Teória portfólia
Miriama Gardianová
Finanční matematika
Definícia
 Portfólio - súbor rôznych investícií (peňažná
hotovosť, cenné papiere, nehnuteľnosti, atď.), ktoré
investor vytvára so zámerom minimalizovať riziko
spojené s investovaním a súčasne maximalizovať
výnos z týchto investícií
 Teória portfólia
◦ jedná sa o mikroekonomickú disciplínu, ktorá skúma, aké
kombinácie aktív je vhodné držať, aby takto vytvorené
portfólio malo dopredu určené vlastnosti
◦ ako zbohatnúť pomocou rôznych finančných operácií typu:
„Lacno kúpiť a draho predať.“
Základné pojmy
 portfólio = súbor aktív
 delenie aktív:
◦ hmotné - hnuteľnosti
◦ nehmotné – know-how, software
◦ finančné – hotovosť, depozitá, CP
 investícia – aktívum, ktoré prináša majiteľovi
dôchodkový tok (+,-)
 ideálne aktívum – max. výnosnosť, max. likvidita,
min. riziko → neexistuje
 Výnosnosť, riziko a likvidita → magický trojuholník
investovania : V ↑ R ↑ L ↓, teda investor
nedosiahne všetkých cieľov naraz
Investícia ako náhodná veličina
 Náhodná veličina (NV)
◦ veličina, ktorej hodnota je určená výsledkom daného
pokusu
◦ najdôležitejším rysom je premenlivosť jej hodnôt v priebehu
opakovaní pokusu vplyvom náhodných činiteľov
 Výnosnosť investície – diskrétna NV
◦ aj keď očakávame nejakú jej hodnotu, nikdy nemôžeme s
istotou vedieť, že túto hodnotu dosiahne (okrem
bezrizikovej investície)
◦ určenie rozdelenia prsti je v mnohý prípadoch značne
zložité, preto rozdelenie NV určíme približne pomocou
číselných charakteristík: stredná hodnota, rozptyl,
kovariancia, korelácia
Charakteristika aktív
 Očakávaná výnosnosť
◦ tiež výnosová miera, ktorá predstavuje odmenu investorovi
za podstúpenie rizika pri danej investícii
◦ Ex ante → expertná metóda
 vychádza z odhadov a prognóz expertov, ktorí určia budúce hodnoty
investície a psti, s akými tieto hodnoty nastanú
◦ Ex post → historická metóda
 opiera sa o historické dáta, ktoré udávajú, aký výnos aktívum
poskytovalo v minulosti
 ďalej budeme uvažovať len kapitálovú výnosnosť
n
j
jji prr
1
kt
ktt
j
P
CTDPP
r 0
Charakteristika aktív
◦ celkovú výnosovú mieru pre dané obdobie dostaneme ako
aritmetický priemer daných výnosností
 Riziko očakávanej výnosnosti
◦ neistota investora alebo nebezpečenstvo, že investor
nedosiahne očakávanej výnosnosti
◦ Ex ante
◦ Ex post
T
t
tr
T
r
1
1
n
j
jiji prr
1
2
)(
T
rr
T
t
t
1
2
)(
Charakteristika portfólia
 majme portfólio zložené z n akcií
 i-ta akcia má v portfóliu váhu (podiel) a
očakávanú výnosnosť
 očakávaná výnosnosť
 predpokladáme, že investor investuje všetky
prostriedky, teda pre súčet váh platí
iX
ir
nni
n
i
ip XrXrXrr 11
1
1
1
n
i
iX
Charakteristika portfólia
 riziko očakávanej výnosnosti
◦ pre výpočet použijeme rozptyl (resp. smerodajnú odchýlku)
◦ vychádzame zo vzorca pre výpočet rozptylu
◦ Po úprave a zovšeobecnení dostaneme vzťah
 celkové riziko môžeme rozdeliť na 2 časti:
◦ jedinečné riziko (nesystematické)
◦ tržné riziko (systematické)
2
)]([)( XEXEXD
n
i
n
j
ijjiji
n
i
n
j
ijjip XXXX
1 11 1
Charakteristika portfólia
 pre počet aktív v portfóliu sa celkové riziko
portfólia blíži k systematickému riziku → vhodnou
diverzifikáciou sa dá jedinečné riziko eliminovať
n
Markowitzov model
 H. Markowitz – zakladateľ modernej teórie portfólia
 predpokladá, že investor má v súčasnej dobe určité
množstvo peňazí
 bude ich investovať na určité časové obdobie → doba
držania portfólia
 na konci doby držby investor nakúpené a držané CP
predá a zisk buď použije na vlastnú potrebu alebo ho
opäť investuje
 na Markowitzov prístup môžeme pozerať ako prístup
jedného obdobia: začiatok t=0, koniec t=1
 v t=0 musí investor rozhodnúť, ktoré CP má → výber
optimálneho portfólia z množiny možných portfólií
nakúpiť a držať do t=1 → problém výberu portfólia
