systémem MATLAB
Úkol 1.: Pomocí funkce exprnd náhodně vygenerujte příjmy n = 1000, 10 000 a 100 000
osob (střední hodnotu volte 25 752) a vytvořte histogram vygenerovaných příjmů.
Úkol 2.: Vypočtěte průměrný příjem a vypočtěte medián příjmů.
Zjištěné hodnoty porovnejte s teoretickými hodnotami: střední hodnota = 25 752 Kč, medián
= 17 850 Kč.
Úkol 3.: Zjistěte, kolik procent osob bude mít podprůměrné příjmy.
Zjištěnou hodnotu porovnejte s teoretickou hodnotou 63,2%.