Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace
Anna Vymětalová
Seminář z finanční matematiky
Jaro 2013
Anna Vymětalová (MF006 slide 1) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 1 / 17
Plán přednášky
1 Wienerův proces
2 Spojité martingaly
3 Filtrace
Anna Vymětalová (MF006 slide 2) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 2 / 17
Plán přednášky
1 Wienerův proces
2 Spojité martingaly
3 Filtrace
Anna Vymětalová (MF006 slide 2) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 2 / 17
Plán přednášky
1 Wienerův proces
2 Spojité martingaly
3 Filtrace
Anna Vymětalová (MF006 slide 2) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 2 / 17
Wienerův proces
Wienerův proces
nazýván také Brownův pohyb
stochastický proces ve spojitém čase a spojitých hodnotách
modifikace náhodné procházky s časovým krokem t a prostorovým krokem
x, lze konstruovat přímo jako limitu náhodné procházky
modifikace se využívá k popisu chování kurzu akcie
Anna Vymětalová (MF006 slide 3) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 3 / 17
Wienerův proces
Stochastický proces
Definice
Stochastický proces X = {X (t) , t ∈ T} je soubor náhodných veličin na
pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P), kde T značí indexovou množinu a X (t)
je náhodná veličina.
čas hodnoty příklad
diskrétní diskrétní standardní náhodná procházka
spojitý spojité Wienerův proces
spojitý diskrétní Poissonův proces
diskrétní spojité zobecněná náhodná procházka
X (t, ω) pak značí hodnotu procesu v čase t a ve “scénáři” ω. Pro pevné ω (víme,
jaký scénář se realizoval) je X (t) realizací procesu a nazývá se trajektorie.
Anna Vymětalová (MF006 slide 4) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 4 / 17
Wienerův proces
Axiomatická definice
Definice
Stochastický proces W (t) na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) se nazývá
(standardní) Wienerův proces, jestliže platí:
1 (začátek v nule) W (0) = 0
2 (spojitost trajektorií) S pravděpodobností 1 jsou trajektorie procesu spojité.
3 (nezávislost a normalita přírůstků) Přírůstky procesu W (t) − W (s) mají
rozdělení N (0, t − s). Pro libovolné
0 < t1 < s1 ≤ t2 < s2 ≤ t3 < . . . ≤ tn < sn jsou přírůstky W (ti ) − W (si ) pro
∀i ∈ 1, n navzájem nezávislé náhodné veličiny.
Anna Vymětalová (MF006 slide 5) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 5 / 17
Wienerův proces
Konstrukce Wienerova procesu
Limita náhodné procházky:
zmenšování prostorového a časového kroku
využití centrální limitní věty pro normalitu přírůstků
Lévyho konstrukce Wienerova procesu
Ciesielskiho konstrukce:
Věta
Ciesielskiho konstrukce Wienerova procesu. Nechť {Ak }
∞
k=1 je posloupnost
nezávislých náhodných veličin s rozdělením N (0, 1). Pak součet
W (t, ω) =
∞
k=1
Ak (ω) sk (t)
je Wienerův proces.sk značí Schauderovy funkce (integrál z Haarovy funkce).
trajektorie začínají v nule (neboť Schauderovy fce začínají v nule), spojitost trajektorií plyne ze stejnoměrné
konvergence řady (Schauderovy fce spojité→součet zachová spojitost. Nezávislost a normalita přírůstků se
dokazuje pomocí charakteristické fce.
Anna Vymětalová (MF006 slide 6) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 6 / 17
Wienerův proces
Konstrukce Wienerova procesu
Limita náhodné procházky:
zmenšování prostorového a časového kroku
využití centrální limitní věty pro normalitu přírůstků
Lévyho konstrukce Wienerova procesu
Ciesielskiho konstrukce:
Věta
Ciesielskiho konstrukce Wienerova procesu. Nechť {Ak }
∞
k=1 je posloupnost
nezávislých náhodných veličin s rozdělením N (0, 1). Pak součet
W (t, ω) =
∞
k=1
Ak (ω) sk (t)
je Wienerův proces.sk značí Schauderovy funkce (integrál z Haarovy funkce).
trajektorie začínají v nule (neboť Schauderovy fce začínají v nule), spojitost trajektorií plyne ze stejnoměrné
konvergence řady (Schauderovy fce spojité→součet zachová spojitost. Nezávislost a normalita přírůstků se
dokazuje pomocí charakteristické fce.
