UNIVERZITA OBRANY Fakulta vojenských technologií Základy matematické kartografie (Skripta) Autor: plukovník doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. BRNO 2007 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Oponenti: prof. Ing. Bohuslav VEVERKA, DrSc, katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT Praha Ing. Petr BUCHAR, CSc, katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT Praha Skripta byla schválena na zasedání katedry dne 12. října 2007 ISBN: 978-80-7231-297-9 2 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obsah 1. Referenční plochy a souřadnicové soustavy..............................................................................................8 1.1 Referenční plochy.....................................................................................................................................8 1.1.1 Referenční elipsoid..........................................................................................................................8 1.1.2 Referenční koule..............................................................................................................................9 1.1.3 Referenční rovina.......................................................................................................................... 10 1.2 Souřadnicové soustavy............................................................................................................................10 1.2.1 Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu......................................................................... 11 1.2.l.a Výpočet délky poledníkového a rovnoběžkového oblouku......................................................................12 1.2.1. b Izometrické souřadnice.............................................................................................................................14 1.2.2 Souřadnicové soustavy na referenční kouli................................................................................... 15 1.2.2. a Určeni polohy kartografického pólu........................................................................................................18 1.2.3 Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině................................................................................20 2. Dělení a klasifikace zobrazení..................................................................................................................21 2.1 Základní transformace mezi referenčními plochami a rovinnými souřadnicovými systémy...................21 2.2 Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení..........................................................................................22 2.3 Základní vlastnosti nepravých zobrazení................................................................................................24 2.4 Základní charakteristiky obecných zobrazení.........................................................................................25 2.5 Klasifikace zobrazení podle zkreslení.....................................................................................................25 3. Zákony zkreslení........................................................................................................................................27 3.1 Délkové zkreslení....................................................................................................................................27 3.1.1 Délkové zkreslení na referenční kouli...........................................................................................29 3.1.2 Extrémní délkové zkreslení............................................................................................................30 3.1.3 Extrémní délkové zkreslení na referenční kouli.............................................................................32 3.2 Uhlové zkreslení......................................................................................................................................32 3.2.1 Úhlové zkreslení na referenční kouli.............................................................................................35 3.2.2 Extrémní úhlové zkreslení.............................................................................................................35 3.3 Plošné zkreslení......................................................................................................................................37 3.4 Zákony zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic......................................................................38 3.5 Vizualizaceprůběhu zkreslení................................................................................................................40 4. Teorie zobrazení........................................................................................................................................43 4.1 Ekvidistantní zobrazení...........................................................................................................................43 4.2 Ekvivalentní zobrazení............................................................................................................................44 4.3 Konformní zobrazení..............................................................................................................................45 4.4 Konformní zobrazení geodetické čáry....................................................................................................47 4.4.1 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení.................................................47 4.4.2 Směrová korekce geodetické čáry.................................................................................................49 4.4.1 Délková korekce geodetické čáry..................................................................................................55 5. Zobrazení referenčního elipsoidu na kouli..............................................................................................57 5.1 Základní vztahy a vzorce................................................ .........................................................................57 5.2 Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi..........................................................................58 5.3 Konformní zobrazení elipsoidu na kouli.................................................................................................59 6. Jednoduchá válcová zobrazení.................................................................................................................61 6.1 Základní vztahv a vzorce................................................ .........................................................................61 6.2 Ekvidistantní válcové zobrazení............................................ ..................................................................63 6.3 Ekvivalentní válcové zobrazení............................................ ...................................................................65 6.4 Konformní válcové zobrazeni.................................................................................................................66 6.5 Šikmá poloha válcového zobrazení.........................................................................................................68 7. Jednoduchá kuželová zobrazení...............................................................................................................68 7.1 Základní vztahv a vzorce................................................ .........................................................................69 7.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení............................................................................................................71 7.2.1 Ekvidistantní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou.........................................72 7.2.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami.....................................75 7.3 Ekvivalentní kuželové zobrazení.............................................................................................................78 7.3.1 Ekvivalentní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou..........................................79 7.3.2 Ekvivalentní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami......................................80 7.4 Konformní kuželové zobrazení................................................................................................................81 3 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7.4.1 Konformní kuželové zobrazení s jednoM nezkreslenou rovnoběžkou.............................................82 7.4.2 Konformní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami.........................................82 7.5 Šikmá poloha kuželového zobrazení.......................................................................................................84 8. Jednoduchá azimutální zobrazení............................................................................................................84 8.1 Základní vztahy a vzorce.........................................................................................................................85 8.2 Ekvidistantní azimutální zobrazení.........................................................................................................86 8.3 Ekvivalentní azimutální zobrazení..........................................................................................................88 8.4 Konformní azimutální zobrazení.............................................................................................................90 8.5 Azimutální projekce................................................................................................................................92 8.5.1 Gnomonická projekce....................................................................................................................93 8.5.2 Stereografická projekce.................................................................................................................94 8.5.3 Ortografická projekce...................................................................................................................95 9. Nepravá zobrazení.....................................................................................................................................96 9.1 Nepravá válcová zobrazení.............................................. ........................................................................96 9.1.1 Nepravá válcová sinusoidální zobrazení.......................................................................................97 9.1.1.a Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) zobrazení.......................................................................................97 9.1.1. b Eckertovo sinusoidální zobrazení...........................................................................................................100 9.1.2 Nepravá válcová eliptická zobrazení..................................... ....................................................... 101 9.1.2. a Mollweidovo zobrazení..........................................................................................................................101 9.2 Nepravá kuželová zobrazení................................................................................................................. 103 9.2.1 Bonneovo nepravé kuželové zobrazení................................... ..................................................... 105 9.3 Nepravá azimutální zobrazení.............................................................................................................. 106 9.3.1 Werner-Stabovo nepravé azimutální zobrazení........................................................................... 107 9.3.2 Ginzburgovo zobrazení............................................................................................................... 108 9.3.3 Modifikovaná azimutální zobrazení............................................................................................ 109 9.3.3. a Aitovovo nepravé azimutální zobrazení.................................................................................................109 9.3.3.b Hammerovo zobrazení............................................................................................................................110 9.3.3.C Wagnerovo zobrazení.............................................................................................................................111 9.4 Polykónická zobrazení.......................................................................................................................... 112 10. Gaussovo zobrazení.................................................................................................................................115 10.1 Základní charakteristiky zobrazení.................................................................................................. 116 10.2 Zobrazovací rovnice......................................................................................................................... 119 10.2.1 Zobrazovací rovnice UTM...................................................................................................... 122 10.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím........................................................................................ 122 10.3.1 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím UTM.................................................................... 126 10.4 Meridiánová konvergence................................................................................................................ 126 10.4.1 Meridiánová konvergence v UTM.......................................................................................... 129 10.5 Zákony zkreslení............................................................................................................................... 129 10.5.1 Zákony zkreslení vlSTM......................................................................................................... 132 10.6 Směrová a délková korekce geodetické čáry.................................................................................... 133 10.6.1 Směrová korekce v mbrazeni UTM........................................................................................ 136 10.7 Délková korekce geodetické čáry..................................................................................................... 136 10.8 Mezipásmové transformace..............................................................................................................137 11. Křovákovo zobrazení..............................................................................................................................137 11.1 Základní charakteristiky zobrazení....................................... ........................................................... 138 11.2 Zobrazovací rovnice......................................................................................................................... 138 11.2.1 Zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli............................................................ 138 11.2.2 Transformace zeměpisných souřadnic na referenční kouli na kartografické souřadnice...... 138 11.2.3 Transformace do zobrazovací roviny..................................................................................... 140 11.2.4 Převod rovinných polárních souřadnic na pravoúhlé............................................................ 141 11.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím........................................................................................ 141 11.4 Meridiánová konvergence................................................................................................................ 142 11.5 Zákony zkreslení............................................................................................................................... 143 12. Používaná zobrazení v Armádě České republiky a v NATO...............................................................144 12.1 Zobrazení UTM................................................................................................................................ 144 12.2 Zobrazení UPS.................................................................................................................................144 12.2.1 Zobrazovací rovnice zobrazení UPS...................................................................................... 145 12.2.2 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím............................................................................... 146 12.3 Lambertovo konformní kuželové zobrazení...................................................................................... 148 13. Transformace zobrazení.........................................................................................................................149 13.1 Prostorové transformace.................................................................................................................. 151 4 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 13.1.1 Prostorové pravoúhlé souřadnice.......................................................................................... 151 13.1.2 Třípn'ková prostorová transformace...................................................................................... 153 13.1.3 Sedmiprvkováprostorová transformace................................................................................. 154 13.1.4 Moloděnského transformace................................................................................................... 154 13.1.5 Zjednodušená Moloděnského transformace........................................................................... 155 13.2 Rovinné transformace...................................................................................................................... 155 13.2.1 Shodnostní transformace........................................................................................................ 155 13.2.2 Podobnostní transformace...................................................................................................... 156 13.2.3 Afinní transformace................................................................................................................156 13.2.4 Interpolační metody................................................................................................................ 157 14. Aplikace zobrazení v nástrojích GIS.....................................................................................................158 14.1 Volba geodetického referenčního systému....................................................................................... 158 14.2 Transformace mezi geodetickými referenčními systémy.................................................................. 159 14.3 Volba zobrazení...............................................................................................................................160 14.4 Vizualizace matematických pn>ků.................................................................................................... 161 5 Úvod Základním úkolem geoinformatiky j e vytváření a správa modelů krajinné sféry, jejích objektů a jevů. Zabývá se vztahem skutečnosti a jejím modelem ve všech aspektech, které s touto činností souvisí a je zároveň chápána jako vědní obor i praktická činnost. Geoinformatika je široký obor, který vychází z řady vědních oborů a má na ně silné vazby. Z hlediska klasické kartografie se geoinformatiky zabývá: • naukou o mapách, která zahrnuje historii kartografie, tříděním a dokumentací map a atlasů, jejich povšechným studiem; • kartografickou vizualizací, která řeší otázky kartografického jazyka a generalizace obsahu; • kartografickou tvorbou - vlastním zpracováváním obsahu map; • kartografickou polygrafií a reprografií, tedy způsoby rozmnožování map; • kartometrií a kartografickým výzkumem - způsoby analýzy obsahu map a syntézy zjištěných výsledků. Digitální geoinformatika vychází z obecné informatiky a zabývá se zejména: • definováním objektů a jevů a jejich vztahů v geografické realitě; • aplikacemi databázových přístupů k tvorbě digitálních geodatabází; • datovou analýzou; • prezentací dat a způsoby j ej ich zobrazování; Klasická i digitální geoinformatika se zabývá i řízením celého procesu modelováním včetně zjišťování a objektivizací uživatelských potřeb na vytvářené modely. Všechny modelované objekty a jevy je nutné mít lokalizovány na povrchu Země či v jejím blízkém okolí. Základní lokalizace je především otázkou topografického nebo tematického mapování zpravidla ve výchozím referenčním rámci, který je dán zvolených geodetickým referenčním systémem. Při jejich vizualizaci (zpravidla grafické trvalé nebo virtuální) je však nutné zvolit jeho rovinné zobrazení. Metodami zobrazování geodetických systémů do roviny se zabývá matematická kartografie. Matematická kartografie je tedy částí kartografie a obecně geoinformatiky zabývající se matematickými a geometrickými základy kartografických děl v obecném slova smyslu. Matematická kartografie studuje proces transformace prostorových souřadnic objektů a jevů na referenčních plochách do roviny. Zkoumá jeho zákonitosti, zkreslení, která při transformacích vznikají, jejich prostorové závislosti a poskytuje i metodiku výběru vhodných transformací pro modelovaná území. Matematická kartografie se zabývá i speciálními úkoly, jako je rovinné zobrazování bodů, čar a ploch, které se uplatňují například při zobrazování stran trigonometrických sítí, drah letadel, raket a kosmických těles, drah šíření elektromagnetických signálů radiotechnických prostředků apod. Výsledkem matematické kartografie jsou kartografická zobrazení (krátce zobrazení) jako matematický aparát pro výše uvedené transformace. Součástí kartografických zobrazení j sou i charakteristiky zkreslení, které při transformaci prostorových souřadnic do roviny vznikají. Tyto studijní texty jsou určeny ke studiu základů matematické kartografie studované v rámci předmětu kartografie v bakalářském studijním programu vojenské technologie v oboru vojenská geografie a meteorolog. Mohou být však využity i pro jiné obory, které se zabývají teorií a praxí kartografických zobrazení. Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Texty jsou členěny do 14 kapitol včetně úvodní kapitoly. Ve první kapitole jsou souhrnně definovány používané referenční plochy a jsou zde definovány základní souřadnicové soustavy na těchto referenčních plochách a v zobrazovacích rovinách. Druhá kapitola je věnována základních vlastnostem jednotlivých zobrazení a klasifikaci těchto zobrazení. Tato kapitola je zde zařazena i z terminologických důvodů, protože v cizojazyčné literatuře se lze setkat i s jinými názvy uváděných zobrazení a projekcí. Stěžejní kapitolou pro pochopení celé matematické kartografie je třetí kapitola, věnovaná zákonům zkreslení. Jsou zde vysvětleny příčiny zkreslení daných transformacemi prostorových těles (elipsoidu, koule) do roviny. Na tuto kapitolu navazuje kapitola vysvětlující princip odvozování zobrazovacích rovnic jednotlivých druhů a typů zobrazení. V páté až deváté kapitole jsou uvedeny jednotlivé druhy zobrazení, které jsou používány především v praxi při tvorbě map menších měřítek, zpravidla nástěnných a atlasových, kdy se jako výchozí referenční plocha většinou používá koule. Desátá a jedenáctá kapitola jsou věnovány zobrazením používaným při tvorbě státního mapového díla v České republice, závazných geoinformačích systémů (GIS) a v geodetické praxi. Jsou uváděny jak celosvětový systém WGS84 a jeho zobrazení UTM, tak i systém S-JTSK a Křovákovo zobrazení. Tyto kapitoly navazují na předmět geodézie. Dvanáctá kapitola je věnována používaným zobrazením v Armádě České republiky a v NATO. Předposlední kapitola je zaměřena na transformaci zobrazení mezi sebou. Poslední kapitola se zabývá některými aplikace matematické kartografie v programových prostředcích geografických informačních systémech se zaměřením na systém ArcGIS® firmy ESRI. Ve studijních textech nejsou vzhledem k jej ich zaměření uvedeny podrobnější informace týkající se zejména zobrazování křivek a čar v konformních zobrazeních s aplikací na Gaussovo zobarzení a zobrazení UTM. Stejně tak řada použitých vzorců není plně odvozena. K jejich bližšímu studiu je možné využít některé materiály uvedené v seznamu literatury. V textu jsou některé vybrané termíny uváděny i v anglické verzi (kurzívou v závorce za českým termínem). Důvodem bylo jak obecná znalost anglické terminologie z oblasti matematické kartografie, tak i jejich používání v programových nástrojích GIS. plk. doc. Ing. Václav Talhofer, CSc. 7 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1. Referenční plochy a souřadnicové soustavy Fyzický povrch zemského tělesa je velice složitý a členitý a v modelech krajinné sféry je těžko zobrazitelný. Proto je pro vytváření těchto modelů nahrazován topografickou plochou, která je spojitou plochou vyhlazující mikrostrukturu a ty terénní tvary, které jsou z hlediska rozlišovací úrovně modelu bezvýznamné. Topografická plocha je však stále poměrně složitá pro přímé zobrazování do map nebo pro definování digitálních modelů. Pro účely mapování a tvorby modelů terénu se tato plocha nahrazuje referenčními plochami, které jsou jednodušší a jsou matematicky nebo fyzikálně přesně definované. Tyto referenční plochy jsou potom součástí definovaného geodetického referenčního systému (Datum, Geographic Coordinate System). 1.1 Referenční plochy Referenční plochou pro výšková měření je geoid. Geoid je definován jako plocha, na které všechny body mají stejný geopotenciál a která nejlépe odpovídá nerušené střední hladině světových moří, protažené i pod kontinenty. Tato plocha je ve všech bodech kolmá na směr tíže. Protože geoid je definován jako fyzikální těleso, jeho matematické vyjádření je značně složité. Pro potřeby praktické geodézie, mapování, kartografie i celé geoinformatiky je proto nahrazován referenčním elipsoidem (spheroid), referenční koulí fsphere) nebo i referenční rovinou. Vztahy mezi fyzickým povrchem Země, geoidem, resp. kvazigeoidem a elipsoidem jsou znázorněny na následujícím obrázku (Obr. 1-1). geoid, resp. kvazigeoid—-—^^ H/y e/ipso/ciN. i/\ 'tížnice\\ \\ fyzický povrch Země Obr. 1-1 Vztahy mezi fyzickým povrchem Země, geoidem, resp. kvazigeoidem a elipsoidem 1.1.1 Referenční elipsoid Výchozí referenční plochou v matematické kartografii je rotační elipsoid. Parametry rotačního elipsoidu jsou voleny tak, aby v maximální míře nahrazoval geoid v zájmové části Země nebo aby nahrazoval celý geoid. Elipsoid je plně definován dvěma parametry, kterými mohou být: • a, b - velikost hlavní a vedlejší poloosy (semimajor axis, sernirninor axis), • a, e - velikost hlavní poloosy a numerická výstřednost (excentricita, eccentricity), • a, e' - velikost hlavní poloosy a druhá excentricita, • a, f- velikost hlavní poloosy a zploštění (flattening). Mezi jednotlivými parametry platí vztahy ( 1-1 ): 8 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 2 a2-b2 a a2-b2 (1-1) f b2 a-b a Referenční elipsoidy jsou jako výchozí referenční plocha používány zejména tehdy, pokud je nutné definovat zobrazení s minimálními hodnotami zkreslení rovinného obrazu. Tento způsob se volí u kartografických zobrazení používaných při definici státních souřadnicových systémů nebo mezinárodních systémů. Současně se používá i při tvorbě státních mapových děl. Do současné doby byla odvozena řada referenčních elipsoidů. Na území České republiky se používá pro civilní státní mapová díla Besselův elipsoid, pro bývalé vojenské topografické mapy y souřadnicovém systému £-1942/83 (používané do roku 2005) elipsoid Krasovského a pro současné vojenské mapové dílo a pro celosvětový systém WGS84 elipsoid WGS84.. Parametry uvedených elipsoidů jsou uvedeny v následující tabulce (Tabulka 1-1): Tabulka 1-1 Parametry referenčních elipsoidů používaných na území České republiky Elipsoid Besselův Krasovského WGS84 (GRS80) Velká poloosa a [m] 6 377 397,1550 6 378 245 6 378 137 Malá poloosa b [m] 6 356 078,9629 6 356 863,0188 6 356 752,3142 Druhá mocnina excentricity -e2 0,006 674 372 2 0,006 693 421 6 0,006 694 380 Druhá mocnina druhé excentricity - e'2 0,006 719 218 8 0,006 738 525 4 0,006 739 496 7 Reciproká hodnota zploštění M f 299,152 812 853 298,300 003 2 298,257 223 6 Poznámka: Elipsoid GRS80 je součástí geodetického referenčního systému ETRS-89, který se též používá v rezortu Českého úřadu zeměměřického a katastrálního. Jeho parametry jsou v rámci v tabulce uváděné přesnosti prakticky shodné s elipsoidem WGS84. 1.1.2 Referenční koule Není-li vyžadována vysoká přesnost prostorové lokalizace modelovaných objektů a jevů, je často používána jako referenční plocha koule. Uplatňuje se zejména při tvorbě map malých měřítek, při vizualizaci digitálních dat s menšími nároky na minimalizaci zkreslení a při řešení jednodušších navigačních úloh. Zvláštním případem je použití referenční koule při tzv. dvojitém zobrazení, kdy je referenční elipsoid nejprve zobrazen na kouli, která se poté zobrazuje do roviny. Tento postup je používán zejména při obecné poloze konstrukční osy zobrazení. Poloměr referenční koule je možné volit na základě různých hledisek. Je-li zobrazované území rozloženo podél rovnoběžky o zeměpisné šířce (po, je vhodné zvolit poloměr koule rovný příčnému poloměru křivosti elipsoidu ( 1-2 ): R = Nn (1-2 ) Při tomto řešení zůstává zachována původní délka rovnoběžky <£bna elipsoidu (Obr. 1-2). 9 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Pro území kruhového tvaru se volí poloměr koule rovný střednímu poloměru křivosti rovnoběžky (po procházející jeho těžištěm ( 1-3 ): R = ylM0No (1"3) Obě tělesa se poté v okolí těžiště velmi těsně ve všech směrech přimykají (Obr. 1-3). F 3S Ps Po Po /^"** / \ R=No /[ \ \\ \\ \\ rovník \ \ / \ R=MoNo S \ \ \ \ \ \ \ \^ \ i \ ' \ \ i \ N i \ 1 \ f t / i / i / 7'' Obr. 1-2 Náhradní koule s poloměrem R=N0 Obr. 1-3 Náhradní koule s poloměrem R2=MoN0 Poloměr koule pro mapy velmi malých měřítek zobrazujících rozsáhlé části Země či celou planetu nebo pro vizualizaci digitálních dat ve velmi malých měřítcích je možné odvodit z požadavku přibližné rovnosti objemu a povrchu elipsoidu koule. Tento poloměr potom je: R = 6371 km. 1.1.3 Referenční rovina Při tvorbě map a plánů z velmi malého území o poloměru zhruba do 20 km je možné pro polohová data uvažovat zakřivený povrch Země jako rovinu a pro zobrazování používat referenční rovinu. V tomto případě vodorovné úhly ne zakřivené ploše jsou téměř stejné jako v rovině, stejně tak zkreslení délek, ploch a úhlů je minimální a zanedbatelné. Pro výšková měření je ale nutné zakřivení Země uvažovat. 1.2 Souřadnicové soustavy Všechny objekty a jevy na zemském povrchu modelované v modelech terénu je nutné lokalizovat. K tomu slouží souřadnicové soustavy, ve kterých je lokalizace uvedených objektů dána dvojicí nebo trojicí prostorových či rovinných souřadnic. Geodetická měření často jako výchozí prostorové souřadnice používá souřadnice geocentrické. Geocentrický souřadnicový systém fgeocentric coordinate systém) má počátek ve středu Země a souřadnicové osy X, Y, Z. Osa X leží v rovině rovníku a prochází greenwichským poledníkem (prime meridian), osa Y leží též v rovině rovníku a prochází poledníkem 90° východní zeměpisné délky a osa Z leží v ose rotace Země. Pro kartografické účely a pro lokalizaci objektů digitálních modelů jsou však i tyto souřadnice transformovány do prostorových souřadnic na daném elipsoidu. Proto v dalším textu bude pojednáváno pouze o souřadnicových soustavách, které mají vztah k matematické kartografii. 10 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1.2.1 Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu Základní souřadnicovou soustavou na referenčním elipsoidu jsou zeměpisné souřadnice, označované též geodetické zeměpisné souřadnice nebo pouze geodetické souřadnice (geographic coordinate system). Souřadnice tvoří zeměpisná (geodetická) šířka cp (latitude) a zeměpisná (geodetická) délka A (longitude) (Obr. 1-4). Zeměpisná šířka dosahuje hodnot v rozsahu <-90°, 90°>, často jsou tyto hodnoty označovány i jako jižní zeměpisná šířka (pro hodnoty <-90°, 0°>) a severní zeměpisná šířka (pro hodnoty <0°, 90°>). Zeměpisná délka používaná v běžném životě nabývá hodnot <0°, 360°> s počátkem na základním poledníku s přírůstkem ve směru východním. Cáry s konstantní hodnotou A, resp. cp jsou nazývány zeměpisné poledníky (meridian), resp. zeměpisné rovnoběžky (parallel). Zeměpisné poledníky a rovnoběžky vytvářejí na povrchu referenčním elipsoidu zeměpisnou síť (graticule), která je při klasické tvorbě map důležitým konstrukčním prvkem při zobrazování povrchu elipsoidu do roviny. Zeměpisná síť umožňuje základní orientaci v obsahu map. Zvláštní význam mají rovník (equator), tedy rovnoběžka s maximálním průměrem, a základní (Greenwichský, nultý) poledník procházející observatoří v Greenwich v Londýně. V některých státech je v praktické geodézii používán jako základní poledník i poledník F err a (např. v ČR, SR, Německu a Rakousku). Zeměpisná délka tohoto poledníku je 17°40' západně Greenwiche. Při konstrukci map má specifický význam i základní konstrukční poledník, kterým zpravidla bývá poledník procházející těžištěm zobrazovaného nebo modelovaného území. Obr. 1-4 Zeměpisné souřadnice na elipsoidu Elementy poledníku dsp a rovnoběžky dsr se podle Obr. 1-5 a Obr. 1-6 vypočítají podle vztahů (l-4)a(l-5 ): dsp = Mág) dsr = N cos (páA (1-4) (1-5 ) M a N jsou meridiánový a příčný poloměr křivosti počítané pro zeměpisnou šířku cp podle vztahů ( 1-6) a( 1-7): M a(l-e2) (1-6) (l-e2sin2r3/2d^ (1-8) o Výraz na pravé straně rovnice ( 1-8 ) je možné rozvinout v řadu podle binomické věty: a2 • 2 \-3/2 i 3t-2 15 4 . 4 35 fi.fi 315 o . o -e sin m) 1 = 1 + —e sin m + —e sin m + —e sin m +-e sin m +... 2 8 16 128 ze které se po úpravě získá rovnice: (1-e2 sin2 (pY3/2 = A-Bsm2

