Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 1
Black-Scholesův model,
jištění, citlivosti
Hana Florianová
Obsah
 BS model
 pojmy
 předpoklady
 tvar
 Citlivosti
 Jištění
 Příklad
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 2
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 3
BS model – otcové myšlenky
Myron Scholes (1941-)Fischer Black (1938-1995)
BS model - pojmy
= model pro oceňování opcí
 ST … cena podkladového aktiva v čase T
 S0 … cena podkladového aktiva v čase 0 (spotová)
 K … realizační cena
 σ … volatilita
 T … doba expirace
 r … bezriziková úroková míra
 c … cena evropské call opce
 p … cena evropské put opce
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 4
BS model - předpoklady
neexistence transakčních nákladů
neměnné zdanění opcí
úroková míra stejná pro půjčku a výpůjčku
trhy fungují nepřetržitě (odstraňují arbitráž okamžitě)
ceny akcií jsou spojitou náhodnou veličinou
akcie nenese dividendy
opce je evropského typu
akcie lze prodávat i na krátko
můžeme obchodovat i s částí akcie
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 5
BS model - tvar
kde
N je distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 6
Citlivost - Greeks
Δ … delta
θ … theta
Γ … gamma
Ѵ … vega
ρ … rho
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 7
Delta a delta-neutrální portfolio
Delta vyjadřuje rychlost změny ceny opce vzhledem ke
změně ceny akcie:
Delta-neutrální portfolio: Δ = 0
Výhoda: Při malých změnách ceny akcie se hodnota
celého portfolia nemění.
Platí: Δc = N(d1), Δp = N(d1) – 1, Δport. = suma(niΔi),
Δ(akcie)=1
Pozor na vysoké transakční náklady.
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 8
Theta
Theta vyjadřuje rychlost změny ceny opce vzhledem ke
změně času:
Proti času nemá smysl se jistit – víme, jak se mění.
θ v praxi náhražka za Γ
θc získáme derivací podle T
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 9
Gamma a gamma-neutrální portfolio
Gamma vyjadřuje rychlost změny ceny opce vzhledem ke
změně delta:
Čím je Γ větší, tím častěji musíme rebalancovat portfolio.
Γ-neutrální portfolio: Γ = 0
Výhoda: I při velkých změnách ceny akcie se hodnota
celého portfolia nemění.
Platí: Γ(akcie)=0, Γc dostaneme druhou derivací podle S
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 10
Vega
Vega vyjadřuje rychlost změny ceny opce vzhledem ke
změně volatility:
Platí: Ѵ (akcie) = 0
Obvykle pokud Γ = 0 ↔ Ѵ ≠ 0
Pro Γ = 0 ˄ Ѵ = 0 potřebuje dva různé deriváty na stejné
podkladové aktivum
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 11
Rho
Rho vyjadřuje rychlost změny ceny opce vzhledem ke
změně úrokové míry:
ρc získáme derivací podle r
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 12
Jištění – možnosti investora
nicnedělání (naked position)
prodej akcií
Jištění pomocí opcí:
krytý call
ochranný put
dynamické jištění (delta hedging)
Jištění = chránění investice v akciích.
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 13
Krytý call
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 14
- skládá se z short call opce a long akcie
- případná ztráta z akcií je kryta výnosem z opcí
Ochranný put
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 15
- skládá se z long put opce a long akcie
- garance minimální hodnoty investice
Dynamické jištění
utvoříme delta-neutrální portfolio => je imunní vůči
malým výkyvům ceny akcie
za daný časový úsek měníme svou pozici v opcích tak, aby
portfolio zůstávalo delta-neutrální
existuje delta-hedging s call a s put
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 16
Příklad - zadání
Vypočítejte cenu evropské call opce pomocí BS vzorce,
když znáte:
doba expirace 1 rok
spotová cena je 2Kč
úroková míra 82%,
realizační cena je 2Kč
volatilita 0,6
nápověda: N(1,666)=0,9521, N(1,366)= 0,9141, N(1,066)=0,8569, exp(-0,82)=0,44
výsledek c = 1,15Kč
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 17
Příklad - řešení
použijeme vzorce viz slide 6
nejprve spočítáme d1 = 1,6667 a d2 = 1,0667
v tabulkách nebo pomocí fce NORMDIST v Excelu najdu
N(d1) = 0,9522 a N(d2) = 0,8569
pak c = 1,15 Kč
Cena call opce tedy bude asi 1,15Kč
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 18
Zdroje
Hull, J.C. Options, futures and other derivatives. 8. vyd.
Boston: Pearson, 2012, 847 s. ISBN 9780273759072.
Ambrož, L. Oceňování opcí. Vyd. 1. Praha: C.H. Beck,
2002, xvi, 313 s. ISBN 8071795313.
přednášky do MF003
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 19
Děkuji za pozornost.
Blackův-Scholesův model, jištění, citlivosti 20