MUNI Stacionární [MF006] Seminář z finanční matematiky Jan Bernard Masarykova univerzita Náhodné procesy Stacionární náhodné procesy Stacionárni procesy - příklady ARIMá procesy MUNI Náhodný proces Definice (Stochastický proces) Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Q, A, P), indexová množina T CM. a reálná funkce Y : Q x T -+ R definovaná pro Vw é Q a Vt e T. Jestliže pro V ŕ g T je Y(u, t) borelovsky měřitelná funkce vzhledem k A (tj. pro V 6 g B, Vŕ g 7" píaíŕ Y-\B) = {ueQ: Y{u, ŕ) £ 6} £ A kde B je a-algebra borelovských podmnožin), pak tuto funkci nazýváme (n-rozměrným) náhodným procesem a značíme {Yt,te T}. MUNI Broumüv pohyb (W.P.) MUNI Stacionarita I Definice (Striktní stacionarita) Náhodný proces {Xt, t g 7"} je striktně stacionární, jestliže Vt = (ŕi,..., ŕ„) 6 T" a pro Vt = (ŕi + h,..., tn + h) g T" platí Ft (X) = Ftlv..)tn (xi,... ,x„) = FT1:,„:Tn (xi,... ,x„) = FT (X) Pri posunutí v čase se tedy základní pravděpodobnostní charakteristiky nemění. 4/30 MUNI Stacionarita II Definice (Stacionarita ve střední hodnotě) Náhodný proces {Xt, t g 7"} nazýváme stacionární ve střední hodnotě, pokud V ŕ £ T je střední hodnota konstantní, tj. E (Xt) = konst. = /i. Pokud E (Xt) = 0, náhodný proces nazýváme centrovaným. 5/30 MUNI Stacionarita III Definice (Autokovarianční funkce) _j Necht náhodný proces {Xt, t g 7"} má Pak funkci konečné druhé momenty. 7(s,r) = C(Xs,Xř)=£(Xs -EXs)(Xt-EXt) nazveme autokovarianční funkcí. Tato reálná funkce dvou proměnných dává informaci o lineárním vztahu mezi jakoukoliv dvojicí náhodných veličin Xt a Xs. 6/30 MUNI Stacionarita III Definice (Kovariančně stacionární proces) Náhodný proces {Xt, ŕ g T} se nazývá kovariančně stacionární, pokud pro Vs, t g T platí 7(s,ŕ) = 7(0,|s-ŕ|). Autokovarianční funkce závisí pouze na svých argumentech prostřednictvím rozdílu („časové vzdálenosti"). Náhodný proces {Xt, t g 7"} se nazývá (slabě) stacionární, je-li kovariančně stacionární, tj. Vŕ, s g T : 7(s, ŕ) = 7(s — ŕ). 7/30 MUNI Bily šum Model Náhodný proces {wt, í £ 7"} nazýváme bílý šuma, jestliže platí E(wt) = 0, VAR(wt) = a2, Vs,ŕ,s^ŕ: C(wt,ws) = 0, a WhiteNoise Tedy wt jsou nekorelované náhodné veličiny s nulovou střední hodnotou a konstantním rozptylem. Pokud tyto náhodné veličiny i nezávislé, značíme je symbolem IID1, píšeme wt ~ IID(0,a2). 1 IndependentldenticalDefined 8/30 MUNI Bily šum Bílý šum a IID jsou stacionárními náhodnými procesy. MUNI Náhodná procházka Model Mějme proces {Xt, t g 7"} a platí XQ = 0, Xt = Xt_i + wt, kde wt jsou nezávislé náhodné veličiny wt ~ C (0, u^). Náhodná procházka 0 100 200 300 400 MUNI Náhodná procházka Je náhodná procházka stacionární proces? Připomeňme si model NP Xt = Xt-i+Wt, wt~ £{0,al) ,X0 = 0, pak střední hodnota E(Xř)=E(Vu;;) =^E(u;/) = 0 Proces je konstantní ve střední hodnotě. Dále počítejme autokovarianční funkci 7(í + h,t) = C(Xt+h, Xt) = E (j2 (E = tol-ACF závisí na t. Náhodná procházka není stacionární proce^ MUNI Autokovarianční funkce AFC udává lineární vztah mezi jakoukoliv dvojicí Xt a Xs. Platí C(Xt,X5) = C(X5,Xt), pak7(-ř) = 7(ř). Pro rozptyl VAR(Xt) = C{Xt,Xt) = 7(ř - t) = 7(0). Všechny náhodné veličiny Xt mají tentýž konečný rozptyl. 