Modely CAPM a APT Miroslav Beran 06.03.2013, Brno Obsah Úvod Model CAPM (Capital Assets Pricing Model) CML (Capital Market Line) SML (Security Market Line) Model APT (Arbitrage Pricing Theory) Miroslav Beran Modely CAPM a APT 2 / 25 Úvod CAPM - model oceňovania kapitálových aktív vznikol v 60. rokoch - niekoľko ekonónov publikovalo nezávisle na sebe články o CAPM, ktoré vychádzali z práce Harryho Markowitza za zmienku stojí článok W. Sharpeho „Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk s CAPM súvisí priamka kapitálového trhu - CML a priamka cenného papiera - SML vo vývoji teórie portfolia nasleduje arbitrážna teória oceňovania - APT, ktorú odvodil S. A. Rosse vo svojej práci „The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing z roku 1976 Miroslav Beran Modely CAPM a APT 3 / 25 Model CAPM - Předpoklady 1 investori investujú v jednom určitom časovom období Miroslav Beran Modely CAPM a APT 4 / 25 Model CAPM - Předpoklady 1 investori investujú v jednom určitom časovom období 2 investori hodnotia portfolio podľa očakávaného výnosu a očakávaného rizika Miroslav Beran Modely CAPM a APT 4 / 25 Model CAPM - Předpoklady 1 investori investujú v jednom určitom časovom období 2 investori hodnotia portfolio podľa očakávaného výnosu a očakávaného rizika 3 platí predpoklad nenasýtenosti investorov, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným rizikom si vyberú to s vyšším výnosom Miroslav Beran Modely CAPM a APT 4 / 25 Model CAPM - Předpoklady 1 investori investujú v jednom určitom časovom období 2 investori hodnotia portfolio podľa očakávaného výnosu a očakávaného rizika 3 platí predpoklad nenasýtenosti investorov, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným rizikom si vyberú to s vyšším výnosom 4 investori majú odpor k riziku, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným výnosom si vyberú to s nižším rizikom Miroslav Beran Modely CAPM a APT 4 / 25 Model CAPM - Předpoklady 1 investori investujú v jednom určitom časovom období 2 investori hodnotia portfolio podľa očakávaného výnosu a očakávaného rizika 3 platí predpoklad nenasýtenosti investorov, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným rizikom si vyberú to s vyšším výnosom 4 investori majú odpor k riziku, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným výnosom si vyberú to s nižším rizikom 5 jednotlivé aktiva sa dajú ľubovolne deliť, t. j. je možné kúpiť i kúsok akcie Miroslav Beran Modely CAPM a APT 4 / 25 Model CAPM - Předpoklady 1 investori investujú v jednom určitom časovom období 2 investori hodnotia portfolio podľa očakávaného výnosu a očakávaného rizika 3 platí predpoklad nenasýtenosti investorov, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným rizikom si vyberú to s vyšším výnosom 4 investori majú odpor k riziku, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným výnosom si vyberú to s nižším rizikom 5 jednotlivé aktiva sa dajú ľubovolne deliť, t. j. je možné kúpiť i kúsok akcie 6 existuje bezrizikové aktivum so sadzbou rf Miroslav Beran Modely CAPM a APT 4 / 25 Model CAPM - Předpoklady 1 investori investujú v jednom určitom časovom období 2 investori hodnotia portfolio podľa očakávaného výnosu a očakávaného rizika 3 platí predpoklad nenasýtenosti investorov, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným rizikom si vyberú to s vyšším výnosom 4 investori majú odpor k riziku, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným výnosom si vyberú to s nižším rizikom 5 jednotlivé aktiva sa dajú ľubovolne deliť, t. j. je možné kúpiť