Anna Vymětalová (MF006 slide 6) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 6 / 17
Wienerův proces
Konstrukce Wienerova procesu
Limita náhodné procházky:
zmenšování prostorového a časového kroku
využití centrální limitní věty pro normalitu přírůstků
Lévyho konstrukce Wienerova procesu
Ciesielskiho konstrukce:
Věta
Ciesielskiho konstrukce Wienerova procesu. Nechť {Ak }
∞
k=1 je posloupnost
nezávislých náhodných veličin s rozdělením N (0, 1). Pak součet
W (t, ω) =
∞
k=1
Ak (ω) sk (t)
je Wienerův proces.sk značí Schauderovy funkce (integrál z Haarovy funkce).
trajektorie začínají v nule (neboť Schauderovy fce začínají v nule), spojitost trajektorií plyne ze stejnoměrné
konvergence řady (Schauderovy fce spojité→součet zachová spojitost. Nezávislost a normalita přírůstků se
dokazuje pomocí charakteristické fce.
Anna Vymětalová (MF006 slide 6) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 6 / 17
Wienerův proces
Lineární variace
obecně variace popisuje míru proměnlivosti funkce. Nejprve pro funkci f : a, b → R uvažujme nějaké dělení D
intervalu a, b , D : {a < t1 < t2 < . . . < tn < b}. Lineární variaci funkce f příslušnou dělení D pak definujeme
jako LV (f , D) =
n−1
j=1
|f (tj+1) − f (tj ) | (součet vzdáleností hodnot funkce ve dvou sousedících dělících bodech).
Zjemněním dělení získáme samotnou lineární variaci.
Definice
Lineární variace funkce je LV (f ) = lim
D →0
LV (f , D) , kde D = max |tj+1 − tj | je
norma dělení.
Příklady
Lineární variace funkce f (x) = x2
na intervalu 0, 3 (ryze monotonní funkce) je
n−1
j=1
[f (tj+1) − f (tj )] = f (3) − f (0) = 9
Lineární variace po částech monotonní funkce na intervalu a, b je
b
a
|f (x)|dx
Trajektorie W.P. má LV = ∞, proto definujeme kvadratickou variaci:
Anna Vymětalová (MF006 slide 7) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 7 / 17
Wienerův proces
Lineární variace
obecně variace popisuje míru proměnlivosti funkce. Nejprve pro funkci f : a, b → R uvažujme nějaké dělení D
intervalu a, b , D : {a < t1 < t2 < . . . < tn < b}. Lineární variaci funkce f příslušnou dělení D pak definujeme
jako LV (f , D) =
n−1
j=1
|f (tj+1) − f (tj ) | (součet vzdáleností hodnot funkce ve dvou sousedících dělících bodech).
Zjemněním dělení získáme samotnou lineární variaci.
Definice
Lineární variace funkce je LV (f ) = lim
D →0
LV (f , D) , kde D = max |tj+1 − tj | je
norma dělení.
Příklady
Lineární variace funkce f (x) = x2
na intervalu 0, 3 (ryze monotonní funkce) je
n−1
j=1
[f (tj+1) − f (tj )] = f (3) − f (0) = 9
Lineární variace po částech monotonní funkce na intervalu a, b je
b
a
|f (x)|dx
Trajektorie W.P. má LV = ∞, proto definujeme kvadratickou variaci:
Anna Vymětalová (MF006 slide 7) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 7 / 17
Wienerův proces
Lineární variace
obecně variace popisuje míru proměnlivosti funkce. Nejprve pro funkci f : a, b → R uvažujme nějaké dělení D
intervalu a, b , D : {a < t1 < t2 < . . . < tn < b}. Lineární variaci funkce f příslušnou dělení D pak definujeme
jako LV (f , D) =
n−1
j=1
|f (tj+1) − f (tj ) | (součet vzdáleností hodnot funkce ve dvou sousedících dělících bodech).
Zjemněním dělení získáme samotnou lineární variaci.
