Lenka Otipková
Obsah
 Úvod do teorie her
 Statické hry
 Nashova rovnováha
 Cournotův model
 Bertrnadův model
 Smíšené strategie
Teorie her
 neboli Teorie interaktivního rozhodování
 John von NEUMANN; Oskar MORGENSTERN.
Theory of Games and Economic Behavior. (1944)
 Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která
zkoumá široké spektrum rozhodovacích situací s
větším počtem účastníků pomocí modelů.
ZÁKLADNÍ POJMY
HRA Rozhodovací situace, konflikt
HRÁČ Účastník konfliktu
STRATEGIE Konkrétní alternativa, kterou může hráč zvolit
OPTIMÁLNÍ STRATEGIE
Hráčem zvolená strategie, která je pro něj
nejvýhodnější
PROSTOR STRATEGIÍ
Seznam všech možných alternativ, které jsou hráči
dostupné
VÝPLATNÍ FUNKCE
Výsledek hry (užitek), výhra či zisk hráče v
závislosti na zvolených strategiích
 ANTAGONICKÝ KONFLIKT
Dva inteligentní hráči a každý se rozhoduje tak, aby si
zabezpečil co největší výhru, přičemž výhra jednoho
účastníka jde na úkor druhého účastníka (např . vojenský
konflikt)
 NEANTAGONICKÝ KONFLIKT
Minimálně dva účastníci, kteří volí rozhodnutí, které
maximalizuje jejich výhru. Výhra jednoho nejde na úkor
jiného. Rozlišují se dva případy:
• kooperativní (koaliční) teorie = možnost závazných smluv
hráčů
• nekooperativní (strategické) teorie
 Simultánní
 Hráči se rozhodují zároveň
 Sekvenční
 Hráči se rozhodují v daném pořadí
 Čistá strategie
 Strategie, kterou si hráč volí s jistotou
 Smíšená strategie
 Pravděpodobnost rozdělení nad strategiemi hráče
Výplatní funkce
 Výsledek zvolené strategie
 Užitek = stupeň uspokojení ze spotřeby /situace
 Zachycuje individuální preference, které není možné
mezi jednotlivci porovnávat a sčítat
 Užitková funkce u popisuje hráčovu soustavu
preferencí u(a) > u(b) jestliže preferuje a před b
Statické hry s úplnou informací
(hra v normálním tvaru)
 Hráči se rozhodují ve stejný okamžik – neznají
rozhodnutí soupeře (simultánní hra), ale znají
výplatní funkce pro všechny možné kombinace
rozhodnutí
 Předpokládáme:
 hráči jsou racionální (v každé situaci si vyberou tu
nejlepší možnou strategii z množiny strategií podle
svých preferencí)
 hráči mají dokonalé informace (tj. znají všechny 3
množiny)
Statické hry s úplnou informací
(hra v normálním tvaru) II
 Hra je určena třemi množinami:
 Množina hráčů {1, 2, …, n}
 Množina prostorů strategií {S1, S2, …, Sn}
 Množina výplatních funkcí {u1(s1, ..., sn), u2(s1, ..., sn), …,
un(s1, ..., sn)}
Vězňovo dilema
 Dva vězni podezřelí ze zločinu jsou zadrženi v cele.
Policie má pár důkazů, ale chybí jim poslední důkaz
pro usvědčení.
 Jestliže budou oba shodně mlčet, dostanou 1 rok
 Jestliže promluví pouze jeden, bude volný a druhý
dostane 10 let
 Jestliže promluví oba, dostanou po 5 letech
Vězňovo dilema II
 Každý z hráčů má jiné preference
H1: u(P,M) > u(M,M) > u(P,P) > u(M,P)
(3,2,1,0)
H2: u(M,P) > u(M,M) > u(P,P) > u(P,M)
HRÁČ 2
HRÁČ 1
Promluví Mlčí
Promluví 1,1 (5,5) (10) 3,0
Mlčí 0,3 (10) 2,2 (1,1)
 Optimální strategie:
Strategie prvního hráče x0 X, ke které existuje optimální
strategie druhého hráče y0 Y tak, že platí
u1(x, y0) ≤ u1(x0, y0)
u2(x0, y) ≤ u2(x0, y0)
je optimální strategií. (Jiná pak snižuje výhru) – tyto
strategie se nazývají rovnovážné.
 Rovnovážná situace = ani jednomu hráči se nevyplatí
změnit strategii.


Dominování
 Předpoklady: racionalita hráčů, maximalizace zisku
 V případě existence dvou strategií, ze kterých jedna je
horší než druhá bez ohledu na to, co bude hrát
protihráč si tuto strategii hráč nikdy nevybere. Pak
hovoříme o dominované strategii.
 Pokud jsou ŝi a s̃i dvě možné strategie i-tého hráče ve
hře H = {S1, ..., Sn; u1, …, un}, potom strategie ŝi je
striktně dominovaná strategií s̃i , pokud platí:
ui(s1,…, si-1,ŝi,si+1, …, sn) < ui(s1,…, si-1,s̃i,si+1, …, sn)
 Hráči jsou přesvědčeni, že nikdo z nich nezvolí
dominovanou strategii
 Dominované strategie ze hry odstraníme
 Po odstranění některých strategií, se může stát, že se
dominovanou stane strategie, která před tím
dominovanou nebyla – ITEROVANÁ DOMINANCE
 Postupným odstraněním dominovaných strategií
můžeme získat jediný profil, který lze považovat za
optimální, jelikož právě tento profil strategií budou
hráči hrát.
Nashova rovnováha
 Jde o řešení, ve kterém platí, že pokud se některý z
hráčů nebude držet optimální strategie, přičemž
soupeři ano, jeho výplata se sníží.
 Optimální strategii hráčů v konfliktní situaci najdeme
pomocí Nashovy rovnováhy.
 Máme hru v normálním tvaru H = {S1, …, Sn; u1, …, un}
n-tice strategií (s̃1 ,…, s̃n ) tvoří Nashovu rovnováhu,
jestliže pro každého hráče je s̃i nejlepší odpověď na
strategie specifikované pro ostatní hráče
s̃1 ,…, s̃i-1, s̃i+1 ,..., s̃n.
 Tedy
ui(s̃1, …, s̃i-1, s̃i, s̃i+1, …, s̃n) ≥ ui(s̃1, …, s̃i-1, si, s̃i+1, …, s̃n),
pro každé si Si

