Ekvivalentní martingalové míry, věrohodnostní poměr,
Cameron-Martinova věta
Seminář z finanční matematiky
Jan Kovář
Masarykova univerzita
Přírodovědecká fakulta
3.dubna 2013
Pravděpodobnostní míra
Definice: Axiomatická definice pravděpodobnosti
Nechť (Ω, A) je měřitelný prostor (jevové pole) a P je reálná množinová
funkce definovaná na A s vlastnostmi
1 P(Ω) = 1 (normovaná),
2 ∀A ∈ A : P(A) ≥ 0 (nezáporná),
3 {An}∞
n=1 je posloupnost po dvou disjunktních náhodných jevů ⇒
P ( ∞
n=1 An) = ∞
n=1 P(An) (σ-aditivní).
Pak funkci P nazýváme pravděpodobnostní mírou (pravděpodobností) na
A a trojici (Ω, A, P) pravděpodobnostním prostorem.
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 2 / 16
Připomenutí
Definice: Wienerův proces
Stochastický proces na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) se nazývá
Wienerův proces, jestliže platí:
1 W (0) = 0,
2 (spojitost) s pravděpodobností 1 jsou trajektorie procesu spojité,
3 (nezávislost přírůstků) pro libovolné 0 ≤ t1 < s1 ≤ t2 < · · · ≤ tn < sn
jsou přírůstky W (s1) − W (t1), . . . , W (sn) − W (tn) navzájem
nezávislé náhodné veličiny,
4 (normalita přírůstků) ∀s, t; s > t : W (s) − W (t) ∼ N(0, s − t) .
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 3 / 16
Ekvivalentní míry
Definice: Ekvivalentní míry
Nechť (Ω, A) je měřitelný prostor, na němž jsou dány pravděpodobnostní
míry P a Q. Řekneme, že P a Q jsou ekvivalentní, jestliže pro každý jev
A ∈ A platí
P(A) = 0 ⇔ Q(A) = 0.
Značíme P ∼ Q.
tj. množiny míry 0 jsou totožné pro obě míry
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 4 / 16
Radon-Nikodýmova derivace
Definice: Radon-Nikodýmova derivace
Nechť P a Q jsou ekvivalentní míry na měřitelném prostoru (Ω, A).
Jestliže pro náhodnou veličinu Z platí
EQ(X) = EP(XZ)
pro libovolnou náhodnou veličinu X, pak Z nazýváme Radon-Nikodýmova
derivace míry Q vůči míře P, značíme Z =
dQ
dP
.
Tedy
dQ
dP
: Ω → R, píšeme též
dQ
dP
(ω)
Rozepsáním vztahu z definice
EQ(X) =
Ω
XdQ =
Ω
X
dQ
dP
dP = EP X
dQ
dP
= EP(XZ)
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 5 / 16
Radon-Nikodýmova derivace - ilustrace
Př.: Ω = R2
jev A . . . okolí bodu z0
P(A) . . . pravděpodobnost jevu A vůči P
Q(A) . . . pravděpodobnost jevu A vůči Q
uvažujme podíl
Q(A)
P(A)
pokud velikost okolí → 0, pak
Q(A)
P(A)
→
dQ
dP
(z0)
Pro Wienerův proces na (Ω, A, P) můžeme Ω ztotožnit s prostorem
trajektorií
prostor spojitých funkcí na [0, T] t.ž. f (0) = 0
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 6 / 16
Cameron-Martinova věta
Wt . . . standardní Wienerův proces
Wt = Wt + γt . . . Wienerův proces s driftem
Cameron-Martinova věta
Nechť {Wt, t ∈ [0, T]} je standardní Wienerův proces na (Ω, A, P) a Q je
míra, jejíž Radon-Nikodýmova derivace vůči míře P je
dQ
dP
= e−γW (T,ω)−1
2
γ2T
.
Pak Wt = Wt + γt je standardní Wienerův proces (a tedy martingal)
vzhledem ke Q.