i kúsok akcie 6 existuje bezrizikové aktivum so sadzbou rf 7 zanedbávame dane, poplatky a dalšie transakčné náklady Miroslav Beran Modely CAPM a APT 4 / 25 Model CAPM - Předpoklady 1 investori investujú v jednom určitom časovom období 2 investori hodnotia portfolio podľa očakávaného výnosu a očakávaného rizika 3 platí predpoklad nenasýtenosti investorov, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným rizikom si vyberú to s vyšším výnosom 4 investori majú odpor k riziku, t. j. z dvoch portfolií s rovnakým očakávaným výnosom si vyberú to s nižším rizikom 5 jednotlivé aktiva sa dajú ľubovolne deliť, t. j. je možné kúpiť i kúsok akcie 6 existuje bezrizikové aktivum so sadzbou rf 7 zanedbávame dane, poplatky a dalšie transakčné náklady 8 investori sú si rovní Miroslav Beran Modely CAPM a APT 4 / 25 Model CAPM - Předpoklady Čo to znamená, že investori sú si rovní? Miroslav Beran Modely CAPM a APT 5 / 25 Model CAPM - Předpoklady Čo to znamená, že investori sú si rovní? 1 všetci investori majú rovnaké jedno obdobie (horizont) Miroslav Beran Modely CAPM a APT 5 / 25 Model CAPM - Předpoklady Čo to znamená, že investori sú si rovní? 1 všetci investori majú rovnaké jedno obdobie (horizont) 2 bezriziková sadzba je pre všetkých investorov rovnaká Miroslav Beran Modely CAPM a APT 5 / 25 Model CAPM - Předpoklady Čo to znamená, že investori sú si rovní? 1 všetci investori majú rovnaké jedno obdobie (horizont) 2 bezriziková sadzba je pre všetkých investorov rovnaká 3 informácie sú voľné a okamžite dostupné všetkým investorom rovnako Miroslav Beran Modely CAPM a APT 5 / 25 Model CAPM - Předpoklady Čo to znamená, že investori sú si rovní? 1 všetci investori majú rovnaké jedno obdobie (horizont) 2 bezriziková sadzba je pre všetkých investorov rovnaká 3 informácie sú voľné a okamžite dostupné všetkým investorom rovnako 4 investori majú homogenné očakávania, t. j. majú rovnako odhadnuté očakávané výnosnosti, riziká a kovariancie cenných papierov Miroslav Beran Modely CAPM a APT 5 / 25 Model CAPM - Předpoklady je zrejmé, že tieto predpoklady splňuje len modelovaný trh na ich základe môžeme analyzovať chovanie investorov, ale tiež aj ceny jednotlivých cenných papierov ak predpokladáme, že všetci investori postupujú rovnako, môžeme z pozorovania ich chovania odvodiť rovnovážny vzťah medzi výnosom a rizikom jednotlivých cenných papierov na trhu Miroslav Beran Modely CAPM a APT 6 / 25 Relatívna tržná hodnota cenného papiera označme ci tržnú cenu i-tého CP, si celkový počet kusov i-tého CP emitovaných k obchodovaniu na trhu agregovaná tržná hodnota CP i bude Ai = ci · si uvažujme ďalej, že na trhu existuje N cenných papierov s agregovanými tržnými hodnotami Aj, j = 1, . . . , N potom relatívnu tržnú hodnotu i-tého CP Ri definujeme Ri = Ai N j=1 Aj relatívna tržná hodnota je teda rovná agregovanej tržnej hodnote cenného papiera delené sumou agregovaných tržných hodnôt všetkých cenných papierov Miroslav Beran Modely CAPM a APT 7 / 25 Model CAPM - CML reprezentuje rovnovážny stav medzi očakávanou výnosnosťou a smerodatnou odchýlkou efektívnych portfolií rp = rf + rM − rf σM · σp Miroslav Beran Modely CAPM a APT 8 / 25 Model CAPM - CML rp - očakávaná výnosnost portfolia rM - očakávaná výnosnosť tržného portfolia rf - očakávaná výnosnosť bezrizikového aktiva σM - riziko trhu, σp - riziko portfolia efektívna množina je tvorená polopriamkou vychádzajúcou z bodu [0, rf ] a prechádzajúca bodom M = [σM , rM ] táto priamka sa označuje ako priamka kapitálového trhu - CML Miroslav Beran Modely CAPM a APT 