^ N2cos2

. Tato souřadnice se nazývá izometrická šířka q. Její diferenciál bude: dq: Mág) N cos (p Rovnice ( 1-16 ) potom nabude tvaru ds2 =N2cos>(dq2+d/ť) (1-17) (1-18) a souřadnice q, A vytvoří na referenčním elipsoidu soustavu izometrických souřadnic. Bude-li dq = dA, potom na povrchu referenčního elipsoidu vznikne síť diferenciálních čtverců, jejichž 2 2 velikost se bude s rostoucí zeměpisnou šířkou zmenšovat v závislosti na výrazu N cos q>. Vzorec pro výpočet izometrické šířky se odvodí integrací výrazu ( 1-17 ): a(\-e2) Mdcp Ncosp (l-e2sin2 (l-e2 sin2 g>)cosg> o První integrál bude: ^ = ln^ + 45° cos (p \2 (l-e2 sin2 (p)d(p-e2 cos2 (pd(p (l-e2 sin2 g>)cosg> dep cos

/ \ RcosUdV lz y \ í , někdy i v rozsahu <-180°; 180°>, tedy obdobně jako u zeměpisných délek. Poloha počátku V může být pevná nebo se může měnit v závislost na hodnotě zeměpisné šířky. Pokud se v některých zobrazeních ztotožňují počátky obou soustav (Obr. 1-16), potom je výhodnější měřit polární úhel s od kladného směru osy X Pro transformaci mezi soustavami poté platí vtahy ( 1-29 ) x = p cos s y = psins (1-29) i x v \ X, YP P' Yp 1 1 Xp 1 ' s / 1 Xp 0 0 Obr. 1-15 Polární souřadnicová soustava s různým Obr. 1-16 Polární souřadnicová soustava s totožným počátkem než pravoúhlá soustava počátkem jako pravoúhlá soustava Počátek rovinných souřadnicových soustav se zpravidla volí uprostřed zobrazovaného území. Z hlediska konstrukce map, jejich používání nebo používání prostorových geoinformací je však výhodné, aby celé území leželo pouze v 1. kvadrantu. Proto se často k vypočteným souřadnicím přičítají vhodné konstanty Ax (falše northing) a Ay (falše easting) (Obr. 1-17). 20 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (X) f X1 i Y i l o f/Y -^ AX v ' 1 (Y) (0) ^- -^ AY Obr. 1-17 Posun počátku pravoúhlé souřadnicové soustavy mimo zobrazované území Poznámka: Orientace os X, Ynemusí být vždy stejná jako na předchozích obrázcích. Některé systémy, používané zejména pro státní mapy, mohou mít orientaci otočenou například o 180° (v ČR). 2. Dělení a klasifikace zobrazení Kartografické zobrazení (map projection, projection) je dáno matematickým vyjádřením závislostí mezi zeměpisnými souřadnicemi na referenční ploše a souřadnicemi v zobrazovací rovině. Při definici uvedené závislosti je možné využít několika způsobů. 2.1 Základní transformace mezi referenčními plochami a rovinnými souřadnicovými systémy Obr. 2-1 ukazuje možné způsoby transformace zeměpisných souřadnic na referenčních plochách do rovinných souřadnic. Výchozími souřadnicemi jsou zpravidla zeměpisné souřadnice na referenčním elipsoidu (p, Ä, v některých případech, zejména u maloměřítkových map, i zeměpisné souřadnice na referenční kouli U, V. Konečné souřadnice jsou vždy rovinné pravoúhlé souřadnice x, y. REFERENČNÍ ZOBRAZOVACÍ PLOCHA ROVINA 21 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 2-1 Způsoby transformace souřadnic mezi referenčními plochami a zobrazovací rovinou V praxi se lze setkat se všemi kombinacemi transformace. Například zobrazení vojenských topografických map je přímou transformací mezi zeměpisnými souřadnicemi q>, X na rovinnými pravoúhlými souřadnicemi x, y (resp. N, E). Zobrazení základních map České republiky je naopak postupnou transformací od zeměpisných souřadnic na referenčním elipsoidu, přes zeměpisné souřadnice na referenční kouli, kartografické souřadnice, polární souřadnice k výsledným rovinným pravoúhlým souřadnicím. Výchozí referenční plochou při kartografickém zobrazování je referenční elipsoid nebo referenční koule. Referenční elipsoid je zpravidla používán tehdy, pokud je požadavek na minimalizaci zkreslení rovinného obrazu. Využívá se zejména při zobrazení státních mapových děl, vizualizaci objektů a jevů databází státních informačních systémů apod. Referenční koule se využívá jako výchozí plocha zejména při tvorbě map menších měřítek (v atlasech, nástěnných map apod.) či při vizualizaci digitálních dat s menší rozlišovací úrovní. Referenční koule se používá též při řešení jednodušších navigačních úloh. Je ji však možné využívat při zobrazení státních mapových děl s vysokými požadavky na minimalizaci zkreslení rovinného obrazu, potom ovšem ve variantě dvojitého zobrazení (například u Křovákova zobrazení, které je popsáno v kapitole 11). Kartografické zobrazení může být definováno geometrickou nebo matematickou cestou. Zobrazení definovaná geometrickou cestou se odvozují z matematického popisu perspektivní projekce referenčních těles (v podstatě však výhradně koule) na plochy rozvinutelné do roviny. Tato zobrazení jsou označována jako projekce a jsou v současné době používány poměrně zřídka. V podstatě všechna dnes používaná zobrazení j sou definována matematickou cestou. Poznámka: V anglické terminologii jsou však pod pojmem projekce (projection) uvažovány jak projekce ve významu uvedeném v předchozím textu, tak i všechna ostatní zobrazení. Zobrazení se třídí podle různých hledisek, z nichž nej významnější jsou vlastnosti zkreslení obrazu a tvar zeměpisné sítě v rovině. Dalšími hledisky je i tvar zobrazovacích rovnic, poloha konstrukční osy, počet na sebe navazujících částí, na které je povrch zobrazován apod. 2.2 Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení Významnou třídou jsou zobrazení jednoduchá. Jejich charakter je možné přibližně vyjádřit pomocí geometrické představy promítání referenční plochy na plochy rozvinutelné do roviny, což se používá při rámcovém popisu zobrazení. Poznámka: Projekce i jednoduchá zobrazení mají totožné obecné tvary zobrazovacích rovnic, proto jsou projekce často zahrnovány do třídy jednoduchých zobrazení. Pod pojmem plochy rozvinutelné do roviny se rozumí plášť válce, kužele nebo rovina sama. Jednoduchá zobrazení se podle druhu zobrazovací roviny dělí na válcová (cylindrical), kuželová (conic) a azimutální fplanar, azimuthal). Charakter zobrazení je výrazně ovlivněn vzájemnou polohou referenční plochou a konstrukční osou zobrazovací plochy. Konstrukční osa je u válcových zobrazení osou válce, u kuželových zobrazení osou kužele a u azimutálních zobrazení normálou k tečné rovině v tečném bodě (nebo ve středu zobrazovaného území). Je-li konstrukční osa totožná s osou rotace Země, je zobrazení označováno jako pólové (normální, polar), leží-li konstrukční osa v rovině rovníku, potom je zobrazení nazýváno příčné (rovníkové, transverzální, transversal), při obecné poloze konstrukční osy se zobrazení nazývá obecné (šikmé, oblique). 22 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obrazem zeměpisné sítě jednoduchých válcových zobrazení v pólové poloze soustava vzájemně ortogonálních přímek (Obr. 2-2). Souřadnice bodů na referenční ploše se přímo transformují na rovinné pravoúhlé souřadnice. Obecné rovnice pro toto zobrazení lze vyjádřit pro referenční elipsoid vztahy (2-1 ), pro referenční kouli potom vztahy ( 2-2 ): (2-1) (2-2) Obr. 2-2 Princip jednoduchého válcového zobrazení (převzato z [23]) Obraz zeměpisné sítě je u jednoduchým kuželových a azimutálních zobrazení v pólové poloze tvořen soustavou polopřímek vycházejících z jednoho bodu (poledníky) a oblouků soustředných kružnic (u kuželových zobrazení) nebo celých soustředných kružnic (u zobrazení azimutálních) s totožným středem (Obr. 2-3, Obr. 2-4). Obrazy poledníků a rovnoběžek jsou na sebe vzájemně kolmé. Obr. 2-3 Princip jednoduchého kuželového zobrazení (převzato z [23]) Zobrazovací rovnice u obou typů zobrazení mají podobný tvar a vycházejí nejprve z transformace souřadnic na referenční ploše na rovinné polární souřadnice podle obecných vztahů ( 2-3 ) pro referenční elipsoid a ( 2-4 ) pro referenční kouli: P= f(p) e= f (A) (2-3) 23 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie P= f(U) e= f (V) (2-4) Obr. 2-4 Princip jednoduchého azimutálního zobrazení (převzato z [23]) Při rovníkové a obecné poloze se v zobrazovacích rovnicích nahrazují souřadnice zeměpisné Pól K kartografické soustavy je umístěn v jednom z průsečíků konstrukční osy zobrazovací plochy s referenčním tělesem. Obraz kartografické sítě v rovině je stejný jako u zeměpisné sítě v pólové poloze, obraz zeměpisné sítě je však často tvořen složitými křivkami. 2.3 Základní vlastnosti nepravých zobrazení Samostatnou skupinu zobrazení tvoří nepravá zobrazení, někdy nazývaná i pseudozobrazení (pseudo projections). U těchto zobrazení jedna zobou zobrazovacích rovnic funkcí obou souřadnic na referenční ploše. Základní referenční plochou je zde téměř výhradně používána referenční koule a zobrazení se definují zpravidla pouze v pólové poloze. Základní zobrazovací rovnice jsou dány vztahy ( 2-7 ) pro nepravá válcová (pseudoválcová) zobrazení a ( 2-8 ) pro nepravá kuželové, resp. azimutální (pseudokónická, resp. pseudoazimutální) zobrazení: Rovinná souřadnice x, resp. p je funkcí pouze jedné proměnné (zeměpisné šířky U), mají obrazy rovnoběžek stejný tvar jako u jednoduchých zobrazení. Tvary poledníků však bývají x=f(U) y=f(u,v) (2-7) P=W) e= f(U,V) (2-8) 24 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie složitější křivky (sinusoidy, části eliptických oblouků apod.). Poledníky a rovnoběžky nejsou obecně vzájemně ortogonální. Do této třídy zobrazení se často zahrnují i zobrazení polykónická, což jsou v podstatě jednoduchá kuželová zobrazení s nekonečným počtem zobrazovacích kuželů. Nepravá zobrazení se používají převáženě pro mapy malých měřítek, zejména pro zobrazování celé Země na jednom mapovém listě. 2.4 Základní charakteristiky obecných zobrazení U obecných zobrazení j sou obě zobrazovací rovnice funkcí obou souřadnic na referenční ploše. V pólové poloze zobrazovací rovnice mají v případě referenčního elipsoidu tvary ( 2-9 ) nebo (2-11 ), pro referenční kouli potom tvary ( 2-10 ) nebo ( 2-12 ) x= f(,Á) budou mít tyto transformované body rovinné souřadnice P {x, y] a Q fx+dx, y+dy] (Obr. 3-2). Jejich vzdálenost v rovině bude opět délkovým elementem dS, jehož zeměpisný azimut v rovině bude A'a jeho směrník ď. Délkový element na referenční ploše lze vyjádřit podle obrázku (Obr. 3-1) rovnicí ds2 = M2d#>2 + N2 cos2 cp&PČ (3-2) Tomuto elementu bude podle (Obr. 3-2) odpovídat délkový element v rovině: dS2 =dx2+dy2 Hodnoty dx a dy se určí jako totální diferenciály z obecných zobrazovacích rovnic ( 2-9 ): (3x (3x dx = — dep H--dA d(p dA dy = ^dcp + ^dA d(p dA (3-3) (3-4) Hodnotu dS lze potom vyjádřit: f dx dx v — d(p-\--dA 8

