Diskrétní modely oceňování derivátů,
jednokrokový a vícekrokový binomický model
JURAJ KAPASNÝ
Obsah
1. Jednokrokový model
2. Základná veta APT
3. Zaistenie (Hedging)
4. 2-krokový a viacej krokový model
1 krokový model
Predpoklady: - v čase 𝑡 = 0 je cena akcie 𝑆0známa hodnota
- v čase 𝑡 = 1 je cena akcie 𝑆1náhodná veličina
- hodnota 𝑆1 𝜔 je funkciou tržného scenáru 𝜔 ∈ Ω, kde Ω =
𝜔1, … , 𝜔 𝑘 je priestor tržných scenárov
- predpokladajme, že existuje bezrizikové aktívum, ktorého
hodnota je v čase 𝑡 = 0 je rovná 1 a v čase 𝑡 = 1 je rovná 𝑒 𝑟 pri všetkých tržných
scenároch, kde 𝑟 je bezriziková úroková miera
- predpokladajme, že úroková miera je rovnaká pre požičiavanie
aj pre ukladanie peňazí
1 krokový model
Príklad 1: Forwardová zmluva uzatvorená v čase 𝑡 = 0 je záväzný kontrakt: V
čase 𝑡 = 1 kúpi X od Y jednu akciu za cenu 𝐹. Aká je správna cena 𝐹?
Veta: Ak neexistuje arbitráž, potom jediná možná správna cena je 𝐹 = 𝑆0 𝑒 𝑟.
Dôkaz: Dokážeme, že 𝐹 > 𝑆0 𝑒 𝑟 aj 𝐹 < 𝑆0 𝑒 𝑟 vedie ku arbitráži.
1. Nech 𝐹 > 𝑆0 𝑒 𝑟 (výhodné pre Y). Uvažujme nasledujúcu stratégiu:
𝑡 = 0... Y si požičia v banke 𝑆0, kúpi akciu a uzavrie forwardovú zmluvu na predaj
akcie. 𝑡 = 1... Y predá akciu za F, do banky vráti 𝑆0 𝑒 𝑟. Stratégia dáva arbitráž,
pretože Y ostane bezrizikový zisk 𝐹 − 𝑆0 𝑒 𝑟 > 0.
2. Nech 𝐹 < 𝑆0 𝑒 𝑟
(výhodné pre X). Uvažujme takúto stratégiu:
𝑡 = 0... X predá akciu na krátko (short-selling) za 𝑆0, uloží výnos do banky a
uzavrie forwardovú zmluvu na kúpu akcie. 𝑡 = 1... X dostane z banky 𝑆0 𝑒 𝑟
a kúpi
akciu za F a uzavrie krátku pozíciu. Stratégia dáva arbitráž, pretože X ostane
bezrizikový zisk 𝑆0 𝑒 𝑟
− 𝐹 > 0.
1 krokový model
Príklad 2: Európska call opce dáva držiteľovi právo kúpiť akciu v čase 𝑡 = 1 za
cenu 𝐾 (realizačná cena). Kupec opcie zaplatí v čase 𝑡 = 1 za toto právo
predávajúcemu cenu 𝑉0. Aká je férová cena 𝑉0?
Hodnota v čase 𝑡 = 1 je
𝑉1 = 𝑆1 − 𝐾 + =
𝑆1 − 𝐾 𝑎𝑘 𝑆1 > 𝐾
0 𝑎𝑘 𝑆1 ≤ 𝐾
Chceme určiť cenu 𝑉0 za predpokladov:
1. 𝑑1 < 𝐾 < 𝑑2
2. 𝑑1 < 𝑆0 𝑒 𝑟 < 𝑑2, pre 𝑆0 𝑒 𝑟 < 𝑑1 < 𝑑2 dostaneme
arbitráž a rovnako aj v opačnom prípade.
1 krokový model
Majme portfólio 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 , kde 𝑥1je počet bezrizikových aktív, 𝑥2 je počet akcií
a 𝑥3 počet opcií.
