Úvod do Lévyho procesů oooooooo Využití ve financích oooooooooo Q Úvod do Lévyho procesů ■ Skoková a Lévyho míra ■ Lévy-Itóova dekompozice Lévy-Khintchinova reprezentace ■ Příklady Lévyho procesů Využití ve financích ■ Užitková funkce ■ Oceňování opcí ■ EMMs-entropie Zdeněk Hrubý: Lévyho procesy ve financích Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Úvod do Lévyho procesů Využití ve fina: icích oooooooo oooooooooo Definice Lévyho procesem nazýváme stochastický proces Xt definovaný na (íl,A, P), pro který platí ■ X0 = 0 Zdeněk Hrubý: Lévyho procesy ve financích Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Úvod do Lévyho procesů Využití ve fina: icích oooooooo oooooooooo Definice Lévyho procesem nazýváme stochastický proces Xt definovaný na (íl,A, P), pro který platí ■ X0 = 0 ■ přírůstky procesu jsou nezávislé, tedy Xt — Xs je nezávislý na T g pro 0 < s < t generované procesem X Zdeněk Hrubý: Lévyho procesy ve financích Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Úvod do Lévyho procesů oooooooo Využití ve financích oooooooooo Definice Lévyho procesem nazýváme stochastický proces Xt definovaný na (íl,A, P), pro který platí ■ X0 = 0 ■ přírůstky procesu jsou nezávislé, tedy Xt — Xs je nezávislý na T g pro 0 < s < t generované procesem X ■ přírůstky procesu X jsou stacionární Zdeněk Hrubý: Lévyho procesy ve financích Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Úvod do Lévyho procesů oooooooo Využití ve financích oooooooooo Definice Lévyho procesem nazýváme stochastický proces Xt definovaný na (íl,A, P), pro který platí ■ X0 = 0 ■ přírůstky procesu jsou nezávislé, tedy Xt — Xs je nezávislý na T g pro 0 < s < t generované procesem X ■ přírůstky procesu X jsou stacionární ■ X je stochasticky spojitý proces, pro Ve > 0 a pro Ví > 0 platí limF(\Xt+h-Xt\ >e) = 0 /i—»o Zdeněk Hrubý: Lévyho procesy ve financích n ► < 9 Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Úvod do Lévyho procesů Využití ve fina: ncích •ooooooo oooooooooo Skoková a Lévyho míra Každý Lévyho proces má jednoznačně určenou cädläg1 modifikaci, která je sama též Lévyho procesem. 1zprava spojitá s konečnou limitou zleva Zdeněk Hrubý: Lévyho procesy ve financích Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Úvod do Lévyho procesů Využití ve fina: ncích •ooooooo oooooooooo Skoková a Lévyho míra Každý Lévyho proces má jednoznačně určenou cädläg1 modifikaci, která je sama též Lévyho procesem. Skokovou míru J stochastického procesu Zt rozumíme J(I x H) n>l / ■ Pro každou cädläg funkci platí, že počet "velkých" skoků je konečný na kompaktiním intervalu [0,T]. Zdeněk Hrubý: Lévyho procesy ve financích Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Úvod do Lévyho procesů Využití ve fina: icích oo»ooooo oooooooooo ■li 1 11 !>/ ■ Pro každou cädläg funkci platí, že počet "velkých" skoků je konečný na kompaktiním intervalu [0,T]. ■ Lévyho procesy se dělí na konečně a nekončně aktivní. Zdeněk Hrubý: Lévyho procesy ve financích Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Úvod do Lévyho procesů Využití ve financích ooo»oooo oooooooooo Lévy-Itoova dekompozice Necht Xf je Lévyho proces, pak pro všechny R > 0 existuje fiR e Md takové že Xt = nRt + Bt + XtR + Mf kde Bf je korelovaný brownův pohyb a X? = [ [ xJ(ds, dx) JO J\x\>R MtR = í í xJ(ds, dx) JO J\x\xt = ifJíR ~ \ < C£, £ > + / (e** - 1 - i£xl\x\ + / {e** - 1 - i£xl\x\R +s / (As/ - a(y)fsl\y\