Pracovní text a úkoly ke cvičením MF002
Ondřej Pokora, PřF MU, Brno 8. dubna 2013
4   Jednoduché odhady parametrů geometrického Brownova pohybu
Cenu akcie stále modelujeme pomocí stochastické diferenciální rovnice (SDR)
dXŕ = rXtdt + crXtdWt ,
s počáteční cenou X0 > 0, kde parametr r je úroková míra a parametr a > 0 volatilita. Uvažujeme konstantní parametry, tedy nezávislé na čase.
Řešením této SDR je nezáporný náhodný proces Xt zvaný geometrický Brownúv pohyb,
Xt = X0 exp
<72 .
2 ,t + vWt
4.1 Úkoly
S využitím výsledků z minulých cvičení na počítači určete rozdělení pravděpodobnosti a parametry následujících náhodných procesů (příp. náhodných veličin):
Xt ?
1    Xt 7
• Jn — ~ ?
Xo
• Rt = ln ~    kde ^ Je časovÝ interval mezi pozorovanými hodnotami ceny akcie
Předpokládejte znalost jedné trajektorie geometrického Brownova pohybu Xt. Spočítejte realizace náhodných veličin Rt pro vámi zvolené časové okamžiky. Jsou náhodné veličiny Rt pro různé časy { t} stochasticky nezávislé? Pomocí střední hodnoty a rozptylu veličin Rt můžete odhadnout parametry r a c: buď momentovou metodou, anebo metodou maximální věrohodnosti. Odvoďte si tyto odhady ř a &.
Přesnost odhadů r a & ověřte pomocí simulací. Zvolte si teoretické hodnoty r a a a pomocí vaší funkce z minulých cvičení si vygenerujte jednu trajektorii odpovídajícího geometrického Brownova pohybu. Následně spočítejte hodnoty Rt. Odhadněte hodnoty ř a & a porovnejte je s teoretickými hodnotami. Celý postup opakujte pro jinou trajektorii, resp. pro jiné teoretické hodnoty parametrů.
Jako ukázka je na následujících obrázcích zobrazena jedna simulovaná trajektorie geometrického Brownova pohybu s parametry s počáteční cenou akcie 100, očekávaným ziskem 55 % a směrodatnou odchylkou 30 % za rok, tzn. X0 = 100, r = 0.55 a a = 0.3. Trajektorie byla vygenerována pro období 4 let s předpokladem 252 obchodovaných dní v roce, tedy pro Ar = 1/252
a časový interval [0,4].			
XO <- 100 dt  <- 1/252 r  <- 0.55 s igma  <- 0.3 t  <-   seq   (0,   4, by=dt)			
X  <-  generuj .gBp   (t,   dt,   X0 , r,	sigma)		
plot   (t,   X,   type="l", col="reď abline   (h = X0   ,   lty = 2)	, xlab="t"	,   ylab="geometricky	Brownuv pohyb")
Dále jsou zobrazeny hodnoty procesu Rt.			
n  <-  length (X) R <-  log   (X[2:n]   /  X[l:(n-1)])			
plot   (t[l:(n-l)],   R, type="l", abline   (h =  0   ,   lty = 2)	col="red",	xlab="t", ylab="log	; - returns " )
1
Následuje histogram (příkaz hist) a graf autokorelační funkce (tzv. ACF, příkaz acf). Připomeňte si význam ACF. Co z histogramu a grafu ACF vidíte? Spočítejte si také číselné charakteristiky: výběrový průměr (mean), výběrovou směrodatnou odchylku a rozptyl (sd, var), výběrovou šikmost a špičatost (příkazy skewness, kurtosis v knihovně fBasics).
hist   (R,   freq = FALSE)	
acf (R)	
mean (R)	
sd (R)	
library (fBasics)	
skewness   (R,   method  = "moment	')
kurtosis   (R,   method  = "moment	')
V uvedeném příkladu vyšly momentové odhady následovně: f = 0.492, & = 0.304, tedy odhadnutý očekávaný zisk 49.2 % a odhadnutá směrodatná odchylka 30.4 % za rok.
o
12 3 4
t
CD
O -O
O O
0 12 3 4
t
2
Histogram of R
o
OJ
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
R
Series R
00
o
CD O
LL
o <
o
CM O
O O
-1_i_u
I ■ I
—\—
20
25
10
15 Lag
30
Postup řešení tohoto úkolu a odvozené odhady f a & momentovou metodou či metodou maximální věrohnodnosti vám pomohou při zpracování projektu.
3