Hodnota portfólia v čase 𝑡 = 1 za scenáru 𝜔1 je
𝑦1 = 𝑥1 𝑒 𝑟
+ 𝑥2 𝑑1 + 0𝑥3
Hodnota portfólia v čase 𝑡 = 1 za scenáru 𝜔2 je
𝑦2 = 𝑥1 𝑒 𝑟
+ 𝑥2 𝑑1 + 𝑑2 − 𝐾 𝑥3
Zobrazenie 𝑇: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 → 𝑦1, 𝑦2 je lineárne zobrazenie z ℝ3
→ ℝ2
s
nenulovým jadrom dimenzie 1 ⇒
⇒ pre portfólio 0, 0, 1 existuje jednoznačné portfólio 𝑥1, 𝑥2, 0 , ktoré má
rovnakú hodnotu v oboch scenároch (replikujúce portfólio).
1 krokový model
Hodnoty 𝑥1 a 𝑥2 nájdeme vyriešením rovníc
𝑥1 𝑒 𝑟 + 𝑥2 𝑑1 = 0 pre 𝑉1 𝜔1 a
𝑥1 𝑒 𝑟 + 𝑥2 𝑑2 = 𝑑2 − 𝐾 pre 𝑉1 𝜔2 .
Riešením dostaneme:
𝑥1 =
−𝑑1 𝑒−𝑟 𝑑2−𝐾
𝑑2−𝑑1
a
𝑥2 =
𝑑2−𝐾
𝑑2−𝑑1
.
1 krokový model
Portfólio 𝑥1, 𝑥2, 0 má rovnakú hodnotu ako 0, 0, 1 v každom scenári ⇒
⇒ musí mať rovnakú hodnotu aj v čase 𝑡 = 0 (inak by existovala arbitráž).
Potom platí
𝑉0 = −𝑒−𝑟
𝑑1 𝑑2 − 𝐾
𝑑2 − 𝑑1
1 +
𝑑2 − 𝐾
𝑑2 − 𝑑1
𝑆0 = 𝑑2 − 𝐾
𝑒 𝑟 𝑆0 − 𝑑1
𝑑2 − 𝑑1
𝑒−𝑟 + 0 =
= 𝑒−𝑟 𝑉1 𝜔2 𝑝 + 𝑉1 𝜔1 1 − 𝑝 ,
Kde 𝑉1 𝜔1 = 0, 𝑒−𝑟 je diskontný faktor a 𝑝 =
𝑒 𝑟 𝑆0−𝑑1
𝑑2−𝑑1
sa nazýva rovnovážna
pravdepodobnosť scenára 𝜔2.
⇒ 𝑉0 je diskontované očakávanie hodnoty opcie v čase 𝑡 = 1 vzhľadom k
rovnovážnej pravdepodobnostnej miere.
Základná veta APT
Predpoklady: -uvažujme trh s 𝐾 voľne obchodovateľnými aktívami 𝐴1, … , 𝐴 𝑘,
kde 𝐴1 je bezrizikové aktívum, to znamená, že jeho hodnota v čase 𝑡 = 1 je
𝑆1
1
= 𝑒 𝑟
pre každý tržný scenár
-cena podielu aktíva 𝐴 𝑗 v čase 𝑡 = 0 je 𝑆0
𝑗
(známa hodnota)
-množina všetkých scenárov je Ω = 𝜔1, … , 𝜔 𝑁 a hodnotu
aktíva 𝐴 𝑗
v čase 𝑡 = 1 za scenáru 𝜔𝑖 je 𝑆1
𝑗
𝜔𝑖 .
𝑆1
𝑗
𝜔𝑖 je náhodná veličina na priestore tržných scenárov Ω.
Základná veta APT
Definícia: Portfólio je vektor Θ = 𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃 𝐾 , kde 𝜃𝑗 je veľkosť podielu aktíva
𝐴 𝑗 v portfóliu.
V čase 𝑡 = 0 sa hodnota Θ rovná 𝑉0 Θ = 𝑗=1
𝐾
𝜃𝑗 𝑆0
𝑗
.
Pri 𝑡 = 1 závisí hodnota Θ na 𝜔𝑖, 𝑉1 Θ, 𝜔𝑖 = 𝑗=1
𝐾
𝜃𝑗 𝑆1
𝑗
𝜔𝑖 .
