Cvičení 7
Systémy hromadné obsluhy s neomezenou kapacitou
1. Systém M/M/1/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
rozložením ( )µEx , v systému je 1 linka obsluhy, kapacita systému je neomezená, frontový
režim je „první vstupuje, první je obsloužen“.
Podíl
µ
λ
=ρ se nazývá intenzita provozu. Systém se může stabilizovat, pokud 1<ρ .
Stacionární rozložení: ( )ρ−ρ= 1a j
j , j = 0, 1, …
Počet N zákazníků ve stabilizovaném systému se tedy řídí rozložením ( )ρ−1Ge .
Charakteristiky stabilizovaného systému:
Střední hodnota počtu zákazníků v systému: ( )
λ−µ
λ
=NE .
Střední hodnota počtu zákazníků ve frontě: ( )
( )λ−µµ
λ
=
2
QNE .
Střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků: ( )
µ
λ
=SNE .
Střední hodnota doby strávené v systému: ( )
λ−µ
=
1
WE .
Střední hodnota doby strávené ve frontě: ( )
( )λ−µµ
λ
=QWE .
Střední hodnota doby obsluhy: ( )
µ
=
1
WE S .
Pravděpodobnost, že zákazník najde volnou linku =
µ
λ
−1 .
Pravděpodobnost, že zákazník bude čekat ve frontě =
µ
λ
.
Charakteristiky stabilizovaného systému poskytne funkce neomezeny_1.m
function[a0,ro,ENS,ENQ,EN,EWS,EWQ,EW]=neomezeny_1(lambda,mi);
% [a0,ro,ENS,ENQ,EN,EWS,EWQ,EW]=neomezeny_1(lambda,mi)
% Vypočítá prvek a0 stacionárního rozložení, intenzitu provozu
% a charakteristiky systému hromadné obsluhy M|M|1|Inf|FIFO.
% Vstupní parametry:
% lambda .... parametr vstupního proudu, mi ........ parametr obsluhy
% Výstupní parametry:
% a0 ........ pravděpodobnost, že v systému nebude žádný zákazník
% ro ........ intenzita provozu
% ENS ....... střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků
% ENQ ....... střední hodnota počtu zákazníků ve frontě
% EN ........ střední hodnota počtu zákazníků v systému
% EWS ....... střední hodnota doby, kterou zákazník stráví obsluhou
% EWQ ....... střední hodnota doby, kterou zákazník stráví ve frontě
% EW ........ střední hodnota doby, kterou zákazník stráví v systému
ro=lambda/mi;
if ro<1
a0=1-ro;
ENS=ro;
ENQ=lambda^2/(mi*(mi-lambda));
EN=lambda/(mi-lambda);
EW=1/(mi-lambda);
EWS=1/mi;
EWQ=lambda/(mi*(mi-lambda));
else
error('Systém se nemůže stabilizovat. Intenzita provozu je větší než 1.')
end;
Příklad 1.: K ortopedovi přichází v průměru 16 pacientů za 8 h jeho pracovní doby. Pacient
je v průměru ošetřen za 20 min. Předpokládáme, že vstupní proud pacientů je Poissonův
