Deterministické modely Lenka Přibylová 15. února 2013 Obsah Model a jeho tvorba 5 Statické modely a komparativní statika 27 Statické modely interakcí a teorie her 40 Dynamické modely 52 Rovnovážná dynamika 57 Základní spojité modely růstu 66 Nerovnovážná dynamika 88 Strukturovaný spojitý dynamický model 93 Spojitá a diskrétni dynamika v Rm. 105 EBl El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 2013 Q Lineární diskrétní model v rovině 114 Strukturovaný diskrétní dynamický lineární model populace 120 Nelineární dynamika a linearizace 126 Dynamické modely v rovině 132 Dynamika chemických reakcí 146 Dynamické modely interakcí 153 Evoluční hry 171 Teorie her a dynamika 181 Dynamický model difúze a šíření 187 Model difúze s advekcí 218 □ Q [33 ©Lenka Přibylová, 2013 0 Reakčně-difúzní model 225 ee1 Q B ©Lenka Přibylová, 2013 Q Model a jeho tvorba Definice: Model je zjednodušená reprezentace reálného objektu nebo systému reálných objektů zapsaná rovnicemi nebo počítačovým programem. Definice: Deterministickým modelem rozumíme model, který spontánně nemění svůj stav. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Determinismus je přesvědčení, že vývoj světa je předem dán jeho současným stavem (případně jeho stavem v kterémkoliv bodě v minulosti či na počátku) a absolutně platnými přírodními zákony. Dle tohoto přesvědčení neexistují skutečně náhodné (stochastické) jevy, pocit náhodnosti je dán pouze naší neznalostí příčin. Determinismus dle některých interpretací vylučuje existenci svobodné vůle (inkompatibilismus), jejich slučitelnost je ale možná v podobě dualismu (kompatibilismus). Deterministické přesvědčení bylo silné v 18. a 19. století po objevech mnohých přírodních, zvláště fyzikálních, zákonů. Po objevu kvantové fyziky vliv determinismu mezi vědci zeslábl, přestože ve vědě zesláblo i přesvědčení o svobodné vůli. Tolik z Wikipedie... Většina vzdělaných lidí determinismus chápe právě tímto způsobem. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Mou snahou bude předložit poněkud komplexnější pohled. Determinismus v moderním pojetí není v rozporu se stochastickými jevy, může je dokonce vysvětlovat. Myšlenky tohoto pojetí světa vyslovil poprvé Ilya Prigogine v 70. letech minulého století a ovlivnil tak celou moderní vědu, zvláště oblasti chemické a biochemické, fyzikální, např. právě kvantovou mechaniku, ale ovlivnil i sociální vědy. V pozadí jeho úvah stojí nelineární dynamické jevy, bifurkace a nerovnovážná dynamika. Tento pohled na dynamické chování systémů je novou vědou 21. století. Jedním z úžasných důsledků takového pojetí světa je vysvětlení vzniku řádu z chaosu, vzniku složitých struktur v případě, že je systém vzdálen od své rovnováhy. Takový systém je možný pouze v případě, že si vyměňuje energii nebo informace s okolím, tedy není izolovaný. Izolované systémy spějí nenávratně k rovnováze, stavu s maximální entropií. Věci se rozpadají, káva chladne. Interakce s okolím a výměna energie způsobuje vznik složitých struktur, nerovnovážných avšak organizovaných dějů. Život. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Tvorba modelu: Účel modelu ] Je realizovatelný? ♦ Konstrukce modelu Zhodnocení modelu Akceptovat model Revidovat model —1 Zamítnout model a začít znovu ■ ©Lenka Přibylová, 20131 Účel modelu Praktické modely: Teoretické modely: Hlavní účel: management, tvorba plánu, predikce. Hlavní účel: porozumění principům, rozvoj teorie. Důležitá je numerická přesnost i na úkor jednoduchosti. Numerická přesnost není podstatná, model popisuje princip a má být co nejjednodušší. Některé procesy můžeme ignorovat, pokud nejsou numericky podstatné. Některé procesy můžeme ignorovat, pokud nejsou principielně podstatné. Předpoklady jsou kvantitativní. Předpoklady jsou kvalitativní. Model je tvořen "na míru". Model je aplikovatelný na širokou oblast. ee1 Q B ©Lenka Přibylová, 2013 Q Je model realizovatelný? Nejčastější omezující podmínky jsou • čas - náročnost odhadujte spíše pesimisticky, je lépe začít s jednoduchým modelem a ten pak rozšiřovat • data - zde naopak uvažujte spíše optimisticky, mnohdy nejsou některé parametry modelu třeba, lze je obejít nebo nejsou podstatné • kapacita a výkon počítače - pokud nezpracováváte zrovna kvantitativní model počasí nebo množství hmoty ve Vesmíru můžete být klidní EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Konstrukce modelu: koncepce diagram rovnice počítačová realizace ©Lenka Přibyloi Koncepce modelu • Které proměnné jsou pro model podstatné? • Které z nich budou stavové proměnné a které exogénni proměnné a parametry. Stavovou proměnnou je proměnná, která určuje stav popisovaného systému, exogénni proměnnou je obecně funkce nezávislá na stavu systému, parametrem je konstanta nezávislá na stavu systému. Obecně je lépe začít s mnoha stavovými proměnnými, které během tvory modelu přesouváme mezi exogénni proměnné a parametry. • Jak detailní bude model? Je třeba rozhodnout, které jednotky budeme považovat za identické. Při volbě velké agregace může dojít k chybám, pokud se jednotky chovají odlišným způsobem, pak je třeba jednotku rozdělit, tzv. strukturovat (druhově, věkově apod.), mluvíme pak o strukturovaném modelu. Mnohdy i přes velkou agregaci je nestrukturovaný model vzhledem jeho účelu vhodný. B B H Bj ©Lenka Přibylová, 2013KJ Stejně tak přílišný detail vede k přílišné složitosti modelu a mnoha parametrům, které je třeba odhadovat z mnoha dat - a ta nemusí být k dispozici. Musíme vhodně volit mezi chybou danou modelem a chybou danou parametry. Diagram • Zvolené (pro model podstatné) proměnné "uložíme do krabiček". • Zakreslíme vzájemné vztahy, které nám pomohou rozhodnout, zda je daná proměnná stavová nebo exogénni, nebo ji můžeme považovat za parametr. • Zakreslení vztahů je první kontrolou vhodné volby agregace. B B H Bj ©Lenka Přibylová, 2013KJ Rovnice • V prvé řadě volíme mezi statickým a dynamickým modelem. Pokud je účelem modelu najít rovnováhu systému bez ohledu na to, jakým způsobem (a zda vůbec!) se tato rovnováha ustanoví, volíme model statický. V opačném případě je nutné použít dynamické rovnice. • Je třeba rozhodnout o typu dynamických rovnic. Základním vodítkem je diskrétní resp. spojitý běh času. V diskrétním případě je vhodné použít diferenční rovnice, ve spojitém diferenciální rovnice. Můžeme pak použít ODE, PDE, rovnice se zpožděním apod. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Je třeba rozhodnout o linearitě nebo nelinearitě modelu. V prvé řadě tedy, zda budou procesy mezi stavovými proměnnými záviset na jedné nebo více proměnných a zda můžeme míry těchto procesů považovat za parametry a exogénni proměnné (tedy konstanty nebo funkce nezávislé na stavových proměnných) nebo zda závisí na stavových proměnných. V druhém případě je třeba volit model nelineární. Nelinearita v modelu může být dána jednak samotnými principy nebo také nelineárními odhady naměřených dat. Rovnice v modelu musí "sedět" jednotkově. V okamžiku, kdy máme sestaveny rovnice, můžeme je zjednodušit co se týče počtu parametrů vhodnou transformací času a stavových proměnných (nondimensionalization - zbavení se jednotek). ©Lenka Přibylová, 2013 Q Počítačová realizace • Maple - vhodný spíše pro teoretické modely • Matlab - vhodný pro maticové zápisy • R - freeware;-) • Matcont - kontinuační balík pod placený Matlab • XppAut - freeware, vhodný pro parametrickou analýzu • Tabulkové procesory - vhodné pro diskrétní modely B B H BI ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Zhodnocení modelu: Bylo by jednoduché říct, že zhodnotíme vhodnost modelu nakreslením reálných a simulovaných dat do jednoho grafu a porovnáme je. Není to tak, protože záleží na účelu modelu, krátkodobosti nebo dlouhodobosti predikce, možnostech dobrého odhadu parametrů apod. Žádný model nemůže být realitou, proto zhodnocení modelu nutně v některém okamžiku selže. Je na nás rozhodnout, zda je model už "dostatečně blízko ". Daleko jednodušší je porovnávat více modelů mezi sebou. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Proč tak složitě, když známe lineární regresní model? • lineární regresní model prokládá naměřenými daty křivku a slouží k predikci, JENŽE • je použitelný většinou jen pro krátkodobou predikci • neřekne nic o principu chování systému a vztazích v popisovaném systému • je použitelný jen na konkrétní situaci, výsledky nelze zobecnit • popisuje pouze trend nebo naopak detail, ne obojí • nemůže odhalit, které parametry jsou pro systém podstatné a použitelné např. pro jeho kontrolu NAROZDÍL OD DETERMINISTICKÉHO MODELU!!! ©Lenka Přibylová, 2013 Q Tři základní rady S B H ©Lenka Přibylová, 2013 El Tři základní rady NEBOJTE SE ©Lenka Přibylová, 2013 □ Tři základní rady NEBOJTE SE LHÁT ee1 Q B ©Lenka Přibylová, 2013 □ Tři základní rady NEBOJTE SE LHÁT PODVÁDĚT ©Lenka Přibylová, 2013 Q Tři základní rady NEBOJTE SE LHÁT PODVÁDĚT a KRÁST ©Lenka Přibylová, 2013 Q Dobrý model obsahuje nekorektní předpoklady. Praktické modely musí být tak zjednodušené, aby množství jejich parametrů nepřesáhlo dostupná data. Teoretické modely musí být tak jednoduché, aby bylo vidět co dělají a proč. Reálný svět takový, bohužel a bohudík, není. Proto musí modely ignorovat některá fakta nebo procesy a nahradit je jednoduššími, jistojistě nepravdivými... EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Podvádět Přesněji, dělejte věci, které budou statistiky znervózňovat, jako například použijte data závislá na jedné proměnné k odhadu parametrů rovnice závislé na mnoha proměnných, používejte znalosti z jiných oborů a používejte intuici. Data jsou pouze jeden z faktorů, které ovlivňují tvorbu modelu, další jsou zkušenost a znalost modelované problematiky. