Generující funkce, diskrétní martingaly
Jana Štrosová 13.3.2013
O Úvod
O Generující funkce posloupnosti O Generující funkce náhodné veličiny
• Základní vlastnosti
• Příklady
O Charakteristiky náhodných veličin O Konvoluce
O Generující funkce a náhodná procházka O Věty o návratu do počátku O Diskrétní martingal
Mějme posloupnost reálných čísel a = {a,-; / = 0,1, 2,... }.
• velké množství informace —> "zakódujeme"do jediného objektu
• možnost použít operace (např. derivaci)
Definice
Generující funkce posloupnosti
Generující funkce posloupnosti a je funkce daná součtem mocninné řady
oo
pro séK, pro která řada konverguje.
Posloupnost a dostaneme z generující funkce Ga zpět vztahem
Gi°(0)
a/ = —ň—
Příklad
Vyjádřete generující funkci posloupnosti a = {0,1,0,-1,0,1,0,...}.
Řešení.
Ga{s) = ^3/S'
0 • s° + 1 • s1 + 0 • s2 - 1 • s3 + 0 • s4 + 1 • s5 + 0 • s6 +
1 + s:
|s| < 1
Definice II
Generující funkce náhodné veličiny
Generující funkce náhodné veličiny X je definována jako generující funkce její pravděpodobnostní funkce, tedy
oo oo
Platí zřejmě Gx(s) = E(sx).
Základní vlastnosti
O 3R > 0 (poloměr konvergence) takové, že G(s) konverguje pro |s| < R a diverguje pro |s| > R.
Q G(s) můžeme derivovat nebo integrovat člen po členu, libovolně mnohokrát, pro |s| < R.
O Jednoznačnost: Je-li Ga(s) = Gfa(s) pro |s| < R', kde 0 < R' < R, pak an = bn,\/n.
Příklady
Vypočítejte generující funkce náhodných veličin: O Konstantní náhodná veličina. P(X = c) = 1, kde c G NU{0}.
Tedy Gx(s) = sC-Q Bernoulliho náhodná veličina. P[X = 1) = p a
P(X = 0) = 1 - p. Tedy Gx(s) = 1 - p + ps. ® Geometrické rozdělení. P(X = n) = p(l - p)"_1 pro n G N.
Tedy Gx(s) =
O Poissonovo rozdělení s parametrem A. P[X = k) = jýe~x. Tedy Gx(s) = e^5"1) s využitím £ ^ = ex.
Řešení.
O Gx(s)	= 1 • sc = sc	
© Gx(s)	= {l-p)-s°+p-s1	= 1 - p + ps
© Gx(s)	OO = ^p(i-Py-1.s'- = /=i	OO = ps£[(l-P)*]''"1= 1" / = 1
© Gx(s)	= Z^7Te -s=e	Ag (As)' _ eA(s-l) /=1
- s + sp
Charakteristiky náhodných veličin
Nechť X je náhodná veličina s generující funkcí G(s). Pak platí
E(X(X - 1)... (X - k + 1)) = GW(1) (tzv. k-tý faktoriální moment), speciálně
E(X) = G'x(l)
D(X) = GX(1) + G>X(1)-[GX(1)]2.
Odvození rozptylu
DX = EX2 - (EX)2 = E (X (X - 1) + X) - (EX)2 = E (X (X - 1)) + EX - (EX)2 = GX(1) + GX(1)-[GX(1)]2.
Konvoluce
Definice
Nechť a = a,-, / > 0 a b = £>/, / > 0 jsou dvě posloupnosti, pak konvoluce c = a* fa je posloupnost definovaná vztahem
c„ = a0fan + axbn-x H-----h anb0.
Věta
Generující funkce konvoluce dvou posloupností je součinem generujících funkcí těchto posloupností.
Důkaz.
oo
oo n
oo oo
= C£aisi)C£bn.is"-i)
i—O n—i
oo oo
= (5>0(5>s") = Ga(s)Gb(s)
Věta
Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Pak
Gx+y{s) = Gx{s)GY{s).