9 / 25 Model CAPM - CML V CAPM vlastní každý investor tržné portfolio a zaujíma sa o jeho smerodatnú odchýlku, pretože tá ovplyvní veľkosť jeho investície do tržného portfolia σM = n i=1 n j=1 XiM XjM σij XiM a XjM sú váhy investované do cenných papierov i a j v tržnom portfoliu príspevok každého cenného papiera ku smerodatnej odchýlke tržného portfolia závisí na veľkosti jeho kovariancie s tržným portfoliom σjM = n i=1 XiM σij Miroslav Beran Modely CAPM a APT 10 / 25 Model CAPM - SML vzťah medzi kovarianciou a očakávanou výnosnosťou je známy ako priamka cenného papiera - SML využíva sa v rámci daného kapitálového trhu na stanovenie strednej výnosnosti alebo rizika individuálneho aktiva (predovšetkým akcie) ri = rf + rM − rf σ2 M · σiM Miroslav Beran Modely CAPM a APT 11 / 25 Model CAPM - SML ri - očakávaná výnosnost i-tého cenného papiera rM - očakávaná výnosnosť tržného portfolia rf - očakávaná výnosnosť bezrizikového aktiva σ2 M - rozptyl trhu, σiM - kovariancia i-tého cp a trhu na rozdiel od CML rozlišuje tržné (systematické) a jedinečné (nesystematické) riziko - to umožňuje oceniť jednotlivé aktiva na základe pohybu tržného indexu Miroslav Beran Modely CAPM a APT 12 / 25 Model CAPM - SML iný spôsob ako sa dá vyjadriť priamka SML je pomocou bety (faktor beta) ri = rf + (rM − rf )βi beta je vlastne alternatívny spôsob ako vyjadriť kovariančné riziko cenného papiera βi = σiM σ2 M beta môže nadobudnúť rôzne hodnoty (i) β > 1 - cp agresívny, výnos kolísa rýchlejšie ako trh (ii) β < 1 - cp defenzívny, výnos kolísa menej ako trh (iii) β = 1 - cp neutrálny, výnos kolísa spoločne s trhom Miroslav Beran Modely CAPM a APT 13 / 25 Ohodnotenie cenných papierov mnoho investorov vyhľadáva cenné papiere, ktoré sa zdajú byť nesprávne ohodnotené 1 CP je podhodnotený, ak je jeho očakávaná výnosnosť vyššia ako predpokladaná - leží nad SML 2 CP je nadhodnotený, ak je jeho očakávaná výnosnosť nižšia ako predpokladaná - leží pod SML porovnávame očakávané výnosnosti cenných papierov ri s rovnovážnou očakávanou výnosnosťou ri e, to je taká, ktorá by mala byť, keby bol cenný papier ohodnotený správne (ležal na SML) Miroslav Beran Modely CAPM a APT 14 / 25 Ohodnotenie cenných papierov určujeme hodnotu δi = ri − ri e, teda rozdiel medzi očakávanou a rovnovážnou výnosnosťou a) ak je δ > 0, leží CP nad SML a je podhodnotený b) ak je δ < 0, leží CP pod SML a je nadhodnotený c) ak je δ = 0, leží CP na SML a je správne ohodnotený z toho teda vyplýva, že je nutné nakupovať cenné papiere, ktoré ležia nad priamkou SML a predávať tie, ktoré ležia pod priamkou SML a je nutné držať tie cenné papiere, ktoré ležia na priamke SML Miroslav Beran Modely CAPM a APT 15 / 25 Faktorové modely poukazujú na to, že výnosnosť cenných papierov je citlivá na zmenu určitých faktorov makroekonomické faktory: inflácia, neočakávané zmeny úrokových sadzieb, výnos tržného portfolia, rast HDP mikroekonomické faktory: prírodné podmienky, vojnové konflikty tieto modely môžeme rozdeliť na jedno resp. viacfaktorové APT je faktorový model Miroslav Beran Modely CAPM a APT 16 / 25 Model APT arbitráž - obchody, ktoré využívajú cenové rozdiely na dosiahnutie zisku tento spôsob sa používal často, ale v súčasnej dobe pri rozvinutých informačných sieťach sa používa už len veľmi zriedka model APT je však založený na zákone jednej ceny, t. j. dva rovnaké statky nemôžu byť predávané za odlišné ceny APT predpokladá, že výnosnosť každej akcie je v lineárnom vzťahu k množine faktorov, ktoré sú charakterizované faktorovým indexom Miroslav Beran