Definice
Lineární variace funkce je LV (f ) = lim
D →0
LV (f , D) , kde D = max |tj+1 − tj | je
norma dělení.
Příklady
Lineární variace funkce f (x) = x2
na intervalu 0, 3 (ryze monotonní funkce) je
n−1
j=1
[f (tj+1) − f (tj )] = f (3) − f (0) = 9
Lineární variace po částech monotonní funkce na intervalu a, b je
b
a
|f (x)|dx
Trajektorie W.P. má LV = ∞, proto definujeme kvadratickou variaci:
Anna Vymětalová (MF006 slide 7) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 7 / 17
Wienerův proces
Lineární variace
obecně variace popisuje míru proměnlivosti funkce. Nejprve pro funkci f : a, b → R uvažujme nějaké dělení D
intervalu a, b , D : {a < t1 < t2 < . . . < tn < b}. Lineární variaci funkce f příslušnou dělení D pak definujeme
jako LV (f , D) =
n−1
j=1
|f (tj+1) − f (tj ) | (součet vzdáleností hodnot funkce ve dvou sousedících dělících bodech).
Zjemněním dělení získáme samotnou lineární variaci.
Definice
Lineární variace funkce je LV (f ) = lim
D →0
LV (f , D) , kde D = max |tj+1 − tj | je
norma dělení.
Příklady
Lineární variace funkce f (x) = x2
na intervalu 0, 3 (ryze monotonní funkce) je
n−1
j=1
[f (tj+1) − f (tj )] = f (3) − f (0) = 9
Lineární variace po částech monotonní funkce na intervalu a, b je
b
a
|f (x)|dx
Trajektorie W.P. má LV = ∞, proto definujeme kvadratickou variaci:
Anna Vymětalová (MF006 slide 7) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 7 / 17
Wienerův proces
Kvadratická variace
Definice
Nechť f je spojitá funkce na a, b a D dělení tohoto intervalu. Pak kvadratická variace této funkce na a, b
příslušná dělení D je
KV (f , D) =
n−1
j=1
(f (tj+1) − f (tj ))
2
.
Definice
Kvadratická variace funkce f na intervalu a, b je definována jako
KV (f ) = lim
D →0
KV (f , D) .
Věta
Je-li funkce f diferencovatelná na intervalu a, b , pak je její kvadratická variace
na tomto intervalu rovna 0.
Anna Vymětalová (MF006 slide 8) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 8 / 17
Wienerův proces
Kvadratická variace
Definice
Nechť f je spojitá funkce na a, b a D dělení tohoto intervalu. Pak kvadratická variace této funkce na a, b
příslušná dělení D je
KV (f , D) =
n−1
j=1
(f (tj+1) − f (tj ))
2
.
Definice
Kvadratická variace funkce f na intervalu a, b je definována jako
KV (f ) = lim
D →0
KV (f , D) .
Věta
Je-li funkce f diferencovatelná na intervalu a, b , pak je její kvadratická variace
na tomto intervalu rovna 0.
Anna Vymětalová (MF006 slide 8) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 8 / 17
Wienerův proces
Kvadratická variace a trajektorie Wienerova procesu
Věta
Nechť W (t) je Wienerův proces na 0, T a D = {0 = t1 < t2 < . . . < tn = T}
dělení intervalu 0, T . Pak
n−1
j=0
(W (tj+1) − W (tj ))
2
→ T
v kvadratickém sředu pro D → 0, tedy pro D → 0
E


n−1
j=0
(W (tj+1) − W (tj ))
2
− T
2

 → 0.
K důkazu se využije vztahů E W 2
(t) = t a E W 4
(t) = 3t2
.
Tedy zatímco trajektorie Wienerova procesu jsou zcela náhodné a jejich lineární variace je nekonečná, jejich
kvadratická variace je deterministická (pro všechny W.P. stejná) a rovná se délce intervalu. Platí tedy, že
( W )2
= T, a proto tedy ( W )2
= t.
Anna Vymětalová (MF006 slide 9) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 9 / 17
Wienerův proces
Kvadratická variace a trajektorie Wienerova procesu
Věta
Nechť W (t) je Wienerův proces na 0, T a D = {0 = t1 < t2 < . . . < tn = T}
dělení intervalu 0, T . Pak
n−1
j=0
(W (tj+1) − W (tj ))
2
→ T
v kvadratickém sředu pro D → 0, tedy pro D → 0
E


n−1
j=0
(W (tj+1) − W (tj ))
2
− T
2

 → 0.
