Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Jitka Brabcová Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta 27. března 2013 Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Obsah 1 Úvod 2 Konstrukce Itôova integrálu 3 Itôův integrál 4 Itôova izometrie 5 Vlastnosti Itôova integrálu 6 Stratonovičův integrál Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Pochází z práce Itôov kalkulus japonského matematika Kiyoshiho Itôa (1915 - 2008), držitel Gaussovy ceny v roce 2006 Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Pochází z práce Itôov kalkulus japonského matematika Kiyoshiho Itôa (1915 - 2008), držitel Gaussovy ceny v roce 2006 Při odvození použil Itôovu aproximaci podobnou Riemann-Stieltjesovmu integrálu přes limitní sumaci přírůstků Wienerova procesu s ohledem na neanticipativní integrand (hlavní rozdíl oproti R-S integrálu) Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Pochází z práce Itôov kalkulus japonského matematika Kiyoshiho Itôa (1915 - 2008), držitel Gaussovy ceny v roce 2006 Při odvození použil Itôovu aproximaci podobnou Riemann-Stieltjesovmu integrálu přes limitní sumaci přírůstků Wienerova procesu s ohledem na neanticipativní integrand (hlavní rozdíl oproti R-S integrálu) Neanticipovanost integrandu v čase t charakterizuje nezávislost na budoucnosti ve smyslu měřitelnosti vzhledem k přítomné a minulé dostupné informaci Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Pochází z práce Itôov kalkulus japonského matematika Kiyoshiho Itôa (1915 - 2008), držitel Gaussovy ceny v roce 2006 Při odvození použil Itôovu aproximaci podobnou Riemann-Stieltjesovmu integrálu přes limitní sumaci přírůstků Wienerova procesu s ohledem na neanticipativní integrand (hlavní rozdíl oproti R-S integrálu) Neanticipovanost integrandu v čase t charakterizuje nezávislost na budoucnosti ve smyslu měřitelnosti vzhledem k přítomné a minulé dostupné informaci Důležitým výsledkem Itôova kalkulu je Itôovo lemma, které postihuje definici "stochastického diferenciálu" Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Obsah 1 Úvod 2 Konstrukce Itôova integrálu 3 Itôův integrál 4 Itôova izometrie 5 Vlastnosti Itôova integrálu 6 Stratonovičův integrál Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Filtrace Ft = všechny jevy, které jsou určené během prvních t period tzn. Ft shrnuje informace, kterou máme v čase t Posloupnost {Ft}0≤t≤T se nazývá FILTRACE prostoru tržních scénářů Ω Obecně, posloupnost σ-algebra {Ft}0≤t≤T se nazývá filtrace, pokud Ft ≤ Fs pro každé t ≤ s tzn., že s rostoucím časem neztrácíme informace, tj. σ-algebra se s rostoucím časem zvětšuje Nechť W(t) je W.proces. Filtrace FW = {Ft}, pro t ≥ 0 se nazývá HISTORIE W.PROCESU jestliže pro t > 0 je Ft σ-algebra generovaná náhodnými veličinami W(s, ω) pro s ≤ t FW t popisuje růst informace o trajektorii W.P. v čase t Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Definice neanticipativního procesu Nechť je W(t) Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) a nechť informační filtrace F značí historii Wienerova procesu. Říkáme, že proces {G(t, ω), t ∈< 0, ∞)} je NEANTICIPATIVNÍ (resp. adaptovaný filtraci FW ), jestliže pro každé t ≥ 0 je funkce ω −→ G(t, ω) FW t -měřitelná. Tzn., že hodnota G(t, ω) závisí jen na hodnotách W.P. do času t Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Definice neanticipativního procesu Nechť je W(t) Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) a nechť informační filtrace F značí historii Wienerova procesu. Říkáme, že proces {G(t, ω), t ∈< 0, ∞)} je NEANTICIPATIVNÍ (resp. adaptovaný filtraci FW ), jestliže pro každé t ≥ 0 je funkce ω −→ G(t, ω) FW t -měřitelná. Tzn., že hodnota G(t, ω) závisí jen na hodnotách W.P. do času t Funkce h(ω) je FW t právě tehdy, když h je bodová limita součtů funkcí tvarů g1(W(t1)) · g2(W(t2)) . . . gn(W(tn)), kde g1, . . . gn jsou omezené spojité funkce, tj ≤ t pro j ≤ n Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť Wt představuje Wienerův proces s filtrací Ft na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Dále nechť stochastický proces ft, t ≥ 0 