Modely CAPM a APT 17 / 25 Model APT môžeme teda písať ri = ai + bi1 · I1 + · · · + bij · Ij + ei kde ai je očakávaná výška výnosnosti akcie i za predpokladu, že sú všetky faktory rovné 0 Ij je hodnota j-tého faktoru, ktorý ovplyvňuje výnosnosť akcie i bij je citlivosť výnosnosti i-tej akcie na j-tý faktor ei je náhodná chyba s nulovou strednou hodnotou a rozptylom σ2 ei Miroslav Beran Modely CAPM a APT 18 / 25 Model APT ďalej predpokladáme, že náhodné chyby i-tej a j-tej akcie, náhodná chyba i-tej akcie a j-ty faktor a aj faktory medzi sebou su nekorelované APT je popis očakávanej výnosnosti za predpokladu, že výnosnosti akcií sú dané (generované) jedno alebo viacfaktorovým (indexovým) modelom APT je rovnovážny model Miroslav Beran Modely CAPM a APT 19 / 25 Model APT ak investor drží dobre diverzifikované portfolio (má v ňom dostatočný počet cenných papierov), nesystematické riziko sa blíži k nule a význam má len riziko systematické (budú nás zaujímať len hodnoty „b ) ak budeme mať tri dobre diverzifikované portfolia, tak nám potom tieto portfolia určujú rovinu, na ktorej ležia všetky portfolia, ktoré sú konštruované z týchto troch portfolií za predpokladu, že súčet váh jednotlivých portfolií, z ktorých konštruujeme nové portfolio, je rovný 1 Miroslav Beran Modely CAPM a APT 20 / 25 Model APT ak by dáke portfolio neležalo v danej rovine, existovala by možnosť arbitráže, čo je vlastne dosiahnutie výnosu bez rizika arbitráže by prebiehali do tej doby, kým by sa portfolio pôvodne v danej rovine nenachádzajúce svojimi parametrami prispôsobilo parametrom danej roviny vďaka predpokladu APT (zákon jednej ceny - neexistencia arbitráže) nie je nutné nájsť všetky rizikové aktiva alebo tržné portfolio, aby sme APT mohli testovať APT je vhodné využiť pri hľadaní modelu chovania tých akcií, o ktoré sa investor zaujíma Miroslav Beran Modely CAPM a APT 21 / 25 APT a CAPM tak ako CAPM aj APT je rovnovážnym modelom CAPM vyžaduje dosť silné predpoklady o preferenciách investorov (výnosnosť, riziko, odpor k riziku), na druhej strane APT takéto predpoklady nerobí APT nie je založená na myšlienke, že všetci investori pozerajú na portfolio v smysle očakávaných výnosností a smerodatných odchýliek, ale namiesto toho predpokladá, že investori dávajú prednosť vyššej výnosnosti pred nižšou úrovňou bohatstva Miroslav Beran Modely CAPM a APT 22 / 25 APT a CAPM v CAPM nie sú zohľadnené všetky faktory, čo môže obmedzovať vypovedajúcu schopnosť APT je schopný odstrániť niektoré nedostatky CAPM a nie je závislý na voľbe tržného portfolia v CAPM môžu nastať problémy napríklad s výpočtom faktoru beta, určením hodnoty rM alebo s veľkosťou bezrizikovej výnosovej miery problémy s APT môžu nastať pri viac faktoroch, kedy je ťažké určiť najdôležitejšie faktory, ktoré ovplyvňujú výnosovú mieru Miroslav Beran Modely CAPM a APT 23 / 25 APT a CAPM dá sa ukázať, že APT je v zhode s CAPM najjednoduchšie za predpokladu, že výnosnosti sú generované jednofaktorovým modelom (tým jediným faktorom je tržné portfolio, t. j. ri = ai + bi · rM + ei) a existuje bezriziková investícia potom sa dá ukázať, že platí CAPM: ri = rf + (rM − rf ) · βi platnosť sa dá samozrejme ukázať aj na viacfaktorových modeloch Miroslav Beran Modely CAPM a APT 24 / 25 Použité zdroje 1 Čámský, F.: Teorie portfolia. Masarykova univerzita v Brně, 2001. ISBN 80-210-2509-3. 2 Sharpe, W. F., Alexander, G. J.: Investice. Victoria Publishing Praha, 1994. ISBN 80-85605-47-3. 3 Študijné materiály predmetu Teorie portfolia. Miroslav Beran Modely CAPM a APT 25 / 25