Oceňovanie derivátov, hraničné opcie, opcie závislé na ceste Juraj Hruška Spôsoby oceňovania derivátov Black-Scholesov vzorec a jeho modifikácie c – cena kúpnej opcie r – tržná úroková miera S0 – cena podkladového aktíva v čas 0 T – doba do expirácie opcie X – realizačná cena σ – volatilita podkladového aktíva N() – distribučná funkcia normálneho štandardizovaného rozdelenia k – je 1 pre call opciu a -1 pre put opciu Predpoklady: 1. Log-normálne rozdelenie podkladového aktíva 2. Úroková miera sa nemení 3. Nevyplácajú sa dividendy 4. Opcia je európska 5. Žiadne transakčné náklady 6. Nekonečná deliteľnosť podkladového aktíva 7. Obchodovanie je spojité 8. Short-sale je povolený     T TrXS d   2//ln 2 0 2       T TrXS d   2//ln 2 0 1      210 kdNkXekdNkSc rT  Spôsoby oceňovania derivátov • Risk - neutrálne oceňovanie • Binomické a trinomické stromy • 3D binomické a trinomické stromy – Spread opcie resp. tam kde sa využívajú 2 procesy súčasne Spôsoby oceňovania derivátov • Simulácia Monte Carlo – Určenie strednej hodnoty z určitého počtu náhodných pokusov – Vhodná pre path-dependend opcie – Opcie s viac podkladovými aktívami – Opcie ktoré neboli analyticky ocenené – Náchylná na vysoké chyby pri nízkom počte opakovaní Opčné formácie • Bull a Bear spread (short a long call/put s rôznymi realizačnými cenami) • Combo (long OTM call a short OTM put) Opčné formácie • Straddle, Strangle (1 call +1 put) • Butterfly, Condor (long call+2 short call+long call) call/put Opčné formácie • Ladder (short call+2 long call) alebo (2 long put+shor put) Exotické opcie • Path-depended opcie (závislé na ceste) – Ázijské opcie – Forward-start opcie – One-clique option – Barirové opcie – Roll-up/Roll-down opcie – Lookback opcie – Shout opcie – Lock-in opcie • Korelačné opcie – Výmenné opcie – Best-of/Worst-of and cash opcie – Korelačné binárne opcie – Kvocientné opcie – Produkčné opcie – Opcie zahraničného kapiálu – Quanto opcie – Rainbow opcie – Spread opcie – Dual-strike opcie – Out-performance opcie – Basket opcie • Ostatné – Opcie s nelineárnou výplatou – Zložené opcie – Chooser opcie – Opcie s podmienenou prémiou – Explodujúce opcie – Reset opcie – Konvexné opcie Kombinácie • Kanárské opcie • Bermudské opcie • Havajské opcie • Ruské opcie • Parížske opcie • Izraelské opcie • Napoleonské opcie Barierové opcie Barierové opcie Bariérové opcie Ak X > H Hodnota η φ Ak X < H Hodnota η φ Down-In Call C+E 1 1 Down-In Call A-B+D+E 1 1 Down-Out Call A-C+F 1 1 Down-Out Call B-D+F 1 1 Up-In Call A+E -1 1 Up-In Call B-C+D+E -1 1 Up-Out Call F -1 1 Up-Out Call A-B+C- D+F -1 1 Down-In Put B-C+D+E 1 -1 Down-In Put A+E 1 -1 Down-Out Put A-B+C- D+F 1 -1 Down-Out Put F 1 -1 Up-In Put A-B+D+E -1 -1 Up-In Put C+E -1 -1 Up-Out Put B-D+F -1 -1 Up-Out Put A-C+F -1 -1 Bariérové opcie • Bariérové up opcie Ázijské opcie • Opcie kde je výplata závislá na rozdiele medzi priemerom cien podkladového aktíva za určité vopred stanovené obdobie a vopred stanovenou realizačnou cenou. • Môže byť aj rozdiel medzi spotovou cenou a priemerom (fluktuujúca realizačná cena) • Aritmetický a geometrický priemer • Výhody: lacnejšie než vanilla opcie, nižšia volatilita • Ocenenie Geometrickej call opcie: Geometrický priemer: Časové funkcie: Pomocné funkcie: Cena opcie: n – celkový počet prvkov z ktorých sa počíta priemer k – 1 pre call a -1 pre put j – priebežný počet prvkov z ktorých sa počíta priemer τ - doba do expirácie opcie   ,10 sa B   jj i isa S S jB 1 1 0         n jn T sa jnr  ,     3 2 6 1441 n jnjnjn n jn T sa jn              sa jn rsa jn sa jn gTsasa kdNkXeTkkdNejAkSC sa jnr        , )(0        jBejA sa TTTr sa sa jn sa jnr sa jnr 2 , 2 ,        sa jn sasa jnr sa jn T jBTgr X S d                         ln 2 1 ln , 2 Lookback opcie • Opcie závislé na ceste, ktorých payoff je závislí na maxime resp. minime, ktorý vývoj ceny podkladového aktíva dosiahol za určité obdobie. • Delenie » Fixný strike – payoff je určený ako rozdiel medzi maximálnou cenou a fixnou realizačnou cenou pre call opciu a rozdielom fixnej realizačnej ceny a minimom podkladového aktíva pre put opciu » Pohyblivý strike - payoff je daný rozdielom maxima a spotovej ceny v rozhodný deň pre call a spotovej ceny a minima pre put opciu. Vždy dôjde k realizácií. • Relatívne drahé, vhodné na komodity • Ocenenie: Fixed strike Lookback call ak X>Max(S) Fixed strike Lookback call ak XMin(S) Kde S- spotová cena pri uzatváraní kontraktu r – tržná úroková miera