K důkazu se využije vztahů E W 2
(t) = t a E W 4
(t) = 3t2
.
Tedy zatímco trajektorie Wienerova procesu jsou zcela náhodné a jejich lineární variace je nekonečná, jejich
kvadratická variace je deterministická (pro všechny W.P. stejná) a rovná se délce intervalu. Platí tedy, že
( W )2
= T, a proto tedy ( W )2
= t.
Anna Vymětalová (MF006 slide 9) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 9 / 17
Wienerův proces
Modifikace Wienerova procesu
standardní Wienerův proces však není vhodný pro modelování ceny akcie, protože:
1 WP může nabývat i záporných hodnot
2 modeluje absolutní změnu ceny akcie S, ne relativní přírůstek S
S
3 vliv jednotek
Zobecněný Wienerův proces (přidáním driftu, respektive volatility):
X (t) = µt + σW (t)
Geometrický Wienerův proces (exponenciála ze zobecněného W.P.):
Y (t) = y0eµt+σW (t)
, kde y0 je počáteční hodnota procesu, kterou nemůžeme
ovlivnit.
Bachelier modeloval cenu pomocí zobecněného W.P. : záporné hodnoty ceny akcií.
B-S model předpokládá, že se cena akcie vyvíjí podle geometrického W.P. se stochastickým diferenciálem dS =
µSdt + σSdW .
Anna Vymětalová (MF006 slide 10) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 10 / 17
Wienerův proces
Modifikace Wienerova procesu
standardní Wienerův proces však není vhodný pro modelování ceny akcie, protože:
1 WP může nabývat i záporných hodnot
2 modeluje absolutní změnu ceny akcie S, ne relativní přírůstek S
S
3 vliv jednotek
Zobecněný Wienerův proces (přidáním driftu, respektive volatility):
X (t) = µt + σW (t)
Geometrický Wienerův proces (exponenciála ze zobecněného W.P.):
Y (t) = y0eµt+σW (t)
, kde y0 je počáteční hodnota procesu, kterou nemůžeme
ovlivnit.
Bachelier modeloval cenu pomocí zobecněného W.P. : záporné hodnoty ceny akcií.
B-S model předpokládá, že se cena akcie vyvíjí podle geometrického W.P. se stochastickým diferenciálem dS =
µSdt + σSdW .
Anna Vymětalová (MF006 slide 10) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 10 / 17
Filtrace
umožňuje matematicky popsat vývoj informace na trhu pomocí σ-algeber
σ-algebra (množina pozorovatelných jevů) zachycuje informaci, které jevy
můžeme pozorovat a které ne
v čase roste informace→sv-algebra roste
uzavřená na sjednocení a doplňky
Příklad
Hod kostkou. Pravděpodobnostní prostor má 6 elementárních jevů
Ω = {1, 2, . . . 6}.
1 F0 = exp Ω (všechny podmnožiny Ω) → pozorovatelné jsou všechny jevy,
σ-algebra nese informaci: jaká hodnota na kostce padla
2 F1 = {{1, 3, 5} , {2, 4, 6} , Ø, Ω}→pozorovatelné jsou pouze 2 jevy (padlo
sudé nebo padlo liché číslo). σ-algebra nese informaci: sudost nebo lichost
hodnoty na kostce
Anna Vymětalová (MF006 slide 11) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 11 / 17
Filtrace
umožňuje matematicky popsat vývoj informace na trhu pomocí σ-algeber
σ-algebra (množina pozorovatelných jevů) zachycuje informaci, které jevy
můžeme pozorovat a které ne
v čase roste informace→sv-algebra roste
uzavřená na sjednocení a doplňky
Příklad
Hod kostkou. Pravděpodobnostní prostor má 6 elementárních jevů
Ω = {1, 2, . . . 6}.
