Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních rovnic Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních rovnic Jana Dvořáková Přírodovědecká fakulta, MU March26, 2013 Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních rovnic ^—Stochastický kalkulus Obsah D Stochastický kalkulus B Itôovo lemma B Řešení jednoduchých integrálních rovnic Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, ře ^—Stochastický kalkulus ení jednoduchých integrálních ro nic Definice (Stochastický proces) Stochastický proces je soubor náhodných proměnných X — {Xt; 0 < t < °°} na pravděpodobnostním prostoru (Q., ,c/,P) s hodnotami v R". Pro každé t je co^Xt(co); co e £1 náhodná proměnná. Při pevném co e Q. dostaneme funkci t^Xt(co); 0 4 -š ► Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, ře ^—Stochastický kalkulus ení jednoduchých integrálních ro nic Definice (Wienerův proces) Stochastický proces na pravděpodobnostním prostoru P) se nazývá Wienerův proces, jestliže platí: O W(0) = 0. B (spojitost) S pravděpodobností 1 je funkce t —>• W(t) (tj. trajektorie) spojitá v t. B (nezávislost a normalita přírůstků) Přírůstky W(s) — W(t) pro každé s > t mají rozdělení ÍV(0, s — i). Pro libovolné časové intervaly 0 < t\ < s\ < t2 < S2 < ■ ■ ■ < sn jsou přírůstky W(si) - W(h),W(s2) - W(t2), ■ ■ ■, W(sn) - W(t„) navzájem nezávislé náhodné veličiny. Zobecněný Wienerův proces píšeme ve tvaru X(t)=nt+oW(t), kde jj. je koeficient driftu, a je koeficient volatility a W(t) je Wienerův proces. Stochastický kalkulus, Itôovo lemma, ře! íení jednoduchých integrálních rovnic ^—Stochastický kalkulus Geometrický Wienerův proces Wienerův proces ovšem není vhodný pro popis ceny akcie, protože: O akcie nabývá i záporných hodnot, B při Wienerově procesuje pravděpodobnost, že se cena zvýší o 1 Kč stejná, pro S — 1 Kč, stejně jako pro S — 10000 Kč, není důležitá absolutní měna, ale zajímá nás relativní přírůstek vůči ceně akcie. Bez volatility máme AS — fiSAt, odtud vyjádříme relativní přírůstek ^ — jiAt. Potom řešení diferenciální rovnice ^ — jidt je ve tvaru St — So^7- Obecně dS = nSdt+oSdW, ke jj. je drift a a volatilita, se označuje jako geometrický Wienerův proces. Stochastický kalkulus, Itôovo lemma, řc ení jednoduchých integrálních rovnic ^—Stochastický kalkulus Lineární variace Variace je míra proměnlivosti funkce na daném intervalu. Nechť / : [a,b] —>• R je spojitá funkce a D — {a — t\ < ti < ... < tn — b} je dělení intervalu [a,b]. Pak definujeme lineární variaci příslušnou dělení D jako LV(f,D)^\f(tJ+1)-f(tj)\. 7=1 Definice (Lineární variace funkce) Lineární variace funkce f je definovaná jako limita LV(f)= lim LV(f,D), ||D||->0 kde ||O|| je norma dělení, tj. ||D|| — max \tj+i —tj\. i Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních rovnic ^—Stochastický kalkulus Obecně, je-li/ monotónní funkce na [a, b], pak LV(f) = \f(b)-f(a)\. Je-li funkce/ po částech monotónní, pak LV(f)= [b\f'(x)\dx. Příklad Vypočtěte lineární variaci funkce sinx na intervalu [0,27ľ]. Tato funkce je po částech monotónní na jednotlivých podintervalech j, na každém z nich je variace rovna jedné. Sečtením jednotlivých variací dostáváme LV(f) — 4. Pro trajektorie Wienerova procesu není lineární variace užitečný pojem, protože je rovna nekonečnu pro skoro všechny trajektorie. Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních rovnic ^—Stochastický kalkulus Kvadratická variace Nechť / je spojitá funkce na [a, b] a D — {a — t\ < ti < ... < tn — b} je dělením tohoto intervalu. Pak definujeme kvadratickou variaci příslušnou dělení D jako KV(f,D)="f(f(t}+1)-f(t}))2, 7=1 pokud limita existuje. Definice (Kvadratická variace funkce) Kvadratická variace funkce f na [a,b] je definována jako KV(f)= lim KV(f,D), ||D||->0 kde ||D| je norma dělení, tj. ||D|| — max \tj+i —tj\. i □ ► < g Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních rovnic ^—Stochastický kalkulus Je-li funkce/ diferencovatelná na intervalu [a,b],pak KV{f) = 0. Věta (Kvadratická variace trajektorie Wienerova procesu) Nechť W{ť) je Wienerůvproces na [0, T] a nechť D — {0 — fo < h < ... < t„ — T} je dělení intervalu [0, T], pak n-l í=0 pro \\D\\ —> 0 v L2-normě. Důsledek Trajektorie Wienerova procesu mají kvadratickou variaci rovnu T. Trajektorie Wienerova procesu mají nekonečnou lineární variaci. Trajektorie Wienerova procesu nejsou diferencovatelné na žádném podintervalu. Itoův kalkulus Předpokládejme nyní, že pohyb ceny akcie je popsán geometrickým Wienerovým procesem dS dS = LiSdt + aSdW — = ndt+ adW, (1) *j kde jj. je koeficient driftu, a je koeficient volatility, W je Wienerův proces a S je cena akcie. Problémem je, že rovnice (1), nemůže být interpretována jako diferenciální rovnice, protože trajektorie Wienerova procesu není nikde diferencovatelná. Zavedeme tedy teorii, kde budou místo derivací vystupovat integrály. Tuto teorii zkonstruoval Itô, proto se nazývá Itôuv kalkulus. Mějme hladkou funkci/, pak můžeme definovat integrál podle přírůstků funkce/ rb rb n-1 / g{u)df{u)= g{u)f'{u)du= lim Y.s{ti)\f{ti+i)-f{ti)l J a J a \\D\\^0r-Ó kde a — ti < t2 < ... < tn — b je dělení intervalu [a,b]. Integrál g(u)df(u) se nazývá Stieltjesův integrál. Chceme analogický integrál podle přírůstků Wienerova procesu Wt jedná se o stochastický integrál. Specifika stochastického integrálu: O integrál je náhodná veličina, B trajektorie nemá s pravděpodobností 1 v žádném bodě derivaci, Wt není hladká. Motivace z finanční matematiky: Nechť Wt(co) je cena akcie v čase t a tržním scénáři co, dále g(t, co) je obchodní strategie (počet akcií dané firmy, které držíme v čase t a scénáři co). Potom g(t, co)[W(ti+i) — W(ti)] představuje zisk ze strategie za časový interval [ŕ,, Integrál g(t, co)dWt(co) popisuje celkový zisk ze strategie za časový interval [a,b]. Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních r ^—Itóovo lemma Obsah D Stochastický kalkulus B Itôovo lemma B Řešení jednoduchých integrálních rovnic Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních r ^—Itôovo lemma Motivace Nechť / je hladká funkce na intervalu [a,b] G M. Dále uvažujme rovnoměrné dělení intervalu a — f o < h ... < t„ — b, kde Ar, — ř,+i — ř, — pro V; — 0,1,..., n-1. Při využití Taylorova polynomu platí vztah f(b)-f(a) = £/(fí+i)-f{n) = £ /(r,-)Ařř + Í/"(fl-)(Afr)2 + ■ ■ ■ í=0 í=0 Protože/ je hladká =>f" je omezená, tedy 3M > 0 takové, že lT(ř)|]. Odtud tedy dostáváme "f i/"(f!-)(Arr) í=0 pro n —>• oo. 1 1 b-a\2 n (b-a)2 ,to2 V » / 2 » Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, ře! íení jednoduchých integrálních rovnic ^—Itóovo lemma Pro n —>• °° tedy máme f{b)-f(a) = lim "][;V(ři)A(ři) = /V(0*- Pro deterministický případ jsme tedy dostali Newtonův-Leibnitzův vzorec. Totéž chceme pro stochastickou funkci. Nyní tedy uvažujme stochastickou funkci. V aplikacích je cena aktiva funkcí Wienerova procesu wt, tedy St(co) =f(wt(co)). Nechť / je hladká funkce, pak f(w(b))-f(w(a)) ="ff(w(ti+1))-f(w(ti)) = i=0 = E/' (wk))w+nt \f (wm (aw{)2+..., Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních rovnic ^—Itôovo lemma kde AWi = W(ti+i) - W(ti). Dále víme, že n-l £(AWi)2->r-a, 1=0 pro n —>• oo. Tento vztah plyne z následující věty. Věta (Kvadratická variace trajektorie Wienerova procesu) Nechť W(ť) je Wienerůvproces na [0, T] a nechť D — {0 — řo < t\ < ... < t„ — T} je dělení intervalu [0, T], pak "f(ff(rm)-ff(r,))24r, í=0 /?ro ||D|| —> 0 v L2-normě. Cleny 2. řádu zanedbat tedy nelze, členy vyšších řádů ano (jdou k nule pro n —> oo). Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, ře ^—Itoovo lemma ení jednoduchých integrálních ro nic Nyní tedy dostaneme f(W(b))-f(W(a)) = lim £/' (W(ti))AWh + V (W(ti)) (AWtf = = j f'{Wt)dWt + \ í f"{Wt)dt Ja ^ Ja Definice Nechť W(t) je Wienerův proces na prostoru (íi, ,c/, P). Symbolem M označme třídu stochastických procesů/(f, co) s následujícími vlastnostmi: O f(t, co) je neanticipativní, El (t, co) —>-/(ř, o) je měřitelná vůči (7-algebře, B platí p|^r/(f,«)2*<+°°} = l- Itoův proces Definice (Itoův proces) Nechť W(t) je Wienerův proces au,v jsou procesy třídy M. Jednodimenzionální Itoův proces je proces tvaru X,{(o)—Xq+ í u(s,co)ds+ í v(s,co)dWt(co). Jo Jo Clen Jq u(s, co)ds je obyčejný Riemannův integrál z náhodné funkce a Jqv(s, co)dWt(co) je Itoův integrál. Poznámka Často se Itôuv proces zapisuje také v diferenciálním tvaru dXt(co) — u(t,co)dt + v(t,co)dWt(co), což je tzv. stochastický diferenciál, kde koeficient u(t, co) se nazývá drift a v(ř, co) je volatilita. Stochastický kalkul us, Itóovo lemma, ře ení jednoduchých integrálních rovnic ^—Itóovo lemma Itóovo lemma Věta (Itóovo lemma) Nechť X(t, co) je Itoův proces se stochastickým diferenciálem dX(t) — udt + vdW(t), kde u, v jsou procesy třídy M a nechť g(t,x) : (0,°o) x M —> M je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce. Potom proces Y(t)=g(t,X(t)) je opět Itoův proces. Jeho stochastický diferenciál má tvar dY(t) = ^t,X(t))dt+^(t,X(t))dX(t) + ^(t,X(t)) (dX(t))2 , kde (dX(t))2 = (udt + vdW(t))2 = (dX(t)) (dX(t)) se počítá podle pravidel dtdt — dtdW — 0 a dWdW — dt. Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých inii-;i .ilnuh rovnic '—Řešení jednoduchých integrálních rovnic Obsah Stochastic Řešení jednoduchých integrálních rovnic Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních rovnic ^—Řešení jednoduchých integrálních rovnic Příklad 1.: fWtdWt Vypočtěte pomocí Itóova lemmatu t WtdWt. Řešení: Označíme-li si ow potom dt dw2 Pak stochastický diferenciál pro proces Y(t) — g(T, W(T)) je tvaru dg = 0 + WdW + ^ (dW)2 = WdW+ ^dt, Stochastický k.ilkulus, liimvo lemma, řešení jednoduchých ind-;i .ilmch rovnic '—Řešení jednoduchých integrálních rovnic Příklad 1. - pokračování odtud získáme po úpravě g(T,W(T))=8(0M0))+ íwdW+ í\dt Jo JO 2. j\dW = g{T,W{T))- Ji*. Naše hledané řešení je tedy t W(TÝ T W,• 8(t,w)=f(t)w, ow Tt =f (Ow dw2 = 0. Z Itôova lemmatu máme dg =f'(t)Wdt+f(t)dW + 0 g(T,W(T))= [Tf'(t)Wdt+ [Tf(t)dW Jo Jo ■0 0.0 Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních rovnic ^—Řešení jednoduchých integrálních rovnic Příklad 2. - pokračování Odtud získáme jednoduchou úpravou Tf(t)dW = g(T,W(T))- fTf'(t)Wdt = o Jo rT =f(T)W(T)- í f'(t)Wdt, Jo což jsme chtěli dokázat. Stochastická diferenciální rovnice pro vývoj ceny akcie Předpokládejme, že se cena akcie St vyvíjí podle geometrického Wienerova procesu dSt dS, = flS,dt + S,dW, neboli = \idt + dW,. (2) St Nechť g(t,x) = hix a Yt = g(t,St), potom tedy máme dt Žl = l dx x __i = _I <9x2 x2 Z Itôova lemmatu dostaneme Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, řešení jednoduchých integrálních rovnic ^—Řešení jednoduchých integrálních rovnic Za dSt dosadíme z (2) 1 - • 1 - • ' /'.. 1 2 S, 2Sf \ 2 J Máme tedy Y, = j* \ a-^Adt + jf adWt = Y0 + (n - ^a2 J t + aW„ kde W0 = 0. Tedy 1 9 Potom má normální rozdělení má lognormální rozdělení. Stochastický kalkulus, Itóovo lemma, ře! ^—Řešení jednoduchých integrálních rovn íení jednoduchých integrálních ro< mi c POUŽITÁ LITERATURA: Q FÁRKOVÁ, L. Stochastický kalkulus a jeho aplikace. Diplomová práce, Brno: MU, 2008. 15 KOLÁŘ, M. Přednášky z předmětu: Stochastická analýza. Brno: MU, 2012. H MELICHERČÍK, L, Olšanová, L. a ÚRADNÍČEK, V. Kapitoly z finančnej matematiky. Bratislava: Miroslav Mračko, 2005, 242 s. ISBN 8080576513.