proces a doba ošetření se řídí exponenciálním rozložením. Zjistěte, zda se systém může
stabilizovat. Pokud ano, vypočtěte
a) využití ortopeda
b) pravděpodobnost, že pacient nebude čekat
c) střední hodnotu doby, kterou pacient stráví v systému
d) střední hodnotu počtu pacientů v systému.
Řešení: ⇒<=ρ=µ=λ 1
3
2
,3,2 systém se může stabilizovat
Ad a) Ortoped je využit na 66,6%.
Ad b) Pravděpodobnost, že pacient nebude čekat: 3,01a0 =ρ−=
Ad c) E(W) = 1 h, dále E(WQ) = 40 min, E(WS) = 20 min
Ad d) E(N) = 2 osoby, dále E(NQ) =
3
1
1 osoby, E(NS) =
3
2
osoby
Návod na řešení pomocí MATLABu:
lambda=2;mi=3;
[a0,ro,ENS,ENQ,EN,EWS,EWQ,EW]=neomezeny_1(lambda,mi)
Příklad 2.: Do pokladny na železniční stanici přichází v průměru 1 zákazník za 2 minuty.
Obsluha trvá v průměru 1 minutu. Předpokládáme, že vstupní proud zákazníků je Poissonův
proces a doba obsluhy se řídí exponenciálním rozložením. Zjistěte, zda se systém může
stabilizovat. Pokud ano, řešte následující úkoly:
a) Na kolik % je pokladna využita? (na 50 %)
b) Jaká je pravděpodobnost, že zákazník bude čekat ve frontě? (0,5)
c) Jaká je střední hodnota doby pobytu v systému, ve frontě a doby obsluhy? (2 min, 1 min, 1
min)
Jaká je střední hodnota počtu zákazníků v systému, ve frontě, u pokladny? (1 osoba, 0,5
osoby, 0,5 osoby)
Výsledek: Systém se může stabilizovat.
Ad a) Pokladna je využita na 50 %.
Ad b) Pravděpodobnost, že zákazník bude čekat ve frontě, je 0,5.
Ad c) E(W) = 2 min, E(WQ) = 1 min, E(WS) = 1 min
Ad d) E(N) = 1 osoba, E(NQ) = 0,5 osoby, E(NS) = 0,5 osoby
Příklad 3.: K poštovní přepážce přichází v průměru 15 klientů za 1 h. Průměrná doba obsluhy
u přepážky činí 3 minuty. Předpokládáme, že doba mezi příchody zákazníků i doba obsluhy
se řídí exponenciálním rozložením. Zjistěte, zda se provoz u poštovní přepážky může
stabilizovat. Pokud ano, vyřešte tyto úlohy:
a) Jaká je pravděpodobnost, že klient bude muset čekat ve frontě?
b) Jaká je pravděpodobnost, že ve frontě budou více než 3 klienti?
c) Jaká je průměrná doba pobytu zákazníka na poště? (Výsledek udejte v minutách.)
Řešení:
Jde o systém M/M/1/∞/FIFO.
⇒<=
µ
λ
=ρ=µ==λ 1
4
3
,
3
1
,
4
1
60
15
systém se může stabilizovat
Ad a) Pravděpodobnost čekání = ρ = 0,75
Ad b)
( ) ( ) ( ) 3164,0
4
3
4
1
111aaaa13NP13NP
3
0j
j3
0j
j
3210 =