p R m = J® (3-22) RcosU p m2 = m2 cos2 A+—:-sin2A+rn2 sin2 A (3-23) p R2 cosU 3.1.2 Extrémní délkové zkreslení Při konstantní poloze bodu P bude mít rovnice ( 3-17 ) pouze jednu proměnnou - azimut délkového elementu A Derivací této funkce a jejím položením rovné nule se zjistí extrémy délkového zkreslení, které budou v azimutech označených symboly Aa a At,: dm2 „dm ,„ . . . F „ „ i~ • * a -= 2m— = -m2smAn cosAr, +-2cos2Ar, +m:2smAn cosAr, = 0 dA dA p MNcoscp a a Odtud se s využitím vztahů ( 3-13 ) získá vztah: tg2^ = n—^— (3-24} \mv -rr^ jMNcos^ Tangenta úhlu je v intervalu 360° dvojznačná (v I. a III. kvadrantu kladná a ve II. a IV. kvadrantu záporná). Proto rovnice ( 3-24 ) určuje dva azimuty: • 2Aa, • 2Ab= 180°-2Aa tedy: • Ab = 90° - Aa Azimuty Aa, Ab jsou měřeny na referenčním elipsoidu. Po jejich zobrazení do zobrazovací roviny budou označeny A 'a, A 'b, přitom obecně platí: Aa^^'a,Ab^'b Dosadí-li se hodnoty Aa, Ab do rovnice ( 3-14 ), získají se dvě rovnice pro extrémní délková zkreslení rria a rrib, která jsou ve vzájemně kolmých směrech: p m2=m2cos2Ai+-sm2\ +mr2 sin2 A, (3-25) MNcos

= (A'2-A'1)-(A2-A) = (A'2-A2)-(A'1-A) = AA!-AA. kde AAje zkreslení azimutu vyjádřené obecným vzorcem: AA= A-A ( 3-32) 32 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Zkreslení azimutu je možné odvodit z obrázku (Obr. 3-7) zobrazující rovinný obraz zeměpisného poledník A a libovolného směru s, jehož azimut v zobrazovací rovině je A' a na němž diferenciálně blízku od výchozího bodu P 'leží bod Q'. Podle obrázku platí: X x j i A' / S \ 1 äy\ \ ! dx yC P\. J n u * y Obr. 3-7 Azimut obecného směru v zobrazovací rovině A=180°-(cr'p-cO Lze psát: tgA=-tg(<7'p-<7') Podle vzorce pro tangentu rozdílu dvou úhlů lze předchozí vzorec upravit: tgA=-tgď*-tgď = tgť7Mg^P (3-33) l + tgcr'ptgcr' l + tgcr'ptgcr' Pro určení azimutu A'je tedy nutné stanovit tangenty směrníků směru s a poledníku A. Podle obrázku (Obr. 3-7) lze směrník , A. Polární rovinné souřadnice jsou teprve následně transformovány do pravoúhlé souřadnicové soustavy - do souřadnic x, y. Mezi jednotlivými souřadnicemi platí vztahy (viz odstavec 2.4 , vztahy ( 2-11 ) a odstavec 1.2.3 , vztahy ( 1-28 )): P = f( xv ->

p -> 9» -> p ->

-> X -> s

->

X Schéma je možné využít jako pomůcku pro parciální derivace rovnic ( 3-58 ): dx _ dx dxv dx dp dx ds d

8(p8Ay Parciální derivace zobrazovacích rovnice vyjádřených v polárních souřadnicích: dxy dp dp ds ds 8E = M2 <4"6) M Pro referenční kouli vztah ( 4-6 ) platí obdobně: R 1^>E = R2 <4"7) Ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách pro referenční elipsoid bude mít následující obecnou podmínku: ^ l^>G = N2cos> (4-8) N cos cp Pro referenční kouli vztah ( 4-8 ) platí obdobně RcosU l^>G = RzcoszU 2™c2TT (4-9) Hodnoty Gaussových koeficientů E, G budou mít tvary dané parametry konkrétní referenční plochy a konkrétními zobrazovacími rovnicemi použitého zobrazení. 4.2 Ekvivalentní zobrazení Základní vlastností ekvivalentního zobrazení je, že se při jeho použití nezkreslují plochy zobrazovaných objektů a jevů, případně jsou tyto plochy konstantně zkreslené v celém zobrazovaném území. Tato varianta je však pouze modifikací (měřítkovou změnou) základního ekvivalentního zobrazení a proto ji není nutno uvažovat jako zvláštní případ. Podmínku zachování velikosti ploch je možné vyjádřit z obecné rovnice plošného zkreslení (viz (3-55 )): mpl=l (4-10) kterou lze psát ve tvaru: 44 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ny^sinA'^1 (4-11) Vzorec ( 4-11 ) se výhodně používá i pro rozpoznávání ekvivalentních zobrazení, a to zejména pro jednoduchá. U těchto zobrazení platí A \ = 90°; výše uvedený vzorec potom nabývá tvaru: Jiné vyjádření podmínky ekvivalentního zobrazení vychází ze vztahů pro plošné zkreslení využívající Gaussovy koeficienty. Pro ekvivalentní zobrazení z referenčního elipsoidu lze psát: H l^>H=MNcos(? (4-13) MNcoscp Pro ekvivalentní zobrazení z referenční koule bude mít podmínka tvar: H , (4-14) 1 ^> H = R2 cosU R2 cosU Hodnota koeficientu H je vyjádřena podle druhu referenční plochy a typu zobrazení. Uvedená podmínka se využívá zejména u nepravých nebo obecných zobrazení. 4.3 Konformní zobrazení Vlastností konformního zobrazení je, že nezkresluje úhly. Tuto vlastnost je možné vyjádřit vztahem: Ar» = 0 (4-15) Uhlové zkreslení je obecně dáno vzorcem (( 3-53 ), viz. odstavec 3.2 ): sin-^ = —5-2_ (4-16) 2 rr^+ra, Vzhledem ke vzorci ( 3-53 ) bude podmínka ( 4-15 ) splněna pouze za předpokladu, že: ma=mb (4-17) Hodnoty nia a nib jsou extremními hodnotami délkového zkreslení. Pokud se mají tyto dvě hodnoty rovnat, potom je délkové zkreslení konstantní a nezávislé na směru azimutu délkového elementu. Elipsa zkreslení se tudíž zobrazuje jako kružnice. Z obecné rovnice délkového zkreslení dané vztahem ( 3-23 ) (viz odstavec 3.1 ): p m2 = m2 cos2 Ah--sin2A+rn2 sin2 A y MNcoscp je zřejmé, že konstantní délkové zkreslení bude pouze v případě platnosti podmínek: 1. nip = irt 2. F = 0 První podmínku lze vyjádřit i pomocí Gaussových symbolů. Pro referenční elipsoid\ze psát: 45 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie vě= vg e = M2 (4.18) M Ncosc/7 G N2cos2c/> Pro referenční kouli lze psát obdobně: Ve _ Vg e_ i (4_i9) R ~ RcosU G ~ cos2U Hodnoty Gaussových koeficientů budou vyjádřeny opět podle druhu a charakteru daného zobrazení. Konformní zobrazení lze definovat i pomocí izometrických souřadnic. V kapitole Referenční plochy a souřadnicové soustavy byly odvozeny vztahy pro výpočet izometrické šířky na referenčním elipsoidu a na referenční kouli. Vyjde-li se z obecné rovnice délkového zkreslení ve tvaru: m1 dS2 ds 2 a dosadí-li se za diferenciály délek jejich tvary vyjádřené v diferenciálech izometrických souřadnic (viz kapitola 1), lze psát: m2 dx2+dy2 (4"2°) N2cos>(dq2 + l, bude se síť poledníků na kouli překrývat. Obecné vztahy pro zkreslení délek ve směrech poledníků a rovnoběžek jsou dány poměry elementů délek na referenční kouli a příslušných délek na referenční ploše. V shodě se vztahy (3-1 ) z kapitoly 3 bude: RdU m„ =- ( 5-4) p Md(p RcosUdV RcosU ,. ., mj. =-= a- ( J-J ) N cos (pdA N cos