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Krást Nápady si berte odkudkoliv, nezáleží na vědním oboru. Nové vědecké objevy jsou mnohdy výsledkem konvenčních modelů s použitím konvenčních funkčních tvarů v rovnicích - jen v jiném vědeckém oboru. Jestliže již někdo vytvořil rozumný model pro proces, který se objevuje ve vašem modelu, vyzkoušejte ho. Když už někdo věnoval čas a úsilí k odhadu parametrů, použijte ho. Buďte však kritičtí a neváhejte zahodit, co jste si ukradli, pokud to nebude fungovat. Zkuste to spravit a přizpůsobit, třeba to fungovat bude ... EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Statické modely a komparativní statika Definice: Statickým modelem rozumíme model nezávislý na běhu času. Popisuje strukturu reálného objektu v rovnovážném stavu. Definice: Komparativní analýzou statického modelu rozumíme analýzu stavových proměnných statického modelu v závisloti na exogenních proměnných a parametrech modelu. Poznámka 1. Rovnice statického modelu nezávisí na čase. Rovnovážný stav je jejich řešením, tedy nalezením stavových proměnných jako funkcí proměnných exogenních a parametrů. Komparativní statiku popisují parciální derivace stavových proměnných podle exogenních proměnných a parametrů. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Třísektorový model uzavřené ekonomiky. Chceme zjistit zda a jak ovlivňují vládní výdaje hrubý národní produkt. Budeme tedy vytvářet teoretický model, jistě realizovatelný. Koncepce: Proměnnými budou jistě vládní výdaje G a hrubý národní produkt (důchod) Y. Vládní výdaje jsou hrazeny z daní T, to bude další proměnná. Na celkovou národní produkci můžeme nahlížet také jako na celkovou sumu peněz za tento produkt, ty jsou rozděleny na tři základní části - investice I, spotřebu C a vládní výdaje G. Uvědomme si jak hrubou agregaci jsme provedli a také jaké předpoklady jsou v pozadí. Tím nejpodstatnějším je, že vše, co je vytvořeno danou ekonomikou, zde je také koupeno. Neexistuje import a export, jde o uzavřenou ekonomiku. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Diagram: Do diagramu doplníme další vztahy. Spotřeba C je závisí zčásti na disponibilním důchodu (Y — T) a zčásti ne - tzv. autonomní výdaje a. Daně T jsou podobně tvořeny daněmi z příjmu Y a jinými typy daní 7 Vzhledem k účelu modelu předpokládáme, že jsou vztahy mezi proměnnými lineární. Vidíme, že proměnné Gal můžeme přesunout mezi exogénni proměnné. Stavovými proměnnými budou Y, C a T. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Rovnice: Y = I + C + G, C = a + p(Y-T), T = y + SY, kde a>0,00a0 a ô jsou bezrozměrné (množství parametrů bychom mohli ještě snížit). Jde o statický model. Vyřešením rovnic dostáváme rovnováhu - a-p7 + I + G 1-/5(1-*) ' Jmenovatel 1 — /3(1 — <5) je podle předpokladů kladný, čitatel může být záporný jen v případě vysokého 7, tedy v případě nepřiměřené výše nepříjmových daní dojde ke kolapsu ekonomiky. Účelem modelu bylo zjistit jak ovlivňují vládní výdaje hrubý národní produkt, odtud je zřejmé, že jej zvyšují. Tzv. vládní výdajový multiplikátor je definován H H H D ©Lenka Přibylová, 2013 EJ jako číslo, které udává o kolik se zvedne GNP, jestliže se zvednou vládní výdaje o jednotku 3G ~ l-/3(l-č) Relevantními parametry jsou tedy f> a ó, které lze odhadnout z naměřených dat. Vyhodnocení: Model je teoretický a těžko porovnatelný s reálnými daty, vzhledem k předpokladu uzavřené ekonomiky. Slouží k pochopení principů a tento účel splnil. Vhodnou revizí by bylo zavedení nových proměnných: exportu a importu. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Věta: Nechť x = (x\,... ,xn) je vektor stavových proměnných, cl = (cti,..., ccm) je vektor exogenních proměnných a parametrů a funkce F = (F1,..., F") : R"+m -> R" je hladká. Nechť x (a) : Rm —>■ R" je řešení rovnic modelu F(x, cl) = 0, tedy F(x(cl),cl) = 0. Je-li jakobián Fvi nenulový, tj. \DF(x) \ = F1 F" F1 ^11 F" Í=3Č 7^ 0, pak je řešení úlohy závislosti rovnovážné stavové proměnné x na některé exogénni proměnné a, řešením soustavy DF(x) as 3«; -F«ř. (1) ee1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2013 Q Důkaz. Vzhledem k předpokladu hladkosti funkce F, můžeme rovnice modelu F1(x(a),a) 0, Fn(x(a),a) = 0 derivovat podle proměnné a,-, dostáváme tedy rl 3*1 r*l 3«; _|_ . . . _|_ F1 'ÚM _|_ F1 rtl dxi _|_ _l_ F" 3ín _l_ F" *l 3«; x„ 3a; "i" což je maticově . F" F" , / 3«; \ 3jrn V 3«; / -F1' -F" ©Lenka Přibylová, 2013 | □ Poznámka 2. Parciální derivace vektoru stavových proměnných podle zvoleného parametru 4^- = [ zr1, ■ ■ ■ , tt21 I často nemusíme hledat všechny. ľ dui \ dui' ' dui J y Vzhledem k tomu, že |DF(x)| 7^ 0, je úloha (1) jednoznačně řešitelná a 3x~- ID jí I řešení můžeme hledat pomocí Cramerova pravidla: ^ = 1^^! kde H H dai \DF(x)\ Djí je Jakobiho matice F v x s /-tým sloupcem nahrazeným vektorem -F — ( — F1 -Fn)T EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Model trhu. Chceme zjistit zda a jak ovlivňuje spotřebitelský důchod cenu výrobku a jeho množství. Koncepce: Proměnnými budou spotřebitelský důchod Y, cena P a množství Q výrobku. Rovnováha trhu se ustanoví, pokud se nabídka S vyrovná poptávce D. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Diagram: H— 0-^-0 R 0 Do diagramu doplníme další vztahy. Cena P ovlivňuje nabídku S i poptávku D, poptávku ovlivňuje také spotřebitelský důchod Y. Vidíme, že proměnná Y je exogénni. Stavovými proměnnými budou P a Q. Navíc předpokládejme, že platí §>0, f <0 a §>0. ©Lenka Přibyloi Rovnice: F^P&Y) = S(P)-Q = 0, F2(P,Q,Y) = D(P,Y)-Q = 0. Předpokládejme, že (P, Q) je tržní rovnováha. Derivací rovnic modelu podle Y dostaneme dPjPÄŽX} _ äS(P) dP _ dQ _ n. ar ~~ dP äY dY — v' dF2(P,Q,Y) _ dD(P,Y)äP dQ , äD(P,Y) _ » dY — dP dY dY ' 3Y — u- Maticově můžeme rovnice zapsat takto: = (-4f)- eei Q □ igg ©Lenka Přibylová, 2013 Q Jakobiho matice DF(P, Q, Y) je regulární, protože 3S(?) 3S(P) dP dD(P,Y) äp dP(P,Y) dP dP < 0. Parciální derivace můžeme tedy jednoznačně vyjádřit pomocí Cramerova pravidla jako dP dY 0 -1 3D(p,y) dY -1 3S(p) 3P 3D(p,y) 3P -1 -1 ap(p,y) ay 3P dP(P,Y) dP > 0 ee1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q as (p) O dD(P,Y) 3Y 3Q _ dP 3P(P,Y) dP 3S(p) dP(P,Y) dP SY > 0 dY ~ as(p) as(p) _ ap(p/y) 3P 3P 3P ap(p/y) ap -1 -1 Zvýšení příjmů tedy vede ke zvýšení ceny i množství. Relevantními parametry jsou tedy |p, jjp a |y, které lze odhadnout z naměřených dat. Vyhodnocení: Model je teoretický, odpovídá očekávanému výsledku, můžeme jej srovnat s reálnými daty. Simulovat El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Statické modely interakcí a teorie her Pokud model slouží k popisu interakcí subjektů, zvlášťpokud jde o model rozhodovacího procesu v situaci, kdy dochází ke střetu zájmů, je modelem tzv. hra. Teorie her se zabývá analýzou širokého spektra konfliktních i kooperativních rozhodovacích procesů, od aukcí, přes tržní konkurenci, volby, rodinné konflikty až po evoluci a chování zvířat. Teorie her slouží především pro nalezení svým způsobem optimálního řešení konfliktu. Teorie her se zabývá jak statickými, tak dynamickými modely, modely s úplnou informací (deterministickými), tak s neúplnou informací (stochastickými). V této kapitole uvedeme některé statické modely s úplnou informací. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Výběrové řízení. Dvě firmy se zajímají o dva trhy zakázek brněnského magistrátu za 18 a 12 mil. korun. Každá z firem má finanční prostředky buď na velký úplatek jednoho úředníka, nebo na menší úplatky obou úředníků rozhodujících o přidělení zakázek. Předpokládejme, že účinnost úplatků obou firem je stejná a úředníci rozdělují podle těchto pravidel: • Dá-li úplatek jen jedna firma, dostane všechny zakázky trhu. • Dají-li úplatky téhož typu obě firmy, dělí se zakázky na polovinu. • Dá-li jedna firma velký a druhá malý úplatek získá prvně jmenovaná 2/3 zakázek a druhá 1/3 zakázek. Jaké jsou optimální strategie firem? EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ strategie VI V2 M VI V2 M (15,15) (18,12) (12,18) (12,18) (15,15) (9,21) (18,12) (21,9) (15,15) Strategie obou firem jsou buď velký úplatek VI prvnímu úředníkovi, velký úplatek V2 druhému úředníkovi nebo dva malé úplatky oběma M (neuplácení ponechme prozatím stranou zájmu). Představme si, že jsme v pozici modré firmy. Pokud by hrála strategii V2 (2. řádek), při jakékoliv volbě strategie červené firmy, získala by méně než při volbě strategie M. Takovouto strategii nazýváme striktně dominovanou jinou strategií, V2 -< M. Stejně tak VI -< M. Striktně dominované strategie modrá firma nebude hrát, stejně se zachová i červená firma. Obě zvolí strategii dvou malých úplatků. Toto řešení má tu vlastnost, že při jednostranném odchýlení od této strategie si ani jedna firma nepolepší, říkáme mu rovnovážné řešení. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Definice: Hra v normálním tvaru pro n hráčů je tvořena prostory strategií jednotlivých hráčů S\,..., S„ a jejich výplatními funkcemi «1,... un , kde každé «, zobrazuje S\ x ■ ■ ■ x S„ do R. Označením ui(si>s-i) budeme rozumět w,(si,... ,s„), kde sy G Sy. Definice: Nechť s'ir s" G S, jsou dvě možné strategie z-tého hráče. Řekneme, že strategie s\ je striktně dominovaná strategií s" , S; -< s'l, jestliže pro každou kombinaci strategií ostatních hráčů je výplata z-tého hráče při strategii menší než při strategii s", tj. u,(s;, s_,) < u,(s", s_,), pro libovolné strategie protihráčů s_,. 1. příklad: Ukažte, že strategie nedávat úplatek nebo dát jen jeden malý úplatek je striktně dominovaná strategií uplatit oba. H H H D ©Lenka Přibylová, 2013KJ Definice: Strategie s*,..., s* tvoří Nashovu rovnováhu, jestliže pro každého hráče je s* nejlepší odpovědí na strategie s*_j ostatních, tedy ui(s*,s*_i) > ui(si,s*_i) pro libovolné s, E Si. Jinak řečeno, s* je řešením extremální úlohy max «,(s(, s*_j). s;es; ma^^^^^^^^^^^^^^—>--' Pokud při eliminaci striktně dominovaných strategií zůstane jediná kombinace strategií, je jedinou Nashovou rovnováhou. Eliminací striktně dominovaných strategií obecně zmenšíme hru a pokud existuje Nashova rovnováha, zůstává mezi zbylými strategiemi menší hry. Obecně Nashova rovnováha v ryzích strategiích nemusí existovat. Navíc pokud existuje nemusí být pareto-optimální, tj. může existovat strategie s lepší výplatou pro daného hráče přičemž ostatní si nepohorší. Tato strategie ale není rovnovážná, protože vychýlení z této strategie by bylo pro některého hráče výhodnější. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Cournotův model trhu. Chceme nalézt optimální množství výrobků, jež budou ochotny na trh dodávat firmy. Koncepce: Exogenními proměnnými budou poptávané množství M a mezní náklady c na výrobu jednoho výrobku, endogenní proměnné jsou množství qi výrobků od jednotlivých firem. Model bude statický -firmy se v daném okamžiku rozhodnou a nezávisle na sobě volí optimální strategii. Volme tyto zjednodušující předpoklady: • poptávková funkce je lineární tvaru P(Q) = M — Q, kde Q je celkové množství dodávané na trh (pro Q > M je P(Q) = 0) • postavení firem je rovnocenné a jejich produkt je homogenní, tj- Q = qi H-----Vqn- EQ Q Q ©Lenka Přibylová, 2013 Q • mezní náklady c jsou konstantní, tj. nákladová funkce Q (q1;) = cq,-, c < M • výstup je libovolně dělitelný, prostor strategií tak můžeme označit Si = [0,oo) Rovnice: Výplatní funkcí je zisková funkce firem: ^iilirlj) = li [p(Q) ~c] =1i[M-(qi +----h q„) - c] Abychom našli Nashovu rovnováhu tohoto problému, musí každá firma řešit optimalizační problém max Tiifaqti) = max qt [M - ( Oa Ylx) = ^' Věta (Nashova): Konečná hra n hráčů má v prostoru smíšených strategií alespoň jednu Nashovu rovnováhu. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Dynamické modely Definice: Dynamickým modelem rozumíme model závislý na běhu času. Popisuje chovaní reálného objektu v průběhu času. Dynamický model je popsán dynamickým systémem (rovnicí, soustavou rovnic, formulí). Definice: Dynamickým systémem rozumíme trojici {T,X, 0, Vŕ £ T. Nejmenší takové Tq nazýváme periodou cyklu Lq. Poznámka 4. V systému s cyklem vznikají periodické oscilace. Cyklus spojitého systému je uzavřená křivka v X. Limitním cyklem rozumíme cyklus, v jehož okolí nejsou jiné cykly. Definice: Invariantní množinou S rozumíme podmnožinu X splňující loeS => cpfx0 e S Ví e T. ©Lenka Přibylová, 2013 Q Poznámka 5. Rovnovážný bod i cyklus jsou invariantní množiny. ŕ-\- Definice: Invariantní množina S se nazývá stabilní, jestliže • Vři D S libovolně malé okolí invariantní množiny existuje okolí V D S takové, že Vx e V a Vŕ > 0 platí (p* x e U (tento typ stability nazýváme ljapunovskou stabilitou), • existuje okolí Uq D S takové, že 0, je x* nestabilní (repeler). Df(x*) < 0 Df(x*) > 0 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Základní spojité modely růstu Spojitý exponenciální růst. Uvažujme populaci, kterou můžeme modelovat spojitě - např. množství sinic na přehradě budeme měřit v g/m3, nebudeme je počítat. Stejně tak budeme spojitý přístup používat u populace, která nemá daná období rozmnožování (jako má mnoho druhů zvířat -narozdíl od člověka). Zajímá nás, jak se bude populace vyvíjet v čase. Označíme-li x(t) velikost populace v čase t, b okamžitou míru reprodukce a d míru vymírání (zde předpokládáme, že jsou míry b a d konstantní), pak můžeme populaci popsat diferenciální rovnicí x' = bx — dx = rx, kde r je konstantní míra růstu populace a x' představuje okamžitou EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ změnu velikosti populace. Připomeňme zde definici derivace: x(t + Ař) - x(t) , . v /-^ = rx(t), pro Ař -> 0. Ař v r Řešením je exponenciální funkce x(ř) = xoert- Pokud je r < 0, tj. d > b, populace vymře (rovnovážný stav x(t) = 0 je stabilní), pokud je r > 0, tj. d < b, populace bude růst nade všechny meze (rovnovážný stav x(t) = 0 je nestabilní). 7. příklad: Kdy je třeba vyhlásit zákaz koupání v přehradě, jestliže jsme minulé 4 dny v 8:00 ráno naměřili v odběrné nádobě hodnoty 2, 3, 5 a 7 mikrogramů. Hranice toxicity je 30 }ig. Simulovat v Maplu EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Vyhodnocení: Model lze použít v případech, kdy nám stačí krátkodobá předpověď, nebo je-li dynamika populace vzhledem k jiné modelované proměnné daleko pomalejší. Takovým příkladem může být například dynamika trhu práce a kapitálu v ekonomii, kdy dynamiku trhu práce můžeme popsat rovnicí s konstantní mírou růstu práce (odpovídající míře růstu populace). EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Spojitý logistický růst. Uvažujme nyní tuto modifikaci předchozího modelu: x' = r(t,x)x, kde míra růstu populace r(t, x) je funkcí času a velikosti populace. Volbou r(t, x) dostáváme následující rovnice populačního růstu: r(t,x) = ro ^1 — jš^J logistická Verhulstovarovnice, j3 > 0 Richardsova rovnice, r(t,x) = r n-c > 0 Smi thova rovnice, v ; ul +cf r(t,x) = r q In ^ — ^ Gompertzova rovnice atd. Všechny uvedené rovnice jsou autonomní, r nezávisí na čase Q Q B Q ©Lenka Přibylová, 2013 EJ explicitne, pouze v závislosti na velikosti populace. K > 0 je tzv. kapacita prostředí. 8. příklad: S pomocí Maplu pro uvedené rovnice nakreslete řešení počáteční úlohy Xq = 3, pro r q = 2, K = 100 a vhodně volené případné další parametry, nakreslete také funkce r(t,x). Najděte obecná řešení rovnic a zkoumejte jejich tvar. Najděte inflexní body řešení a vysvětlete, co znamenají. Řešení v Maplu EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ 7. příklad: S pomocí vhodného programu (nebo bez něj) najděte rovnovážné body výše uvedených rovnic a vyšetřete jejich stabilitu. ©Lenka Přibylová, 2013 Q 7. příklad: S pomocí vhodného programu (nebo bez něj) najděte rovnovážné body výše uvedených rovnic a vyšetřete jejich stabilitu. x' = f(x) := Tq (l — — ^ x, logistická Verhulstova rovnice Předpokládejme, že r o > 0 (typický případ). EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ 7. příklad: S pomocí vhodného programu (nebo bez něj) najděte rovnovážné body výše uvedených rovnic a vyšetřete jejich stabilitu. x' = f(x) := Tq (l — — ^ x, logistická Verhulstova rovnice Předpokládejme, že r o > 0 (typický případ). s.b.: x = 0, x = K, Pro rovnovážný bod x* platí x' = f{x) = 0. 7. příklad: S pomocí vhodného programu (nebo bez něj) najděte rovnovážné body výše uvedených rovnic a vyšetřete jejich stabilitu. x' = f(x) := Tq (l — — ^ x, logistická Verhulstova rovnice Předpokládejme, že r o > 0 (typický případ). s.b.: x = 0, x = K, Df(x) = r0 (l — \ — ^x EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ 7. příklad: S pomocí vhodného programu (nebo bez něj) najděte rovnovážné body výše uvedených rovnic a vyšetřete jejich stabilitu. x' = f(x) := Tq (l — — ^ x, logistická Verhulstova rovnice Předpokládejme, že r o > 0 (typický případ). s.b.: x = 0, x = K, Df(x) = r0 (l — \ — ^x Df(0) = r0 > 0, x = 0 je nestabilní s.b. ©Lenka Přibylová, 2013 Q 7. příklad: S pomocí vhodného programu (nebo bez něj) najděte rovnovážné body výše uvedených rovnic a vyšetřete jejich stabilitu. x' = f(x) := Tq (l — — ^ x, logistická Verhulstova rovnice Předpokládejme, že r o > 0 (typický případ). s.b.: x = 0, x = K, Df(x) = r0 (l — \ — ^x D f (0) = r0 > 0, x = 0 je nestabilní s.b. D f (K) = -r0 < 0, x = K je stabilní s.b. ©Lenka Přibylová, 2013 | 7. příklad: S pomocí vhodného programu (nebo bez něj) najděte rovnovážné body výše uvedených rovnic a vyšetřete jejich stabilitu. x' = f(x) := Tq (l — — ^ x, logistická Verhulstova rovnice Předpokládejme, že r o > 0 (typický případ). s.b.: x = 0, x = K, Df(x) = r0 (l — \ — ^x Df(0) = r0 > 0, x = 0 je nestabilní s.b. Df(K) = -r0 < 0, x = K je stabilní s.b. Řešení v Maplu Podobně pro další rovnice. Harrodův-Domarův model ekonomického růstu Modelujme růst hrubého domácího produktu. Koncepce: Uvažujme uzavřenou ekonomiku a předpokládejme, že jsou splněny následující podmínky. Kapitál K vzniká investicemi I, přitom dochází k jeho amortizaci. Spotřeba a úspory S jsou pevným podílem produktu Y, zbytek produktu investujeme do tvorby kapitálu. Relativní přírůstek kapitálu se projevuje relativním přírůstkem produkce. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Diagram: amortizace Je zřejmé, že amortizaci, spotřebu a úspory lze odvodit z produktu, máme tedy pouze tři stavové proměnné: produkt Y(t) > 0, kapitál K(t) > 0 a investice I(t) > 0. Míra úspor a spotřeby je označena s (mezní sklon k úsporám a spotřebě), míra amortizace ó. Zřejmě s e (0,1) a^ e (0,1). ©Lenka Přibylová, 2013 Q Rovnice: K' = I — SK, I = (l-s)Y, EĹ - XL K ~ Y ■ Všimněme si nyní, že platí fl — EĹ _ IĹ — K'Y-Y'K Y _ (ť\' Y u ~ K Y Y2 K — \ Y J K' Odtud (jy^J = 0. Existuje tedy konstanta r G R, taková že y = r. Toto číslo můžeme interpretovat jako kapitálovou náročnost jednotky produkce. 8. příklad: Odvoďte diferenciální rovnici pro růst produktu a vyřešte ji- ES Q Q QS ©Lenka Přibylová, 2013 Q Vyhodnocení: Závěr analýzy modelu nyní můžeme přeformulovat: je-li r < pak produkce roste, je-li r = pak produkce stagnuje, je-li r > pak produkce klesá. To odpovídá zkušenosti: je-li kapitálová náročnost jednotky produkce příliš velká, pak produkce nemůže růst. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Diskrétní exponenciální růst - Malthusův model. Uvažujme populaci, která se rozmnožuje a vymírá v pevně daných intervalech. Může jít o jakoukoliv populaci - ryb, rostlin nebo peněz. Může jít také o populaci, která je v pevných časových intervalech kontrolována a jiné informace o ní nemáme. Zajímá nás, jak se bude populace vyvíjet v čase. Označíme-li xn velikost populace v čase n, b míru reprodukce a d míru vymírání (zde předpokládáme, že jsou míry b a d konstantní), pak můžeme populaci v následujícím čase n + 1 popsat diferenční rovnicí xn+i — xn = bxn — dxn = rxn, kde r je konstantní míra růstu populace, neboli xn+i = kde li = t+ r= l + b — d. Simulovat v Matlabu exponencialnirust.m Řešením je exponenciální funkce xn = x^ji". Pokud je \i < 1, tj. d > b, populace vymře (rovnovážný stav xn = 0 je stabilní), pokud je \i > 1, EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ tj. d < b, populace bude růst nade všechny meze (rovnovážný stav xn = 0 je nestabilní). Věta: Uvažujme dostatečně hladké zobrazení / : Rm —»■ Rm a rovnici x„+i=f(x„). (4) Pevný bod x* diskrétního systému (4) splňuje /(**) = x*. Uvažujme nejprve případ m = 1 a Taylorův rozvoj / v pevném bodě x*. Pro platí f(x) w /(**) + Df(x*)(x - x*) + ■ ■ ■ = x* + Df(x*)(x -x*) + .... V dostatečně blízkém okolí x* tedy platí X||_|_2 x ^ H)(x ) (Xfi x ). BI B H Bl ©Lenka Přibylová, 2013 g Věta: Mějme zobrazení (4) pro m = 1, hladké v okolí pevného bodu x*. Jestliže\Df(x*)\ < l,pak |x„+1 — x*\ < \xn — x*\,apevnýbod x* je stabilní (atraktor). V opačném případě, když |D/(x*)| > l,je x* nestabilní (repeler). Pavučinový diagram: Vhodným zobrazením dynamiky zobrazení (4) pro m = 1 je následující graf: xn+l x ©Lenka Přibylová, 2013 Q Diskrétní logistický růst - Verhulstův model. Uvažujme nyní takovou modifikaci předchozího modelu, že míra růstu r bude lineárně klesat v závislosti na velikosti populace yn. Pokud dosáhne populace určité velikosti K, kterou nazýváme kapacita prostředí, bude míra růstu nulová, pokud tuto kapacitu překročí, bude velikost populace klesat, tj. Pokud je r 7^ 0 (triviální případ), můžeme provést transformaci 1 +r Kxn, kterou zmenšíme počet parametrů: V n = r xn+l = jiXni'í — Xn), kde ]l = 1 + T. (5) ©Lenka Přibylová, 2013 Q 9. příklad: Tato rovnice má dva pevné body. Najděte je, určete pro ně podmínky stability za předpokladu, žer E (0,2). Co se děje, pokud r > 2? Vzniká stabilní cyklus periody 2. Připomeňme, že cyklus periody 2 je uspořádaná dvojice \x\, x?