MF002 Stochastická analýza -- zkouška 2013
Písemná část: řešení jedoduchých typů stochastických diferenciálních rovnic, výpočet
diferenciálu Itôova procesu pomocí Itôova lemmatu, výpočet Itôova integrálu, výpočet
střední hodnoty Itôova procesu, ověření, zda náhodný proces je martingal, vlastnosti
Brownova pohybu, definice pojmů, základní vzorce, Blackův-Scholesův vzorec
Otázky pro ústní část (nutné minimum: definice, vlastnosti a interpretace):
1. Základní vlastnosti spojitých náhodných veličin a náhodných procesů
definice, hustota pravděpodobnosti, střední hodnota, charakterizace stochastické
nezávislosti, vlastnosti normálního rozdělení
2. Vytvořující funkce
pravděpodobnostní a momentová vytvořující funkce, charakteristická funkce, jejich
vlastnosti, vzájemné vztahy, jejich praktické využití
3. Fourierova transformace (FT)
definice, inverzní transformace, vlastnosti FT: změna měřítka, FT derivace, derivace FT,
FT konvoluce, FT Gaussovy funkce
4. L2-prostor a Ciesielského konstrukce Brownova pohybu
definice L2-prostoru, základní vlastnosti, ortonormální báze v L2, Fourierova řada a
Fourierovy koeficienty, ortonormalita a úplnost Haarových funkcí, Schauderovy funkce,
Ciesielského konstrukce Brownova pohybu (na A: důkaz konstrukce, bez technických
tvrzení)
5. Lineární a kvadratická variace
definice lineární a kvadratické variace, jejich vlastnosti, výpočet pro (po částech)
monotónní funkce, diferencovatelné funkce a pro trajektorie Brownova pohybu
6. Stochastický integrál
jednoduchá funkce, definice stochastického integrálu jednoduché funkce, závislost na
volbě reprezentanta (levý, pravý krajní bod, nebo střed), definice Itôova integrálu,
vlastnosti Itôova integrálu, Itôova izometrie, interpretace stochastického integrálu
7. Itôův proces a Itôovo lemma
definice Itôova procesu, vztah k Itôovu integrálu, heuristické odvození Itôova lemmatu,
použití Itôova lemmatu pro výpočet Itôových integrálů, výpočet diferenciálů, per-partes
pro Itôův integrál, resp. diferenciál součinu Itôových procesů
8. Stochastická diferenciální rovnice (SDR)
Stochastický diferenciál, SDR a přepis na tvar s Itôovým integrálem, Itoův proces,
využití Itôova lemmatu pro řešení SDR, příklad na řešen stochastické diferenciální
rovnice pro cenu akcie
9. Martingaly
definice filtrace, historie Brownova pohybu, neanticipativní proces, definice
martingalu, věty o reprezentaci, charakterizce a vztahy mezi martingaly, Itôovými
integrály a Itôovými procesy
10. Blackův-Scholesův (BS) model
popis modelu, kosntrukce bezrizikového portfolia, základní věta arbitrážní teorie, riskneutrální
míra, stochastická diferenciální rovnice modelu a její řešení, odvození BS
vzorce, interpretace veličin v BS vzorci
11. Změna pravděpodobnostní míry
ekvivalentní pravděpodobnostní míry, Radonova-Nikodymova derivace, změna míry při
výpočtu střední hodnoty, Cameronova-Martinova věta, Girsanovova věta (na A: alespoň
skicy obou důkazů)
12. Stopping time, bariérové opce
stopping time, princip odrazu, definice a typy bariérových opcí, binární bariérová opce,
sestavení výplatní funkce pro binární bariérovou opci (na A: alespoň skica výpočtu)
13. Blackova-Scholesova parciální diferenciální rovnice (BS PDR), Feynmanova-Kacova věta
vysvětlení BS PDR, typy parciálních diferenciálních rovnic, převod BS PDR na rovnici
vedení tepla, řešení rovnice vedení tepla pomocí Fourierovy transformace, FeynmanovaKacova
věta, souvislost s Brownovým pohybem