mpl=m2 <5-19) Aco = 0 (5-20) Pro výpočet souřadnic na kouli a zkreslení je nutné ještě určit konstanty a, k a R. K tomu se definují doplňující podmínky, které specifikují charakter zobrazení. Pokud je požadováno souvislé zobrazení celého povrchu koule, potom podle vztahu ( 5-3 ) bude a= 1. V případě, že se rovník na elipsoidu zobrazuje jako rovník na kouli, potom z rovnice ( 5-17 ) po dosazení za q> = 0° za U = 0° plyne, že k = 1. V tomto případě bude délkové zkreslení na rovníku rovno jedná a od něho na sever i na jih bude narůstat. Častěji se zobrazení používá pro vybranou část povrchu elipsoidu (například při Křovákově zobrazení nebo při zobrazení státních map Švýcarska), kdy se nepožaduje ani ztotožnění obrazů rovníků obou těles ani souvislé pokrytí zeměpisnou sítí celého povrchu referenční koule. Protože toto řešení je zpravidla používáno při definici zobrazení pro státní mapová díla, jsou zde zvýšené nároky na minimalizaci zkreslení v okolí základní rovnoběžky (po, které sama se délkově nezkresluje. Dále je uvedeno řešení, které odvodil Gauss. Pokud je daná podmínka, aby území mezi dvěma rovnoběžkami (qa^ bylo zobrazena na referenční kouli s minimalizací zkreslení, zvolí se mezi nimi základní rovnoběžka (po. Ta bude zobrazena na kouli jako rovnoběžka Uo bude nezkreslená. Na ní platí: RcosU0 mQ = a-— = 1 (5-21) N0 cos )= f(p0 +Ap) který je možné za předpokladu malého rozsahu Am rozvinout v Taylořovu řadu k zeměpisné šířce cpo'. m= í(n)+ ľM*+ í-M^f* rM^£+... ("2) První člen rozvoje je dán výrazem ( 5-21 ). Pro to, aby délkové zkreslení v celém zobrazovaném území bylo minimální, stanovil Gauss podmínku, že délková zkreslení 60 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie počítaná podle vztahu ( 5-22 ) byla závislá pouze na derivacích 3. a vyšších řádů. Z toho plyne, že: f'W = 0a f"fc,) = 0 Společným řešením uvedených tří rovnic pro délkové zkreslení se získají konečné vztahy pro požadované tři konstanty:" a 2 . e2cos4 n Druhá zobrazovací rovnice bude mít opět tvar ( 6-2 ), tedy: y = nV Zkreslení v poledníku a rovnoběžce mají vzájemně reciprokou hodnotu (viz vztah ( 6-12 )). Všechna zkreslení jsou tedy dány výrazy: 1 RcosU mp = — =- mr n (6-14) mPi =1 . Aco nl-RlcoslU sin-= —----— 2 n2+R2 cos2 U Konstanta n je volena na základě požadavků na nezkreslený rovník nebo dvě symetrické rovnoběžky s využitím vztahů ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Vlastností ekvivalentního válcového zobrazení je zmenšující se vzdálenost rovnoběžek s rostoucí zeměpisnou šířkou. Zobrazení se používá buďto s nezkresleným rovníkem (zobrazení Lambertovo podle Johanna Heinricha Lamberta, 1728 - 1777) nebo se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami (zobrazení Behrmannovo, Walter Emmerich Behrmann, 1882 -1955). Zobrazení se používá u map velmi malých měřítek v případě, že je nutné zachovat velikosti ploch (velikosti území států, tematických areálů apod.). Na následujících obrázcích (Obr. 6-4 , Obr. 6-5) jsou ukázky zobrazení Afriky v Lambertově izocylidrickém a Behramnnově zobrazení. 65 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 6-4 Ukázka Lambertova izocylindrického zobrazení pro území Afriky doplněné grafem délkových zkreslení Obr. 6-5 Ukázka ekvivalentního válcového zobrazení Behrmannova se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami U0= +20° pro území Afriky doplněné grafy délkovýcho zkreslení 6.4 Konformní válcové zobrazení Zobrazovací rovnice konformního zobrazení se odvodí z podmínky konformity (viz odstavec 4.3 ): mp =mr ve které se za nip a irt dosadí výrazy ( 6-3 ) a ( 6-5 ). Tím se obdrží základní rovnice: dx _ n MU ~ RcosU Pokud se ztotožní obraz rovníku s osou Y, výraz se integruje v mezích: 66 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie x U jdx = n j o o cosll dU Po integraci se získá první zobrazovací rovnice ve dvou formálních variantách: x = nQ = n ln tg(— + 45°) (6-15 ) Druhá zobrazovací rovnice bude mít opět tvar ( 6-2 ), tedy: y = nV Rovnice zkreslení v případě uvážení vztahu nip = n\ = m nabudou tvaru: n m =- R cos U (6-16) Ao = 0 Konstanta n se opět volí na základě doplňujících podmínek ve tvaru ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Konformní válcové zobrazení je typické zvětšováním vzdálenosti rovnoběžek směrem k oběma pólům. Na mapách v tomto zobrazení není možné póly zobrazit, neboť leží v nekonečnu vzhledem k rovníku. Proto se zobrazení používá nejčastěji pro území s polohou v blízkosti rovníku. Příklad použití uvedeného zobrazení pro území Afriky je na obrázku (Obr. 6-6), kde je připojen i graf délkového zkreslení. Opět jako v předešlých případech byla volena varianta se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Uo = + 20°. Popsané zobrazení se nazývá podle holandského kartografa Mercatorovo (Gerardus Mercator, vlastním jménem Kraemer, 1512 - 1594). Mercator zobrazení již odvodil pomocí matematického aparátu ze zákonů zkreslení. Poznámka: Jednoduché konformní válcové zobrazení celé Země v pólové poloze bylo často používáno zejména pro tvorbu námořních navigačních map, protože se v něm čáry stejných hodnot azimutu (loxodromy) zobrazovaly jako přímky. To mělo své výhody, pokud se k navigaci používaly zejména magnetické přístroje (kompasy, ...). S přechodem na moderní metody navigace a začátkem plavby podél ortodrom, frekvence využití tohoto zobrazení se výrazně snížila. 67 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 6-6 Ukázka konformního válcového zobrazení Mercatorova se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami U0= +20° pro území Afriky doplněné grafy délkovýcho zkreslení 6.5 Šikmá poloha válcového zobrazení Všechna válcová zobrazení značně zkreslují oblasti kolem pólů. Jsou proto vhodná zpravidla pro zobrazení pouze pro úzkých pásů podél zeměpisného nebo kartografického rovníku (hlavní kružnici na kouli). V případě použití válcového zobrazení území rozloženého podél kartografického rovníku (rovníková nebo šikmá poloha), je nutné ve všech vzorcích zaměnit souřadnice U a V souřadnicemi kartografickými Š a. D. Vztah mezi kartografickými a zeměpisnými souřadnicemi je dán vzorci (viz vzorce ( 1-24 ) a ( 1-25 )). K jej ich určení je však nutné znát polohu kartografického pólu Uk a Vk, kterou je možné vypočítat ze známých zeměpisných souřadnic dvou bodů ležících na kartografickém rovníku (tedy zpravidla na podélné ose zobrazovaného území). Pro určení zeměpisných souřadnic je vhodné využít mapu, na které je již území jednou zobrazené. Body definující polohu kartografického rovníku se vybírají co nejdále od sebe. Jejich zeměpisné souřadnice budou Pi (Ui, Vi) a P2 (U2, V2). K výpočtu polohy kartografického pólu se potom využijí vztahy odvozené v téže kapitole. 7. Jednoduchá kuželová zobrazení Jednoduchá kuželová zobrazení mají poledníky zobrazené jako osnovu přímek vycházející z jednoho bodu - počátku polárního souřadnicového systému. Rovnoběžky jsou částí soustředných kružnic opět se středem v počátku rovinného polárního souřadnicového systému. Zeměpisný (nebo kartografický) pól se zobrazuje jako bod totožný se středem obrazů rovnoběžek nebo jako část kružnice. Poledníky a rovnoběžky jsou navzájem ortogonální a současně v jejich směrech leží hlavní paprsky zkreslení. Všechny dále odvozené vztahy budou platné pro pólovou polohu při zobrazení referenční plochy koule do roviny. Při použití rovníkové nebo šikmé polohy se ve všech vzorcích zeměpisné souřadnice nahradí souřadnicemi kartografickými. 68 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7.1 Základní vztahy a vzorce Při použití kuželových zobrazení se zpravidla střední poledník (tvořící osu zobrazovaného území) volí jako základní poledník Vq tohoto zobrazení. Do jeho obrazu se vkládá osa X a současně je mu přisouzena nulová hodnota zeměpisné délky. Kuželová zobrazení jsou vhodná pro zobrazování území rozložená podél zeměpisných (nebo kartografických) rovnoběžek. Rovník od těchto území bývá často značně vzdálen bez možnosti jeho zobrazení, proto se počátek rovinné pravoúhlé souřadnicové soustavy volí v průsečíku základního poledníku a základní rovnoběžky, která přibližně prochází středem zobrazovaného území (viz Obr. 7-1) Obr. 7-1 Volba počátku rovinné pravoúhlé souřadnicové soustavy u kuželových zobrazení U kuželových zobrazení se zobrazovací rovnice i zákony zkreslení vyjadřují v rovinných polárních souřadnicích p a s, které se transformují do rovinných pravoúhlých souřadnic pomocí vztahů (7-1 ), tedy x = xv- p cos s y = psins (7-1) Počátek polární souřadnicové soustavy je v bodě V (vrchol kužele), který má konstantní hodnotu souřadnice x označenou xv. (7-2) Obecné rovnice kuželového zobrazení j sou ve tvaru ( 7-2 ), tedy p = f(u) s = f (V) První zobrazovací rovnici je možné vyjádřit s ohledem na základní rovnoběžku ve tvaru: P = P0+f(U-U0) (7-3) kde po je průvodič základní rovnoběžky, který současně určuje její vzdálenost od počátku rovinného polárního souřadnicového systému. S ohledem na obrázek (Obr. 7-1) platí Po =*v (7-4) 69 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie U kuželových zobrazení se dále požaduje, aby úhlová vzdálenost obrazů poledníků byla při konstantním přírůstku AV též konstantní. Druhou obecnou zobrazovací rovnici je potom možné uvést ve tvaru: s = nV (7-5) kde Vje zeměpisná délka počítaná od základního poledníku pro dané území Vo a n je konstanta nabývající hodnot (0;1) v závislosti na doplňujících podmínkách pro vybraný typ zobrazení. Vzhledem k tomu, že se opět jedná o jednoduché zobrazení, budou hlavní paprsky délkového zkreslení ležet ve směrech poledníků a rovnoběžek. Hodnoty tohoto zkreslení je možné vyjádřit poměrem délkových elementů v zobrazovací rovině a na referenční kouli ve tvarech (Obr. 7-2): p RdU UR. (7-6) RcosUdV Záporné znaménko u proměnné dp ve vzorci ( 7-6 ) je formálním vyjádřením vzájemné protichůdnosti růstu hodnot Uap. Rovnici ( 7-7 ) je možné upravit vzhledem ke tvaru rovnice ( 7-5 ), jejíž derivace bude: ds = ndV ds n =- dV Rovnici ( 7-7 ) je potom možné psát ve tvaru: m = Hp (7-8) r RcosU X v -< \ \ \ \\. \ \ \ \ \ \ \ \ p \ \pde\, ÁJ+dU \dp /U \ \ ^\y+dv ' \v 0 y Obr. 7-2 Délkové elementy poledníku a rovnoběžky u kuželových zobrazení Úhlové a plošné zkreslení je možné vyjádřit ve tvarech ( 7-9 ) a, ( 7-10 ) tedy: . Aco rri. - m sin-=-- 2 rri. +m 70 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie mpl = mrmp <- /_iU > Všechna zkreslení jsou funkcemi pouze jedné proměnné - zeměpisné šířky U, resp. souřadnice p. Ekvideformáty stejných hodnot zkreslení mají proto tvar soustředných kružnic se středem v počátku polárního systému V. U kuželových zobrazení je možné nalézt vždy jednu ekvideformátu (rovnoběžku), s minimální hodnotou zkreslení, která může být případně rovna jedné. Od této rovnoběžky zkreslení roste na v obou směrech zeměpisné šířky, avšak nesymetricky. Obrazem pólu může být bod nebo část kružnice. Kuželová zobrazení mohou být řešena s jednou nebo dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami. Zobrazení jsou matematicky definovaná, přesto tyto varianty je možné si geometricky představit jako tečný, resp. sečný kužel. 7.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení Jednoduchá kuželová zobrazení je možné jako ekvidistantní řešit pouze jako ekvidistantní v polednících. Pro ně lze napsat podmínku: mp =1 j (7-11) -dp _l RdU Řešení rovnice (7-11 ) vztažené k základní rovnoběžce Uo je možné napsat ve tvaru: p u $dp = -R$dU Po uo ze kterého se získá tvar zobrazovací rovnice pro p: p = p0-R(U-U0) (7-12) Význam jednotlivých veličin rovnice ( 7-12 ) je zřejmý z obrázku (Obr. 7-3). Na obrázku je též patrný rozdíl v použití uvedené rovnice pro zeměpisné šířky větší, resp. menší než je Uo. Zobrazovací rovnice pro e má tvar ( 7-5 ), tedy: s = nV Vztahy pro zákony zkreslení vyplývají z rovnic ( 7-11 ), ( 7-8 ), .... Pro tuto variantu zobrazení budou ve tvarech: mp =1 sin m=mnl=——— (7-13) Aco _ np-RcosU 2 np + RcosU 71 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ' A ' /i 7' /i u X / r N. ' V X \v\ \ \ \ \ \ ^ \ \ \ \ \ \ U RU U=0° v. i o \Y y Obr. 7-3 Význam průvodiče p u ekvidistantního kuželového zobrazení Pro vlastní použití je nutné určit hodnoty konstant n a po. K tomuto určení se stanovují doplňující podmínky v různých variantách. V dalším textu jsou uvedeny tři nejběznější varianty: a) je stanovena podmínka, aby na základní rovnoběžce Uo bylo délkové zkreslení minimální a současně aby tato rovnoběžka byla délkově nezkreslena; b) je stanovena podmínka dvou předem daných nezkreslených rovnoběžek o zeměpisných šířkách Ui a U2; c) j e stanovena podmínka totožného zkreslení nej severnej ší a nejj ižněj ší rovnoběžky. 7.2.1 Ekvidistantní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Pokud je stanovena podmínka, aby na základní rovnoběžce Uo bylo délkové zkreslení minimální a současně aby tato rovnoběžka byla délkově nezkreslena, je nutné nejprve odvodit konstantu po. Konstanta se odvodí z podmínky extrémní hodnoty funkce ( 7-8 ) pro zeměpisnou šířku základní rovnoběžky Uq: tedy: dm dU d f "Po ^ ^RcosU0 j dU dU 0 0 d(RcosU0) dU R cos2Un 0 Z rovnice (7-11 ) plyne výraz: dp_ dU -R který lze dosadit do výše uvedené rovnice. Po derivacích se obdrží vztah: 72 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie -nR2cosU0 +np0RsinUf a odtud lze vypočítat: Protože druhá derivace R2cos2Un p0 =RcotgU0 (7-14) d2!^ dU2 je kladná (jak se lze snadno přesvědčit), dochází na rovnoběžce Uo při splnění podmínky ( 7-14 ) k minimu délkového zkreslení. Je-li dále požadováno, aby hodnota tohoto minima byla optimální, tedy rovna jedné, musí podle (7-13 ) platit: RcosLL 1 odkud se po dosazení za po z výrazu ( 7-14 ) vypočítá n = sinUn (7-15) Hodnotu po je možné si graficky představit na základě obrázku (Obr. 7-4) jako tečný kužel dotýkající se referenční koule podél rovnoběžky Uq. Analogicky pro referenční elipsoid platí: Po =N0cotg y X. \ s i Obr. 8-9 Stereografická projekce Obr. 8-10 Ortografická projekce 95 9. Nepravá zobrazení Nepravá zobrazení jsou charakteristická tím, že zachovávají některé vlastnosti jednoduchých zobrazení, zejména tvary zeměpisných rovnoběžek. Jiné jejich charakteristiky však mění a tyto změny se potom odrážejí do tvarů zeměpisných poledníků. Nepravá zobrazení mají jednu zobrazovací rovnici funkcí obou souřadnic na referenční ploše. Proto nelze jejich zobrazovací rovnice odvozovat obdobně jako u jednoduchých zobrazení. Stejně tak hlavní paprsky zkreslení neleží ve směrech poledníků a rovnoběžek a úhel mezi obrazy poledníků a rovnoběžek není pravý. Vznik nepravého zobrazení si není možné představit prostorovým promítáním koule na plášť válce či kužele nebo přímo do roviny. Nepravá zobrazení se vždy odvozují matematickou cestou podle zadaných podmínek nebo, a to poměrně často, jsou definována konstrukčním návodem. Poznámka: Název nepravá zobrazení je používán pro tuto třídu zobrazení poměrně často, přesto se lze setkat i s jinými názvy, například pseudozobrazení, pazobrazení apod. Pň užití zobrazení je navíc vhodné a praktické znát název zobrazení. Zejména při použití programových nástrojů obsažených v různých projektech bez znalosti názvu zobrazení se někdy pouze obtížně vybírá odpovídající typ zobrazení. Nepravá zobrazení se často využívají pro zobrazování velkých územních celků v malém měřítku až po zobrazení celého světa na jednom mapovém listě, takzvané planisféry. Z tohoto důvodu se většina zobrazení používá v pólové poloze s referenční koulí jako náhradní plochou. Výjimečně jsou tato zobrazení používána v rovníkové nebo šikmé poloze. V tomto případě je nutné v zobrazovacích rovnicích nahradit zeměpisné souřadnice souřadnicemi kartografickými. 9.1 Nepravá válcová zobrazení Nepravá válcová zobrazení jsou definována zobrazovacími rovnicemi ( 9-1 ) (viz. kapitola 2): X = M (9-1) y = f(u,v) Vzhledem ke tvaru obecných zobrazovacích rovnic je zřejmé, že se rovnoběžky zobrazují jako soustava rovnoběžných přímek s obrazem rovníku, zatímco tvar poledníků budou křivky symetrické k obrazu základního poledníku. Základní poledník je volen jako střední poledník zobrazovaného prostoru a jsou od něho odečítány hodnoty zeměpisné délky. Osa X se ztotožňuje s obrazem tohoto poledníku. Osa Y se ztotožňuje s obrazem rovníku. Podle tvaru obrazů poledníků se zpravidla rozlišují zobrazení sinusoidální, eliptická, kruhová, přímková atd. Rovnice zkreslení lze odvodit z obecných rovnic uvedených v kapitole 3. Jejich aplikací se pro zobrazovací rovnice ( 9-1 ) nejprve vyjádří Gaussovy koeficienty: Talhofer, V.: Základy matematické kartografie d* Y J dy Y E J {dxj J dy dy g= * au av 2 (9-2) H <3x <3y au av a s jejich pomocí potom i vlastní obecné rovnice zkreslení: R Vg RcosU H m pl R2cosU (9-3) (9-4) (9-5) Aco 1 mp+mr2 ? (9-6) mpi 9.1.1 Nepravá válcová sinusoidal ní zobrazení V těchto zobrazeních se poledníky zobrazují jako části sinusoid. Zeměpisné póly se zpravidla zobrazují jako úsečky s výjimkou Mercator - Šansonová zobrazení, v němž se zeměpisné póly zobrazují jako bod. Nejznámější jsou zobrazení Mercator - Sansonovo a Eckertovo. Další zobrazení odvozoval zejména Kavrajskij a Urmajev. Popis těchto zobrazení zde není uveden, je však možné je nalézt například v ([15] nebo [9]). 9.1.1.a Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) zobrazení Mercator-Sansonovo zobrazení je definováno jako ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem a současně jako ekvivalentní. Toto zobrazení odvodil Mercator, prvně použil Francouz Nicalus Šanson (1600 - 1667) a později jej aplikoval i Flasteed (John Flamsteed, 1646 - 1719), kterému je někdy připisováno i spoluautorství. První podmínku je možné vyjádřit rovnicí: dy d\ _^ RcosU z čehož plyne výraz: = RcosU (9-7) dV 97 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie který se pro konstantní U po úpravě integruje: y v Jdy = RcosUJdV o o Po integraci se obdrží zobrazovací rovnice ( 9-8 ): y = RVcosU (9-8) Druhá zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkreslení ploch s využitím výrazu ( 9-5 ). Platí: mPi =1 tedy H = R2 cosU ^WcosU ^ d\J dV Dosadí-li se do výrazu ( 9-9 ) výraz ( 9-7 ), potom se po úpravě obdrží: — = R (9-10) au Integrací výrazu ( 9-10 ) se získá první zobrazovací rovnice (9-11 ): x = RU y = RVcosU (9-11) Z tvaru zobrazovacích rovnic vyplývá, že obrazem pólů jsou body a že vzdálenost obrazů rovnoběžekje konstantní (Obr. 9-1). Současně je z první rovnice zřejmé, že základní poledník zůstává délkově nezkreslen a je tudíž splněna i třetí podmínka. Z tvaru zobrazovacích rovnic je možné odvodit i všechny rovnice zkreslení: m„ = Vl + sin2UV2 p ^ = 1 (9-12 ) mPi =1 Aco 1 . TT i— tg-= -sinUVV 6 2 2 Na grafech (Obr. 9-2, Obr. 9-3) je průběh délkového zkreslení v polednících a úhlového zkreslení. Oba grafy zobrazují pouze jeden kvadrát celé planisféry. Zbylé tři kvadráty mají zkreslení symetrická podle základního poledníku a rovnoběžky. Tatáž vlastnost je i ostatních nepravých válcových zobrazení. 98 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-1 Mercator-Sansonovo zobrazení, základní poledník 0° Mercator-Sansonovo zobrazení Obr. 9-2 Graf délkového zkreslení v polednících Mercator-Sansonova zobrazení 99 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Mercator-Sansonovo zobrazení Obr. 9-3 Graf hodnot maximálního úhlového zkreslení Mercator-Šansonová zobrazení 9.1.1.b Eckertovo sinusoidální zobrazení U Mercator-Šansonová zobrazení dochází ke značným úhlovým zkreslením zejména ve vyšších hodnotách zeměpisné šířky (viz Obr. 9-3). Tuto nevýhodu se snažil odstranit německý kartograf Max Eckert (1868 - 1938). Navrhl zobrazení, v němž jsou póly zobrazeny úsečkami stejné délky jako základní poledník a současně poloviční délky obrazu rovníku. Přitom zobrazení navrhl jako ekvivalentní tak, že plošný obsah celého obrazu Země je stejný jako plocha zobrazované referenční koule o poloměru R. Odvození zobrazovacích rovnic je poměrně složité, a proto jsou dále uvedeny pouze jejich konečné vztahy. Celé odvození je uvedeno například v [15]. Zobrazovací rovnice mají následující tvar: X Y 2R Vtt + 2 2R U _ 2U . v cos — 2 (9-13) . - - 7T + 2 . TT sin U +U =-sinU Upravenou zeměpisnou šířku ve vztahu ( 9-13 ) je nutné řešit postupnou aproximací. Někdy je však vhodné výraz pro výpočet U' nahradit Newton-Raphsonovou iterací ve tvaru: U'+sinU'H 1 + ^ IsinU AU'=- 1 + cosU' Rovnice zkreslení potom nabývají tvaru: (9-14) 100 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m„ V^+~2cosU' ,2U' 2cos —cos£ 2 2 cos 2U' V^r + 2cosU' mpl = rripm,. cos£ = 1 Aco 1 (9-15) A0 1 / ô 2 ~ tg—=-Vmp+mr -2 tgs = — sin U 2 Ukázka Eckertova sinusoidálního zobrazení je na následujícím obrázku (Obr. 9-4). Poznámka: Max Eckert kromě zde uvedeného zobrazení, označováno jako Eckert VI, navrhl ještě dalších pět nepravých válcových zobrazení pro mapu celého světa zobrazeného na jednom mapovém listě označených Eckert I (přímkové zobrazení), Eckert II (přímkové ekvivalentní zobrazení), Eckert III (eliptické zobrazení), Eckert IV (eliptické ekvivalentní zobrazení), Eckert V (sinusoidami zobrazení). Při jejich aplikaci, zejména v prostředí nástrojů GIS, je nezbytné věnovat pozornost jejich charakteru a matematickému vyjádření. Obr. 9-4 Eckertovo pseudoválcové sinusoidální ekvivalentní zobrazení, V0=0° 9.1.2 Nepravá válcová eliptická zobrazení U nepravých válcových eliptických zobrazení se obrazy poledníků zobrazují jako části elips, případně i kružnic. Nej známějším zobrazením je Mollweidovo, v literatuře je možné nalézt i další, například Ecertovo, Kavrqjského, Apianovo nebo Loritzovo. 9.1.2.a Mollweidovo zobrazení Německý matematik Karl Brandan Mollweide (1774 - 1825) odvodil zobrazení, které je pseudocylindrické ekvivalentní s poledníky ve tvaru elips. Celá Země je zobrazena do elipsy s poloosami v poměru a : b =1:2, poledníky V= ±90° zobrazí jako kružnice o poloměru p = b = R\/2. Vlastní zobrazovací rovnice vycházejí z parametrických rovnic elipsy, jimiž jsou vyjádřeny poledníky: 101 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie R-x/2 sin a 2RVV2 y =-cos a (9-16) (9-17) kde a j e počítána postupnou aproximací podle tvaru ( 9-18 ) neboje vyhledávána v tabulkách. 2a + sin2a = ;rsinU (9-18) Rovnice ( 9-18 ) může v některých případech konvergovat pomalu, proto s výjimkou pólových oblastí je možné opět využít Newton-Raphsonovu iteraci, zde ve tvaru: . , - (ď+ sin a-n sinU ) A ar = —--- 1 + cos a a výsledný úhel ar se potom vypočítá jako a = al1 Zákony zkreslení nabývají tvaru: n (9-19) (9-20) m, p 2V2 cosU sec a sec r, kde 2V r = —tg ar 2V2 rrij. =-secUcosar n mPi =1 (9-21) Aco 1 / ô 2 ^ Ukázka Mollweidova zobrazení se základním poledníkem 0° je na obrázku (Obr. 9-5). Obr. 9-5 Mollweidovo zobrazení se základním poledníkem 0° 102 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie V Mollweidově zobrazení se pól zobrazí jako bod. Ve velkých zeměpisných šířkách a v blízkosti krajních poledníků dochází ke značnému zkreslení. Tuto nevýhodu se pokusil řešit americký kartograf John Paul Goode, který uvedené zobrazení použil pro konstrukci mapy celé Země tak, že jím zobrazil pouze ucelené části povrchu, jednotlivé kontinenty nebo oceány. Jednotlivé části jsou spojené na rovníku (Obr. 9-6). Uvedenou úpravou jsou vyloučené části sítě s velkým zkreslením, avšak nezíská se souvislý obraz Země. Goodovu úpravu je možné aplikovat i na jiná nepravá válcová zobrazení. Obr. 9-6 Mollweidovo zobrazení v Goodově úpravě pro zobrazení oceánů (převzato z [9]) Poznámka: Obdobnou úpravu je možné provést i pro jiná nepravá válcová zobrazení, poměrně často jsou takto řešena různá Eckertova zobrazení. 9.2 Nepravá kuželová zobrazení Základní rovnice nepravých kuželových zobrazení v pólové poloze jsou vyjádřeny vztahy (9-22): ^=f^ (9-22) e= f(U,V) Vzhledem k jej ich tvaru je zřejmé, že obrazem rovnoběžek budou obdobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení části kružnice se společným, pevným, středem. Poledníky však budou křivky různého druhu. Zákony zkreslení se odvodí aplikací rovnic pro výpočet Gaussových symbolů při užití polárních souřadnic uvedených v kapitole Zákony zkreslení. Vzhledem k zobrazovacím rovnicím( 9-22 ) budou mít rovnice pro výpočet těchto symbolů následující tvary: 103 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (9-23) G = p1 — H cU dV Jednotlivá zkreslení je možné počítat stejnými rovnicemi jako u nepravých válcových zobrazení, tedy rovnicemi ( 9-3 ), ( 9-4 ), ( 9-5 ) a ( 9-6 ). Po dosazení tvarů uvedených Gaussových symbolů rovnice zkreslení budou: dU J p Hl R íde_ [ôY RcosU ôp ÔS P dU dV R2 cosU (9-24) (9-25) (9-26) Aw= 1 K+mf 2 2^ mpl (9-27) Obdobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení se i zde volí jako základní konstrukční poledník poledník procházející středem zobrazovaného území, do jehož obrazu se vkládá osa X a od něhož jsou potom odečítány zeměpisné délky V. Počátek rovinného pravoúhlého systému souřadnic se volí v průsečíku tohoto poledníku a základní rovnoběžky procházející rovněž středem zobrazovaného území (Obr. 9-7). Transformace z polárních souřadnic na rovinné je opět stejná jako u jednoduchých kuželových zobrazení: x = - p cos s y = p sin s (9-28 ) kde *v = Po = Rcot gU0 104 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie v Ps Uo ■o ^ základní pole Y Obr. 9-7 Princip nepravého kuželového zobrazení 9.2.1 Bonneovo nepravé kuželové zobrazení Z nepravých kuželových zobrazení se v dřívější praxi uplatnilo zejména Bonneovo zobrazení (Rigobert Bonne, 1727 - 1795), kdy se používalo zejména pro mapy světadílů nebo větších států a případně i pro topografické mapy (například Francie, Švýcarsko apod.). Zobrazení je definováno jako ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem Vq. Vzhledem k tvaru rovnice pro p, která je stejná jako u jednoduchého ekvidistatntního kuželového zobrazení, bude první zobrazovací rovnice: p = p0-R(U-U0) (9-29) Druhá zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkreslených rovnoběžek. Pro konstantní hodnotu U bude tedy platit: P ds m = —---= 1 RcosU dV tedy: Rovnice se integruje RcosU „r ds =-dV P RcosUv \ds = ^^\dV o P o a řešením integrálu se obdrží druhá zobrazovací rovnice ve tvaru: RcosU ^ -V (9-30 ) P Derivací rovnic ( 7-12 ) a ( 9-30 ) podle U a V se získají výrazy: dU 105 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dU f sin t/ RcosU v p P ds _ RcosU dV ~ p Po dosazení do ( 9-24 ), ( 9-26 ) a ( 9-27 ) bude: . w2f . TT RcosL 1+V sin U-- V v P ) m„ v Aco 1 ml -1 (9-31) (9-32) (9-33) Z rovnice ( 9-32 ) je zřejmé, že Bonneovo zobrazení je současně zobrazením ekvivalentním. Ukázka zobrazení celého světa se základním poledníkem Vo=0° je na obrázku (Obr. 9-8). Obr. 9-8 Ukázka Bonneova zobrazení, základní rovnoběžka U0 = 60°, základní poledník V0=0° Mezním případem Bonneova zobrazení pro Uo=90° a po = 0 je zobrazení Werner-Stabovo (viz 9.3.1 ). 9.3 Nepravá azimutální zobrazení Mezi nepravá azimutální zobrazení se řadí zobrazení odvozená matematickou cestou, zobrazení vzniklá afinním promítání jednoduchých azimutálních zobrazení v rovníkové poloze nebo zobrazení vzniklá kombinací azimutálních zobrazení s válcovými či nepravými válcovými zobrazeními. 106 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie U nepravých azimutálních zobrazení v pólové poloze se kromě základního poledníku přímkově zobrazuje i poledník odkloněný od něho o 90°. V obrazech těchto poledníků se zpravidla umisťují osy Xa Yrovinné pravoúhlé sítě. Obecné zobrazovací rovnice a obecné tvary zákonů zkreslení jsou stejné jako u nepravých kuželových zobrazení (viz 9.2 ). Zobrazovací rovnice ( 9-22 ) musí být vždy formulovány tak, aby při libovolných hodnotách U zeměpisné délce V= ±180° odpovídal úhel s = ±180°. Pro transformaci polárních souřadnic p a. s na pravoúhlé se použijí vztahy (viz též kapitola Referenční plochy a souřadnicové soustavy): x = p cos s (9-34) y = psins Obrazy rovnoběžek jsou i zde soustředné kružnice se společným středem, poledníky se zobrazují jako různé křivky, proto i zde nemohou tato zobrazení být definována jako konformní. Dále jsou uvedeny příklady nepravých azimutálních zobrazení. 9.3.1 Werner-Stabovo nepravé azimutální zobrazení Johannes Werner (1468 - 1522) roku 1514 odvodil nepravé azimutální zobrazení, které lze uvažovat jako mezní případ Bonneova zobrazení, v němž se obraz zemského pólu ztotožňuje se středem rovnoběžkových kružnic (viz Obr. 9-9). V tomto případě pro Uo = 90° bude po = 0 a rovnice: bude mít tvar: p = p0-R(U-U0) p = RZ (9-35) kdeZ= 90°-U. Dosazením uvedené rovnice do vztahu ( 9-30 ) se získá druhá zobrazovací rovnice: c= cosU y (9-36) Zákony zkreslení budou obdobné jako u Bonneova zobrazení s tím, že místo U bude uvažován zenitový úhel Z. Po dosazení za p výrazu ( 9-35 ) budou mít tedy rovnice zkreslení tvar: mr=mpl=\ (9-38) *f={f«ri <9-39) Zobrazení je rovněž ekvivalentní a současně ekvidistantní v rovnoběžkách. Werner-Stabovo zobrazení prvně použil v roce 1517 Johan Stab, proto se jeho jméno objevuje v názvu zobrazení. Hojně se v 16. a 17 století používalo pro mapy kontinentů. Ukázka zobrazení celé planisféry je na obrázku (Obr. 9-9). 107 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-9 Werner - Stabeovo zobrazení celého světa Poznámka: Toto zobrazení bylo odvozeno dříve, než Bonneovo, kterým bylo později zpravidla nahrazeno. 9.3.2 Ginzburgovo zobrazení Dalším typem nepravého azimutálního zobrazení je zobrazení s oválnými ekvideformátami nazývané Ginzbugovo podle sovětského kartografa G.AGinzburga, nazývané také někdy zobrazení CNIIGAiK (Centralnyj naučnoisledovatelskij institut geodézii, aerofotosjomky i kartografii) podle instituce, kde Ginzburg pracoval. Zobrazovací rovnice mají následující tvar: w • Z p = 3Rsin — 3 s=Y-C f Z ^q (9-40) V ^max J sin2V kde: Zmax je nej větší hodnota Z v zobrazovaném území, C, q jsou parametry, jejichž volbou je ovlivňováno zakřivení obrazů poledníků. Zákony zkreslení mají potom následující rovnice: m =cos — secr p 3 3C Z tg r =-tg —sin 2V Z_ 3 f rn =3 sin—cosecZ 3 mpl = mpiri,. cos r 1-2C- -cos2V V (9-41) J 2 l\ mpl 108 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ukázka zobrazení části povrchu Země je na obrázku (Obr. 9-10). Vzhledem k obecné poloze zobrazení musely být nejdříve zeměpisné souřadnice převedeny na kartografické a teprve poté byly použity zobrazovací rovnice ( 9-40 ). moo 0.9/5 0.950 0.95? 0,901) OJ 1 ' í o- ir 2r 30" 40- sr w ir or r io° ir 3i w ___T-j^aJ Obr. 10-1 Zakřivení poledníku v Gaussově zobrazení Obr. 10-2 Zakřivení rovnoběžky v Gaussově zobrazení Obrazy rovnoběžek se zobrazují jako části parabol konkávne zakřivených k pólům a jsou symetrické vzhledem k rovníku. Jejich zakřivení je možné vypočítat podle přibližného vzorce ( 10-2): Ar = N sin 2(p AA 16 (10-2) kde: Ar je největší výška oblouku části rovnoběžky nad její tětivou, AA j e rozdíl zeměpisných délek koncových bodů oblouku části rovnoběžky, q> je zeměpisná šířka rovnoběžky (Obr. 10-2). Poznámka: Mapové listy vojenských státních mapových děl a řada standardizovaných mapových děl NATO jsou vymezené částmi poledníků a rovnoběžek. V tomto případě je nutné znát hodnoty zakřivení částí poledníků a rovnoběžek, které tyto listy vymezují. Z uvedených výsledků je patrné, že zakřivení částí poledníků není nutné při konstrukci map do měřítek 1:250 000 prakticky uvažovat. Jiná situace je u zobrazení rovnoběžek, kde je nutné již od měřítka mapy 1:250 000 a menších zakřivení rovnoběžek uvažovat. A to nejen při konstrukci rámu map, ale i při zákresu rovnoběžek do mapy a jejich použití pro odečítání zeměpisných souřadnic. V rovině zobrazení má každý pás samostatnou souřadnicovou soustavu rovinných pravoúhlých souřadnic. Počátek tohoto systému je v průsečíku obrazu rovníku a osového poledníku, osa X je totožná s obrazem osového poledníku a je kladná na sever, osa Y je v obrazu rovníku a je kladná směrem na východ (Obr. 10-3). 117 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 0 \ i xi i Y osový poledník Obr. 10-3 Rovinný souřadnicový systém Gaussova zobrazení Při takto definovaných osách mohou souřadnice x, y nabývat jak kladné, tak i záporné hodnoty. Proto jsou někdy jedna nebo obě osy posouvány tak, aby obě souřadnice nabývaly pouze kladných hodnot. Osa X se zpravidla posunuje o 500 km směrem na západ a osa Y o 10 000 km směrem na jih. Posun osy X je použit v systému S-1942 a UTM ( zde osa N), posun obou os v zobrazení UTM (osy N, E), pokud je používáno pro jižní polokouli (Obr. 10-4, Obr. 10-5). Takto uvedené souřadnice se používají například v katalozích souřadnic geodetických bodů a při popisech kilometrových čar topografických map. Pro některé výpočty je však nezbytné uvažovat souřadnice vztažené k původnímu souřadnicovému systému. Uvedený souřadnicový systém a případně jeho varianty je v případě šestistupňových pásů aplikován na celé Zemi šedesátkrát. K rozlišení, o jaký poledníkový pás se v konkrétním případě jedná, se používají různé systémy. Například v S-1942 se k souřadnici y v řádu 1.106 uvádí číslo poledníkového pásu (s číslováním počínajícím od Greenwichského poledníku směrem na východ). Na území ČR tyto souřadnice začínají buďto cifrou 3 nebo 4. Ve WGS84 se u bodů může uvádět kód zóny o rozměrech 6° krát 4° vycházející se systému MGRS. Území ČR pokrývají zóny 33U a 34U. Poledníkové pásy jsou velice úzké a dlouhé. Následující tabulka (Tabulka 10-1) uvádí minimální a maximální hodnoty souřadnic uvedené v kilometrech, které mohou v šestistupňovém pásu dosáhnout (jedná se jak o původní zobrazení, tak i o UTM). Tabulka 10-1 Minimální a maximální hodnoty souřadnic v rámci jednoho šestistupňového pásu Gaussova zobrazení a zobrazení UTM