\ taková, že xi=f{x2)=f{f{xl))=f^{xl)l X\ je tedy pevným bodem zobrazení f(2\x) = ji2x(l -x)(l- jix(l - x)). 10. příklad: Najděte všechna řešení rovnice f^2\x) = x pro r = 2.1 a ukažte, že cyklus periody 2 je stabilní. Rada: vyřaďte ta řešení, která jsou zároveň pevným bodem f(x) (proč?), spočtěte v nich Df^2\ Výpočet v Maplu Spusťte cobweb.ode Simulovat v Matlabu logistickyrust.m EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Pokud zakreslíme závislost pevných bodů na parametru \i, dostaneme tzv. bifurkační diagram. Postupné zdvojování periody přechází v deterministický chaos. Spusťte logbif.ode Co je to chaos? Slovo chaos se odvozuje z řeckého X^OG a znamená nepředvídatelnost. Deterministický chaos je neperiodické deterministické chování, které je • velice citlivé na počáteční podmínky, • topologicky transitivní - což znamená, že libovolný interval transformuje na libovolný další interval • má husté trajektorie DETERMINISTICKÝ NEZNAMENÁ PŘEDVÍDATELNÝ!!! EQ Q Q ©Lenka Přibylová, 2013 Q Nerovnovážná dynamika Jak je vidět, předpoklad samovolného asymptotického směřování systému k jeho rovnováze lze docela jednoduše narušit. Vznik chaotického nepředvídatelného chování trajektorie diskrétní logistické rovnice je toho důkazem. Od 70. let 20. století začíná získávat nerovnovážná dynamika ve většině aplikovaných věd své místo a nelineární dynamika začíná měnit pohled na svět a otřásá zavedenými dogmaty klasických teorií. 21. století je století nové vědy - nelineární nerovnovážné dynamiky. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Kontrola chaosu metodou OGY V roce 1990 Ott, Grebogi a Yorke uvedli praktickou metodu (úspěšnou i v aplikacích) stabilizace nestabilních chaotických cyklů. Metoda je založena na faktu, že chaotický atraktor obsahuje nekonečné husté množství nestabilních cyklů. Ty jsou stabilizovány malými perturbacemi kontrolního parametru a. Uvažujme zobrazení xn+l = f{Xn,a), (6) kde a je dostupný parametr, který můžeme změnit v nějakém okolí své "nominální"hodnoty aq- Označme x*(a) nestabilní pevný bod zobrazení (6). V malém okolí «o můžeme aproximovat Xn+i ~ x*(a0) = Df(x*(a0),a0)(xn - x*(a0)) + c (a - a0), (7) kde c = |^ (x* (flo)/ ao)■ Vzhledem k transitivnosti a hustotě chaotické trajektorie musí v nějakém malém okolí x* (aq) pro nějaké xn platit a — (Iq = — k(xn — x*(a0))- (8) BI B H Bl ©Lenka Přibylová, 2013KJ Substitucí (8) do (7) dostaneme xn+1 -x*(a0) = (Df(x*(a0),a0) - ck)(xn -x*(a0)). Volbou k můžeme dosáhnout stability regulovaného pevného bodu, tj. najdeme k tak, aby \Df(x*(a0),a0) -ck\ < 1. ©Lenka Přibylová, 2013 Q Kontrola chaosu v logistickém zobrazení Uvažujme logistickou rovnici (5), ve které kontrolujeme chaos neustálymi pulzy x, = kxj po p iteracích. Definujme zobrazení F (x) = kf^v\x). Pevný bod x* regulovaného zobrazení F (x) tedy bude splňovat kf^ (x*) = x* a bude stabilní, pokud \kDf{P\x*)\ < 1. Označíme-li C(x) = —-^-Df^ (x), dostáváme podmínku pro f P (x) oblast kontrolovatelných hodnot: |Cp(x)| < 1. Výpočet Cp v Maplu Simulace v Matlabu chaoscontrol.m ©Lenka Přibylová, 2013 Q CESTA DO VÍCE STAVOVÝCH PROMĚNNÝCH... ©Lenka Přibylová, 2013 Q Strukturovaný spojitý dynamický model Strukturované modely se používají v případě, že je potřeba rozlišovat stavovou proměnnou podle nějakého kritéria, které ovlivňuje dynamiku. Typickým příkladem jsou epidemiologické modely, kdy v populaci rozlišujeme jedince v různých stádiích nemoci. Účelem modelu je porozumět průběhu epidemie a předpovědět, kdy epidemie odezní. Modely použitelné např. na reálné chřipkové epidemie jsou samozřejmě komplikovanější, než v této přednášce uvedené základní epidemiologické modely, princip je však stejný. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Model SI. Chceme modelovat epidemii infekční nemoci, kterou neumíme léčit, která však není smrtelná, např. herpes labialis, opar rtu. Koncepce: Stavovou proměnnou budou infikovaní jedinci I a náchylní jedinci S. Předpokládáme nulovou úmrtnost způsobenou nemocí a také rovnováhu mezi počtem nově narozených a přirozeně zemřelých jedinců. Toto hrubé zjednodušení můžeme použít, pokud rychlost šíření infekční nemoci je podstatně větší než růst populace. Parametrem bude samozřejmě rychlost šíření infekce j3 > 0. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Diagram: V čase t = O existuje Sq > O náchylných jedinců a Iq > O nakažlivých. Je zcela přirozené předpokládat, že počet nově infikovaných je přímo úměrný počtu náchylných a nakažlivých jedinců. Koeficient f> bude závislý na četnosti kontaktů v populaci a pravděpodobnosti nákazy při kontaktu náchylného a nakažlivého jedince. Rovnice: Model je popsán následujícím systémem diferenciálních rovnic: s' = -psi, ľ = psi. ©Lenka Přibylová, 2013 Q Řešením počáteční úlohy S(0) = S0, J(0) = J0, S(t) + I(t) je funkce 1 + (N _ ^ g-/3Nř Grafem je logistická křivka, která má inflexní bod Z hlediska dynamiky je zajímavý graf funkce který ukazuje přírůstky infikovaných. Výpočet a simulace v Maplu Vyhodnocení: Je vidět, že celá populace se nakonec nakazí, což jsme očekávali. U oparu např. je v dospělosti nakaženo asi 90% populace. 10. příklad: Najděte rovnovážné body rovnice infikovaných jedinců a vyšetřete jejich stabilitu. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Vyhodnocení: Je vidět, že celá populace se nakonec nakazí, což jsme očekávali. U oparu např. je v dospělosti nakaženo asi 90% populace. 10. příklad: Najděte rovnovážné body rovnice infikovaných jedinců a vyšetřete jejich stabilitu. !'=/(!) :=/3(N-í)í, | V každém okamžiku platí S(t) = N — I(t). ] Vyhodnocení: Je vidět, že celá populace se nakonec nakazí, což jsme očekávali. U oparu např. je v dospělosti nakaženo asi 90% populace. 10. příklad: Najděte rovnovážné body rovnice infikovaných jedinců a vyšetřete jejich stabilitu. !'=/(!) :=/3(N-í)í, rovnovážné body: I = 0, I = N, Pro rovnovážný bod platí ť = f [í] = 0. ©Lenka Přibylová, 2013 Vyhodnocení: Je vidět, že celá populace se nakonec nakazí, což jsme očekávali. U oparu např. je v dospělosti nakaženo asi 90% populace. 10. příklad: Najděte rovnovážné body rovnice infikovaných jedinců a vyšetřete jejich stabilitu. !'=/(!) :=/3(N-í)í, rovnovážné body: I = 0, I = N, Df(I) = (i(N-2I), Jacobiho "matice", v jednorozměrném případě derivace pravé strany Vyhodnocení: Je vidět, že celá populace se nakonec nakazí, což jsme očekávali. U oparu např. je v dospělosti nakaženo asi 90% populace. 10. příklad: Najděte rovnovážné body rovnice infikovaných jedinců a vyšetřete jejich stabilitu. !'=/(!) :=/3(N-í)í, rovnovážné body: I 0, I = N, Df(I) = (i(N-2I), D/(0) = j6N > 0, J 0 je nestabilní s.b. El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Vyhodnocení: Je vidět, že celá populace se nakonec nakazí, což jsme očekávali. U oparu např. je v dospělosti nakaženo asi 90% populace. 10. příklad: Najděte rovnovážné body rovnice infikovaných jedinců a vyšetřete jejich stabilitu. !'=/(!) :=/3(N-í)í, rovnovážné body: I 0, I = N, Df(I) = p(N-2I), D/(0) = j6N > 0, J = Df(N) = -j3N < 0, J 0 je nestabilní s.b. = N je stabilní s.b. El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Poznámka 7. Je evidentní, že pro použití modelu bude nejpodstatnejší odhad parametru f>. Zkusme najít průměrný počet nakažených za jednotku času. Aby se někdo nakazil, musí se setkat infikovaný jedinec s náchylným a musí dojít k nákaze. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme z N lidí jednoho infikovaného a jednoho náchylného? ne s \ + (g\(<\2SL N J \N-1 J \N J \N-1 J N2 Tuto aproximaci můžeme provést ve velké skupině lidí, kde N2 >> N, jinak je třeba použít prvně uvedený vztah. Pokud 7 > 0 označíme průměrný počet interakcí za jednotku času a c průměrný počet nakažení při SI interakci, tj. 0 < c < 1, je počet nově nakažených za jednotku času i(t + At)-i(t) _ 2nCT Aŕ ~ N2 Provedením limitního přechodu t —»■ 0 dostáváme P N2 EB Q B E9 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Později se podíváme na složitější epidemiologické modely, např. model SIR a SIRS. K tomu ale budeme potřebovat něco málo další teorie, protože vstupujeme do fázového prostoru o více než jednom rozměru. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Spojitá a diskrétní dynamika v ]Rm. Lineárni algebra - opakování J Pro vlastní číslo (vlastní hodnotu) matice A E Rnxn příslušné vlastnímu vektoru v E ÍR" platí Av = Av, tj. vlastní čísla hledáme jako kořeny charakteristického polynomu det(A - AI) = 0. Matice A má v komplexním oboru n vlastních hodnot {Ai,..., A„} a příslušné vlastní vektory {,..., v^n } tvoří bázi C". Matice T tvořená vlastními vektory (po sloupcích) pak splňuje ©Lenka Přibylová, 2013 EJ V případě násobných vlastních hodnot může obsahovat bloky tvaru q ^, přičemž sloupce matice T v tomto případě tvoří tzv. zobecněné vlastní vektory. Jde o vektor splňující Av = Av a další vektor w, který splňuje Aw = Aw + v. Pokud je násobnost vlastní hodnoty vyšší než dva, bude se takto vytvářet kaskáda zobecněných vlastních vektorů w(+i splňující Aw(+i = Aw(+i + w,-, která bude spolu s vektorem v tvořit bázi prostoru zobecněných vlastních vektorů. Lineární regulární transformace A i—»■ T 1 AT převádí na komplexní Jordánův kanonický tvar. Reálný tvar s reálným blokem a ^ vektorů v a v reálnou a imaginární část u a w vektoru v = u + zw. dostaneme, pokud použijeme místo komplexně sdružených ee1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Lineární diferenciální systém - opakování Uvažujme lineární diferenciální autonomní systém x' = Ax, (9) kde xelRmaAelRmxms počáteční podmínkou x(0) = x0. Nechť A G C je vlastní číslo matice A a v příslušný vlastní vektor. • V případě A G IR je f i-^ eAív reálným řešením rovnice (9). • V případě A G IR, které je A:-násobným kořenem charakteristického polynomu jsou í 4 JT^ji '; = ^'''' ^ reámými řešeními rovnice (9), kde vj je systém k zobecněných vlastních vektorů (Avi = Avi a Av(- = Av(- + v,_i pro i > 1). • V případě A = a ± z/3 je vlastní vektor v = u ± zw a reálnými řešeními rovnice (9) jsou pak t H4 eaŕ(cos j6r ■ u - sin ySŕ ■ w), ř h-> eař(sin fit ■ u + cos fit ■ w). ES Q Q QS ©Lenka Přibylová, 2013 Q Protože xq můžeme zapsat jako lineární kombinaci vlastních vektorů: *o = fcivAl + k2v\2 +----h kmvAm, můžeme řešení x(ř) (v případě jednonásobných vlastních čísel, obecně komplexních) zapsat jako x(ř) = kxe^wXl + fc2eA2řvA2 + ■ ■ ■ + kme^wXm. V případě násobných vlastních čísel přibývají k exponenciálním funkcím polynomy. Uvedená řešení jsou lineárně nezávislá a tvoří bázi prostoru řešení. Jejich lineární kombinace je také řešením (9). Maticové zobrazení t i—»■ 4>(ř) těchto řešení se nazývá fundamentální matice řešení příslušného homogenního lineárního systému (9). Je zřejmé, že rovnovážným bodem systému (9) je počátek, který je stabilní, pokud Re A, < 0 pro všechna i E {1,..., m}. Oscilace způsobují komplexní vlastní hodnoty. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Lmeárnídífererra Uvažujme lineární diferenční autonomní systém *n+l = Axn, (10) kde x„ e K"1, A e Rmxm, n e N0 s počáteční podmínkou x„ = x0. Odtud Xfi == A Xq. Podobně jako ve spojitém případě má matice A obecně m vlastních hodnot A,, která jsou řešením charakteristické rovnice det(A - AJ) = 0. Označme je sestupně |Ai| > | A21 > ■ ■ ■ > | Am |. Protože Xq můžeme zapsat jako lineární kombinaci vlastních vektorů: x0 = k1xXl + kzxx2 H-----h kmxXm, EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q můžeme řešení xn zapsat jako x„ = A" {kxxXl + k2xKl H-----V kmxKm) = /ViA"xAl + k2^2X\2 H-----1- kmKnmxXm = A?(*!*Al +k2(^)"xÁ2 + ■ ■ . + km(^)nxÁm) Pevným bodem systému (10) je počátek, který je stabilní, pokud |Ai| < 1. ©Lenka Přibylová, 2013 Q Lineární diferenciální a diferenční rovnice bývají často zapsány ve tvaru 0 = amx(m\t) + flm_1x(m-1)(r) + ■ ■ ■ + a0x(t), resp. 0 = dmXn-\-m + í?m—l-^n+m—1 + ' ' ' + ílQXn. V takovém případě hledáme vlastní čísla jako kořeny charakteristického polynomu p(A) = amXm + am_x\m~x +----h a0. Poznámka 8. Podkud je levá strana rovnice nenulová, tj. ve tvaru f(t) = ... (nehomogenní rovnice), pak obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem libovolného partikulárního řešení nehomogenní rovnice a obecného řešení příslušné lineární homogenní rovnice (s nulovou levou stranou). EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Polynom p(A) je ve skutečnosti charakteristickým polynomem det(A — AI) = 0 lineárního systému y[(t) = y2(t), 2/m(ř) = -^(««-iy«(í) + --- + «oyi(í))/ kde i/i (ř) = x(t) ve spojitém případě. Podobně pro diskrétní případ 1 _ 2 J/n+1 — Vw ľľl— 1 ľľl Vn+1 = Vn, Vn+l — ~^(flm-lJ/n-|-----^Oj/n)' kde y\ Xyt • ©Lenka Přibylová, 2013 | 11. příklad: Dokažte uvedené tvrzení pro 0 = ax" + bx' + cx, resp. 0 = axn+2 + bxn+i + cxn , tj. ukažte, že kořeny p (A) jsou vlastní čísla Jacobiho matice jistého dvourozměrného lineárního systému. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Lineární diskrétní model v rovině Samuelsonův model interakce multiplikátoru a akcelerátoru Chceme zjistit jak ovlivňuje GNP multiplikační a akcelerační princip. Multiplikačním efektem rozumíme to, že růst vládních výdajů vede k růstu GNP. Akcelerační efekt je růst investic díky růstu GNP. Koncepce: Proměnnými budou jistě vládní výdaje G a hrubý národní produkt Y, který je součem investic I, spotřeby C a vládních výdajů G. Uvažujeme uzavřenou ekonomiku. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ ©Lenka Přibylová, 2013 Q Rovnice: Yt = It + Q + G, h = ß(Ct-Ct_i), kde a E (0,1) je sklon ke spotřebě, ß > 0 je míra růstu investic. GNP Yt, spotřeba Q a investice If jsou stavové proměnné, G je exogénni proměnná, a a ß jsou parametry. Jde o dynamický diskrétní model. Sloučením rovnic dostáváme lineární nehomogenní diferenční rovnici 2. řádu pro Y: Yt+2-oc{ß + l)Yt+1 + ocßYt = G (11) Pevný bod Y* (rovnováha) splňuje Y* -a(ß + l)Y* + aßY* = G, tj.Y*(l — oc) = G =>■ Y* = yt^- Dostáváme multiplikační efekt, růst vládních výdajů vede k růstu rovnováhy Y*, multiplikátor je ■ To je jednoduchá komparativní statika. Nás ale bude tentokrát zajímat H H H D ©Lenka Přibylová, 2013KJ dynamika systému. Dynamika je dána lineární nehomogenní diferenční rovnici 2. řádu (11). Příslušná homogenní rovnice má charakteristický polynom A2-a(J6+l)A + aJ6 = 0 s vlastními hodnotami vl,2 l(P + 1) ± y/0L2(P+\)2-AuP Podle věty o stabilitě diskrétního systému je rovnováha Y* stabilní, pokud platí |Ai72| < 1, tj. i(0+l)±^/a2(0 + l)2-4a0 < 1. EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q 12. příklad: Ukažte, že postačující podmínkou stability Y* je a/3 < 1. 13. příklad: Napište obecné řešení rovnice (11). Ukažte, že osciluje pro 4/3 46 14. příklad: Vyšetřete průběh funkce a — (/3 + 1)2' EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Následující graf ukazuje oblasti stability a nestability, resp. oscilací rovnováhy Y*. Vyhodnocení: Samuelsonův model multiplikátoru-akcelerátoru je prvním modelem, který vysvětluje princip vzniku oscilací GNP. Taky za něj (nejen za něj :-)) dostal Paul Samuelson v roce 1970 Nobelovu cenu za ekonomii. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Strukturovaný diskrétní dynamický lineární model populace Leslieho model. Model věkově strukturované populace. Můžeme jej použít např. pro modelování populace víceleté rostliny, populace ryb nebo i lidí. Obecně je tedy účelem modelu znát (diskrétní) vývoj struktury populace. Koncepce: Proměnnými budou jistě jednotlivé věkové třídy populace: x1,... xm. Populace se kontroluje po určitých pevných intervalech. Některé skupiny produkují nové jedince, a to s různou mírou reprodukce fc, > 0 (dospělí jedinci), jiné mají míru reprodukce nulovou, /3, = 0 (nedospělí jedinci). Po nějakém čase přechází určitá část dané třídy x' do následující třídy x'+1 (tyto míry přežití označíme pro každou třídu c(.) EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Diagram: Rovnice: b íxn+l\ X2 Cl = 0 b2 0 c2 h ■ 0 ■ 0 • bm—i bm\ 0 0 0 0 x2 W+i/ 0 0 ■ cm-l 0 / Dostáváme lineární systém diferenčních rovnic s Leslieho maticí L a vektorem iterací struktury populace Xn = (xn, xn,..., x™), tj. Xn_)_i = LXn. ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Věta: Předpokládejme, že pro matici L a 1 < i < m platí: bj > 0, existuje nějaké i tak, že b i > 0 a b{+i > 0, a 0 < c,< 1. Pak má matice L jedinou kladnou, tzv. striktně dominantní, reálnou vlastní hodnotu Ai > 0 a X^ má všechny složky kladné. Poznámka 9. Protože je Ai striktně dominantní, bude pro velká n Věková struktura populace se tedy stabilizuje proporcionálně vlastnímu vektoru X^j. Procentní vyjádření je tedy dáno normalizovaným vektorem EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Vyhodnocení: Model lze prakticky ověřit a je používán nejen pro predikci budoucí struktury populace, ale také například pro kontrolu dynamického systému (odhad trvale udržitelného rybolovu, kácení lesního porostu, pěstování víceletých rostlin apod.). 15. příklad: Uvažujte populaci žen ve věkovém rozmezí 0-14,15-29, 30-44 a více let. Vysvětlete následující diagram, zvolte stavové proměnné, predikujte situaci za 30 let s počátečními podmínkami danými tabulkou a odhadněte dlouhodobou strukturu populace. 0-14 I 15-29 I 30-44 I 45 a více 1200 | 1500 | 1000 | 1300 Výpočet v Maplu 1 0.5 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Kontrola systému, model těžby: Modifikujme nyní předchozí model a uvažujme nyní kontrolovaný systém, kdy populaci částečně vytěžujeme. Může jít o pěstování rostlin, lov ryb, těžbu dřeva nebo o kontrolu populace škůdců apod. Buď D /dl 0 0 d2 0 \0 0 ■■■ dmJ matice vytěžování, 0 < dt < 1. Rovnice modelu má tedy nyní tvar X„+1 = (I-D)LXn. Naší snahou je udržitelná těžba a stabilizace populace na úrovni X, tj. X = (I-D)LX, ©Lenka Přibylová, 2013 | kde X odpovídá vlastnímu vektoru matice (I — D)L příslušnému vlastní hodnotě Ai = 1. 16. příklad: Najděte podmínku pro udržitelnou těžbu d v případě, že d{ = d pro všechna i, tj. těžba je věkově nezávislá - rovnoměrná, a je-li Ai striktně dominantní vlastní hodnota Leslieho matice L. 17. příklad: Uvažujme populaci ryb s Leslieho maticí Můžeme zvolit rovnoměrný výlov nebo výlov některé věkové skupiny. Je některá z variant výlovu dlouhodobě udržitelná? Výpočet v Maplu ©Lenka Přibylová, 2013 Q Nelineární dynamika a linearizace Uvažujme nyní znovu rovnici (3) resp. (4) x' = f (x) resp. xn+1 = f(x„) a hyperbolický rovnovážný bod x* E K"1. Podobně jako v jednorozměrném případě můžeme v okolí x* funkci / aproximovat Taylorovým rozvojem f(x) w f(x*) + Df(x*)(x -x*) + .... V dostatečně blízkém okolí x* tedy platí i'~D/(i*)(i-i*) resp. xn+i — x* « Df(x*)(xn — x*) a nelineální systém (3) resp. (4) se chová v okolí x* "stejně", jako jeho linearizace. Slovem stejně rozumíme topologickou ekvivalenci, v prvé řadě tedy lokální stabilitu nebo nestabilitu rovnováhy. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Věta (Věta o linearizaci): Mějme systém (3) resp. (4) s / hladkou v okolí hyperbolického rovnovážného bodu x* a jeho linearizaci. Pak v okolí x* jsou tyto systémy topologicky ekvivalentní, tedy zejména platí: • Jestliže mají ve spojitém případě všechny vlastní hodnoty matice Df(x*) záporné reálné části, v diskrétním případě jsou-li všechny vlastní hodnoty v absolutní hodnotě menší než 1, pak je x* asymptoticky stabilní. • Jestliže ve spojitém případě má alespoň jedna vlastní hodnota matice Df(x*) kladnou reálnou část, v diskrétním je-li alespoň jedna vlastní hodnota v absolutní hodnotě větší než 1, pak je x* nestabilní. ©Lenka Přibylová, 2013 Q Poznámka 10. Charakteristický polynom v rovině. Uvažujme dvourozměrný systém (3) resp. (4), tj. x = (xi,X2)T G R2. Označme / = D f (x*) Jacobiho matici. Matice / má pak dvě vlastní hodnoty Ai, A2, které jsou kořeny charakteristické rovnice det(/ — Aí) = A2 — cA + A = 0, kde t7 = tr / = Ai + A2 je stopa Jacobiho matice a A = det J = A1A2 je její determinant. Věta: Postačujícími podmínkami asymptotické stability spojitého systému (3) v rovině jsou podmínky A = det 7 > 0 a a = tr } < 0. 