Důkaz. Z nezávislosti víme, že pro pravděpodobnostní funkci X+Y platí fx+y = fx * fy- Podle předchozí věty platí Gx+y = GxGy-
Sdružená pstní fce
Definice
Sdružená pravděpodobnostní generující funkce náhodných veličin, nabývajících hodnot v N U {0}, je definovaná jako
GXl,x2(si, 92) =      P(X* = ' A X2 =M4 = E(s*s*).
Analogicky je možné definovat sdruženou pravděpodobnostní generující funkci pro více náhodných veličin.
"rující funkce, diskrétní r
Generující funkce a náhodná procházka
Uvažujme náhodnou procházku
n
Sn = Xi, i=l
kde P(Xj = 1) = p a P{X; = -1) = q = 1 - p. Přitom X/ jsou nezávislé a So = 0.
• Jak často se náhodná procházka vrací do počátku?
• Jaké je pravděpodobnostní rozdělení prvního návratu do počátku?
Návrat do počátku
Označme
	po(n) = P(S„ = 0)	
a f0(n) = P(Si + 0, S2 + 0,..., S„_i ^ 0, Sn = 0). Uvažujme generující funkce těchto dvou posloupností		
	OO Po(s) = ^p0(n)s"	
a	OO	
f Lemma		
Platí	P0(s) = (l-4pqs2)-5.	
Důkaz
• S n = 0
počet kroků doprava = počet kroků doleva, tedy
r = - = I
počet takových cest je (") pro n sudé a 0 pro n liché
2
označme k = ^, tj. n = 2k, máme
v k
a
00   /o /,\
Po(2/c)
pV
po(^) = E(2,/c)(p^2)í
• využijeme obecného binomického rozvoje
oo
(!+*)' = £
n=0
dosadíme a
a x = —4pqs2 a porovnáme
"rující funkce, diskrétní r
Návrat do počátku II
' Věta	
Platí	Po (s) = 1 + P0{s)F0{s)
a	F0(s) = 1 - (1 - 4pqs2)Í
Důkaz. Označme A jev, že S„ = 0 a nechť jsou jevy takové, že první návrat do počátku nastal v /c-tém kroku.
Důkaz
• Bk jsou disjunktní a dávají rozklad, tedy
n
P{A) = YJP{A\Bk)P{Bk)
k=l
• máme P(Bk) = f0(k) a P(A \ Bk) = p0(n - k), tedy
n
Po(") = ^2 Po(n - k)fo(k)
k=l
• vynásobíme s" a sečteme
oo
LS: Y,Po(n)sn = Po-1
"rující funkce, diskrétní r
Pokračování důkazu
oo oo
PS:^^Po(n-/c)/b(/c)s"
OO OO
= (£/*("-*)
k=l n=k
= Po(s)F0(s) Dostáváme Pq — 1 = PqFq, tedy Pq = 1 + PqFq
Strategie martingalu
• hráč disponuje neomezenými zdroji
• vsadí 1 Kč, když prohraje, tak vsadí 2 Kč, pokud prohraje v n-té hře, pak následující hru vsadí 2" Kč
• nefunkčnost: omezené prostředky, horní hranice sázek
9
"rující funkce, diskrétní r
Definice
Posloupnost náhodných proměnných S„,0 < n < oo, která pro všechna n > 1 splňuje
E[Sn | Xi, X2,..., Xn-i] = S„_i
(základní martingalová identita), nazýváme martingal vzhledem k posloupnosti náhodných proměnných X„, 1 < n < 00.
• skripta doc. Koláře ke Stochastickým procesům ve finanční matematice
• diplomová práce Lenky Křivánkové: Wienerův proces a jeho aplikace
• bakalářská práce Aleny Robotkové: Martingaly
• http://cs.wikipedia.org/wiki/Martingale (březen 2013)