ARCH modely
Matej Šimšík
MF006 Seminár z finančnej matematiky
1
Obsah
• Lineárny regresný model
• ARIMA procesy
• ARCH procesy
2
Príklad
3
Príklad
4
Regresný model
Vysvetľovaná premenná 𝑌 je závislá na premenných 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋 𝑘.
Existuje vzťah a to taký, že:
𝐸 𝑌 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋 𝑘 = 𝑓 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋 𝑘, 𝛃 ,
kde 𝛃 =
𝛽1
𝛽2
⋮
𝛽 𝑘
je hľadaný vektor koeficientov v regresnej
rovnici.
5
Lineárny regresný model
Majme 𝑛 pozorovaní náhodnej premennej 𝐘 =
𝑌1
𝑌2
⋮
𝑌𝑛
a
nenáhodných premenných 𝐗 =
𝑋1,1 ⋯ 𝑋1,𝑘
⋮ ⋱ ⋮
𝑋 𝑛,1 ⋯ 𝑋 𝑛,𝑘
.
Uvažujeme model plnej hodnosti
𝐘 = 𝐗𝛃 + 𝛆,
kde 𝛆 ~ iid. 𝑁(𝟎 𝒏, 𝜎2 𝐄 𝒏) (biely šum).
6
Odhad modelu
Metóda maximálnej vierohodnosti:
𝐿 𝛃, 𝜎2
= 𝑓(𝑌𝑖; 𝛃, 𝜎2
)
𝑛
𝑖=1
→ max
V našom prípade to isté ako OLS:
𝛆′𝛆 → max
Existuje analytické riešenie modelu a to:
𝛃 = (𝐗′
𝐗)−𝟏
𝐗𝐘
7
Modelový príklad
8
Modelový príklad
9
Reálny príklad
10
Reálny príklad
11
Reálny príklad
12
Problémy
• Autokorelácia reziduí
• Heteroskedasticita
• Predikcie najlepšie vnútri pozorovaného okna → slabá
vypovedacia schopnosť
13
ARIMA(p, d, q) modely
Majme časovú radu 𝑌𝑡. Potom definujeme operátor spätného
chodu:
𝐵𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1
Ďalej definujeme ARIMA(p, d, q) proces ako:
𝜑 𝐵 1 − 𝐵 𝑑
𝑌𝑡 = 𝜃 𝐵 𝜀𝑡,
kde 𝜀𝑡 ~ iid. 𝑁(0, 𝜎2) je biely šum a 𝜑 𝐵 , 𝜃 𝐵 sú polynómy
stupňa p, q.
14
Príklad: proces I(1)
15
ARCH(p) model
(Autoregressive conditional heteroskedasticity)
Model tvaru:
𝑌𝑡 = 𝐗 𝐭
′
𝛃 + 𝑢 𝑡,
kde 𝐗 𝐭 je vektor pozorovaní nejakej časovej rady (pokojne aj 𝑌𝑡),
ďalej:
𝑢 𝑡 = ℎ 𝑡 𝜀𝑡
ℎ 𝑡 = 𝜏 + 𝛼1 𝑢 𝑡−1
2
+ 𝛼2 𝑢 𝑡−2
2
+ ⋯ + 𝛼1 𝑢 𝑡−𝑝
2
,
kde 𝜀𝑡~ iid. 𝑁(0, 1) je nezávislá na 𝐗 𝐭 a 𝑌𝑡 až do času 1 − 𝑝 a
platí, že 𝜏 ≥ 0, 𝛼𝑖 ≥ 0.
16
Generovanie ARCH(1) procesu
Namodelujeme jednoduchý ARCH proces tvaru 𝑌𝑡 = 𝑢 𝑡, teda
bez vysvetľujúcej premennej:
1. Položíme 𝑌0 = 0, 𝑢0 = 1, ℎ0 = 1, 𝜏 = 1 a 𝛼1 = 1.
2. Ďalej ℎ1 = 𝜏 + 𝛼1 𝑢0
2
= 2.
3. Vygenerujeme 𝑢1 = ℎ1 𝜀1, kde 𝜀𝑡~ 𝑁(0, 1).
4. Konečne dostaneme 𝑌1 = 𝑢1.
5. Opakujeme.
17
Výsledok
18
Skript v R
y<-0
u<-1
h<-1
tau<-1
alpha<-1
i<-1
pp<-100 #pocet pozorovani (cas, do ktoreho pozorujeme)
#Generovanie procesu
for (i in 1:(pp-1)){h<-c(h, tau+(alpha*u[length(u)]^2)) #generujeme h(t), aj s nahodou musi byt
kladne!
u<-c(u, sqrt(h[length(h)])*rnorm(mean=0, sd=1, n=1)) #generujeme u(t)
y<-c(y, rnorm(mean=0, sd=abs(u[length(u)]), n=1)) #generujeme y(t)
}
#Obrazok volatility
plot(y, ylim=c(min(y)-1, max(y)+4), type="l", col="blue", main="ARCH proces")
par(new=TRUE)
plot(h, type="l", col="red", xaxt="n", yaxt="n", xlab="", ylab="")
axis(4)
mtext("Volatilita", side=4, line=3)
legend("top", col=c("blue","red"), lty=1, legend=c("y","Volatilita"), border=FALSE)
19
ARCH test
Najprv odhadneme model pomocou OLS a uložíme si reziduá,
ktoré potom modelujeme v kvadráte ako AR proces s
konštantou:
𝑢 𝑝
2
= 𝜏 + 𝛼1 𝑢 𝑡−1
2
+ 𝛼2 𝑢 𝑡−2
2
+ ⋯ + 𝛼1 𝑢 𝑡−𝑝
2
.