Definícia: Arbitráž je portfólio, ktoré dokáže dosiahnuť kladný zisk z ničoho pri
všetkých tržných scenároch, tj. buď 𝑉0 Θ ≤ 0 a 𝑉1 Θ, 𝜔𝑗 > 0 pre všetky
𝜔𝑗 ∈ Ω
alebo 𝑉0 Θ < 0 a 𝑉1 Θ, 𝜔𝑗 ≥ 0 pre všetky 𝜔𝑗 ∈ Ω.
Definícia: Pravdepodobnostná miera na množine scenárov Ω je rovnovážna
pravdepodobnostná miera, ak pre všetky 𝐴 𝑗 je hodnota podielu v čase 𝑡 = 0 rovná
diskontovanému očakávaniu hodnoty podielu v čase 𝑡 = 1 vzhľadom k
pravdepodobnostnej miere 𝜋, tj.
𝑆0
𝑗
= 𝑒−𝑟
𝑖=1
𝑁
𝜋 𝜔𝑖 𝑆1
𝑗
𝜔𝑖 pre všetky 𝑗 = 1, … , 𝐾, kde 𝑒−𝑟 je diskontný faktor.
Základná veta APT
Veta (Základná veta APT): Rovnovážna pravdepodobnostná miera existuje práve
vtedy, keď neexistuje arbitráž.
Dôkaz: Implikácia ⇐ .
Ak existuje rovnovážna pravdepodobnostná miera 𝜋 a Θ je portfólio,
ktorého hodnota v čase 𝑡 = 1 je ≥ 0 pri všetkých scenároch, potom
𝑉0 Θ = 𝑒−𝑟
𝑖=1
𝑁
𝜋 𝜔𝑖 𝑉1 Θ, 𝜔𝑖 ≥ 0,
odkiaľ plynie, že Θ nie je arbitráž (a arbitráž teda neexistuje).
Základná veta APT
Implikácia ⇒ : Ak neexistuje arbitráž, tak existuje taká rovnovážna
pravdepodobnostná miera, že platí 𝑆0
𝑗
= 𝑒−𝑟
𝑖=1
𝑁
𝜋 𝜔𝑖 𝑆1
𝑗
𝜔𝑖
Pre 𝑗 = 1 platí tento vzťah automaticky
1 = 𝑆0
1
= 𝑒−𝑟
𝑖=1
𝑁
𝜋 𝜔𝑖 𝑒 𝑟
𝐴1
je bezrizikové aktívum s hodnotou 𝑆1
= 𝑒 𝑟
pre všetky scenáre.
Uvažujme 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝐾. Označme 𝜀 množinu všetkých vektorov s tvarom
𝑦 = 𝑦2, … , 𝑦 𝐾 , kde
𝑦𝑗 = 𝑒−𝑟
𝑖=1
𝑁
𝜋 𝜔𝑖 𝑆1
𝑗
𝜔𝑖
pre všetky 𝑗 = 2, 3, … , 𝐾 a ľubovoľnú pravdepodobnostnú mieru 𝜋.
Základná veta APT
𝜀 ⊆ ℝ 𝐾−1 je konvexným obalom svojich extrémnych bodov, ktoré
odpovedajú pravdepodobnostiam 𝜋 𝜔𝑖 = 1, 𝜋 𝜔𝑗 = 0 pro 𝑗 ≠ 0.
Chceme dokázať:
Ak neexistuje arbitráž, potom 𝑆 = 𝑆0
2
, … , 𝑆0
𝐾
∈ 𝜀.
inak povedané, ak 𝑆 ∉ 𝜀, potom existuje arbitráž. V dôkaze využijeme
vetu o oddeľujúcej nadrovine.
Veta: Nech 𝐹 ⊆ ℝ 𝑛
je uzavretá konvexná množina a 𝑥 ∉ 𝐹. Potom
existuje 𝑣 ∈ ℝ 𝑛 také, že 𝑣 ∙ 𝑥 < 𝑣 ∙ 𝑦 pre všetky 𝑦 ∈ 𝐹, kde ∙ je
skalárny súčin.