1 F0 = exp Ω (všechny podmnožiny Ω) → pozorovatelné jsou všechny jevy,
σ-algebra nese informaci: jaká hodnota na kostce padla
2 F1 = {{1, 3, 5} , {2, 4, 6} , Ø, Ω}→pozorovatelné jsou pouze 2 jevy (padlo
sudé nebo padlo liché číslo). σ-algebra nese informaci: sudost nebo lichost
hodnoty na kostce
Anna Vymětalová (MF006 slide 11) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 11 / 17
Filtrace
Definice filtrace
Definice
Systém σ-algeber F = {Ft, t ∈ T}na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P),
kde T ⊆ R je indexová množina, se nazývá (informační) filtrace,
pokud platí pro ∀s < t Fs ≤ Ft (informace se v čase neztrácejí), a pro každé Ft,
t ∈ T platí Ft ⊆ A.
Příklad
Růst informace v čase. Hod mincí 2x po sobě v čase t = 1 a t = 2. Množina
všech možných výsledků Ω = {{H, H} , {O, O} , {H, O} , {O, H}} . σ-algebry
popisující výsledky v jednoltivých časech:
t = 0: nemáme žádnou informaci o tom, co se stalo, tedy máme pouze
nejmenší možnou σ-algebru (víme pouze, že se něco stane):F0 = {Ø, Ω}
t = 1: F1popisuje informaci v čase 1, tedy
F1 = {{{H, H} , {H, O}} , {{O, O} , {O, H}} , Ø, Ω}
t = 2: všechny jevy jsou již určeny. F2 = exp Ω (množina všech podmnožin
Ω)
Anna Vymětalová (MF006 slide 12) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 12 / 17
Filtrace
Definice filtrace
Definice
Systém σ-algeber F = {Ft, t ∈ T}na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P),
kde T ⊆ R je indexová množina, se nazývá (informační) filtrace,
pokud platí pro ∀s < t Fs ≤ Ft (informace se v čase neztrácejí), a pro každé Ft,
t ∈ T platí Ft ⊆ A.
Příklad
Růst informace v čase. Hod mincí 2x po sobě v čase t = 1 a t = 2. Množina
všech možných výsledků Ω = {{H, H} , {O, O} , {H, O} , {O, H}} . σ-algebry
popisující výsledky v jednoltivých časech:
t = 0: nemáme žádnou informaci o tom, co se stalo, tedy máme pouze
nejmenší možnou σ-algebru (víme pouze, že se něco stane):F0 = {Ø, Ω}
t = 1: F1popisuje informaci v čase 1, tedy
F1 = {{{H, H} , {H, O}} , {{O, O} , {O, H}} , Ø, Ω}
t = 2: všechny jevy jsou již určeny. F2 = exp Ω (množina všech podmnožin
Ω)
Anna Vymětalová (MF006 slide 12) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 12 / 17
Filtrace
Historie Wienerova procesu, FW
t měřitelnost a neanticipativní proces
Definice
Nechť W (t) je Wienerův proces. Filtrace FW
= {Ft, t ≥ 0} se nazývá historie
Wienerova procesu, jestliže pro ∀t > 0 je Ft σ-algebra generovaná náhodnými
veličinami W (s, ω) pro ∀s ≤ t.
FW
popisuje růst informace o trajektorii Wienerova procesu v závislosti na čase
FW
t je informace o trajektorii v čase t
Definice
Funkce h (ω) je FW
t -měřitelná ⇐⇒h je bodová limita součtu funkcí tvaru
g1 (W (t1)) , . . . gn (W (tn)) ,
kde gi i = 1, . . . k jsou libovolné omezené spojité funkce, ti ≥ t pro ∀i ≤ n ∈ N.
Anna Vymětalová (MF006 slide 13) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 13 / 17
Filtrace
Historie Wienerova procesu, FW
t měřitelnost a neanticipativní proces
Definice
Nechť W (t) je Wienerův proces. Filtrace FW
= {Ft, t ≥ 0} se nazývá historie
Wienerova procesu, jestliže pro ∀t > 0 je Ft σ-algebra generovaná náhodnými
veličinami W (s, ω) pro ∀s ≤ t.
FW
popisuje růst informace o trajektorii Wienerova procesu v závislosti na čase
FW
t je informace o trajektorii v čase t
Definice
Funkce h (ω) je FW
t -měřitelná ⇐⇒h je bodová limita součtu funkcí tvaru
g1 (W (t1)) , . . . gn (W (tn)) ,
kde gi i = 1, . . . k jsou libovolné omezené spojité funkce, ti ≥ t pro ∀i ≤ n ∈ N.