X- realizačná cena T – doba do maturity opcie Smax- historicky maximálna cena g – miera rastu dividend Smin- historicky minimálna cena σ - volatilita                                            11 2 2 12 2 2 2 aNe Tgr aN X S gr SeaNSeaNXeP Tgr gr rTgTrT                                                    11 2 2 12 2 2 2 cNe Tgr cN S S gr SecNSecNSSXeP Tgr gr MIN rTgT MINMIN rT    T Tgr X S a                2 1 2 1 ln T Tgr S S b MAX                2 1 2 1 ln T Tgr S S c MIN                2 1 2 1 ln Lookback opcie • Lookback s pohyblivou realizačnou cenou kde Tcc  12                                            11 2 2 21 2 2 2 cNe Tgr cN S S gr SecNeScNSeC gT gr MIN rTrT MIN gT                                                11 2 2 12 2 2 2 dNe Tgr dN S S gr SedNSedNeSP gT gr MAX rTgTrT MAX    T Tgr S S c MIN                2 1 2 1 ln T Tgr S S d MAX                2 1 2 1 ln Tdd  12 Shout opcie • Sú to modifikácie európskej opcie. Ako bonus má majiteľ opcie právo “zakričať” na vypisovateľa jedenkrát (prípadne viac krát) na vypisovateľa v priebehu životnosti opcie v čase τ, keď predpokladá, že je cena dostatočne vysoko (nízko). • Payoff je väčšia hodnota z výplaty z európskej vanilla opcie alebo z rozdielu spotovej ceny pri shout-e a realizačnej ceny. • Podobná lookback opcií, ale lacnejšia • Kombinácia vlastností lookback a americkej opcie • Využívajú sa v ako súčasť úrokových produktov a v segregovaných poistných fondoch • Payoff: call ST – cena pri expirácií put Sτ – cena pri shout-e X – realizačná cena • Oceňujú sa simuláciami, napríklad Monte Carlo. Prípadne binomickými a trinomickými stromami. Presné analytické riešenie neexistuje. )(),0max( XSSST   )(),0max(  SXSS T  Zložené opcie • Opcie na opcie • Vysoko volatilné v porovnaní s vanilla opciami • Využíva sa distribučná funkcia dvojrozmerného normálneho rozdelenia M(a,b,ρ) • Payoff je daný ako: • Kde • h - je pre podkladovú opciu 1 ak je call -1 ak je put • k – je pre compound opciu 1 ak je call -1 ak je put • X1 realizačná cena podkladovej opcie • X2 realizačná cena compound opcie • T1 doba expirácie podkladovej opcie • T2 doba expirácie compound opcie    211 * ,0max,0max 2 kXThXhSkPVT  Zložené opcie • Call na call opciu • Call na put opciu • Put na call opciu • Put na put opciu • Pre kritickú hodnotu S* musí platiť že hodnota európskej call/put opcie v čase T2 je X2  22 1 2 221 1 2 11 211 ;,;, aNXe T T baMeX T T baMSeC rTrTgT C                    22 1 2 221 1 2 11 211 ;,;, aNXe T T baMeX T T baMSeC rTrTgT P                   2 2 2 * 1 2 1 ln T Tgr S S a                212 Taa  1 1 2 2 1 2 1 ln T Tgr X S b                112 Tbb    2211 * ,,,,, XTTrgXSC   22 1 2 11 1 2 221 211 ;,;, aNXe T T baMSe T T baMeXP rTgTrT C                    22 1 2 11 1 2 221 211 ;,;, aNXe T T baMSe T T baMeXP rTgTrT P                   Chooser opcie • Tieto opcie majú vlastnosť, že v určitom vopred stanovenom čase v budúcnosti T1 sa držiteľ opcie rozhodne či je daná opcia call alebo put. • Drahšie ako vanilla opcie • Lacnejšia alternatíva obchodovania straddlov • Hodnota v čase T1 je: Max(c,p) kde c – je hodnota kúpnej opcie v čase T1 s realizáciou v čase T2 p – je hodnota predajnej opcie v čase T1 s realizáciou v čase T2 • Ocenenie: Na základe call-put parity dostaneme S1 je cena podkladového aktíva v čase voľby typu opcie T1 doba do voľby typu opcie T2 doba do maturity opcie              ),0max(,max,max 11 12121212 SXeeceSXeccpc TTgrTTgTTgTTr   Chooser opcie • Cena chooser opcie je určená ako: kde S – cena podkladového aktíva pri oceňovaní opcie X – realizačná cena opcie S1 - je cena podkladového aktíva v čase voľby typu opcie T1 - doba do voľby typu opcie T2 - doba do maturity opcie r – tržná úroková miera σ – volatilita g – miera rastu dividend 2 2 2 1 2 1 ln T Tgr X S d                       2121 2222 dNXeeNSedNXedNSeCh rTgTrTgT   212 Tdd    1 1 2 2 1 2 1 ln T TTgr X S e         112 Tee  Binárne/Digitálne opcie • Opcie, ktoré majú binárnu výplatnú funkciu. Ak podkladové aktívum prekročí realizačnú cenu, držiteľ opcie získa podkladové aktívum alebo vopred stanovenú sumu peňazí. • Relatívne drahé opcie • Cash-or-nothing – Call – držiteľ získa sumu K ak cena podkladového aktíva je vyššia ako realizačná cena (S>X), inak nezíska nič – Put – držiteľ získa sumu K ak cena podkladového aktíva je nižšia ako realizačná cena (SX), inak nezíska nič – Put – držiteľ získa podkladové aktívum ak cena podkladového aktíva je nižšia ako realizačná cena (S