f ae2 sin (pcos2 q>- a sin cp(l - e2 sin2 (p) _ asin^(l-e2) _ . (10-14) (, 2.2 W2 =~Z 2 • 2 V/2 = Sm9 ^1-e sin q>) v e sm V) Po dosazení do ( 10-13 ) se získá druhý člen obecné zobrazovací rovnice pro souřadnici x: f"(q) = -Ncos#>sin#> (10-15) Obdobně se získávají další členy obecných zobrazovacích rovnic derivacemi rovnice ( 10-15 ). Jednotlivé členy mají tvary: fw(q) = -Ncos>(l-t2+72) t10"16) f^(q) = Nsin(5-t2 +9r/2 + 4r/4) (10-17) { 5\q) = Ncos5 (p(5 - 18t2 +14 +14^2 -58^2t2) (1048 ) { Q(q) = -Nsin. V rovnicích ( 10-18 ) a ( 10-19 ) jsou zanedbány členy s rf a rf, protože jejich hodnoty jsou již zanedbatelné. Po dosazení derivací funkce f(q) do obecných zobrazovacích rovnic ( 10-7 ) a ( 10-8 ) se získají základní tvary zobrazovacích rovnic Gaussovo zobrazení: X2 i \A4 x = Sp + Ncos^sin^ —+ Nsin^cos3 ^(5-t2 +9^2 +z''?74)~ (10-20) + Nsin 2N5cos>v ' N5 cos5 q> Hodnoty se opět dosadí do ( 10-21 ) a vypočte se hodnota A ve třetím, posledním přiblížení, 2 4 přičemž se u páté mocniny y zanedbávají členy s n a n Jejichž hodnoty jsou zanedbatelné: ,3 , . ,T5 A = ---^-(l-t2 + /72)+-^-Í5 - 2t2 9t4) (10-24) Ncos

