Pracovní text a úkoly ke cvičením MF002
Ondřej Pokora, PřF MU, Brno 18. března 2013
2   Brownův most
Brownův most na intervalu [0,1] je náhodný proces Xt definovaný předpisem
Xt = (Wt|Wi = 0) ,      t e [0,1] ,
kde Wř je Brownův pohyb na intervalu [0,1]. Tzn. Xt je Brownův pohyb podmíněný hodnotou v koncovém čase t = 1. Jednou z možností jak takový proces explicitně popsat, je
Xt = Wt - t Wi ,      t e [0,1] .
2.1 Úkoly
Využijte předchozího vztahu a napište skript, který bude generovat trajektorii Brownova mostu. Nejdříve si vygenerujte Brownův pohyb Wt na intervalu [0,1] a pak jej transformujte na Brownův most Xt. Do obrázku pak vykreslete několik jeho trajektorií:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t
Vygenerujte si 100, 1000, příp. i 10000, trajektorií Brownova mostu a spočítejte střední hodnotu a rozptyl pro každé t e [0,1]. Obě závislosti pak vykreslete do grafu. Jakým dvěma funkcím odpovídají tyto závislosti?
1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t
3   Geometrický Brownův pohyb
Cena akcie je modelována pomocí stochastické diferenciální rovnice (SDR)
dXř = rXtdt + crXtdWt ,
kde parametr r je úroková míra a parametr a > 0 volatilita. Pro jednoznačné řešení je nutno doplnit i počáteční hodnotu X0 > 0. V nejjednodušším případě uvažujeme konstantní parametry, tedy nezávislé na čase. Řešením této SDR je nezáporný náhodný proces Xt zvaný geometrický Brownův pohyb, jehož trajektorie jsou pro hodnoty Xq = 100, r = 0 a c = 0,2 znázorněny na obrázku:
2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t
Výše uvedenou SDR lze přepsat do diferenčního tvaru
AX(ŕ) = rX(cv,t)At + crX(t)AW . Odtud dostáváme vztah pro generování trajektorií geometrického Brownova pohybu
X(t + Ar) = X(t) + AX(r) = X(t) + rX(t)At + aX(t)AW . Člen AW je přírůstek Brownova pohybu na intervalu délky Ar (viz přechozí cvičení).
3.1 Úkoly
Pomocí for-cyklu nebo funkce sapply napište skript, který bude generovat trajektorie geometrického Brownova pohybu s parametry X0,r,a. Vygenerujte pak několik trajektorií geometrického Brownova pohybu na intervalu [0,1] s paramety X0 = 100, r = 0 a a = 0.2, jak je naznačeno na obrázku výše.
Měňte hodnoty parametrů X0 > 0, r, a > 0 a sledujte chování trajektorií v závislosti na těchto změnách.
Dokažte, že následujícím způsobem generovaný náhodný proces je také geometrický Brownův pohyb Xf.
generuj	. gBp  <-   function   (t,   dt,   XO, r,	sigma) {
dW <-	rnorm   (length   (t)   -   1)   * sqrt	(dt)
dX <-	1  + r  *  dt  +  sigma  * dW	
X <-	cumprod   (c   (XO   , dX))	
}		
Vygenerujte si 100, 1000 (příp. 10000), trajektorií geometrického Brownova pohybu.
3
4
-1— 50
100
150
200 vyber
250
300
350
n:100 m:0
Jaké rozdělení pravděpodobnosti dostáváte? Hodnoty geometrického Brownova pohybu zlogaritmuje:
L <- log (M)
Jaké rozdělení pravděpodobnosti pravděpodobnosti mají zlogaritmované hodnoty pro pevnou hodnotu času?
Pro každý čas t e [0,1] spočítejte střední hodnotu a směrodatnou odchylku zlogaritmovaných realizací. Obě závislosti vykreslete do grafu. Následující grafy zobrazují tyto závislosti pro hodnoty parametrů X0 = l,r = l,cr = 1, resp. X0 = l,r = 0, a = 1:
6