Souvislost dominování a Nashovy
rovnováhy
 Pokud ve hře H = {S1, …, Sn; u1, ..., un} dostaneme
postupnou eliminací dominovaných strategií strategie
(s̃1, …, s̃n), potom jsou tyto strategie jedinou Nashovou
rovnováhou.
 Nashovy rovnováhy vždycky „přežijí“ eliminaci
striktně dominovaných strategií.
Cournotův model
 Simultánní hra, ve které:
 Hráči jsou firmy
 Strategie = množství produkce
 Výplatní funkce = snaha o maximalizaci zisku
 Nashova (Cournotova) rovnováha – kombinace
produkce firem, při které každá firma reaguje
optimálně na produkci ostatních firem
 Cournotova rovnováha – při množství produkce, které
zvolí ostatní firmy, volí každá firma množství
produkce, které maximalizuje její zisk
Cournotův duopol
 Máme 2 firmy, výplatní funkcí je maximalizace zisku a
strategií je zvolené množství .
 Celkové množství:
q = q1 + q2
 Tržní cena:
P (q) = α – bq = α – b(q1 + q2)
 Celkové náklady firmy:
C1(q1) = cq1, C2(q2) = cq2
 Zisk:
π1 = q1( α – b(q1 + q2)) – cq1
π2 = q2( α – b(q1 + q2)) – cq2
Cournotův duopol II
 Maximalizujeme zisk:
 Množství první firmy
 Množství druhé firmy
02 21
1
1



cbqbq
q


b
bqc
q
2
2
1



b
bqc
q
2
1
2



Bertrandův model
 Simultánní hra, ve které:
 Hráči jsou firmy
 Strategií je volba ceny
 Preference jsou zisky
 Nashova (Bertrandova ) rovnováha – kombinace cen
firem, při které každá firma reaguje optimálně na ceny
ostatních firem
 Bertrandova rovnováha – při cenách produkce, které
zvolily ostatní firmy, volí každá firma cenu produkce,
která maximalizuje její zisk
Bertrandův duopol
 Máme 2 firmy, které vyrábějí identické produkty.
 Mají stejné konstantní mezní náklady
MC1 = MC2 = c
 Množství závislé na zvolených cenách
qi(pi,pj)= a – pi + bpj
 Zisk
πi(pi,pj) = qi(pi,pj)(pi-c) = (a – pi + bpj) (pi-c)
 Maximalizujeme- li zisk dostaneme:
pi = ½ (a + bpj +c)
Řešením soustavy rovnic je p1 = p2 = (a + c)/(2 - b)
Bertrandův duopol II
 Zisk:
πi(pi,pj) = qi(pi,pj)(pi-c)
 Uvažujeme- li, že rovnovážná cena se rovná nákladům
p1* = p2* = c
 ṕ1 > c
π1(ṕ1,c) = 0(ṕ1-c) = 0
 ṗ1 < c
π1(ṗ1,c) = q1(ṗ1)(ṗ1-c) < 0
Smíšené strategie
 Některé hry nemají Nashovu rovnováhu (hlavně
takové, kde se snažíme uhádnout strategii protihráče
např. kámen, nůžky, papír). Smíšená strategie
vyjadřuje nejistotu hráče o tom, jakou strategii zvolí
soupeř.
 Prostory strategií vyjadřují vektory pravděpodobností s
jakou hráči zvolí jednotlivé strategie (jde tedy o
pravděpodobnostní rozdělení jednotlivých strategií)
Si = {pi; pi´= [pi1, pi2, …, pim], ∑pij= 1, 0 ≤ pij ≤ 1},
kde j = 1, …, m.
 Smíšenou strategií pro 3 strategie je vektor
pravděpodobností (q, r, 1-q-r), kde q je pst první
strategie, r pst druhé a 1- q- r je pst třetí strategie.
 Hodnota výplatní funkce udává očekávanou střední
hodnotu výhry:
u(s1,s2)= ∑ ∑ p1iaijp2j = pi´Apj
Kámen, nůžky, papír
 Antagonistická hra s nulovým součtem, kde 1 = výhra,
0 = remíza, -1 = prohra.
1. HRÁČ Kámen Nůžky Papír
Kámen 0 1 -1
Nůžky -1 0 1
Papír 1 -1 0
2. HRÁČ Kámen Nůžky Papír
Kámen 0 -1 1
Nůžky 1 0 -1
Papír -1 1 0
Nashova rovnováha ve smíšených
strategiích
 V normální hře je smíšená strategie (p̃1, p̃2) Nashovou
rovnováhou, pokud je tato strategie nejlepší
odpovědí na smíšené strategie ostatních hráčů, tj.
platí:
u1(p̃1, p̃2) ≥ u1(p1, p̃2)
u2(p̃1, p̃2) ≥ u2(p̃1, p2)
VĚTA: Každá maticová hra má Nashovu rovnováhu
(ve smíšených strategiích). Smíšená strategie, která
má pi=1 a ostatní pst jsou nulové, je čistou strategií
pro statické hry.
Děkuji za pozornost