{ se využije rovnice (1-13 ), která je ve tvaru: sp = A* + C* sinA(p-D* sin6(p + E* sin8#>-... Souřadnice x bodu P f potom bude: x= Kqf f -B* sin2#>f +C* sinA(p{ - D* sin6^9f + E* sin8#>f (10-25 ) Zeměpisnou šířku f . Uvedený postup se opakuje do té doby, než A a A, avšak pouze za předpokladu, že je znám argument q>, který se právě hledá. Jeho hodnotu je možné určit ze vztahu: 124 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie

= sin[#>f —{(Pf ~(p)\ Hodnota (cpi - cp) je obecně ve srovnání s hodnotou q>[ diferenciálně malá, proto je možné pravou stranu rovnice rozvinout v Taylořovu řadu, přičemž se vzhledem k jejich velikosti uváží pouze první dva členy této řady: sin (p = sin^9f -cos#>f (pf - cp) Pokud se za (^ - cp) dosadí výraz ( 10-30 ) a opět vzhledem k velikosti jeho členů se uváží pouze první dva, obdrží se: 2 sine? = sin m f -cos mt---tf (10-32) f f 2MfNf f kde: a(l-e2) a f ~ 2-2 n3/2 ' f _ /i 2-2 \U2 ' ~^S(Pí (1-e sin (p{) (1-e sin i Poslední člen v rovnici ( 10-35 ) se používá pouze v případě vysokých nároků na přesnost výpočtů, kdy je požadována hodnota s přesností 0,0001". 125 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 10.3.1 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím UTM Inverzní funkce v zobrazení UTM musí uvažovat měřítkový faktor mo. Jejich tvar bude obdobný jako u výrazů ( 10-35 ) a ( 10-36 ): q> = q> f 2ra^MfNelf f 24n^MfN ■tf(l + 3tj + 5n2f -9t2fn2f)+ ( 10-37) 720injMfN5 E tf (ól + 91t2 + 45t* +107?;2 -162t2?72 -45ť^2) Á E3 rrinN^ cos q>f órn^N^ cos q>f E5 (l + 2t2+72)- ( 10-38 ) -(5 + 28t2 +24t^ +6?72 +8?/2t2) 120m^Ne5lf cos^f kde Nei je opět příčný poloměr křivosti použitého elipsoidu. 10.4 Meridiánová konvergence Vzhledem k tomu, že většina souřadnicových výpočtů v Gaussově zobrazení používá rovinné pravoúhlé souřadnice, je poměrně často je nutné znát pro daný bod i hodnotu meridiánové konvergence y. Meridiánová konvergence je úhel mezi rovnoběžnou s osou X (N) a obrazem místního zeměpisného poledníku (viz Obr. 10-7). Obr. 10-7 Princip meridiánové konvergence Její znalost je nutná při převodu směrníku na zeměpisný azimut a naopak. Podle obrázku (Obr. 10-8) platí: (j = a-y (10-39) Poznámka: Při výpočtu hodnoty crje nutné uvážit i směrovou korekci geodetické čáry. 126 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie y p o Y Obr. 10-8 Vztah meridiánové konvergence, směrníku a zeměpisného azimutu Meridiánovou konvergenci je možné vypočítat z rovinných pravoúhlých nebo zeměpisných souřadnic. Při jejím výpočtu ze zeměpisných souřadnic lze vyjít z následujícího obrázku (Obr. 10-9), kde je v okolí bodu i5' zobrazen jak element poledníku, tak i element rovnoběžky. Poněvadž se jedná o konformní zobrazení, je možné konvergenci definovat i jako úhel mezi obrazem zeměpisné rovnoběžky a rovnoběžkou s osou Y. V tomto případě je odvození rovnice meridiánové konvergence snazší vzhledem ke tvaru zobrazovacích rovnic, protože hodnota (l-t2 + ?72)— (10"42) dÄ 2 Po dosazení výrazů ( 10-41) a ( 10-42 ) do ( 10-40 ) se získá vztah: 3 ( 2 2 4 \ 2 ( 2 2 4 \ ' Ncos^sin^vl+ Nsin^)cos #>(5-1 +9^ +4^ j— sin $>/l + sin $>cos g)p-1 +9^ +4^ j- tgr: l-t2 + r/2)— 1 + cos2 (l +12 + 3?/2 + 2?74)^" (10-43 ^ Hodnotu f je možné vypočítat přímo, pokud se vzorec ( 10-43 ) zjednoduší použitím mocninné řady pro funkci arctg^ Označí-li se z = tgy, potom: z3 z5 a tedy: y = arctez = z---h ■ 3 5 tgV , tg v y = tgy-—— + —- Po dosazení za výraz tgy z ( 10-43 ) a nezbytných úpravách lze meridiánovou konvergenci počítat přímo (v obloukové míře) následujícím vztahem: y = sinc/vl + sinc/Jcos2 c/>(l + 3?/2 + 2n4)— + sinc/>cos4 c/>(2 -t2)— 10-44) Pro praktické výpočty, pokud není požadována vysoká přesnost, je možné použít pouze první člen rovnice ( 10-44 ). Meridiánovou konvergenci lze počítat i z rovinných pravoúhlých souřadnic X, Y. Pokud se dosadí do výrazu ( 10-44 ) vztahy ( 10-36 ) a ( 10-37 ), získá se po úpravě rovnice: / = — tf-^Ttf(l + t2-72-2^)+^-tf(2 + 5t5f +3t4f) (10-45) Nf f 3N3 fV f f f/ 15N^ fV f f/ Uvedený vzorec zabezpečí přesnost výpočtu konvergence v prostoru České republiky (na úrovni zeměpisné rovnoběžky 50°) v jednom poledníkovém pásu 0,0005" .V případě, že je požadována přesnost výpočtu do 3", lze v rozmezí jednoho poledníkového pásu použít i zjednodušený vzorec y = ^-tg