18. příklad: Dokažte! ©Lenka Přibylová, 2013 Q Topologická klasifikace hyperbolického rovnovážného bodu v rovině: ("+,"-) Vlastní hodnoty Fázový portrét Stabilita (0,2) • • \ > < S) , uzel ohnisko stabilní (1.1) J U nestabilní \ŕ "a'° (2,0) • • ~s ^ uzel nestabilní fc S; 1 ohnisko ©Lenka Přibylová, 2013 Q Věta: Postačujícími podmínkami asymptotické stability diskrétního systému (4) v rovině jsou podmínky |A| = |det/| 0 l + a+A = 1 + tr/ + det/ > 0. 19. příklad: Dokažte! EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Stabilita hyperbolického rovnovážného bodu v rovině: ee1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Dynamické modely v rovině V této části použijeme poznatky z kapitoly o systémech diferenciálních a diferenčních rovnic v rovině a aplikujeme je na některé jednoduché modely. Navážeme na statický herní model Cournotova duopolu přidáním dynamiky (spojité i diskrétní), lineárni model modifikujeme na nelineární. Uvedeme slavný Samuelsonův model multiplikátoru-akcelerátoru a strukturovaný epidemiologický model SI rozšíříme o další vztahy a přechody mezi skupinami. EBl E] Bi ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Dynamika Cournotova modelu duopolu - spojitý přístup Modelujme nyní dynamiku dříve uvedeného statického herního modelu duopolu. Jde o revizi modelu, kdy si uvědomujeme, že změnit množství výroby směrem k optimu zabere určitý čas a výroba bude klesat nebo růst postupně. Koncepce: Připomeňme Cournotův model. Exogenními proměnnými jsou poptávané množství M a mezní náklady c na výrobu jednoho výrobku, endogenní proměnné jsou množství qi výrobků od jednotlivých firem. Model je dynamický, a proto qj = qi(t) jsou funkcí času t. Poptávková funkce je tvaru P(Q) = M - Q, kde Q = Q(t) = qx(t) + q2(t) je celkové množství dodávané na trh. Produkt je homogenní, mezní náklady c jsou konstantní, tj. nákladová funkce Q(^() = cqj(t), c < M. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Výplatní funkcí je zisková funkce firem: nfauRj) = Ri [p(Q) ~c]= Ri [M ~ ( 0 je koeficient změny. o (M-c-q2 \ <7i = h[-j--qi)' , { (12) M-c-qi \ 12= H ( -2--qi) ' 20. příklad: Najděte stacionární bod systému (12) (a ukažte, že skutečně existuje), spočtěte pro něj Jacobiho matici a určete jeho typ. ©Lenka Přibylová, 2013 EJ 21. příklad: Nakreslete fázový portrét systému (12) a ukažte, že rovnováha statického Cournotova modelu duopolu je globálně asymptoticky stabilní. Vyhodnocení: Dynamický model oproti statickému modelu ukazuje navíc jakým způsobem se rovnováha ustanovuje a že k tomu skutečně dochází při jakémkoliv počátečním stavu. Může sloužit také k odhadu doby, za kterou se tato rovnováha ustanoví (přesněji, kdy dojde k dosažení dostatečně blízkého okolí této rovnováhy). 22. příklad: V některém z dříve používaných programů vytvořte simulaci a zkoumejte vliv exogenních proměnných a parametrů na dynamiku modelu. Spusťte cournot.ode ©Lenka Přibylová, 2013 Q To, že jsme získali dynamickou stabilní rovnováhu, není nic překvapujícího. Vzpomeneme-li si na chladnoucí kávu, musíme připustit, že jsme použili model přesně kopírující tuto klasicou ukázku implicitně předpokládané stabilní rovnováhy. 23. příklad: Uvažujte revizi tohoto dynamického Cournotova modelu. Predpokladajte racionální chování firem tak, že budou měnit výrobu v závislosti na změně zisku. Čím větší je z navýšení výroby profit, tím ochotněji budou výrobu navyšovat a naopak. Spusťte cournotspojity.mw ©Lenka Přibylová, 2013 Q Dynamika Cournotova modelu duopolu - diskrétní přístup Modelujme nyní znovu dynamiku statického herního modelu duopolu, tentokrát diskrétně. Rovnice: Změnit množství výroby směrem k optimu qi zabere určitý čas. Budeme předpokládat, že firma bude měnit množství výroby směrem k optimu, tj. <7<(ř + !) = (!- ^) 0 jsou parametry a S(t),I(t),R(t) stavové proměnné reprezentující okamžitý počet náchylných, infekčních a odolných jedinců v čase. Předpokládáme, že populace se v čase nemění S(t) + I(t) + R(t) = N > 0. a S(0) = S0 > 0, 1(0) = J0 > 0, R(0) = 0, S0 + I0 = N. 27. příklad: Z (15) vyjádřete R(t) a zjednodušte model (14) na dvourozměrný se stavovými proměnnými Sal. ©Lenka Přibylová 28. příklad: Ukažte, že pokud /3S(0) < v, infekce se vytratí. Zavádíme proto prahovou hodnotu ^, kterou musí počáteční populace náchylných překročit, aby se epidemie začala šířit. 29. příklad: Najděte stacionární body dvojrozměrného systému. Pokuste se nakreslit fázový portrét s pomocí ^|. 30. příklad: Spočteme druhou derivaci a ukažte, že trajektorie jsou konkávni a I nabývá své maximální hodnoty 31. příklad: Ukažte, že platí S(t) = S(0)e ľ a proveďte limitní přechod t —»■ oo, abyste nalezli rozsah infekce daný mírou I, max — 1) + N, pro S v fSR(t) R(oo) N ©Lenka Přibylová, 2013 Q 32. příklad: Ve vhodném programu simulujte model SIR. Vyhodnocení: Výstupy z modelu jsou v souladu s realitou. Chceme-li omezit rozsah epidemie, je třeba zvětšit p, je tedy potřeba zvýšit rychlost izolace infikovaných jedinců (snížit koeficient /3) a zvýšit odolnost jedinců vůči nakažení infekcí při kontaktu s infikovaným jedincem. Navíc získáváme další důležité epidemiologické informace: prahovou hodnotu, maximum infikovaných jedinců apod. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Model SIRS. Koncepce: Chceme modelovat epidemii infekční nemoci, kdy infikovaní jedinci přecházejí do skupiny uzdravených (recovered), oproti předchozímu modelu však nezůstávají imunní a mohou znovu onemocnět. Diagram: Rovnice: 7 ©Lenka Přibylová, 2013 Q 33. příklad: Sestavte rovnice modelu SIRS pro konstatní populaci (tj. při splnění podmínek (15)). 34. příklad: Podobně jako v modelu SIR přejděte na dvourozměrný se stavovými proměnnými S a I. 35. příklad: Najděte stacionární body dvojrozměrného systému, spočtěte zde Jacobiho matici a určete jejich stabilitu. Pokuste se nakreslit fázový portrét. Vyhodnocení: Model můžeme samozřejmě dále rozšiřovat: 36. příklad: Nalezněte na internetu nějaké informace o modelu SIRS. Pokuste se najít nějaký vědecký článek, který je jeho rozšířením. Vytvořte ve vhodném programu simulaci. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Dynamika chemických reakcí Chemické a biochemické reakce je vhodné popisovat pomocí diferenciálních rovnic. Elementární reakce podléhají kinetické rovnici, která popisuje rychlost, se kterou interagují dvě látky a vytvářejí třetí: a + b\c Koncentrace látek se značí v hranatých závorkách a uvedenou reakci můžeme popsat rovnicí m=k[A][B]/ kde derivace koncentrace [C] je okamžitá změna koncentrace [C], tedy rychlost, s jakou je tvořen produkt reakce. Konstanta k je rychlostní konstanta, která vlastně konstantou není - závisí např. na teplotě nebo homogenitě směsi. Budeme ale předpokládat, že se teplota nemění a látky jsou dobře promíchané. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Většina biochemických reakcí probíhá oběma směry: k+ a + b^c k- Změna koncentrace [a] pak splňuje m = .k+[A][B]+k_[C}. Ve skutečnosti je většina reakcí složitější a bude tedy popsána systémem diferenciálních rovnic. ©Lenka Přibylová, 2013 Q Model Michaelis-Mentenové Koncepce: Enzymy E jsou katalyzátory chemických reakcí, při kterých pomáhají ze substrátu S vytvořit produkt P, přičemž z reakce vycházejí samy v nezměněné formě. EBl E] Q ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Substrát Produkt Enzym Komplex enzym-substrát E + S ^ C4£ + P Rovnice: Kinetické rovnice reakcí tedy můžeme popsat následujícími diferenciálními rovnicemi: 4f = (l_1+fc2)[C]-fci[S][E], 4^1 = kl[S}[E}-(k2 + k^)[C], Navíc předpokládáme, že produkt P okamžitě odebíráme, aby nešel do zpětné reakce. Je evidentní, že platí tj. [E] + [C] = e$ je počáteční koncentrace enzymu, [E] tedy můžeme eliminovat. Rovnici produktu můžeme oddělit a integrovat zvlášť. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Označme [S] = s a [C] = c. Úpravou tedy dostáváme dvě diferenciální rovnice: á = k_ic — kis(e0 — c), č = Ä4s(e0 - c) - (k2 + A:_i)c s počátečními podmínkami c(0) = 0 a s(0) = Sq >> eg- 37. příklad: Dokažte, že počátek je asymptoticky stabilní rovnovážný bod. 38. příklad: Nakreslete fázový portrét a graficky analyzujte systém a nakreslete přibližně tvar řešení s uvedenou počáteční podmínkou. 39. příklad: Simulujte řešení ve vhodném programu. ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Vyhodnocení: Jde o jeden ze základních bichemických dynamických modelů. Tento model vznikl na počátku minulého století a je dodnes hojně využíván. Model vysvětluje, že reakce se ustaluje na maximální rychlosti při libovolně vysoké koncentraci substrátu. Michaelisova konstanta je rovna takové koncentraci substrátu při které reakce katalyzovaná enzymem probíhá rychlostí, která je rovna polovině této maximální rychlosti. Ve složitějších modelech bichemických reakcí v buňkách jsou právě Michaelisovy konstanty různých dílčích katalytických reakcí vstupujících do dynamiky systému parametry. 40. příklad: Odvoďte vzorec pro Michaelisovu konstantu. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Dynamické modely interakcí Snad nejznámějším deterministickým dynamickým modelem je model interakce dravec-kořist. Tím nejjednodušším je Lotkův-Volterrův model, který stojí u základů vědní disciplíny zvané matematická ekologie. Model dravec-kořist. Koncepce: Modelujme dvě vzájemně provázané populace - populaci kořisti x a dravce y. Je zřejmé, že velikost a dynamika populace kořisti bude ovlivňovat dynamiku a velikost populace dravce a naopak. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Diagram: i—.f(x,y) r-. ?(*,y) Rovnice: z'= */(*, y) 2/ = yg(x>y)> kde stavové proměnné iay reprezentují populace kořisti a dravce a f(x, y) = b — py a y) = rx — d pro parametry p, r, d > 0. 41. příklad: Interpretujte parametry modelu (16). ©Lenka Přibylová, 20131 42. příklad: Najděte stacionární body systému (16), spočtěte zde Jacobiho matici a určete jejich stabilitu. Pokuste se nakreslit fázový portrét. 43. příklad: Najděte předpis netriviální trajektorie (16) ve fázovém prostoru s počáteční podmínkou x/(xq) = x/q, použijte znalost toho, že *p = Řešte samozřejmě v 1. kvadrantu, který je pro model smysluplný. Může trajektorie tento kvadrant opustit? Jak trajektorie vypadá? 