Ak 𝑢 𝑡~ iid. 𝑁 0, 𝜎2 , potom 𝑅 𝑢
2 ≈ χ2(𝑝).
20
Odhad ARCH(p)
Označme 𝛅 = 𝜏, 𝛼1, 𝛼2, … 𝛼 𝑝 ′ a odhadovaný parameter:
𝚯 = (𝛃′, 𝛅′)′
Potom
𝐿 𝚯 = 𝑓(
𝑇
𝑡=1
𝑌𝑡|𝐗 𝐭, 𝑌𝑡−1, … 𝑌1−𝑚; 𝚯) → max
je maximálne vierohodný odhad modelu, kde:
𝑓 𝑌𝑡 𝐗 𝐭, 𝑌𝑡−1, … 𝑌1−𝑚; 𝚯 =
1
2𝜋ℎ 𝑡
exp(
− 𝑌𝑡 − 𝛃𝐗 𝐭
2
2ℎ 𝑡
)
Optimalizácia sa potom prevádza numerickými metódami.
21
Model výnosov S&P500
Model 7: GARCH, using observations 2-431 (T = 430)
Dependent variable: ld_s&p500
Standard errors based on Hessian
Coefficient Std. Error z p-value
const 0,0032794 0,000901217 3,6389 0,00027 ***
alpha(0) 0,000320483 3,2117e-05 9,9786 <0,00001 ***
alpha(1) 0,560133 0,101895 5,4972 <0,00001 ***
Mean dependent var 0,000637 S.D. dependent var 0,027195
Log-likelihood 1011,816 Akaike criterion -2015,633
Schwarz criterion -1999,378 Hannan-Quinn -2009,214
Unconditional error variance = 0,000728592
22
Predikcia
23
Volatilita
24
GARCH(p, q)
Oproti ARCH modelu, špecifikácia volatility ako ARMA procesu:
ℎ 𝑡 = 𝜏 + 𝛿1ℎ 𝑡−1 + 𝛿2ℎ 𝑡−2 + ⋯ + 𝛿 𝑝ℎ 𝑡−𝑝 +
+𝛼1 𝑢 𝑡−1
2
+ 𝛼2 𝑢 𝑡−2
2
+ ⋯ + 𝛼1 𝑢 𝑡−𝑞
2
+ 𝜔 𝑡
(predpoklady podobne ako u ARCH).
Výhody oproti ARCH:
• Z AR procesu do ARMA → viac informácií
• Nespôsobuje „overfitting“
• Menej pravdepodobné porušenie nezápornosti
25
Odhad GARCH
Model 9: GARCH, using observations 2-431 (T = 430)
Dependent variable: ld_s&p500
Standard errors based on Hessian
Coefficient Std. Error z p-value
const 0,00320584 0,000869426 3,6873 0,00023 ***
alpha(0) 5,75626e-05 1,9074e-05 3,0178 0,00255 ***
alpha(1) 0,335457 0,0705311 4,7562 <0,00001 ***
beta(1) 0,598431 0,0686838 8,7128 <0,00001 ***
Mean dependent var 0,000637 S.D. dependent var 0,027195
Log-likelihood 1030,579 Akaike criterion -2051,157
Schwarz criterion -2030,838 Hannan-Quinn -2043,134
Unconditional error variance = 0,000870688 26
Volatilita
27
Ďalšie modely
• Iné rozdelenia (často t-rozdelenie)
• ARCH-M (GARCH-M) – teória naznačuje, že za vyššie
podstúpené riziko očakávajú investori väčší zisk
• EGARCH – neočakávaný pád akcie spôsobuje oveľa vyššiu
volatilitu ako neočakávaný rast
• Modely stochastickej volatility
28
Nevýhody
• Modeluje sa viacero vecí naraz
• Dlhé výpočty
• Výpočty nemusia dobehnúť
29
Výhody
• Predikcia rizika
• Modelovanie heteroskedastických časových rád
• Oceňovanie opcií
• Množstvo variant
30
Zdroje
• http://finance.yahoo.com/ - zdroj dát dostupný z domova
• RNDr. Marie Forbelská, PhD.: Stochastické modely časových
řad
• James D. Hamilton – Time Series Analysis
31
Ďakujem za
pozornosť!
32