= 50° umožní přesnost výpočtu zkreslení na setiny milimetru. Pro tuto hodnotu zeměpisné šířky člen s A4 dosahuje hodnoty 4.10"8, tedy 0,04 mm.km"1. Proto pokud není požadována taková přesnost výpočtu, je možné tento člen zanedbat. Stejně tak, pokud se pro tuto zeměpisnou šířku zanedbá hodnota 2 -7-1 výrazu (1 + n ), vzniklá chyba nepřesáhne hodnotu 15.10" (tedy 1,5 mm.km" ). Proto se často v praxi používá pouze zjednodušený vzorec: m = 1 + cos (p 2 % (10-50) 129 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Délkové zkreslení je možné vypočítat i z rovinných pravoúhlých souřadnic. V tomto případě se volí jednodušší cesta, při níž se referenční elipsoid v daném bodě nahradí koulí o poloměru R = VmŇ a místo Gaussova zobrazení se uvažuje jednoduché válcové konformní zobrazení v příčné poloze (Mercatorovo) (viz Obr. 10-10). Obr. 10-10 Náhrada referenčního elipsoidu koulí pro výpočet délkového zkreslení Gaussova zobrazení S ohledem na tvar rovnice délkového zkreslení je možné psát: 1 m =-- cosi' a tento vzorec upravit rozvojem kosinu v řadu: 1 m" s2 Š4 (10-51) l--+--... 2 24 V rámci šestistupňového pásu není příliš velký rozdíl v délce zobrazené části oblouku původní rovnoběžky, části oblouku kartografického poledníku a souřadnice y (viz Obr. 10-11). X RŠ \ Obr. 10-11 Ilustrace výpočtu délkového zkreslení Gaussova zobrazení Proto lze psát: y = RŠ a tento výraz se dosadí do ( 10-51 ), přičemž stačí uvažovat pouze do mocniny y4. Výsledný vzorec bude: 130 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Jelikož výraz y y (10-52) 2R2 24R4 2R2 24R4 dosahuje velmi malých hodnot, lze vzorec dále upravit: m = 1 + - (10-53) 2R2 24R4 Pokud se opět v rámci jednoho šestistupňového pásu zanedbá ve vzorci ( 10-53 ) třetí člen 4 v -8 -1 (s y ), maximální rozdíl na území CR dosáhne hodnoty 5.10" (tedy 0,05 mm.knť ). Proto se v praxi často používá pouze zjednodušený výraz: 2 m = 1 + 2R2 (10-54) Průběh délkového zkreslení v rámci jednoho šestistupňového pásu je zřejmý z obrázku (viz. Obr. 10-12). Graf na následujícím obrázku (viz Obr. 10-13) znázorňuje závislost délkového zkreslení na zeměpisné šířce a hodnotě A. Další obrázek (viz Obr. 10-14) ilustruje průběh ekvideformát délkového zkreslení Gaussova zobrazení na území střední Evropy. Na území CR dosahuje délkové zkreslení maximálních hodnot na okrajích 3. poledníkového pásu kolem 0,58 m.km1. F 1 \ 1 l\ /I 1 t /lil lili 1 1 t 1 1111* 1 1 l\ 1 1 l\ III 1 1 1 l\ 1 1 1 ll -1 1 1 II tlili 1 1 i 1 = 1111 1 M 1 1 1 f 1 m>i n 11 i i 11 1 i i i m>i MM i 1 1 1 i m t Mil i t i i MM Délkové zkreslení Gaussova zobrazení 0 10 20 30 40 50 60 70 80 84 Obr. 10-12 Zobrazení ekvideformát délkového zkreslení Gaussova zobrazení (převzato z [23]) Obr. 10-13 Graf délkového zkreslení v Gaussově zobrazení 131 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 10-14 Průběh ekvideformát délkového zkreslení Gaussova zobrazení na území střední Evropy (převzato z [23]) 10.5.1 Zákony zkreslení v UTM V zobrazení UTM se délkové zkreslení ze zeměpisných souřadnic počítá podle vzorce: m = n\ 1 + cos2 1 + - 2mo2R2 V (10-58) Průběh délkového zkreslení v rámci jednoho šestistupňového pásu je zřejmý z obrázku (viz.Obr. 10-15). Graf na následujícím obrázku (viz Obr. 10-16) opět znázorňuje závislost délkového zkreslení na zeměpisné šířce a hodnotě A. Na území ČR dosahuje délkové zkreslení hodnot -0.40 m.km1 uprostřed 3. poledníkového pásu (na poledníku A = 15°), na okrajích tohoto pásu kolem potom kolem 0,20 m.km"1. 132 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 10-15 Zobrazení ekvideformát délkového Obr. 10-16 Graf délkového zkreslení v zobrazení UTM zkreslení zobrazení UTM (převzato z [23]) 10.6 Směrová a délková korekce geodetické čáry Teorie směrové a délkové korekce geodetické čáry v rovině konformních zobrazení je uvedena v odstavci 4.4 V následujícím textu jsou pouze upřesněny postupy výpočtů příslušných korekcí v rovině gaučová zobrazení, resp. zobrazení UTM. K upřesnění postupů je využita kopie obrázku (viz Obr. 4-5) z odstavce 4.4 Obr. 10-17 Směrová korekce geodetické čáry (kopie) Směrová korekce geodetické čáry v Gaussově zobrazení Křivost obrazu geodetické čáry lze vyjádřit rovnicí ( 4-29 ). Pokud se za m dosadí z rovnice ( 10-52 ) a budou se uvažovat pouze první dva členy, bude: { 2R2 J dT 133 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Protože m je funkcí y a y je funkcí T, platí: dm = dmdy ( 10 59) dT dy dT Z rovnice ( 10-54 ) bude: dm _ y dy ~ R2 Podle obrázku (Obr. 10-17), kde je zobrazen diferenciální úsek obrazu geodetické čáry v bodě P', bude: —— = sin(90°-a), z čehož dT v ' dy — = -cos a dT Po dosazení do ( 4-29 ) se obdrží: r = -4cOSť7 + ^tcosť7 (10-6°) R2 2R4 Druhý člen v rovnici ( 10-60 ) lze zanedbat a křivost obrazu geodetické čáry v obecném bodě lze vyjádřit jako: r = -J^cosť7 (10-61) R2 Je tedy možné vypočítat hodnoty i" v počátečním a koncovém bodě obrazu geodetické čáry: r1=-^-cx)sa-12 (10-62) R2 y2 (10-63) T2 =--jr cos ť721 R2 Obraz geodetické čáry se zakřivuje velmi málo, proto je možné při výpočtu uvážit, že: o a uvedené křivosti počítat < Cr'l2>°'l2 1 + ^12 ~S\2 °"'l2>°'l2 °\2«T\2 Pokud se zobrazí informace z tabulky graficky, je zřejmé, že se obraz geodetické čáry vždy konkávne zakřivuje k osovému poledníku daného pásu (Obr. 10-18). Obr. 10-18 Zakřivení obrazu geodetické čáry v jednom poledníkovém pásu 135 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 10.6.1 Směrová korekce v zobrazení UTM Směrová korekce v zobrazení UTM se počítá v podstatě podle stejných vzorců jako v Gaussově zobrazení, avšak s uvážením měřítkového faktoru mo. Rovnice postačující pro běžnou geodetickou praxi mají tvar: Sn = —^TvNi " N2)(2E! + E2) (10-68 ) 1 / v \ (10-69) ^21=7-^2^2-^X2^+^) 6 m,, R Pokud by byla nutná vyšší přesnost, je možné využít přesnější vztahy uvedené například v [16]. Rovněž zakřivení obrazu geodetické čáry je stejné jako na obrázku (viz Obr. 10-18). 70.7 Délková korekce geodetické čáry Hodnoty délkového zkreslení se počítají podle jednoho ze vzorců ( 10-52 ) až ( 10-54 ) u Gaussova zobrazení, resp. ( 10-55 ) až ( 10-58 ) u zobrazení UTM. Pro praktické výpočty za použití rovinných pravoúhlých souřadnic lze výrazy pro výpočet délkové korekce dále upravovat. Vyjádří-li se m pomocí těchto souřadnic, lze pro Gaussovo zobrazení psát: 2 m = 1 + ľl 1 2R2 mi/=i+L2l = 1+yi2+2yiy2 + y22 72 2R2 8R2 m, =1+ ľ2 2 — 1 ^ 7 2R2 a po dosazení například do ( 4-64 ) a úpravě se získá rovnice: Si2 = s12+^(yľ + yiy2 + y22) (1°-70) 6R kde hodnotu R lze počítat ke středu čáry a zaokrouhlovat ji na celé kilometry. Výsledná rovnice pro výpočet délkové korekce potom získá tvar: ^12=S12-s12=^(yi2 + yiy2 + y22) (10-7D 12 6R Pokud se v zobrazení UTM použije obdobný postup, potom se vypočítá délka obrazu geodetické čáry podle upraveného vztahu ( 10-72 ) a z takto určené hodnoty délky obrazu geodetické čáry se vypočítá výsledná délková korekce. S12 = nV12 + 7~~T + EiE2 + E22) ( 10-72) ómgR 136 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Uvedené vztahy pro výpočet délkové korekce jsou použitelné pro běžné geodetické výpočty do vzdálenosti 20 km. Pro delší vzdálenosti nebo k dosažení vyšší přesnosti výpočtu je nutné použít přesnější vzorce uvedené například v [16] a [23]. 10.8 Mezipásmové transformace Protože v Gaussově zobrazení (i v jeho variantě UTM) má každý pás svoji souřadnicovou soustavu, je nutné v praxi poměrně často řešit transformaci souřadnic bodů ze souřadnicové soustavy jednoho pásu do souřadnicové soustavy druhého pásu. Tuto transformaci je možné řešit několika způsoby. V dřívějším období se nejčastěji používaly různé varianty rovinné transformace (viz. například kapitola Transformace zobrazení v [9]a [23]). Pro tyto transformace byly zpracovány i výpočetní tabulky. K rovinným transformacím lze počítat i grafickou transformaci použitou na vojenských topografických mapách, kde v rámu těchto map (v tzv. překrytovém pásmu) jsou vykresleny rysky kilometrových čar sousedního poledníkového pásu. Jejich spojením se na mapu vykreslí celá kilometrová síť a pomocí ní je potom možné odečítat souřadnice i v souřadnicovém systému tohoto pásu. V současné době je nejběžnější univerzální metoda transformace podle schématu: x1, y1 -» q>, A -» x11, y11, resp. N1,E1 ^U,V-> Š,D ->R, D' -> x, y Výchozí referenční plochou je Besselův elipsoid, který je nejprve konformně zobrazen na referenční kouli. Na ní jsou definovány kartografické souřadnice, pomocí kterých je povrch koule transformován do zobrazovací roviny konformním kuželovým zobrazením. Poslední fází je transformace z polárních rovinných souřadnic na pravoúhlé. V následujících odstavcích jsou popsány jednotlivé fáze. 11.2 Zobrazovací rovnice 11.2.1 Zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli V první fázi je Besselův elipsoid konformně zobrazen na referenční kouli s jednou nezkreslenou rovnoběžkou (po = 49°30', která probíhá přibližně středem území původní Československé republiky. Poloměr referenční kouleje r=VMoNo K transformaci souřadnic jsou použity rovnice odvozené v kapitole 5: tglf+ 45° V = ezA 1-esin^ 1 + esin^ V Konstanty zobrazení jsou: r = 6380 703,6105 m k= 1,00341 91640 cc= 1,00059 7498372 Po transformaci odpovídá původní hodnotě (po nezkreslené rovnoběžky hodnota na referenční kouli U0 = 49°27'35",84625. 11.2.2 Transformace zeměpisných souřadnic na referenční kouli na kartografické souřadnice Na referenční kouli je definována souřadnicová soustava kartografických souřadnic Š, D. Tato soustava vyhovuje protáhlému a mírně stočenému tvaru původní republiky. Osu území tvoří základní kartografická rovnoběžka So, z jejíhož tvaru byla vypočítána poloha kartografického pólu K podle postupu uvedeném v odstavci 1.2.2.a . Na této kartografické rovnoběžce byl za nejvýchodnějším cípem republiky, který tvořil okraj tehdejší speciální mapy 1:75 000, zvolen bod A, jehož zeměpisné souřadnice jsou: 138 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie R,D'—>Š,D—>\J,Y—> cp, A Nejprve se ze vztahů ( 11-7 ) a ( 11-8 ) vypočítají polární souřadnice: (H-9) 2 2 x + y D' = arctg ■ (11-10) 141 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Poté se s využitím vztahů ( 7-31 ) a ( 7-5 ) vypočítají kartografické souřadnice na referenční kouli: Š = 2Jarctan tg + 45° J -45c d d' sin^n (11-11) (11-12) Transformaci kartografických souřadnic na zeměpisné lze řešit pomocí vztahů ze sférické trigonometrie (viz. Obr. 11-2): U = arcsin (cos a sin Š - sin a cos Š cos d) V = Vk - arcsin ''cos Š . ^ -sin d cosU (11-13) (11-14) J Výpočet zeměpisné šířky je nutné provést v několika iteracích, protože argument 1 / /D' "/ / ~i 1 J 1 1 1 1 V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 „,:;«" .1 o- -, X Obr. 11-4 Meridiánová konvergence Křovákova zobrazení 11.5 Zákony zkreslení V Křovákově zobrazení opět stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové. Délkové zkreslení vzniká jednak při zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli, jednak při zobrazení referenční koule do roviny. Zkreslení při zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli v rozsahu území bývalého Československa je v podstatě zanedbatelné a činí maximálně 0,07 mm.km"1 v absolutní hodnotě. V běžných výpočtech se neuvažuje. Při zobrazení referenční koule do zobrazovací roviny kuželového zobrazení má v případě Křovákova zobrazení tvar: 143 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie r siní' Při odvozování Křovákova zobrazení byl požadavek takový, aby na celém území bývalého Československa dosahovalo délkové zkreslení v absolutní hodnotě maximálně 10 cm na 1 km. Tento požadavek se nepodařilo úplně splnit. Na základní kartografické rovnoběžce je zkreslení -10 cm.km1, na severních a jižních výběžcích republiky je dosaženo hodnot 14 cm.km1. Nezkreslené rovnoběžky jsou vzdálené od základní rovnoběžky 89 km na sever a 91 km na jih. Ekvideformáty jsou soustředné kružnice se středem v obraze kartografického pólu. Křovákovo zobrazení je vhodné pro území bývalého Československa, případně pro území ležící v úzkém pásu kolem základní kartografické rovnoběžky. Ve větší vzdálenosti od této rovnoběžky zkreslení velmi rychle narůstá (viz teorie kuželového zobrazení) a již ve vzdálenosti 20 km dosahuje jeho hodnota 0,5 m.knť1. Proto je toto zobrazení pro jiná území nevhodné. 12. Používaná zobrazení v Armádě České republiky a v NATO Následující text pojednává o standardních zobrazeních používaných v Armádě České republiky (AČR) a v armádách Organizace atlantické smlouvy (NATO). Výchozí referenční plochou pro všechna zobrazení je elipsoid WGS84. Zobrazení většiny map středních měřítek je buďto UTM nebo UPS. Pro přehledné a letecké mapy je v souladu se standardy mezinárodní organizace pro civilní letectví (International Civil Aviation Organization - ICAO) používáno Lambertovo konformní kuželové zobrazení (Lambert Conformal Conic Projection - LCC) o dvou nezkreslených rovnoběžkách. Teoretické principy všech zobrazení byly uvedeny v příslušných předchozích kapitolách. V následujících odstavcích jsou proto pouze tato zobrazení upřesněna. 12.1 Zobrazení UTM Základní zobrazení používané v AČR je zobrazení UTM v geodetickém referenčním systému WGS84. Jeho podrobný popis je uveden v kapitole 10. Zobrazení UTM je používáno pro všechny topografické mapy, dále pro speciální (tematické) mapy, které mají podklad topografickou mapu, a pro většinu grafických výstupů z digitálních modelů území, které jsou v AČR používány. V tomto zobrazení (a v celém geodetickém referenčním systému) pracuje i většina systémů velení a řízení, pokud používají lokalizační data. Toto zobrazení je jedním ze standardních zobrazení používaných v rámci NATO. Je používáno pro stejné účely tak, jak je popsáno v předchozím textu. Zobrazení UTM se používá od 84° severní zeměpisné šířky (od 84°30' z důvodů překrytu se zobrazením UPS na severní polokouli) po 80° jižní zeměpisné šířky (po 80°30' opět z důvodů překrytu se zobrazením UPS na jižní polokouli). 72.2 Zobrazení UPS Pro polární oblasti kolem severního a jižního zeměpisného poluje standardizované zobrazení konformní azimutální zobrazení s konstantním zkreslením na pólu. Toto zobrazení se nazývá Universal Polar Stereographic (UPS) a je používáno od 84° (od 83°30') do 90° severní zeměpisné šířky a od 80° (od 79°30') do 90° jižní zeměpisné šířky. 144 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Zobrazení se používá z elipsoidu WGS84. Zobrazovací rovnice vycházejí z teorie konformního azimutálního zobrazení popsaného v odstavci 8.4 modifikovaného ovšem na zobrazení z elipsoidu. Při jeho definici se použila verze konstantního délkového zkreslení na pólech v hodnotě mo = 0,994, což odpovídá variantě jedné nezkreslené rovnoběžky s hodnotou (po = 81° 06' 52.3" severní nebo jižní zeměpisné šířky. Poznámka: Na severní polokouli tím dochází k situaci, že nezkreslená rovnoběžka je mimo zobrazované území [12]. Počátek rovinné souřadnicové soustavy je položen do obrazu severního (jižního) pólu a souřadnicové osy leží v obrazech poledníků 0° a 180° - osa N a 90°a 270° osa E, přičemž poloha osy N je na severní a jižní polokouli vzájemně otočená. K rovinným pravoúhlým souřadnicím jsou připočítávány konstanty o velikosti 2000 km tak, aby celé zobrazované území leželo v 1. kvadrantu. Tyto konstanty j sou označeny FN (Falše Northing) a FE (Falše Easting) (viz. Obr. 12-1 a Obr. 12-2). FE = 2000 km a = 180 X = 270 ípd = 81°06'52.3" N FE = 2000 km X = 0° <- X = 270' X= 0° X= 180° Obr. 12-1 Zobrazení UPS a poloha souřadnicových os Obr. 12-2 Zobrazení UPS a poloha souřadnicových os na severní polokouli na jižní polokouli 12.2.1 Zobrazovací rovnice zobrazení UPS Vzhledem k vysokým zeměpisným šířkám se v zobrazovacích rovnicích počítá se „zenitovou vzdáleností" z, která v tomto případě je však doplňkem izometrické šířky q do 90°. Její rovnice bude mít tvar: f tg- 1 + esin^ 1-esin^ V 2 tg 7t (p 4~ ~2 Vlastní zobrazovací rovnice potom budou: ( 12-1 ) P = moC0tg-s = A kde konstanta Co je počítána podle vztahu: ( 12-2) 145 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Cn 2a í 1- 1 + e ( 12-3 ) Konstanty a, e v rovnicích ( 12-1 )( 12-3 ) jsou parametry elipsoidu. Transformace do rovinných pravoúhlých souřadnic je již stejná jako u všech azimutálních zobrazení. S použitím výše uvedených označení souřadnic bude mít tvar: N = FN — p cos s, N = FN + pcos s, E = FE + psms, pro severní polokouli pro jižní polokouli pro obě polokoule ( 12-4) Poledníková konvergence y Je velikostí rovna zeměpisné délce. Na severní polokouli má i stejné znaménko, na jižní má znaménko opačné. y = A, y = -A, Délkové zkreslení je počítáno podle vztahu: m- p pro severní polokouli pro jižní polokouli ( 12-5 ) ( 12-6) Nel cosq) kde Nei je příčný poloměr křivosti elipsoidu. Na následujícím obrázku (Obr. 12-3) je jeho graf. Graf délkového zkreslení zobrazení UPS 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 Obr. 12-3 Graf délkového zkreslení zobrazení UPS 12.2.2 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím V případě výpočtu zeměpisných souřadnic y A z rovinných pravoúhlých E, N se postupuje následujícím způsobem: Vypočítají se rovinné pravoúhlé souřadnice vztažené k pólům: AN = N - FN (12.7) AE = E - FE a z nich je možné vypočítat přímo zeměpisnou délku A. Přitom je však nutné uvážit, zda se počítá na severní nebo na jižní polokouli a zda počítaný bod neleží na poledníku 90° východní 146 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie nebo západní délky. Pokud je počítaný bod současně zeměpisným pólem, potom zeměpisnou délku není pochopitelně možné vypočítat. Z tohoto vyplývá následující postup: • pokud AN = 0 a AE ^ 0, potom A = 90° v.d. nebo A = 90° z.d. podle znaménka AE (viz. Obr. 12-1 nebo Obr. 12-2); • pokud AN = 0 a AE = 0, potom A není definovaná; • pokud AN ž 0, potom: AE A'= arctg —pro severní polokouli (12-8 ) 2, . AE (12-9) A = arctg projizni polokouli V případě, že se pro výpočet použije funkce arctg s jedním argumentem (do výpočtu vstupuje přímo podíl), výsledkem je úhel A', jenž je v rozsahu <-tt/2, tt/2>. Zeměpisná délka se potom určí podle schématu: A = A", pokud jmenovatel ve zlomku je (12-10) kladný A = 7T + A , pokud AE>0aA'<0 A = -7i + A\ pokud AE <0 a A' > 0 (12-12) V případě, že se pro výpočet použije funkce arctg se dvěma argumenty (čitatel i jmenovatel vstupují do výpočtu samostatně), potom A je přímo rovna A' v rozsahu <-tt, to. Zeměpisná šířka q> se počítá postupně s výjimkou hodnoty AN = 0, kdy q> = 90°. Nejprve se vypočítá p podle j ednoho za vztahů: p = |AE|, jestliže AN = 0 (12-13) p = |AN|, jestliže AE = 0 (12-14) P AE ve všech ostatních případech (12-15) sin A Dále se vypočítá hodnota z a izometrické šířky q: z = 2arctg—^— (12-16) mgCo q=--z O2"17) H 2 Výsledná zeměpisná šířka se potom vypočítá podle vztahu:

