Diskrétní deterministické modely – cvičné písemky
1. Najděte řešení počáteční úlohy
x(t + 1)2
− (2 + t)x(t + 1)x(t) + 2tx(t)2
= 0, x(1) = 1.
2. Najděte obecné řešení rovnice
x(t + 2) − x(t) = 2t
t sin
π
2
t .
3. Uvažujte autonomní systém
H(t + 1) = rH(t) exp − aP(t) ,
P(t + 1) = cH(t) 1 − exp − aP(t) ;
parametry r, a a c jsou kladné. Najděte rovnovážný bod systému s oběma souřadnicemi
kladnými a vyšetřete jeho stabilitu.
Řešení:
1. Dvě řešení: x1(t) = 2t−1, x2(t) = (t − 1)!
2. x(t) = A + (−1)tB + 1
252t(8 − 5t) sin π
2 t
3. • r ≤ 1 rovnovážný bod uvnitř prvního kvadrantu neexistuje
• r > 1 rovnovážný bod
1
ac
r ln r
r − 1
,
ln r
a
je nestabilní
1
1. Najděte obecné řešení rovnice
x(t + 1) =
2x(t) + 4
x(t) − 1
.
2. Najděte řešení počáteční úlohy
x(t + 2) − 7x(t + 1) + 6x(t) = t2
, x(0) = 0, x(1) = −
7
125
.
3. Uvažujte autonomní systém
x(t + 1) = x(t) exp r 1 − x(t) − y(t) ,
y(t + 1) = αx(t) 1 − exp − y(t) ;
oba parametry r a α jsou kladné. Najděte rovnovážný bod systému s oběma souřadnicemi
kladnými a vyšetřete jeho stabilitu.
Řešení:
1. x(t) = 1 −
2(4 − x0)
4 − x0 + (1 + x0) −3
2
t +
3(1 + x0)
1 + x0 + (4 − x0) −2
3
t
2. x(t) = − 1
15t3 + 3
50 t2 − 27
750 t
3. • α ≤ 1 rovnovážný bod uvnitř prvního kvadrantu neexistuje
• α > 1 rovnovážný bod je 1 −
y∗
r
, y∗ , kde y∗ je jediné kladné řešení rovnice
r
α
y
r − y
= 1 − e−y
.
· Pokud
1 +
α
r
(r − y∗
) − r − 1 <
1
r
1 − r + y∗
αr − (α + r)y∗
− y∗
< 1
pak je 1 −
y∗
r
, y∗ asymptoticky stabilní,
· Pokud
1 +
α
r
(r − y∗
) − r − 1 ≥
1
r
1 − r + y∗
αr − (α + r)y∗
− y∗
nebo
1
r
1 − r + y∗
αr − (α + r)y∗
− y∗
≥ 1
pak je 1 −
y∗
r
, y∗ nestabilní.
2