Anna Vymětalová (MF006 slide 13) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 13 / 17
Filtrace
Historie Wienerova procesu, FW
t měřitelnost a neanticipativní proces
Definice
Nechť W (t) je Wienerův proces. Filtrace FW
= {Ft, t ≥ 0} se nazývá historie
Wienerova procesu, jestliže pro ∀t > 0 je Ft σ-algebra generovaná náhodnými
veličinami W (s, ω) pro ∀s ≤ t.
FW
popisuje růst informace o trajektorii Wienerova procesu v závislosti na čase
FW
t je informace o trajektorii v čase t
Definice
Funkce h (ω) je FW
t -měřitelná ⇐⇒h je bodová limita součtu funkcí tvaru
g1 (W (t1)) , . . . gn (W (tn)) ,
kde gi i = 1, . . . k jsou libovolné omezené spojité funkce, ti ≥ t pro ∀i ≤ n ∈ N.
Anna Vymětalová (MF006 slide 13) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 13 / 17
Spojité martingaly
Definice martingalu
Připomeňme: Diskrétní martingal je posloupnost náhodných veličin Sn, n ∈ 0, ∞) takových, že pro ∀n
E (Sn+1|S0, S1, . . . Sn) = S0 (očekávání budoucí hodnoty je rovno současné hodnotě).
Definice
Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P) a informační filtrace FW
t je historií
W.P. Stochastický poces {G (t, ω) , t ∈ 0, ∞)} nazveme neanticipativní
(adaptovaný filtraci FW
t ), pokud pro ∀t ≥ 0 je funkce ω → G (t, ω)
FW
t -měřitelná (hodnota funkce závisí jen na hodnotách W.P. do času t).
Definice
Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P) a FW
t je historie Wienerova
procesu. Stochastický proces M (t) na (Ω, A, P) je martingal, pokud
1 M (t) je neaticipativní - hodnota M(t) závisí na hodnotách Wienerova
procesu jen do času t
2 E (|M (t)|) < ∞ pro ∀t ≥ 0
3 E M (s) |FW
t = M (t) martingalová podmínka pro ∀s > t (očekávání
budoucí hodnoty je současná hodnota).
Anna Vymětalová (MF006 slide 14) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 14 / 17
Spojité martingaly
Definice martingalu
Připomeňme: Diskrétní martingal je posloupnost náhodných veličin Sn, n ∈ 0, ∞) takových, že pro ∀n
E (Sn+1|S0, S1, . . . Sn) = S0 (očekávání budoucí hodnoty je rovno současné hodnotě).
Definice
Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P) a informační filtrace FW
t je historií
W.P. Stochastický poces {G (t, ω) , t ∈ 0, ∞)} nazveme neanticipativní
(adaptovaný filtraci FW
t ), pokud pro ∀t ≥ 0 je funkce ω → G (t, ω)
FW
t -měřitelná (hodnota funkce závisí jen na hodnotách W.P. do času t).
Definice
Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P) a FW
t je historie Wienerova
procesu. Stochastický proces M (t) na (Ω, A, P) je martingal, pokud
1 M (t) je neaticipativní - hodnota M(t) závisí na hodnotách Wienerova
procesu jen do času t
2 E (|M (t)|) < ∞ pro ∀t ≥ 0
3 E M (s) |FW
t = M (t) martingalová podmínka pro ∀s > t (očekávání
budoucí hodnoty je současná hodnota).
Anna Vymětalová (MF006 slide 14) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 14 / 17
Spojité martingaly
Definice martingalu
Připomeňme: Diskrétní martingal je posloupnost náhodných veličin Sn, n ∈ 0, ∞) takových, že pro ∀n
E (Sn+1|S0, S1, . . . Sn) = S0 (očekávání budoucí hodnoty je rovno současné hodnotě).
Definice
Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P) a informační filtrace FW
t je historií
W.P. Stochastický poces {G (t, ω) , t ∈ 0, ∞)} nazveme neanticipativní
(adaptovaný filtraci FW
t ), pokud pro ∀t ≥ 0 je funkce ω → G (t, ω)
FW
t -měřitelná (hodnota funkce závisí jen na hodnotách W.P. do času t).