Dôkaz: Nech a najbližší bod v 𝐹 k bodu 𝑥, potom vektor 𝑎 − 𝑥 má
hľadané vlastnosti.
Základná veta APT
Podľa predchádzajúcej vety máme
𝑆 ∉ 𝜀 ⇒ ∃Θ∗
= 𝜃2, … , 𝜃 𝐾 ≠ 0
tak, že pre všetky 𝑦 ∈ 𝜀 platí:
𝑦 ∙ Θ∗
> 𝑆 ∙ Θ∗
.
𝜀 obsahuje extrémne body, potom pre všetky 𝑖 platí:
𝑒−𝑟
𝑗=2
𝐾
𝜃𝑗 𝑆1
𝑗
𝜔𝑖 >
𝑗=2
𝐾
𝜃𝑗 𝑆0
𝑗
.
Ľavú stranu nerovnosti označíme 𝐶𝑖 a pravú 𝐷. Ukážeme, že existuje
arbitráž.
Zvolíme 𝜃𝑖 tak aby 𝐶𝑖 > 𝜃1 > 𝐷 pre všetky 𝑖, potom portfólio
−𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃 𝐾 je arbitráž, pretože jeho hodnota v čase 𝑡 = 0 je < 0 a v
čase 𝑡 = 1 je > 0 pre všetky 𝜔𝑖.
⊡
Základná veta APT
Uvažujme európsku call opciu, ktorej výplatná funkcia je 𝑉1 = 𝑆1 − 𝐾 +.
Ďalej 𝑆1 𝜔𝑖 = 𝑑𝑖 pre 𝑖 = 1, 2 a 𝑑1 < 𝑑2.
Pokiaľ neexistuje arbitráž, potom existuje 𝜋, pre ktorú platí, že cena akcie v 𝑡 =
0 je diskontované očakávanie
𝑆0 = 𝑒−𝑟 𝜋 𝜔1 𝑑1 + 𝜋 𝜔2 𝑑2 .
Naviac vieme, že 𝜋 𝜔1 + 𝜋 𝜔2 = 1. Teda platí, že 𝑑1 < 𝑆0 𝑒 𝑟 < 𝑑2 a dostane
𝜋 𝜔𝑖 =
𝑑2−𝑆0 𝑒 𝑟
𝑑2−𝑑1
a 𝜋 𝜔2 =
𝑆0 𝑒 𝑟−𝑑1
𝑑2−𝑑1
.
Ak je opcia voľne obchodovateľná a trh je bez arbitráže, musí to isté platiť aj
pre opciu, potom:
𝑉0 = 𝜋 𝜔2 𝑑2 − 𝐾 + 𝜋 𝜔1 . 0 = 𝜋 𝜔2 𝑑2 − 𝐾 =
𝑆0 𝑒 𝑟 − 𝑑1
𝑑2 − 𝑑1
𝑑2 − 𝐾 .
Zaistenie (Hedging)
Majme aktíva 𝐴1
, 𝐴2
, … , 𝐴 𝐾
, 𝐵. Nech 𝑆𝑡
𝑗
𝜔𝑖 a 𝑆𝑡
𝐵
𝜔𝑖 sú ceny 𝐴 𝑗
, respektíve B, v
čase t a scenári 𝜔𝑖, kde 𝑡 = 0, 1.
Definícia: Portfólio Θ = 𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃 𝐾 je replikujúce portfólio pre 𝐵, ak
𝑆1
𝐵
𝜔𝑖 =
𝑗=1
𝐾
𝜃𝑗 𝑆1
𝑗
𝜔𝑖
Pre všetky 𝑖 = 1, … , 𝑁.