splňuje následující vlastnosti: Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť Wt představuje Wienerův proces s filtrací Ft na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Dále nechť stochastický proces ft, t ≥ 0 splňuje následující vlastnosti: (1) ft je Ft - adaptovaný proces (neanticipativita) Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť Wt představuje Wienerův proces s filtrací Ft na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Dále nechť stochastický proces ft, t ≥ 0 splňuje následující vlastnosti: (1) ft je Ft - adaptovaný proces (neanticipativita) (2) E T 0 f2 t dt < ∞ Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť Wt představuje Wienerův proces s filtrací Ft na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Dále nechť stochastický proces ft, t ≥ 0 splňuje následující vlastnosti: (1) ft je Ft - adaptovaný proces (neanticipativita) (2) E T 0 f2 t dt < ∞ S uvedenými předpoklady chceme definovat Itôoův integrál ve tvaru It = T 0 f(t) dW(t), t ≥ 0 Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Itôův integrál elementárního integrandu Nechť Dn = t0, t1 . . . , tn je dělení intervalu [0, T]. Předpokládejme elementární integrand ft, který je konstantou na každém podintervalu [tk, tk+1] Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť Wt charakterizuje cenu jednotky drženého aktiva v čase t Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť Wt charakterizuje cenu jednotky drženého aktiva v čase t Nechť t0, t1, . . . , tn představuje obchodní dny daného aktiva Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť Wt charakterizuje cenu jednotky drženého aktiva v čase t Nechť t0, t1, . . . , tn představuje obchodní dny daného aktiva Nechť ftk vyjadřuje počet držených jednotek daného aktiva v čase tk až do času tk+1 ( v případě záporných hodnot je vlastník dlužníkem) Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Potom Itôův integrál It můžeme zapsat jako celkový příjem z obchodování do času t It =    f(t0)[Wt − Wt0 W0=0 ], 0 ≤ t ≤ t1 f(t0)[Wt1 − Wt0 ] + f(t1)[Wt − Wt1 ], t1 ≤ t ≤ t2 f(t0)[Wt1 − Wt0 ] + f(t1)[Wt2 − Wt1 ] + f(t2)[Wt − Wt2 ], t2 ≤ t ≤ t3 Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Obecně pro tk ≤ t ≤ tk+1, zapíšeme Itôův integrál jako I(t) = k−1 j=0 f(tj)[W(tj+1) − W(tj)] + f(tk)[W(t) − W(tk)] Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Itôův integrál pro obecný integrand Tentokrát f(t) je obecný proces splňující dané předpoklady Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Itôův integrál pro obecný integrand Tentokrát f(t) je obecný proces splňující dané předpoklady Existuje posloupnost elementárních procesů {fn}∞ n=1 taková, že lim n→∞ E T 0 |fn(t) − f(t)|2 dt = 0 Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Itôův integrál pro obecný integrand Tentokrát f(t) je obecný proces splňující dané předpoklady Existuje posloupnost elementárních procesů {fn}∞ n=1 taková, že lim n→∞ E T 0 |fn(t) − f(t)|2 dt = 0 Myšlenka limity je založená na postupné aproximaci obecného procesu , procesem elementárních pro stále jemnější dělení. Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Itôův náhodný integrál Nechť {Wt, t ∈ [0, T]} je standardní Wienerův proces s filtrací Ft na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) a nechť ft je neanticipativní proces. Potom I(t) = T 0 f(t) dW(t) = lim n→∞ T 0 fn(t) dW(t) nazýváme Itôův náhodný integrál Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Obsah 1 Úvod 2 Konstrukce Itôova integrálu 3 Itôův integrál 4 Itôova izometrie 5 Vlastnosti Itôova integrálu 6 Stratonovičův integrál Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť W(t) je Wienerův proces na (Ω, A, P). Symbolem M označme třídu stochastických procesů f(t, ω) s následujícími vlastnostmi: 1 f(t, ω) je anticipativní Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť W(t) je Wienerův proces na (Ω, A, P). Symbolem M označme třídu stochastických procesů f(t, ω) s následujícími vlastnostmi: 1 f(t, ω) je anticipativní 2 funkce (t, ω) −→ f(t, ω) je B × F-měřitelná, kde B je Borelovská σ-algebra na < 