Domácí úkol z 18. dubna 2013 (upraveno 25. dubna 2013)
1. Nechť A je množina všech přirozených čísel, které v zápise ve dvojkové
soustavě mají lichý počet cifer. Pro libovolné reálné x označme
A(x) = |{n ∈ A; n ≤ x}|.
Dokažte, že
lim sup
x→∞
A(x)
x
= 2
3
a lim inf
x→∞
A(x)
x
= 1
3
.
2. Pro libovolné c ∈ {1, 2, . . . , 9} označme Bc množinu všech přirozených
čísel, jejichž zápis v dekadické soustavě začíná cifrou c (tj. cifra v nejvyšším
řádu je rovna c).
• Dokažte, že množina Bc jako podmnožina N nemá asymptotickou
hustotu.
• Určete analytickou hustotu množiny Bc jako podmnožiny N.
1