44. příklad: Srovnejte Lotkův-Volterrův model s Kermack-McKendrickovým modelem SIR. 45. příklad: Podívejte se na Scholarpedii ©Lenka Přibylová, 2013 Q Vyhodnocení: Model můžeme samozřejmě dále rozšiřovat: 46. příklad: Nalezněte na internetu nějaké informace o modelu dravec-kořist. Pokuste se najít nějaký vědecký článek, který je jeho rozšířením. Vytvořte ve vhodném programu simulaci. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Goodwinův model hospodářského cyklu Představíme si nyní ekonomický model interakcí, který vede na model dravec-kořist. Koncepce: Budeme vycházet z Harrodova-Domarova modelu, přičemž budeme předpokládat, že veškerá čistá produkce, tj. produkce bez vyplacených mezd, je investována. Označme L množství zaměstnaného obyvatelstva, které za svou práci dostává mzdu W (jde vlastně o střední hodnotu mzdy). N bude množství práceschopného (nebo práceochotného) obyvatelstva. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Pro zjednodušení zavedeme následující veličiny: • produktivita práce = střední množství produktu vytvořeného jedním pracujícím člověkem a=x> • relativní zaměstnanost v = j^, • podíl mzdy na produkci u = ™ = ^. Dále předpokládejme, že míra růstu obyvatel /3 je konstantní, projevuje se stálý technický pokrok, tj. konstantní relativní růst produktivity práce a a relativní změna mzdové sazby závisí na relativní zaměstnanosti. EBl E] Q ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Phillipsova křivka: Závislost relativní změny mzdové sazby na relativní zaměstnanosti (nebo nezaměstnanosti) popisuje Phillipsova křivka, jejíž vlastnosti byly zjištěny empiricky. Funkce cp : [0,1) —»■ IR je diferencovatelná funkce, která je rostoucí a konvexní a splňuje nerovnosti tj. při malé zaměstnanosti (velké nezaměstnanosti) mzdy klesají (je-li práce vzácná, lidé jsou ochotni pracovat za nízkou mzdu), tj. při velké zaměstnanosti mzdy rostou (chceme-li při téměř plné zaměstnanosti získat nového pracovníka, musíme ho přeplatit). (p(0) < 0, (17) lim cp{v) > 0, (18) ©Lenka Přibylová, 2013 Q Phillipsova křivka jako závislost $ na relativní nezaměstnanosti, tedy jako funkce 1 — v, je klesající konvexní funkce (otočení okolo osy 0=2)- Někdy se místo relativní změny mzdové sazby analogicky vyjadřuje inflace. míra nezaměstnanosti míra zaměstnanosti ©Lenka Přibylová, 2013 Q Rovnice: Oproti Harrodovu-Domarovu modelu nyní platí I = Y — LW, tedy při původním označení kapitálové náročnosti jednotky produkce r = y můžeme změnu kapitálu psát jako K' = rY' = Y-LW - ôrY. Odtud YY = \{l-u)-ô. 47. příklad: Ukažte, že za daných předpokladů platí il = i(l-u)-ô-a-p. 48. příklad: Za předpokladu = (p{v) ukažte, že platí í = \G = u(D, D). D tedy není evolučně stabilní strategie, protože není odolná vůči vstupu mutantního fenotypu. Uvažujme naopak populaci fenotypu H. Vstoupí-li do ní jedinec fenotypu D, bude pro fitness platit u(D,H)=0 a u(H,H) = \(G-C) a logicky bude záviset na tom, zda zisk z boje G bude větší nebo menší než náklady na boj C. V případě, že G > C, pak u(D, H) < u(H, H) a mutantní fenotyp se v populaci nebude moci šířit. V této situaci bude fenotyp jestřába H evolučně stabilní strategií. V opačném případě, kdy náklady C převýší zisk G, bude se fenotyp hrdličky D moci šířit v populaci jestřábů. ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Uvažujeme-li smíšenou strategii, kdy se jedinec chová jako jestřáb s pravděpodobností x a jako hrdlička s pravděpodobností 1 — x, pak fitness jednotlivých fenotypu je daná vztahy u(H,xH+(l-x)D) = xu(H,H) + (l-x)u(H,D) = x\(G - C) + (1 - x)G u(D,xH+(l-x)D) = xu(D,H) + (l-x)u(D,D) = x-Q+(\-x)\G 49. příklad: Ukažte, že pokud x < ^, dochází k šíření fenotypu H a pokud x > ^, dochází k šíření fenotypu D. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Rovnice: Uvažujme populaci o H jedincích fenotypu jestřába a D hrdličky, velikost celé populace je N = H + D. Předpokládáme, že každý fenotyp se rozmnožuje úměrně svému fitness «jj = r h (H, D) a Mfj = r d (H, D), který závisí samozřejmě na zastoupení jedinců fenotypu H a D v populaci: H' = rH(H,D)H D' = rD(H,D)D Dynamika růstu celé populace je pak dána rovnicí N' = rH(H,D)H + rD(H,D)D = rH(H,D)^N + rD(H,D)§N = TN/ kde f = r-ftX + Td(1 — x), přičemž x představuje podíl jestřába v celé populaci. ©Lenka Přibylová, 2013 Q 50. příklad: Ukažte, že platí tzv. replikátorová rovnice x' = x(jn — f). 'i(G-C) G jestřába bude Pro výplatní matici A = ( 2 ^ 1 G' fitness fenotypu rH = xu{H,H) + (1 -x)u(H,D) = \{G - C)x + G(l - x), fitness fenotypu hrdličky bude rD = xu(D,H) + (1 - x)u(D,D) = \G{1 - x) a f = ľy[X + ľ£)(l — x) = x(^(G — C)x+ (1 — x)G) + (1 — x)jG(l — x). Replikátorová rovnice pro fenotyp jestřába je proto ©Lenka Přibylová, 2013 | 51. příklad: Odvoďte:-) 52. příklad: Najděte stacionární body a určete jejich stabilitu. 53. příklad: Určete zastoupení strategií jestřába a hrdličky v populaci v dlouhodobém horizontu. 54. příklad: Ve vhodném programu simulujte populaci jestřábů a hrdliček. Předpokládejte náklady na boj ve výši C = 4, zisk G = 1 a počáteční populaci jestřábů a hrdliček v poměru 1:100. 55. příklad: Porovnejte výsledek dynamického modelu s herním modelem se smíšenými strategiemi. Smíšenou strategii (x, 1 — x)T můžeme v populaci jestřábů a hrdliček vnímat jako pravděpodobnost chování náhodného jedince (samozřejmě předpokládáme, že každého jedince potkáme se stejnou pravděpodobností, tj. např. hrdličky se Q] Q B H ©Lenka Přibylová, 2013 EJ neshlukují). Tato smíšená strategie náhodného jedince je tedy dána právě poměrem fenotypů v populaci. Vyhodnocení: Model je samozřejmě velmi jednoduchý, právě pro svou přehlednost je jedním ze základních modelů biologie, vysvětluje sice dynamiku evoluce pouze dvou fenotypů, ale jeho princip lze použít obecně. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Teorie her a dynamika V této části použijeme předchozí model hawk-dove pro odvození obecnějšího principu. Půjde nám o vyjádření replikátorových rovnic pro populaci složenou z n fenotypu. Definice: Maticovou symetrickou hrou dvou hráčů rozumíme hru se stejnými konečnými n-rozměrnými prostory strategií S\ = S2 = S a symetrickými výplatními funkcemi Ui(i,j) = u2(j,i) = (a-ij), i, j E S. Výplatní funkci pro smíšené strategie x,y E (S) pak zapisujeme pomocí výplatní matice A, tj. u\(x,y) = xTAy = u2{y,x) pro x,y E (S). EEl Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Poznámka 11. Smíšená strategie x je rovnovážnou strategií maticové symetrické hry s maticí A právě tehdy, když pro všechny smíšené strategie x 6 (S) platí x Ax ^ x Axr t j. x Ax ^ max x Ax. *e(S) Označme ryzí strategie e, = (0,..., 0,1,0,...,0)T (vektor s /-tou nenulovou složkou) a pro smíšenou strategii x = [x\,... xn)T definujme množinu indexů nenulových pravděpodobností C(x) = {k : Xj- > 0}. Pak platí následující věta: ©Lenka Přibylová, 2013 Q Věta: Smíšená strategie x symetrické maticové hry s maticí A je rovnovážná právě tehdy, když xTAx > ejAx pro všechna i i C(x) a xTAx = ej Ax pravšechna i e C (x). Poznámka 12. Ryzí strategie e, je tedy rovnovážnou strategií právě tehdy, když pro všechna j platí au > a; EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Replikátorové rovnice: Uvažujme nyní populaci n fenotypu o velikosti N(, i = 1... n, rozložení populace je tedy x = (x\,..., xn)T, kde x-t = jj-. Výplatní matice A e ]R"X" určuje fitness (a tedy růst populace) z-tého fenotypu takto: NI = r,Nŕ, kde r,- = ej Ax. Růst celé populace je určen průměrnou mírou růstu N' = TN, kde f = xľj = x1- Ax. Pro jednotlivé fenotypy tedy platí x'i = Xj(ľj — f)= x j (ejAx — xTAx). ©Lenka Přibylová, 2013 Q 56. příklad: Napište repikátorové rovnice pro symetrickou maticovou hru s maticí /O 1 0\ A = 0 0 2 . \0 0 1/ 57. příklad: Ukažte, že simplex X\ + x2 + x3 = 1 je invariantní množinou dynamického systému daného replikátorovými rovnicemi. (Návod: uvažujte dynamiku nové proměnné s = X\ + x2 + pro s = l.) 58. příklad: Ve vhodném programu nakreslete fázový portrét (2D i 3D), v dvojrozměrném nakreslete nulkliny, spočtěte stacionární bod a na základě Jacobiho matice určete jeho stabilitu. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ 59. příklad: Uvažujte interakci dvou populací - prodejců a kupujících. Prodejce se může řídit dvěma strategiemi - buď být čestný, nebo podvádět. Kupující může buď prověřit nebo neprověřit, co kupuje. Jde o tzv. bimaticovou hru (prodávající a kupující mají obecně nesymetrické výplatní matice) Předpokládáme, že prodávající a kupující budou používat danou strategii tím více, čím úspěšnější bude (máme tu jakousi fitness daného fenotypu). Odvoďte replikátorové rovnice a nakreslete jejich fázový portrét. Návod v článku. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Dynamický model difúze a šíření Difúze je transportní děj, kdy termodynamický systém směřuje k rovnovážnému stavu, v němž jsou v jeho objemu vyrovnány koncentrace všech jeho složek. Je výsledkem pohybu mnoha malých částeček v náhodných směrech (Brownův pohyb). Jedním ze způsobů modelování je proto agregační přístup pomocí náhodné procházky. Uvažujme nejjednodušší případ, pohyb jedné částečky po přímce. Za čas Ar se posune vpravo nebo vlevo o Ax. Toto Ax bude jakási střední vzdálenost mezi kroky náhodné procházky. Platí pro ni, že její čtverec s časem lineárně roste. Ukázal to v roce 1905 Einstein při modelování Brownova pohybu. EBl E] Q ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Intuitivní představa je tato: V počátečním okamžiku umístíme částečku do počátku a budeme sledovat její vzdálenost Xf od počátku po t krocích (v čase ŕ). Po t — 1 krocích se nacházíme ve vzdálenosti xř_i a po dalším kroku bude naše vzdálenost rovna jedné z následujících možností Xt = Xf-i — £ nebo Xf = Xf-i + £, tedy x2 = x\_x — 2xt-it; +£2 nebo x2 = x\_x + 2xř_i^ + £2. Po dostatečně velkém počtu malých kroků průměrně xř = xř-l + C2 ~ t£2- Střední kvadratrická vzdálenost tedy bude růst úměrně času: (Ax)2 -- = const. At EEl Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Pravděpodobnost, že se částečka bude vyskytovat v čase t na místě x bude p(x, t) = \p(x + Ax, t - At) + \p(x - Ax, t - At), odečtením p(x,t — At) a podělením At dostaneme p(x,t)-p(x,t-At) _ (Ax)2 p(x+Ax,t-At)-2p(x,t-At)+p(x-Ax,t-At) St - ~TXt {Kxf ' Z definice derivace limitním přechodem At —>■ 0 a Ax —»■ 0 dostaneme rovnici difúze: — £)d2P at ^dx2/ kde 2D = = const. je tzv. difúzni koeficient. Z matematického hlediska je rovnice totožná s rovnicí vedení tepla. Zvlášťpro více prostorových dimenzí se používá pro operátor na pravé straně rovnice difúze (nebo vedení tepla) označení a nazývá se Laplaceův operátor. BBI El 13 laa ©Lenka Přibylová, 20131 Poznámka 13. Operátor nahla je často používán v zápisech vícerozměrných dynamických systému. Jde vlastně o zkrácený zápis vektoru parciálních derivací, tj. 3/ 3/ 3/ J \ 3*i ' 3*2 '' ' '' 3xn ' ' Zápis s tečkou pak značí použití součtu v analogii se skalárním součinem, v ■ f — -°VL _i_ i/ _i_____ v / — 3^ ^ 3;t2 ^ ^ 3x„' Laplaceův operátor A je tedy formálně skalární součin operátorů V ■ V = A. ©Lenka Přibylová, 2013 Q Spojitý přístup: Uvažujme proudění tenkou trubicí: J{x,t) S x x + Ax V = S ■ Ax J(x, t) je vektor ve směru toku o velikosti hustoty částic (počet částic v čase t na jednotku plochy), S je plocha řezu. Je-li u(x, t) koncentrace částic v (x, t), pak bude v objemu V změna množství částic za Aŕ: S Ax u(x, t + At) — S Ax u(x, t) „/T/ . , u -K—-^-^ = S(J(x, t) - J(x + Ax, t)). Dělením S Ax a limitním přechodem At —»■ 0 dostaneme zákon zachovaní hmoty: du _ _a/ 3ŕ dx H H H D ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Obecněji, pokud by částice v trubici navíc vznikaly nebo zanikaly s hustotou f(x, t) (počet vzniklých nebo zaniklých částic na jednotku času a objemu), byla by rovnice zákona zachování ve tvaru du _ 9/ i ( dt ~ dx ~r/- Hustota proudění částic J(x, t) je nejčastěji ovlivňována dvěma jevy -advekcí, tj. přenosem částic v médiu proudícím rychlostí v, pak Jadv = VU a difúzí. Difúzni proudění podléhá empirickému Fickovu zákonu Jdi f f =-D^> tedy tok částic závisí přímo úměrně na změně koncentrace částic a směřuje k vyrovnání koncentrace. V případě čisté difúze tedy platí § = Dpi = DV2«. (19) ©Lenka Přibylová, 2013 Q Prozatím se spokojíme s jednou prostorovou dimenzí a podíváme se blíže na řešení rovnice difúze (19). To závisí jistě na počátečních podmínkách. Nejčastěji jsou to podmínky okrajové, tj. koncentrace částic je určena na okraji trubice x E [0, l]: • u(l,t) = í oo : x = O O :x^0 /co ó(x)áx = 1. -oo ©Lenka Přibylová, 2013 Q Formálně korektně bychom museli použít Lebesgueovy míry a definovat 5 jako míru množiny A C IR, přitom Model tedy předpokládá tenkou a nekonečně dlouhou trubici, difúze probíhá pouze ve směru osy x, přitom v čase t = 0 abstrahujeme od skutečnosti, že vstřik látky trvá nějakou dobu a probíhá do objemu, nikoliv plochy. Fakticky je ale tato abstrakce možná, protože předpokládáme velmi dlouhý časový interval pozorování difúze a dostatečně tenkou trubici oproti její délce. Odtud také vyplývá její základní vlastnost /oo rOŮ f{x){dó{x))= / f{x)ó{x)dx = f{0) -oo J — OO EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Budeme tedy nyní hledat řešení u(x, t) rovnice difúze (19) ft = Dg = DV2« Fourierovou transformací řešení u(x,t)je /-■CO U(a,t)= / u{x,t)e-iaxdx 61. příklad: Ukažte, že pro Fourierovu transformaci U(a, t) koncentrace u(x, ť) platí diferenciální rovnice + Da2U = 0. EEl Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Ukažte, že pro Fourierovu transformaci U(a, t) koncentrace u(x, t) platí diferenciální rovnice + Da2U = 0. EEl Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Ukažte, že pro Fourierovu transformaci U(a, t) koncentrace u(x, t) platí diferenciální rovnice + Da2U = 0. dt — dt u(x,t)e-iaxdx EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2013 Q Ukažte, že pro Fourierovu transformaci U(a, t) koncentrace u(x, t) platí diferenciální rovnice + Da2U = 0. dt — dt u(x,t)e-iaxdx = du(x,t) -e-'axdx I Integrál je lineární operátor, t nezávisí na x, můžeme zaměnit I pořadí integrace. EB B B m- tcj Lenka ťnl Ukažte, že pro Fourierovu transformaci U(a, t) koncentrace u(x, t) platí diferenciální rovnice + Da2U = 0. dt — dt u(x,t)e-iaxdx = d-^le-iaxdx = ľ Dd^^e-iaxdx Dosadíme z rovnice difúze. jsnka Přibylová, 2013 Ukažte, že pro Fourierovu transformaci U(a, t) koncentrace u(x, t) platí diferenciální rovnice + Da2U 0. m dt u(x,t)e-iaxdx = du(x,t) dt e du(x,t) dx 1 xdx = jjd2u(x,t) c-iax dx2 dx = (—z'a)e~ iax du(x,t), dx aX mfc, Přibylová, 2013 Použijeme per partes Ukažte, že pro Fourierovu transformaci U(a, t) koncentrace u(x, t) platí diferenciální rovnice + Da2U = 0. at ~~ at ii(i,í)eH'"di = = D = D du(x,t) at É a»(^,t) a* É rdx= / D )d2u(x,t) „-iax dx2 -oo 7 —oo dx = (_ia)e-i«*3íígádz i U(x,r)(-ke-''") -oo 7 —oo a2e-iaxu(x,t)dx ), a znovu per partes spolu s okrajovými podmínkami. yLenkalJnbylova.iul. 1 Ukažte, že pro Fourierovu transformaci U(a, t) koncentrace u(x, t) platí diferenciální rovnice + Da2U = 0. '<§ = | / u{x,t)e-mxáx = = D = D du(x,t) dx e u(x,t)(-iae-iax) jjd2u(x,t) c-iax dx2 dx = (-m)e-'axo-^dx ) = -iccx du(x,t)r dx tx2e-iaxu(x,t)dx ),tj. + Da2U = 0 EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2013 Q Obecným řešením rovnice f / + Da2U = 0 je zřejmě funkce U(a,t) = e-Da2t ■ konst. Přitom konstanta je určena počáteční podmínkou u(x,0) = ^-ô(x) a obecně může záviset na a. V našem případě však platí u(x,0)e-iaxdx = / fS(x)e-iaxdx = f. -oo J — OO Partikulárním řešením transformované rovnice je tedy U{oc,t) = fe-Da2t. ©Lenka Přibylová, 2013 | Zpětnou transformací dostáváme U(a,t)eiaxda = ^ / feiaxdtx. -oo J — oo Protože e"" = cos ax + i sin ax a funkce sin je lichá, platí r-oo 7 u(x,t) = H y e_Da řcos(ax)da. Poznámka 14. Substituce a = ~^yt, x = r]VĎ~t převádí výše uvedený integrál na tvar M oo r2 0 nSVDt Označíme a vypočteme následující integrál: e £ cos(?/£)d£. I(t]) = e £ cos(?/£)d£- o ©Lenka Přibylová, 20131 Nejprve si všimněme, že platí drj £ 2 Dále pak = -2£e~Č , tj. ál — I d)7 ~~ 2 £sin(?/£)e ? d£. Metodou per partes nyní můžeme přepsat tento integrál do tvaru dtj 2 sin 0 JO A Funkce sin(?/£)e ? je pro £ = 0 nulová, pro £ —>■ oo také, protože sin je -ŕ2 ohraničený a e —>■ 0. Dostali jsme tedy pro I(rf) diferenciální rovnici j/cos(?/^)e"? d£ = -\l(í]). ©Lenka Přibylová, 2013 Q dJ(?) drj oo ji Protože I{rj) = / e Š cos(//^)d^, je počáteční podmínkou zřejmě Jo roo ji 1(0) = / e-£ de 62. příklad: Ukažte, že platí / e x dx ©Lenka Přibylová, 2013 Q Ukažte, že platí / e x dx o 2 Místo integrálu 1=1 e x dx budeme hledat jeho druhou mocninu o I2 = re-x2dx- re-y2dy= f f e-^x2+^dxdy Jo Jo JJci Označme fi 1. kvadrant dvojrozměrného prostoru s kartézskými souřadnicemi x, y. V přepisu do polárních souřadnic platí: e-^x2+^dxdy = J02 (J™e-r2rdr)dcp Substitucí r2 = t dostáváme ř2=r Ve vícerozměrném případě pak n n du _ 7-) V-' d2u _ V~~' _3u_ dt — U ž-i -dx2 L-lVÍdXi> í'=l ' í=l což můžeme zkráceně zapsat takto: |f = DV2m-d-Vh. EE1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2013 Q Pokusme se odhadnout řešení rovnice (20). V případě, že rychlost v byla nulová, vyřešili jsme rovnici difúze a našli řešení úlohy s bodovým zdrojem jako Gaussovu křivku M *2 u(x,t) =— e 4Dř. Pokud bude difundující látka unášena prostředím konstantní rychlostí v 7^ 0, bude místo x za čas t v místě vt. Substitucí ^ = x — vt pak posuneme toto pohybující se místo do počátku. Řešením by měla být tedy koncentrace , , M _{x-vt)2 u(x,t) =— e 4Dř . ©Lenka Přibylová, 2013 Q 65. příklad: Dokažte, že substituce £ = x — vt převádí rovnici difúze s advekcí na rovnici difúze bez advekce. Poznámka 17. V dynamice tekutin se zavádí Pécletovo číslo Uvažujme vzdálenost, kterou částice urazí díky advekci: La = vt a díky difúzi = \TDí. Poměr Ld:La resp. Pe = (^)2 pak udává dominanci difúze či advekce při transportu částic tekutinou. Pro Pe ^ 1 je dominantní difúzni složka a pro Pe (22) ©Lenka Přibylová, 2013 | 73. příklad: Hledejte řešení jako postupující vlnu a převeďte rovnici na systém ODR. Najděte rovnovážné body rovnice a určete jejich stabilitu. Nakreslete nulkliny a fázový diagram systému. Vyhodnocení: Z fázového diagramu je zřejmé, že frekvence alely P(£) = P(x — vt) = p(x, t) klesá k nulové stabilní rovnováze pro £ —»■ oo. Vzhledem k času jde ale o postupující vlnu šíření genu, P(x-vt)' X což je zcela v souladu s očekáváním. ©Lenka Přibyloi Síření kolonií mikroorganismů Koncepce: Kvasinky jsou jednobuněčné houbové mikroorganismy, množí se zejména nepohlavne a je pro ně charakteristický způsob dělení buněk, takzvané pučení. Buňky kvasinek potřebují ke svému dělení energii, kterou získávají z cukru - glukózy. Pokusíme se vytvořit model šíření kolonie kvasinek. Pro jednoduchost budeme uvažovat jen jednu prostorovou proměnnou x. Počet buněk v jednotce objemu (hustotu buněk) označíme n(x, t), koncentraci glukózy g(x, t). Glukóza se ve vodě šíří difúzí. EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2013 EJ Diagram: Rovnice: kn(g-g*) £>Q-ckn(g- ©Lenka Přibylová, 2013 | 74. příklad: Zdůvodněte uvedený tvar rovnic. Zavedením nových proměnných z = x — vt, N(z) = n(x,t), G(z) = g(x,t) dostáváme -v^ = kNG -^H = D^-ckNG. Přičtením c-násobku 1. rovnice k druhé pak dostáváme -7,r-M. _ 7,_áG _ n d2G VC dz V dz - U dz2 ' Integrací pak dostáváme konst - vcN -vG= D-|f. Konstantu můžeme dopočítat např. touto úvahou: v případě, že G = 0, je také = 0, proto konst = vcNq pro G (z) = 0. Nq tedy představuje jakési hraniční maximální množství (hustota) kvasinek, když je glukóza již vypotřebována. Dostáváme tedy systém rovnic 75. příklad: Najděte rovnovážné body rovnice a určete jejich stabilitu. Nakreslete nulkliny a fázový diagram systému. Nakreslete graf řešení N versus z a G versus z dN dz dG dz ©Lenka Přibylová, 2013 Q Vyhodnocení: Z fázového diagramu je zřejmé, stabilní rovnováhou je bod [0, cNq], přitom hustota buněk řešení klesá se z —»■ oo k nule a koncentrace glukózy roste k cNq. Vzhledem k času jde o postupující vlnu šířící se kolonie kvasinek, která vypotřebovává glukózu, což je zcela v souladu s očekáváním. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2013 EJ 76. příklad: Podívejte se na článek Gray-Scottův model a jeho simulaci Postupující vlny a vznik vzorů k nakouknutí: Nerovnovážná termodynamika a její aplikace, ZCU v Plzni ©Lenka Přibylová, 20131 Konec ©Lenka Přibylová, 2013