0, T) Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť W(t) je Wienerův proces na (Ω, A, P). Symbolem M označme třídu stochastických procesů f(t, ω) s následujícími vlastnostmi: 1 f(t, ω) je anticipativní 2 funkce (t, ω) −→ f(t, ω) je B × F-měřitelná, kde B je Borelovská σ-algebra na < 0, T) 3 platí P( T 0 f(t, ω)2 dt < ∞) = 1 Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Jednoduchá funkce Neanticipativní proces S se nazývá JEDNODUCHÁ FUNKCE na [0, T] jestliže existuje dělení D = {0 = t0 < · · · < tn = T} tak, že S(t, ω) = Sk(ω) pro t ∈ [tk; tk+1] Trajektorie S je tedy po částech konstantní funkce Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť S je jednoduchá funkce. Pak T 0 S dW = m−1 k=0 Sk(ω)(W(tk+1, ω) − W(tk, ω)) se nazývá ITÔŮV INTEGRÁL funkce S na (0, T) Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Obsah 1 Úvod 2 Konstrukce Itôova integrálu 3 Itôův integrál 4 Itôova izometrie 5 Vlastnosti Itôova integrálu 6 Stratonovičův integrál Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Nechť f(t) je integrovatelná funkce taková, že T 0 f2 (t) dt < ∞. Pak existuje T 0 f(t) dW(t), který představuje náhodnou veličinu s rozdělením N(0, σ2 (T)), kde σ2 (t) = T 0 f2 (t) dt. Tedy platí E( T 0 f(t) dW(t)) ≡ 0 E(( T 0 f(t) dW(t))2 ) = T 0 f(t)2 dt což je ITÔOVA IZOMETRIE Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Obecný případ Itôovy izometrie Nechť S ∈ M je jednoduchá omezená funkce. Pak E(( T 0 S(t, ω) dW(t))2 ) = E( T 0 S2 (t, ω) dt) Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Obecný případ Itôovy izometrie Nechť S ∈ M je jednoduchá omezená funkce. Pak E(( T 0 S(t, ω) dW(t))2 ) = E( T 0 S2 (t, ω) dt) Nechť f je náhodný proces ze třídy M. Pak existuje posloupnost jednoduchých funkcí fn ∈ M tak, že E( T 0 [f(t, ω) − fn(t, ω)]2 dt) −→ 0 pro n → ∞ Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Obsah 1 Úvod 2 Konstrukce Itôova integrálu 3 Itôův integrál 4 Itôova izometrie 5 Vlastnosti Itôova integrálu 6 Stratonovičův integrál Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Adaptovanost Pro každé t ∈ [0, T] je Itôův integrál I(t) Ft-adaptovaný Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Adaptovanost Pro každé t ∈ [0, T] je Itôův integrál I(t) Ft-adaptovaný Linearita Nech I(t) a J(t) jsou Itôovy integrály definované jako I(t) = a T 0 f(t) dW(t), J(t) = b T 0 g(t) dW(t) potom I(t) ± J(t) = T 0 (af(t) ± bg(t)) dW(t) Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Adaptovanost Pro každé t ∈ [0, T] je Itôův integrál I(t) Ft-adaptovaný Linearita Nech I(t) a J(t) jsou Itôovy integrály definované jako I(t) = a T 0 f(t) dW(t), J(t) = b T 0 g(t) dW(t) potom I(t) ± J(t) = T 0 (af(t) ± bg(t)) dW(t) Spojitost v čase Itôův integrál I(t) je spojitou funkcí vrchní integrační proměnné T Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Adaptovanost Pro každé t ∈ [0, T] je Itôův integrál I(t) Ft-adaptovaný Linearita Nech I(t) a J(t) jsou Itôovy integrály definované jako I(t) = a T 0 f(t) dW(t), J(t) = b T 0 g(t) dW(t) potom I(t) ± J(t) = T 0 (af(t) ± bg(t)) dW(t) Spojitost v čase Itôův integrál I(t) je spojitou funkcí vrchní integrační proměnné T Vlastnost martingalu Itôův integrál je martingal Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Obsah 1 Úvod 2 Konstrukce Itôova integrálu 3 Itôův integrál 4 Itôova izometrie 5 Vlastnosti Itôova integrálu 6 Stratonovičův integrál Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Motivace Nechť W(t) je cena akcie v čase t při tržním scénáři ω Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Motivace Nechť W(t) je cena akcie v čase t při tržním scénáři ω Nechť f(t, ω) je obchodní strategie, tj. počet držených akcií v čase t za scénáře ω Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Motivace Nechť W(t) je cena akcie v čase t při tržním scénáři ω Nechť f(t, ω) je obchodní strategie, tj. počet držených akcií v čase t za scénáře ω Zisk ze stategie v časovém intervalu [t, tk+1] je definován jako f(t, ω)(Wt+1 − Wt) = f(t, ω)W(∆t) Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Motivace Nechť W(t) je cena akcie v čase t při tržním scénáři ω Nechť f(t, ω) je obchodní strategie, tj. počet držených akcií v čase t za scénáře ω Zisk ze stategie v časovém intervalu [t, tk+1] je definován jako f(t, ω)(Wt+1 − Wt) = f(t, ω)W(∆t) Součtem hodnot jednotlivých zisků dostaneme v limitě integrál b a f dW který představuje zisk ze strategie v časovém intervalu [a, b] Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Mějme dělení intervalu [0, T], D = {0 = t0 < t1 < · · · < tn = T} a nechť D = max j∈{0,...,n} | tj+1 − tj |. Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Mějme dělení intervalu [0, T], D = {0 = t0 < t1 < · · · < tn = T} a nechť D = max j∈{0,...,n} | tj+1 − tj |. Pro pevné λ ∈ [0, 1] položme τk = (1 − λ)tk + λtk+1 pro k = 0, . . . , n − 1. Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Mějme dělení intervalu [0, T], D = {0 = t0 < t1 < · · · < tn = T} a nechť D = max j∈{0,...,n} | tj+1 − tj |. Pro pevné λ ∈ [0, 1] položme τk = (1 − λ)tk + λtk+1 pro k = 0, . . . , n − 1. Potom pro Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Mějme dělení intervalu [0, T], D = {0 = t0 < t1 < · · · < tn = T} a nechť D = max j∈{0,...,n} | tj+1 − tj |. Pro pevné λ ∈ [0, 1] položme τk = (1 − λ)tk + λtk+1 pro k = 0, . . . , n − 1. Potom pro 1 λ = 0 dostaneme levý krajní bod τk = tk Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Mějme dělení intervalu [0, T], D = {0 = t0 < t1 < · · · < tn = T} a nechť D = max j∈{0,...,n} | tj+1 − tj |. Pro pevné λ ∈ [0, 1] položme τk = (1 − λ)tk + λtk+1 pro k = 0, . . . , n − 1. Potom pro 1 λ = 0 dostaneme levý krajní bod τk = tk 2 λ = 1 2 dostaneme prostředek, tudíž τk = 1 2 (tk + tk+1) Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Mějme dělení intervalu [0, T], D = {0 = t0 < t1 < · · · < tn = T} a nechť D = max j∈{0,...,n} | tj+1 − tj |. Pro pevné λ ∈ [0, 1] položme τk = (1 − λ)tk + λtk+1 pro k = 0, . . . , n − 1. Potom pro 1 λ = 0 dostaneme levý krajní bod τk = tk 2 λ = 1 2 dostaneme prostředek, tudíž τk = 1 2 (tk + tk+1) 3 λ = 1 dostaneme pravní krajní bod τk = tk+1 Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Mějme dělení intervalu [0, T], D = {0 = t0 < t1 < · · · < tn = T} a nechť D = max j∈{0,...,n} | tj+1 − tj |. Pro pevné λ ∈ [0, 1] položme τk = (1 − λ)tk + λtk+1 pro k = 0, . . . , n − 1. Potom pro 1 λ = 0 dostaneme levý krajní bod τk = tk 2 λ = 1 2 dostaneme prostředek, tudíž τk = 1 2 (tk + tk+1) 3 λ = 1 dostaneme pravní krajní bod τk = tk+1 Definujme Riemannovy součty pro T 0 W dW vztahem Rn = n−1 k=0 W(τk)(W(tk+1) − W(tk)). Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál W(τk)(W(tk+1) − W(tk)) = W(τk)W(tk+1) − W(τk)W(tk) = W(τk)W(tk+1) ± 1 2 W2 (τk) ± 1 2 W2 (tk) ± W2 (tk+1) − W(τk)W(tk) = = − 1 2 [W(tk+1)−W(τk)]2 + 1 2 [W(τk)−W(tk)]2 + 1 2 [W2 (tk+1)−W2 (tk)] Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Dále Rn = n−1 k=0 W(τk)(W(tk+1) − W(tk)) = = − 1 2 n−1 k=0 [W(tk+1) − W(τk)]2 + 1 2 n−1 k=0 [W(τk) − W(tk)]2 + + 1 2 n−1 k=0 [W2 (tk+1) − W2 (tk)]. Poslední člen je tzv. teleskopující součet, ve kterém se všechny členy s výjimkou prvního a posledního vyruší a rovná se tedy W2 (T) − W2 (0). Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Stratonovičův integrál Pro D −→ 0 podobně jako při výpočtu kvadratické variace máme Rn = − 1 2 (1−λ)T + 1 2 λT + 1 2 [W2 (T)−W2 (0)] = W2 (T) 2 + λ − 1 2 T Dvě přirozené volby hodnoty λ vedou ke dvěma různým stochastickým integrálům: 1 Pro λ = 1 2 máme T 0 Wt dWt = W2 (T) 2 STRATONOVIČŮV INTEGRÁL 2 Pro λ = 0 máme T 0 Wt dWt = W2 (T) 2 − T 2 ITÔŮV INTEGRÁL Ve financích se používá jen Itôův integrál, protože portfolio musíme sestavit před pohybem ceny. Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Použitá literatura vlastní poznámky z přednášek od doc.Martina Koláře ze Stochastické analýzy II Derenik,D.:Stochastické metody v ekonomii a financiach, Diplomová práce,Brno 2008 Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice Úvod Konstrukce Itôova integrálu Itôův integrál Itôova izometrie Vlastnosti Itôova integrálu Stratonovičův integrál Děkuji za pozornost! Jitka Brabcová: Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Stochastický integrál, Itoova a Stratonovičova definice