12/30 MUNI V reálnych situacích se se slabě stacionárními procesy setkáváme zřídkakdy. Obecně rozlišujeme dva druhy nestacionarity. ► ve střední hodnotě ► v rozptylu M j^j|Jj Procesy nestacionární ve střední hodnotě Rozlišujeme ► Deterministický trend Nestacionaritu ve střední hodnotě chápeme jako funkci času. ► Stochastický trend Nestacionaritu chápeme jako kolísání náhodné veličiny. MUNI Deterministicky trend K modelování deterministického trendu použijeme například »• Polynomický trend: f(t) = /30 + fot + ... + (3dtd p ► Periodický trend: f(t) = fi + ^(o/ cos(Ajŕ) + /3y sin(A/r)) 7=1 MUNI Periodicky trend Mějme náhodný proces, u kterého je patrný deterministický trend, který lze modelovat pomocí po sobě jdoucích period. MUNI Periodicky trend MUNI Stochasticky trend ► ARMA - Autoregresní proces klouzavých součtů Yt ~ ARMA (p, q) : 4> (B) Yt = Q {B) wt ► ARIMA - Integrovaná smíšený model Yt ~ ARIMA (p, d, q) : <í> (B) (1 - B)d Yt = Q {B) wt Pozn. Jedná se o zkrácený zápis pomocí operátorů , Q a operátoru zpětného posunutí B. 18/30 MUNI Operátor zpětného posunutí Definice (Operátor zpětného posunutí) Nechí { Yt, t 6 Z} je posloupnost náhodných veličin. Operátor zpětného posunutí je definován rovnicí BYt = n-i, přičemž jej lze aplikovat vícenásobně BJYt = Yt-j. 19/30 MUNI AR proces Časové řady mohou vykazovat korelaci s pozorováními té samé řady, proto AR procesy modelují dynamiku pomocí předchozích pozorování. Definice (Autoregresní proces) Náhodná posloupnost { Yt, t g Z} se nazývá autoregresní posloupnost řádu p, značíme AR (p), jestliže vyhovuje rovnici Yt - ifiYt-i - ... - (fpYt-p = wt, kde wt ~ WN(0, u^), ifi,..., ifp jsou reálné konstanty a ipp ^ 0. 20/30 MUNI MA proces Definice (Proces klouzavých součtů) Náhodná posloupnost {wt, t £ Z} se nazývá proces klouzavých součtů řádu q, značíme MA (q), jestliže vyhovuje rovnici Yt = Wt + ŮiWt-i + . . . + ŮqWt-q, kde wt ~ WN(0, (z) = 1 - (z) = 1 - ůlZ - ů2z2 - ... - ůqzq ležely vně jednotkové kružnice. Důsledek: Je-li proces MA(q) invertibilní, pak je určen jednoznačně pomocí prvních dvou momentů a nepozorovatelné veličiny wt můžeme odhadnout pomocí minulých a přítomných hodnot. 25/30 MUNI ARMA model Definice (ARMA proces) ARMA proces řádu p, qje definován vztahem Yt ~ PlYt-l - ... - ífpYt-p = Wt + Ů1Wt-l + . . . + ŮqWt-q, kde wt ~ WN(0,a2w). Pomocí operátoru zpětného posunu můžeme také psát Yt ~ ARMA (p, q) : (B) Yt = 0 {B) wt, kde *(fi) = 1-ifíB+ ip2B2 + ... + ippBp, ip0 = l a Q(B) = 1-Ů1B + Ů2B2+ ... + ůpBq, ů0 = 1. MUNI Box-Jekninsova metodolo Určení vhodného ARMA(p, q) modelu pro danou realizaci stacionárního procesu { Yt\t £ 7"} zahrnuje následující kroky: 1 Výběr řádu p a q, tj. provést identifikaci modelu. 2 Odhad parametru