Domácí úkol z 28. února 2013
Definice. Nechť P je komutativní pologrupa, G komutativní grupa a
η : P → G homomorfismus. Grupu G (spolu s homomorfismem η) nazveme
Grothendickovou grupou pologrupy P, jestliže pro každou grupu H a každý
homomorfismus ϕ : P → H existuje právě jeden homomorfismus ψ : G → H
takový, že ψ ◦ η = ϕ.
Existenci Grothendickovy grupy pro libovolnou komutativní pologrupu
dokážeme konstrukcí. Nechť je tedy dána libovolná komutativní pologrupa
(P, +). Na kartézském součinu P × P zaveďme relaci ≡ takto:
(p, q) ≡ (p , q ) ⇔ ∃t ∈ P: p + q + t = p + q + t.
Vcelku snadno se ukáže, že je ≡ relací ekvivalence na P: ihned je vidět, že je
to relace reflexivní a symetrická. Pro důkaz tranzitivnosti předpokládejme,
že (p, q) ≡ (p , q ) a současně (p , q ) ≡ (p , q ). Pak existují t, t ∈ P tak, že
p+q +t = p +q+t, p +q +t = p +q +t . Dohromady p+q +(p +q +t+t ) =
p + q + (p + q + t + t ), a tedy (p, q) ≡ (p , q ). Nechť G je rozklad P
podle této ekvivalence, tj. G := (P ×P)/≡, třídu rozkladu obsahující dvojici
(p, q) ∈ P × P budeme značit [p, q] ∈ G.
1. Chceme zavést operaci + na G, a to předpisem
[p, q] + [r, t] := [p + r, q + t]
pro libovolné p, q, r, t ∈ P. Ověřte, že tento předpis definuje korektně
operaci na G a že (G, +) tvoří komutativní grupu.
2. Zaveďme zobrazení η : P → G předpisem η(p) = [p + p, p] pro každé
p ∈ P. Dokažte, že η je homomorfismus pologrup.
3. Nechť (H, +) je grupa (nemusí ani být komutativní) a ϕ : P → H je
homomorfismus pologrup. Ukažte, že existuje jediný homorfismus grup
ψ : G → H splňující ψ ◦ η = ϕ. [Návod: uvědomte si, že pro každé
p, q ∈ P platí [p, q] = η(p) + (−η(q)) v G. Proto jediná možnost, jak
definovat ψ splňující ψ ◦ η = ϕ je ψ([p, q]) = ϕ(p) + (−ϕ(q)). Ověřte
tedy, že takto definované ψ je homomorfismus grup.]
1