Domácí úkol z 11. dubna 2013
1. Zvolme pevně r ∈ N, r > 1 a definujme pro každé n ∈ N
a(r)
n =
1, jestliže r n,
1 − r, jestliže r | n.
Dokažte, že Dirichletova řada
fr(s) =
∞
n=1
a(r)
n · n−s
konverguje v polorovině Re(s) > 0 k holomorfní funkci.
[Návod: užijte Proposition 9 a 6.]
2. Dokažte, že v polorovině Re(s) > 1 pro Riemannovu ζ-funkci platí
ζ(s) = (1 − r1−s
)−1
· fr(s), (1)
což definuje analytické prodloužení Riemannovy ζ-funkce na polorovinu
Re(s) > 0. Podle věty o jednoznačnosti (viz např. skripta Kalas: Analýza
v komplexním oboru, str. 99) jsou tato prodloužení pro všechna
r > 1 stejná.
3. Užitím předchozí rovnosti (1) pro r = 2 a r = 3 ukažte, že analytické
prodloužení Riemannovy ζ-funkce na polorovině Re(s) > 0 může mít
pól jedině pro s = 1.
[Návod: užitečné je zjistit, pro která s ∈ C platí 21−s
= 1 a současně
31−s
= 1.]
4. Výpočtem limity lims→1+ ζ(s) pro reálná s jdoucí k 1 zprava ukažte, že
ζ(s) má v s = 1 singularitu, z rovnosti (1) odvoďte, že jde o jednoduchý
pól.
[Návod: zkoumejte limitu lims→1(s−1)ζ(s) pomocí rovnosti (1), můžete
užít L’Hospitalovo pravidlo (viz např. zmiňovaná skripta, str. 114).]
1