−=ρρ−−=−−−−=≤−=> ∑∑ ==
Ad c) ( ) min12
4
1
3
1
11
WE =
−
=
λ−µ
= .
2. Systém M/M/n/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
rozložením ( )µEx , v systému je n linek obsluhy, kapacita systému je neomezená, frontový
režim je „první vstupuje, první je obsloužen“.
Označme
µ
λ
=β . Podíl
n
β
=ρ se nazývá intenzita provozu. Systém se může stabilizovat,
pokud 1<ρ .
Stacionární rozložení:







++=
β
=
β
=
−
K
K
,2n,1njproa
n!n
n,,2,1jproa
!j
a
0nj
j
0
j
j , kde
( )
1
1n
0j
nj
0
n!n
n
!j
a
−
−
=






β−
β
+
β
= ∑
Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude čekat ve frontě:
( )ρ−
β
=
1!n
aP
n
0Q
Charakteristiky stabilizovaného systému:
Střední hodnota počtu zákazníků v systému: ( ) ρ+
ρ−
ρ
= n
1
PNE Q .
Střední hodnota počtu zákazníků ve frontě: ( )
ρ−
ρ
=
1
PNE QQ .
Střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků: ( ) ρ= nNE S .
Střední hodnota doby strávené v systému: ( )
( ) µ
+
ρ−λ
ρ
=
1
1
PWE Q .
Střední hodnota doby strávené ve frontě: ( )
( )ρ−λ
ρ
=
1
PWE QQ .
Střední hodnota doby strávené obsluhou: ( )
µ
=
1
WE S .
Využití systému: ρ=κ .
Charakteristiky stabilizovaného systému poskytne funkce neomezeny_n.m
function[a0,ro,PQ,ENS,ENQ,EN,EWS,EWQ,EW]=neomezeny_n(n,lambda,mi);
% [a0,ro,PQ,ENS,ENQ,EN,EWS,EWQ,EW]=neomezeny_n(n,lambda,mi)
%
% Vypočítá prvek a0 stacionárního rozložení, intenzitu provozu
% a charakteristiky systému hromadné obsluhy M|M|n|Inf|FIFO.
%
% Vstupní parametry:
% n ......... počet linek obsluhy,
% lambda .... parametr vstupního proudu,
% mi ........ parametr obsluhy
%
% Výstupní parametry:
% a0 ........ pravděpodobnost, že v systému nebude žádný zákazník
% ro ........ intenzita provozu (využití systému)
% PQ ........ pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude čekat ve frontě
% ENS ....... střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků
% ENQ ....... střední hodnota počtu zákazníků ve frontě
% EN ........ střední hodnota počtu zákazníků v systému
% EWS ....... střední hodnota doby, kterou zákazník stráví obsluhou
% EWQ ....... střední hodnota doby, kterou zákazník stráví ve frontě
% EW ........ střední hodnota doby, kterou zákazník stráví v systému
beta=lambda/mi;
ro=beta/n;
if ro<1
a0=inv(sum(beta.^(0:n-1)./factorial(0:n-1))+n*beta^n/factorial(n)/(n-beta));
PQ=a0*beta^n/(factorial(n)*(1-ro));
ENS=n*ro;
ENQ=PQ*ro/(1-ro);
EN=ENQ+ENS;
EWS=1/mi;
EWQ=PQ*ro/(lambda*(1-ro));
EW=EWS+EWQ;
else
error('Systém se nemůže stabilizovat. Intenzita provozu je větší než 1.')
end;
Příklad 4.: K benzínové stanici se dvěma čerpadly přijíždí každých 80 sekund jedno auto,
přičemž průměrná doba čerpání je 2 min 30 s. Za předpokladu, že příjezdy aut tvoří
Poissonův proces, doba čerpání se řídí exponenciálním rozložením a systém se může
stabilizovat (ověřte!), vypočtěte
a) pravděpodobnost, že u čerpací stanice budou právě dvě auta
b) střední hodnotu počtu obsazených stojanů
c) střední hodnotu doby, kterou řidič stráví u čerpací stanice.
Řešení: n = 2, 1
16
15
n
,
8
15
24
45
,24
25
600
60
5,2
1
,45
80
3600
⇒<=
β
=ρ==β===µ==λ systém se
může stabilizovat
ad a)
( )
0323,0
31
1
248
8
8
15
22
8
15
2
8
15
1
n!n
n
!j
a
12
1
1n
0j
nj
0 ===




















−






++=





β−
β
+
β
=
−
−
−
=
∑
0567,0
3968
225
31
1
2
1
8
15
a
!2
a
2
0
2
2 ==⋅⋅





=
β
=
ad b) ( ) 875,1
8
15
16
15
2nNE S ===ρ=
ad e)
( ) 248
225
8
1
64
225
31
1
1!n
aP
n
0Q =⋅=
ρ−
β
=
( )
( )
344,0
93
32
24
1
45
16
15
1
16
15
248
2251
1
PWE Q ==+
⋅





−
⋅=
µ
+
λρ−
ρ
= h = 20 min 38 s
Návod na řešení pomocí MATLABu:
lambda=45;mi=24;n=2;
[a0,ro,PQ,ENS,ENQ,EN,EWS,EWQ,EW]=neomezeny_n(n,lambda,mi)
Příklad 5.: V laboratoři pracují 3 laborantky. V průměru přichází do laboratoře 15 požadavků
za 1 h. Zpracování 1 požadavku trvá v průměru 10 min. Předpokládáme, že vstupní proud
požadavků je Poissonův proces a doba zpracování 1 požadavku se řídí exponenciálním
rozložením.
a) Může se systém stabilizovat?
b) Jaký je průměrný počet požadavků čekajících na zpracování?
c) Jaká je průměrná doba, která uplyne od předání požadavku po jeho zpracování?
Úlohy řešte pomocí funkce neomezeny_n.m.
Výsledek:
Ad a) Systém se může stabilizovat.
Ad b) Průměrný počet požadavků čekajících na zpracování je 3,51.
Ad c) Průměrná doba, která uplyne od předání požadavku po jeho zpracování, činí 24 min.