délkové zkreslení 1,0004 ■ 1,0003 ■ \ / \ / 1 0000 ■ I 0,9999 ■ V / \ / 0,9998 ■ --■> 0 9996 ■ 48 49 50 51 52 Obr. 12-4 Graf zkreslení Lambertova konformního kuželového zobrazení pro 8° vrstvu z prostoru ČR Obr. 12-5 Graf zkreslení Lambertova konformního kuželového zobrazení pro 4° vrstvu z prostoru CR Obr. 12-6 Graf zkreslení Lambertova konformního kuželového zobrazení pro LOM500 z prostoru CR Toto zobrazení je používáno u přehledných map jako například mapy World série 1404 1:500 000. 13. Transformace zobrazení V kartografické praxi (obecně v zeměměřické nebo geografické praxi) může nastat situace, kdy je nutné na stejném území použít různé geodetické referenční systémy a různá zobrazení. Pro převod souřadnic z jednoho geodetického referenčního systému a jednoho zobrazení do jiného geodetického referenčního systému a jiného zobrazení se používají postupy obecně nazývané transformace souřadnic. Podstata transformace souřadnic spočívá ve změně souřadnic bodů, aniž by došlo ke změně jejich polohy na zemské povrchu. Transformovat lze jak souřadnice reálných objektů a jevů tak i souřadnice fiktivních bodů, například rohů mapových listů, uzlových bodů zeměpisné sítě apod. Z hlediska matematické kartografie je potřeba transformace souřadnic způsobena zejména následujícími příčinami: 1. Změna referenčního tělesa (zpravidla referenčního elipsoidu) v novém souřadnicovém systému při zachování použitého zobrazení. V důsledku toho se mění jak zeměpisné, tak i rovinné souřadnice. 2. Změna zobrazení polohy bodů do roviny při použití stejného referenčního tělesa v původním i novém souřadnicovém systému. V tomto případě se nemění zeměpisné souřadnice, mění se však rovinné souřadnice. 149 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 3. Změna zobrazení polohy bodů do roviny při současné změně i referenčního tělesa v původním i novém souřadnicovém systému. V tomto případě se mění jak zeměpisné, tak i rovinné souřadnice. Poznámka: V geodetické praxi lze najít i další příčiny transformace souřadnic, které jsou uvedeny například v [14]. Podle charakteru změn a podle požadované přesnosti výstupních souřadnic lze v zásadě použít dvou metod transformací: • prostorové transformace, • rovinné transformace. Vstupem a výstupem prostorových transformací jsou buďto geocentrické souřadnice nebo zeměpisné souřadnice. V obou případech je možné v těchto transformacích uvažovat i výšky bodů - nadmořské nebo elipsoidické - nebo uvažovat polohu bodů pouze na povrchu referenčních elipsoidů, resp. referenčních koulí. Do tohoto typu transformací se zařazují: • tříprvková transformace • sedmiprvková transformace, • Moloděnského transformace, • zj ednodušená Moloděnského transformace. Vlastní prostorová transformace souřadnic zpravidla probíhá podle následujícího schématu: 1. Výpočet zeměpisných souřadnic z rovinných pravoúhlých v původním zobrazení a v původním referenčním systému. 2. Výpočet zeměpisných souřadnic v novém referenčním systému při použití vhodného typu prostorové transformace. Použijí-li se tříprvková nebo sedmiprvková transformace, je nutné počítat i prostorové pravoúhlé souřadnice v původním a novém referenčním systému. 3. Transformace zeměpisných souřadnic do nového zobrazení v novém referenčním systému. U rovinných transformací jsou vstupem i výstupem rovinné pravoúhlé souřadnice. Z hlediska použití v matematické kartografii lze do tohoto typu transformací zařadit: • shodnostní transformaci, • podobnostní transformaci, • afinní transformaci. K rovinným transformacím je možné zařadit i interpolační metody v pravidelných mřížkách, v jejichž uzlových bodech jsou předem vypočítány rozdíly mezi oběma systémy. U všech transformací je nejprve nutné vypočítat jejich parametry - konstanty v transformačních rovnicích, tzv. transformačních klíčích. Parametry transformačních klíčů se počítají z dostatečného množství identických bodů, u nichž jsou známé souřadnice v obou systémech. Minimální počet identických bodů a znalost jejich souřadnic jejich jsou závislé na počtu proměnných v transformačních klíčích. Například pro tříprvkovou transformaci prostorových pravoúhlých souřadnic, kde jsou tři neznámé, je nutná znalost minimálně tří identických souřadnic. Teoreticky by stačilo mít pouze jeden identický bod se známými souřadnicemi X, YaZv obou systémech. Protože je však nutná kontrola správnosti výpočtu transformačního klíče, používají se vždy nadbytečné počty identický bodů, zpravidla vhodně rozmístěných po celém transformovaném území. Vypočtené parametry transformačního klíče se potom vyrovnávají vhodnou metodou, nejčastěji metodou nejmenších čtverců (MNC). 150 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 13.1 Prostorové transformace 13.1.1 Prostorové pravoúhlé souřadnice V kapitole Referenční plochy a souřadnicové soustavy byly uvedeny základní souřadnicové soustavy v prostoru, v nichž se poloha bodu může vyjádřit v zeměpisných souřadnicích. Polohu bodu v prostoru lze však určit i v prostorových pravoúhlých souřadnicích x, y, z. Reálně však určované body leží na zemském povrchu (někdy i nad ním či pod ním). Pokud se pracuje s reálnými body v terénu (se získanou polohou například z měření pomocí přijímače GPS), je nutné uvážit jejich výšky. V praxi se nejčastěji pracuje s nadmořskými výškami H, tedy s výškami vztaženými k základní hladinové ploše daného výškového systému (například Baltského, Jaderského apod.). Tyto výšky si lze zjednodušeně představit jako vzdálenost od střední hladiny daného moře definovaného systému, která se nazývá geoid nebo kvazigeoid (viz Obr. 1-1). Geoid ani kvazigeoid však nejsou jednoduše matematicky definovatelné plochy, neboť jejich tvar je dán fyzikálními zákony (rotací Země, gravitačními silami Země a okolního terénu). Proto se geoid nebo kvazigeoid nahrazují referenčním elipsoidem. Vzdálenost těchto dvou ploch pro daný bod se nazývá výška kvazigeoidu (geoidu) nad elipsoidem Q. Vzdálenost bodu P od povrchu elipsoidu se potom nazývá elipsoidická výška HA a lze ji počítat jako: Pro transformaci zeměpisných souřadnic na prostorové pravoúhlé je někdy nutné tyto výšky zahrnout do výpočtů. Prostorové pravoúhlé souřadnice jsou definovány pro daný referenční elipsoid (nebo i referenční kouli). Počátek souřadnicového systému je ve středu elipsoidu, osa Xleží v rovině rovníku a její kladná větev prochází průsečíkem rovníku a Greenwichského poledníku, osa Y leží též v rovině rovníku a je kolmá na osu X, její kladná větev prochází průsečíkem rovníku a poledníku 90° východní délky, osa Z prochází osou rotace elipsoidu a její kladná větev směřuje k severními pólu (Obr. 13-1). Pokud se budou transformovat zeměpisné souřadnice q>, A a výška Hei bodu P na souřadnice prostorové pravoúhlé, bude platit podle [14]: Zpětný převod lze provést podle vzorců ( 13-3 ), kde se hodnoty q>, Hei a N počítají iteracemi: Hel=H+, Hei a N se dále počítají pro i-tou iteraci následovně: q>i = arctg N z ^-1+^-1 a (13-4) ■e2 sin2 q>{ H. cos cpi cos A y cos cpi sin A Při prvním výpočtu zeměpisné šířky qjo je možné zanedbat elipsoidickou výšku bodu P. Pomocí <£b se vypočítají první aproximace No a Heio. Jejich dosazením do rovnic ( 13-4 ) se získají zpřesněné hodnoty q\, Ni a Heii. Iterační výpočet se ukončí, pokud je rozdíl mezi předcházející a počítanou hodnotou menší než požadovaná přesnost výpočtu. Obr. 13-1 Prosotorové pravoúhlé souřadnice Obdobné vztahy jako ( 13-2 ) a ( 13-3 ) platí i pro transformaci zeměpisných souřadnic U, V a výšky H na referenční kouli o poloměru R na prostorové pravoúhlé souřadnice. Výšku H je možné uvažovat pouze jako nadmořskou, protože tato transformace se používá především pro méně přesné úlohy. Pokud se uvažuje stejná poloha a orientace souřadnicových os jako v případě referenčního elipsoidu, lze transformaci vyjádřit vzorci: 152 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie x = (R+H)cosUcosV y = (R+H)cosU sin V z = (R+H)sinU Zpětný převod je potom možný podle vztahů: V = arctg f U = arctg H 2 . 2 x + y J (13-5) (13-6) sinU cos U R 13.1.2 Tříprvková prostorová transformace Nejj ednodušší transformací mezi referenčními systémy je tříprvková prostorová transformace. Rozdíl mezi původním a novým referenčním systémem geocentrických souřadnic je pouze v lineárním posunu počátků obou systémů. Počátek nového souřadnicového systému je pouze vzhledem k původnímu systému posunut o hodnoty dx, dy a dz. Vlastní transformaci lze vyjádřit vztahem ( 13-7 ): Xn dx X yn = dy + y dz z (13-7) Graficky lze podstatu transformace vyjádřit následujícím obrázkem (Obr. 13-2): Zn Původní souřadnicový systém On Nový souřadnicový systém Yn Xn dz i-' dx dy Obr. 13-2 Tříprvková prostorová transformace Hodnoty souřadnic i lineárních posunů se vyjadřují v metrech. 153 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 13.1.3 Sedmiprvková prostorová transformace Přesnější a komplexnější transformace využívající prostorové pravoúhlé souřadnice je sedmiprvková prostorová transformace, někdy nazývaná i jako prostorová podobnostní transformace. Vedle lineárních posunuje zde uvažováno i se třemi rotacemi kolem původních os (rx, vy a rz) a se změnou měřítka - měřítkovým faktorem m= l+ju. Transformaci je možné vyjádřit následující rovnicí ( 13-8 ): Xn dx m 0 0" 1 X yn = dy + 0 m 0 1 y (13-8) Zn dz 0 0 m ry 1 z Graficky lze podstatu transformace opět vyjádřit následujícím obrázkem (Obr. 13-3): Obr. 13-3 Sedmiprvková prostorová transformace Hodnoty souřadnic a lineárních posunů se opět uvádějí v metrech, hodnoty rotací v desetinách vteřin a měřítkový faktor bývá v řádech 10~6 až 10~5. V anglické literatuře bývá uváděn v jednotkách ppm (parts per milion). Hodnoty rotací jsou definovány dvojím způsobem. Pokud se díváme směrem k původním osám X, Y, Z, je rotace jsou buďto ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Přitom je možné přiřadit kladné nebo záporné znaménko oběma směrům. Například v Austrálii byla pro rotace při definici referenčního souřadnicového systému použita kladná znaménka pro směry otáčení hodinových ručiček, v Evropě tomu bylo naopak [10]. Před použitím popsané transformace je nutné zjistit, jaký systém rotací byl použit. Pokud by byl použit nesprávný, výsledné transformované hodnoty jsou chybné. 13.1.4 Moloděnského transformace Moloděnského transformace umožňuje přímou transformaci zeměpisných souřadnic definovaných v souřadnicových systémech, aniž je nutný jejich převod do prostorových pravoúhlých souřadnic. K této transformaci je nutná znalost parametrů původního elipsoidu 154 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (velikost poloos a, b), lineárních posunů dx, dy a dz a rozdílů parametrů použitých referenčních elipsoidů (původního a nového) - velké poloosy Aa a zploštění Af. Transformace je dána vztahy ( 13-9 ): Acp- , e sin^cos^ sin ^>cos Adx- sin Ah = cos^cos Adx + cos

— Aa 73.2 Rovinné transformace Rovinné transformace umožňují přímo transformovat rovinné pravoúhlé souřadnice z jednoho zobrazení do druhého. Použití rovinných transformací je však limitováno územním rozsahem. V těchto transformacích není možné zahrnout vlivy všech druhů zkreslení a proto jej jejich použití pro větší rozsah území nevhodné. S výhodou se dají použít zejména pro transformace na malých územích, případně pro transformace v rámci sítí identických bodů, pokud tato síť je dostatečně hustá. 73.2.7 Shodnostní transformace Shodností transformace je základním typem rovinných transformací. Výchozí souřadnicová soustava (0, X, Y) se transformuje do nové soustavy (0n, Xn, Yn) podle následujících rovnic (Obr. 13-4) yn. dx dy cos s - sin s sin s cos s (13-11) 155 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie X Obr. 13-4 Princip shodnostní transformace Hodnoty dx, dy jsou lineární posuny původního počátku vyjádřené v nové soustavě, e je úhel mezi kladnými osami X^aX měřeno ve směru chodu hodinových ručiček od nové k původní soustavě. V soustavě rovnic ( 4-47 ) vystupují tři neznámé transformační parametry - lineární posuny dx a dy a rotace e. Pro výpočet neznámých parametrů shodnostní transformace je tedy nutná znalost tří společných veličin, například souřadnice jednoho identického bodu v obou soustavách a jednu společnou souřadnici nebo hodnotu směrníku rotace e. 13.2.2 Podobnostní transformace Pokud se do rovnic shodnostní transformace zavede změna měřítka pomocí měřítkového faktoru m definovaného stejně jako u sedmiprvkové prostorové transformace, získají se rovnice podobnostní transformace ( 13-12 ): dx m 0 n = + dy 0 m COS£ SÚ1£ -sin£ COS£ ( 13-12) K výpočtu parametrů podobnostní transformace je nutná znalost nejméně čtyř společných veličin, je nutná tedy znalost minimálně u dvou identický bodů souřadnic v obou souřadnicových systémech. 13.2.3 Afinní transformace Poměrně často používanou transformací je afinní transformace. Afinní transformace zachovává přímky a rovnoběžky, mění však úhly (není konformní). Její základní rovnici lze vyjádřit vzorcem ( 13-13 ): Xn a b c yn d e f x 156 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Koeficienty a, b, c, d, e, f se opět vypočítají ze souřadnic identických bodů. K jejich výpočtu je nutná znalost šesti společných hodnot, tedy je třeba mít minimálně tři identické body se známými souřadnicemi v obou systémech. 13.2.4 Interpolační metody Pro použití interpolační metody se transformované území rozdělí do pravidelné sítě s konstantním přírůstkem buďto v zeměpisných nebo v rovinných pravoúhlých souřadnicích. V uzlových bodech sítě se vypočítají některou z předchozích metod (zpravidla prostorových transformací) diference mezi oběma systémy (viz Obr. 13-5, kde jsou uvedeny pouze diference pro souřadnici x). Například pomocí bilineární interpolace se pro požadovaný bod vypočítají příslušné diference pomocí vzorců ( 13-14 ): dx + yn y dy kde "dx" _dy_ aoo aio aoi aii ^oo ^oi bn 1 yn xnyn Xn3 Xn2 ( 13-14) -'-1- Xn6 x Xn5 Xn4 Obr. 13-5 Princip plošné interpolační metody Pro výpočet osmi neznámých v této transformaci je nutná znalost souřadnic v obou systémech nejméně u čtyř identických bodů. Transformace je použitelná i pro výpočet zeměpisných souřadnic, pokud se v rovnicích ( 13-14 ) pravoúhlá souřadnice nahradí zeměpisnými. Je však samozřejmě nutné koeficienty transformace vypočítat pro zeměpisné souřadnice. Bilineární interpolace je zjednodušená obecná transformace, při níž se uvažují pouze lineární členy. Popis celé obecné transformace je uveden například v [14]. Přesnost interpolační metody závisí jednak na přesnosti výpočtu diferencí v uzlových bodech, jednak na hustotě uzlových bodů, tedy velikosti souřadnicového přírůstku pravidelné sítě. 157 14. Aplikace zobrazení v nástrojích GIS Metody soudobé kartografie jsou zpravidla založeny na využívání informačních technologií, jejichž součástí jsou i programové nástroje GIS. Jednou ze sad těchto nástrojů jsou i nástroje používané pro tvorbu matematického základu trvalých nebo virtuálních vizualizovaných modelů terénu. Tyto nástroje využívají teorii matematické kartografie a spolu s nástroji pro práci s geodetickými referenčními systémy umožňují řešit v podstatě všechny úlohy, které jsou uvedeny v předchozím textu nebo které jsou využívány v při kartografické interpretaci dat a informací uložených v GIS. Využívání programových nástrojů je poměrně snadné a zpravidla je doplňováno poměrně podrobnými návody ve formě průvodců (wizard, guide) a návodů (Help). Avšak ani průvodci, ani návody většinou neobsahují podrobnou teorii nebo rozbor jednotlivých zobrazení, stejně tak zpravidla neumožňují zobrazit například hodnoty zkreslení použitého zobrazení pro dané území. Z tohoto důvodu je proto vhodné teorii zobrazení znát. Nástroje GIS zpravidla obsahují: • volbu geodetického referenčního systému z vestavěné nabídky nebo s možností tvorby vlastního, • transformační postupy mezi geodetickými referenčními systémy, • volbu zobrazení zpravidla z vestavěné nabídky s možností volby j eho parametrů, • tvorbu a vizualizaci matematických prvků mapy - souřadnicová síť rovinných pravoúhlých nebo/a zeměpisných souřadnic, měřítko mapy, rám mapy. Poznámka: Vizualizace matematických prvků mapy je již součástí kartografie, avšak vzhledem k tomu, že přímo souvisí s používanými nástroji, je stručně uvedena i v těchto studijních textech. V dalších odstavcích jsou stručně popsány uvedené postupy tak, jak jsou aplikovány v nástrojích programového systému ArcGIS® [1]. 14.1 Volba geodetického referenčního systému Volba geodetického referenčního systému je dána geografickou polohou zobrazovaného území neboje předem dána požadavky daného projektu. Z vestavěné nabídky je možné vybrat vhodný systém nebo vytvořit nový. Uložené systémy mají zadány všechny potřebné parametry (elipsoid, základní poledník, úhlové jednotky). Pokud by bylo nutné definovat vlastní systém, všechny tyto parametry je nutné zadat ručně (viz. Obr. 14-1). Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Data Frame Properti Geographic Coordinate System Proporties Map Cache | Annotation Groups | Extent Rectangles | Size and Position General | Data Frame | Frame Coordinate System | Illumination | Grids Current coordinate system: I I I.....® ITRF1333 i i.....® ITRF 1334 I I.....® ITRF 1336 I ® ITRF1337 ! ® ITRF 2030 ; ® NSWC9Z-2 ; ® WGS 1966 i i.....® WGS 1 372 TBE .....® WGS 1372 _ i .....® WGS 1381 ľ ■=■»■" ■ ■ Modify... Import... Add To Favorites Remove From Favorites 1 J Obr. 14-1 Ukázky volby geodetického referenčního systému v programu ArcGIS z vestavěné nabídky 74.2 Transformace mezi geodetickými referenčními systémy Rovněž k transformaci mezi různými geodetickými referenčními systémy je možné využít vestavěné nabídky, kde jsou již pro jednotlivé případy zvoleny vhodné transformace (viz. Obr. 14-2). V případě, že je nutné vlastní transformaci řídit, je možné volit vlastní postup volbou typu transformace a zadání jejích parametrů (viz. Obr. 14-3) . Map Cache | Annotation Groups | Extent Rectangles | Size and Position General | Data Frame | Frame Coordinate System | Illumination | Grids Current coordinate system: GCS_WGS_1934 ^1 ITRF 1997 ITRF 2000 NSWC 9Z-2 WGS 196E WGS 1972 TBE _ WGS 1972 i.....#WGS19G4 S-CJ Projected Coordinate Syslí H-CJ Layers I ~l Add To Favorites Remove From Favorites Geographic Coordinate System Transformations ?J>