Zaistenie (Hedging)
Veta: Nech Θ = 𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃 𝐾 je replikujúce portfólio pre 𝐵. Ak neexistuje
arbitráž, potom v čase 𝑡 = 0 platí:
𝑆0
𝐵
=
𝑗=1
𝐾
𝜃𝑗 𝑆0
𝑗
Dôkaz: - Nech tvrdenie neplatí. Ak 𝑆0
𝐵
> 𝑗=1
𝐾
𝜃𝑗 𝑆0
𝑗
, potom portfólio
−1, 𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃 𝐾 v aktívach 𝐵, 𝐴1, … , 𝐴 𝐾 je arbitráž, pretože
𝑗=1
𝐾
𝜃𝑗 𝑆0
𝑗
− 𝑆0
𝐵
< 0 a 𝑗=1
𝐾
𝜃𝑗 𝑆1
𝑗
𝜔𝑖 − 𝑆1
𝐵
𝜔𝑖 = 0 pre všetky 𝜔𝑖 ∈ Ω.
- Analogicky pre 𝑆0
𝐵
< 𝑗=1
𝐾
𝜃𝑗 𝑆0
𝑗
vezmeme opačné portfólio.
Trh s 2 periódami: Uvažujme 1 bezrizikové aktívum a
1 rizikovou akcii. Tržné scenáre sú v tomto prípade:
Ω = + + , + − , − + , − − .
- Predpokladáme, že 𝑢 je výnosová miera pri kroku +
v modelu a 𝑑 je výnosová miera pri kroku -. Potom
dostávame:
Model s viacerými periódami
Model s viacerými periódami
- Trh si rozdelíme na 3 čiastočné trhy a pomocou vzorca pre rovnovážnu
pravdepodobnostnú mieru za predpokladu, že 𝑑𝑆 𝑘 < 𝑆 𝑘 𝑒 𝑟 < 𝑢𝑆 𝑘 dostávame
𝑝 𝑢 =
𝑒 𝑟−𝑑
𝑢−𝑑
a 𝑝 𝑑 =
𝑢−𝑒 𝑟
𝑢−𝑑
, (𝑆0 sa vykráti)
A celková pravdepodobnostná miera pre dvojkrokový trh bude:
𝑃 + + = 𝑝 𝑢
2, 𝑃 − − = 𝑝 𝑑
2
, 𝑃 + − = 𝑃 − + = 𝑝 𝑢 𝑝 𝑑.
Model s viacerými periódami
Trh s viacerými periódami:
V tomto prípade množina všetkých scenárov vyzerá takto:
Ω = +, +, +, … , + , +, +, … , +, − , … , −, −, … , −
a má 2 𝑇 prvkov.
Pre scenár 𝜔 ∈ Ω Je jeho rovnovážna pravdepodobnosť 𝑃 𝜔 = 𝑝 𝑢
𝐾 𝑝 𝑑
𝑇−𝐾
, kde 𝐾
je počet + v scenári 𝜔.
Pri oceňovaní opcií využijeme, že cena bude diskontované očakávanie jej
hodnoty v čase 𝑇, 𝑉𝑇 = 𝑆 𝑇 − 𝐾 +, vzhľadom ku rovnovážnej
pravdepodobnostnej miere.
Model s viacerými periódami
Pre jednoduchosť uvažujeme 𝑟 = 0 a nech 𝑚 je najmenšie prirodzené číslo, pre
ktoré platí 𝑆0 𝑢 𝑚
𝑑 𝑇−𝑚
≥ 𝐾. Potom dostávame
𝑉0 =
𝑛=𝑚
𝑇
𝑝 𝑢
𝑛
𝑝 𝑑
𝑇−𝑛 𝑇
𝑛
𝑆0 𝑢 𝑛
𝑑 𝑇−𝑛
− 𝐾
=
𝑛=𝑚
𝑇
1 − 𝑑 𝑛 𝑢 − 1 𝑇−𝑛
𝑢 − 𝑑 𝑇
𝑇
𝑛
𝑆0 𝑢 𝑛 𝑑 𝑇−𝑛 − 𝐾 ,
kde 𝑇
𝑛
je počet trajektórií s celkom n plusmi.
Použitá literatúra
1. Skripta doc. Koláře. Ku predmetu Koláře MF001, Stochastické procesy ve
finanční matematice
2. Poznámky z prednášok predmetu doc. Koláře MF001, Stochastické procesy ve
finanční matematice
3. Poznámky z prednášok predmetu prof. Černého M7772, Matematické
techniky ve financích
Ďakujem za pozornosť