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 7 / 16
Cameron-Martinova věta - vysvětlení
Transformace „pravděpodobnosti trajektorií
uvažujme Wt = Wt + γt pro
γ < 0
na obrázku vpravo je 30 realizací
Wt
vůči P je Wt Wienerův proces
se záporným driftem
každé trajektorii (přesněji
jejímu okolí) přisuzuje míra P
určitou pravděpodobnost
„čím blíže přímce γt, tím je
trajektorie pravděpodobnější
Zdroj: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Girsanov.png
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 8 / 16
Cameron-Martinova věta - vysvětlení
C.-M. věta říká, jak vypadá míra
Q, vůči níž je Wt standardní
Wienerův proces, a to
prostřednictvím dQ
dP
dQ
dP transformuje pst každé
trajektorie (jejího okolí) vůči
P na její pst vůči Q
transformované
pravděpodobnosti jsou
znázorněny na obr. vpravo
(sytější barva - vyšší pst)
„drift je kompenzován
pravděpodobností trajektorie
s vyššími
hodnotami W (T) mají vyšší
pravděpodobnost vůči Q, čímž
je drift „odstraněn
Zdroj: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Girsanov.png
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 9 / 16
Cameron-Martinova věta - aplikace
oceňování složitějších typů opcí závislých na cestě
binární bariérové opce
opce začne/přestane platit až po proražení bariéry H
výplatní funkce up&in
VT = 1 max
t∈[0,T]
St ≥ H =
1, pokud maxt∈[0,T] St ≥ H,
0, jinak.
pomocí Cameron-Martinovy věty převedeme na Wienerův proces bez
driftu
s využitím principu reflexe vypočteme P(maxt∈[0,T] Wt ≥ A)
Zdroj: http://www.investopedia.com/terms/u/up-and-inoption.asp
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 10 / 16
Důkaz Cameron-Martinovy věty
Moment generující funkce náhodné veličiny X je definován:
ψ(θ) = E(eθX
) =
R
eθx
f (x)dx
Lemma: X ∼ N(0, σ2) ⇒ ψ(θ) = e
1
2
θ2σ2
Chceme dokázat, že Wt = Wt + γt je standardní Wienerův proces
vůči Q, tedy dle definice W.P.:
W0 = 0 ← W0 = W0 + γ · 0 = W0 = 0
spojitost trajektorií ← plyne ze spojitosti Wt a fce γt
nezávislost přírůstků ← plyne z nezávislosti přírůstků Wt
normalita přírůstků: ← viz následující slide
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 11 / 16
Důkaz Cameron-Martinovy věty - pokračování
chceme dokázat: W (t + s) − W (s) ∼ N(0, t) vůči Q pro t > 0
spočítáme moment generující funkce náhodné veličiny
W (t + s) − W (s), tj.
ψ(θ) = EQ eθ(W (t+s)−W (s))
využijeme definici Radon-Nikodýmovy derivace
ψ(θ) = EQ eθ(W (t+s)−W (s))
= EP
dQ
dP
eθ(W (t+s)−W (s))
dosadíme za dQ
dP výraz z předpokladu věty, po úpravách (využívajících
uvedené lemma) dostaneme
ψ(θ) = e
1
2
θ2t
,
což je moment generující funkce N(0, t)
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 12 / 16
Girsanovova věta
zobecnění Cameron-Martinovy věty
stochastický drift
Girsanovova věta
Nechť Wt je standardní Wienerův proces na (Ω, A, P) a γ(t, ω) je
neanticipativní proces takový, že
EP e
1
2
T
0 γ(t)dt
< ∞.
Pak existuje pravděpodobnostní míra Q, pro kterou platí:
1 P ∼ Q,
2
dQ
dP
(ω) = e− T
0 γ(t,ω)dW −1
2
T
0 γ2(t,ω)dt
3 W (t, ω) = W (t, ω) +
t
0 γ(s, ω)ds je standardní Wienerův proces vůči
míře Q.
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 13 / 16
Obrácená Girsanovova věta
Obrácená Girsanovova věta
Nechť Wt je standardní Wienerův proces na (Ω, A, P) a nechť Q ∼ P. Pak
existuje neanticipativní proces γ(t, ω) takový, že
W (t, ω) = W (t, ω) +
t
0
γ(s, ω)ds
je standardní Wienerův proces vůči míře Q. Navíc platí
dQ
dP
(ω) = e− T
0 γ(t,ω)dW −1
2
T
0 γ2(t,ω)dt
.
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 14 / 16
Literatura
KOLÁŘ Martin. Stochastická analýza.
Girsanov theorem.
http://en.wikipedia.org/wiki/Girsanov_theorem
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 15 / 16
Děkuji za pozornost.
Jan Kovář (PřF MU) Cameron-Martinova věta 3.dubna 2013 16 / 16