Problém výberu portfólia
 investor pri hľadaní sleduje dva konfliktné ciele:
maximalizácia očakávaného zisku a minimalizácia
rizika
 investor by mal odhadnúť očakávanú výnosnosť a
smerodajnú odchýlku každého portfólia a potom
vybrať najlepšie na základe relatívnej veľkosti
týchto dvoch parametrov
 rozhodnutie investora by sa malo opierať o jeho
postoje k riziku a výnosnosti, ktoré sú vyjadrené
pomocou kriviek indiferencie
Krivky indiferencie (KI)
 reprezentujú preferencie rizika a výnosnosti
daného investora
 Vlastnosti:
◦ Všetky portfólia, ktoré ležia na danej KI sú pre investora
rovnako žiaduce
◦ Investor považuje za lepšie ľubovoľné portfólio ležiace na
„vyššej“ KI než iné portfólio na „nižšej“ KI
◦ KI sa nemôžu pretínať
◦ Investor má nekonečne mnoho KI
 tvar KI ovplyvňujú dva predpoklady
◦ nenasýtenosť →
◦ odpor k riziku →
konvexné
Krivky indiferencie (KI)
 približný tvar KI je pre každého investora rovnaký,
čo je jedinečné je investorov odpor k riziku
Efektívna množina
 z množiny n CP môže investor vytvoriť nekonečný
počet portfólií – prípustná množina
 investor nemusí vyhodnocovať všetky portfólia
Efektívna množina
 riešením je veta o efektívnej množine:
◦ na základe predpokladu nenasýtenosti a odporu k riziku:
 investor si vyberie maximálnu očakávanú výnosnosť pri rôznych
úrovniach rizika
 investor si pri danej očakávanej výnosnosti vyberie portfólio
s najnižším rizikom
 množina portfólií, ktoré
splňujú tieto dve
podmienky sa nazýva
efektívna množina
Výber optimálneho portfólia
 optimálne portfólio odpovedá bodu, kde sa krivka
indiferencie dotýka efektívnej množiny
 z obr. naľavo optimálne portfólio predstavuje bod D
 obr. napravo zobrazuje optimálne portfólia pre
investorov s odlišným odporom k riziku
Bezriziková investícia
 investícia, ktorej výnosnosť je istá
 a teda investor nepodstupuje žiadne riziko
 napr. štátne pokladničné poukážky
 investor môže časť svojich prostriedkov vložiť do
bezrizikovej investície a časť do rizikového aktíva
 portfólio: investujeme časť X do rizikového aktíva A
a časť (1-X) do bezrizikového aktíva f
 Výnosnosť:
 Riziko:
fr
0f
Afp rXrXr )1(
AfAfp XXXX )1(2)1( 2222
Ap X
Bezriziková investícia
 všetky kombinácie medzi bezrizikovým aktívom a
rizikovým aktívom ležia na priamke v tvare
 efektívna množina sa rozšírila
 z ATC → na RTC
p
A
fA
fp
rr
rr
Hľadanie optimálneho portfólia
 vychádza sa z minimalizácie rizika nakoľko pri
maximalizácií výnosnosti sa nedá vždy dôjsť
k riešeniu
 ďalšia podmienka – požadovaná výnosnosť
 alebo podmienka, ktorá zakazuje sell short
 minimalizačnú úlohu riešime pomocou
Lagrangeových multiplikátorov
min)(Xp ),...,,( 21 nXXXX 1
1
n
i
iX
n
i
iip rXr
1
niXi ,...,1,0
Hľadanie optimálneho portfólia
 Lagrangeova funkcia je v tvare
 kde sú Lagrangoeve multiplikátory
 pre existenciu extrému musí platiť
 po úprave dostávame sústavu n+2 rovníc o n+2
neznámych
n
i
pii
n
i
n
j
n
i
iijji rrXXXXYL
1
2
1 1 1
1 1)(
21,
i
X
YL
i
,0
)(
Hľadanie optimálneho portfólia
 maticovo to môžeme zapísať
 riešením tejto sústavy dostaneme vektor váh X
1|00|111
|00|
||
0|1|222
||
0|1|222
0|1|222
21
2
21
22
2
212
1112
2
1






pn
nnnn
n
n
rrrr
r
r
r
1X 2X nX 21
Použitá literatúra
 ČÁMSKÝ, František. Teorie portfolia. 2. přeprac. a
rozš. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 115 s.
ISBN 978-802-1042-520
 VALENTA, Petr. Teorie portfolia a modely
rovnováhy na kapitálových trzích [online]. 2012 [cit.
2012-11-29]. Diplomová práce. Masarykova
univerzita, Ekonomicko-správní fakulta. Vedoucí
práce Petr Červinek. Dostupné z:
http://is.muni.cz/th/175412/esf_m/
 ČERVINEK, Petr. učebné materiály k predmetu
MPF_TEPO Teorie portfolia
ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