Definice
Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P) a FW
t je historie Wienerova
procesu. Stochastický proces M (t) na (Ω, A, P) je martingal, pokud
1 M (t) je neaticipativní - hodnota M(t) závisí na hodnotách Wienerova
procesu jen do času t
2 E (|M (t)|) < ∞ pro ∀t ≥ 0
3 E M (s) |FW
t = M (t) martingalová podmínka pro ∀s > t (očekávání
budoucí hodnoty je současná hodnota).
Anna Vymětalová (MF006 slide 14) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 14 / 17
Martingaly
Wienerův proces jako martingal
Věta
Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P) a FW
t historie W.P. Pak W (t) je
martingal vůči filtraci FW
t .
1 W (t) je neanticipativní
2 E (|W (t)|) < ∞ plyne z normálního rozložení přírůstku W.P. a sudosti
hustoty normálního rozložení, tedy
E (|W (t)|) =
∞
−∞
|x| 1√
2πt
e− x2
2t dx = 2
∞
0
|x| 1√
2πt
e− x2
2t dx = 2
∞
0
t√
2πt
es
ds =
2t√
2πt
3 E W (s) |FW
t = E W (t) + (W (s) − W (t)) |FW
t =
E W (t) |FW
t + E W (s) − W (t) |FW
t = W (t) (protože očekávání
přírůstků W.P. je rovno 0)
Anna Vymětalová (MF006 slide 15) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 15 / 17
Martingaly
Wienerův proces jako martingal
Věta
Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P) a FW
t historie W.P. Pak W (t) je
martingal vůči filtraci FW
t .
1 W (t) je neanticipativní
2 E (|W (t)|) < ∞ plyne z normálního rozložení přírůstku W.P. a sudosti
hustoty normálního rozložení, tedy
E (|W (t)|) =
∞
−∞
|x| 1√
2πt
e− x2
2t dx = 2
∞
0
|x| 1√
2πt
e− x2
2t dx = 2
∞
0
t√
2πt
es
ds =
2t√
2πt
3 E W (s) |FW
t = E W (t) + (W (s) − W (t)) |FW
t =
E W (t) |FW
t + E W (s) − W (t) |FW
t = W (t) (protože očekávání
přírůstků W.P. je rovno 0)
Anna Vymětalová (MF006 slide 15) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 15 / 17
Martingaly
Věta
Itôův integrál je martingal.
V diskrétním případě je martingalová transformace martingal, Itôův integrál je tedy analogií martingalové transformace
ve spojitém čase. Víme, že střední hodnota Itôova integrálu (bez ohledu na jeho meze) je nulová.
Věta
Itôův proces M (t) = M (0) +
t
0
a (τ, ω) dτ +
t
0
b (τ, ω) dW je martingal, pokud
a = 0.
Tedy Itôův proces je martingal ⇐⇒a = 0, tedy Itôův proces je redukován jen na Itôův integrál (plus počáteční
hodnotu procesu).
Anna Vymětalová (MF006 slide 16) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 16 / 17
Martingaly
Věta
Itôův integrál je martingal.
V diskrétním případě je martingalová transformace martingal, Itôův integrál je tedy analogií martingalové transformace
ve spojitém čase. Víme, že střední hodnota Itôova integrálu (bez ohledu na jeho meze) je nulová.
Věta
Itôův proces M (t) = M (0) +
t
0
a (τ, ω) dτ +
t
0
b (τ, ω) dW je martingal, pokud
a = 0.
Tedy Itôův proces je martingal ⇐⇒a = 0, tedy Itôův proces je redukován jen na Itôův integrál (plus počáteční
hodnotu procesu).
Anna Vymětalová (MF006 slide 16) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 16 / 17
Použitá literatura
KOLÁŘ, Martin. Učební text ze Stochastické analýzy MF002. Jaro 2012.
KŘIVÁNKOVÁ, Lenka. Wienerův proces a jeho aplikace. 2009, 63 l.
Anna Vymětalová (MF006 slide 17) Wienerův proces, spojité martingaly, filtrace Jaro 2013 17 / 17