1 Určování polohy bodů pomocí souřadnic
Souřadnicové výpočty geodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém
systému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na
západ. Výpočty lokálního charakteru můžeme realizovat v místním souřadnicovém systému,
jehož osy zachovávají stejný smysl pořadí jako S-JTSK. Souřadnicové výpočty je možné
v plné míře uplatnit zejména při:
určování pravoúhlých souřadnic bodů, kterými zhušťujeme existující
bodové pole,
•
• projekční činnosti, přípravě vytyčovacích prvků a při vlastních
vytyčovacích pracích stavebních objektů.
Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky
strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.
1.1 Výpočet směrníků a délky stran
Poloha každého bodu je určena pravoúhlými souřadnicemi x a y v daném
souřadnicovém systému. Strana jako úsečka mezi dvěma body je v pravoúhlém systému
orientovaná směrníkem, t. j. úhlem, který svírá rovnoběžka vedená v koncovém bodě strany
s kladným směrem osy X a příslušnou stranou ve směru číslování hodin. Při každé straně
proto rozlišujeme dva směrníky (obr.1.1):
σAB - směrník strany z bodu A do bodu B,
σBA - směrník strany z bodu B do bodu A,
přičemž platí:
g
BAAB 200−= σσ , resp. σ (1.1)g
ABBA 200+= σ
Směrník může mít hodnotu: 0 g
až 400g
.
Výpočet směrníku a délky strany si můžeme odvodit z obr. 1.1. Dané jsou dva body
pravoúhlými souřadnicemi A (yA, xA) a B (yB, xB). Máme určit směrník σAB a délku strany sAB.
Rovnoběžky se souřadnicovými osami, vedené body A a B, tvoří se stranou sAB pravoúhlý
trojúhelník, jehož odvěsny jsou souřadnicové rozdíly ∆yAB a ∆xAB přičemž:
ABAB yyy −=∆ a (1.2)ABAB xxx −=∆
Směrník σAB určíme ze vztahu:
AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
xx
yy
x
y
tg
−
−
=
∆
∆
==
σ
σ
σ
cos
sin
(1.3)
1
Obr. 1.1 Výpočet směrníků a délky strany
Uvedený vztah platí, když souřadnicové rozdíly ∆yAB a ∆xAB jsou kladné, což znamená, že
σAB je v prvním kvadrantě. Hodnotu směrníku v kterémkoliv kvadrantě vypočítáme na
základě znamének souřadnicových rozdílů ∆y a ∆x a pomocného úhlu φ podle vztahů na
obr. 1.2. Úhel φ je vždy menší jako 100g
a vypočítá se podle vzorce (1.3) s tím, že
souřadnicové rozdíly ∆y a ∆x uvažujeme v absolutních hodnotách.
Výpočet směrníku je třeba kontrolovat 50-grádovou zkouškou podle vzorce:
( )
ABAB
ABABg
AB
yx
xx
tg
∆−∆
∆+∆
=+ 50σ (1.4)
Obr. 1.2 Hodnota směrníku v různých kvadrantech
Pro délku strany sAB jako přeponu v pravoúhlém trojúhelníku (obr. 1.1) platí:
AB
AB
AB
AB
AB
xy
s
σσ cossin
∆
=
∆
= (1.5)
V případech, když souřadnicové rozdíly mají velmi rozdílné hodnoty, bude přesnější hodnota
strany vypočítaná z většího souřadnicového rozdílu.
Z trojúhelníku můžeme vyjádřit též vztah na výpočet souřadnicových rozdílů ∆yAB
a ∆xAB:
ABABAB sy σsin.=∆ , (1.6)ABABAB sx σcos.=∆
2
Vztahy platí (po změně indexů) všeobecně pro výpočet libovolného souřadnicového rozdílu
∆y, resp. ∆x.
1.2 Určení souřadnic bodu metodou polárních souřadnic
Úlohou je vypočítat pravoúhlé souřadnice bodu P (obr. 1.3), když:
• jsou dané dva body A a B pravoúhlými souřadnicemi,
• na bodě A byl měřený úhel ω a délka dAP
Výpočet vykonáme v tomto pořadí:
• výpočet směrníku σAB podle (1.3), (1.4),
• výpočet směrníku σAP:
ωσσ = ABAP + (1.7)
• výpočet souřadnicových rozdílů ∆yAP a ∆xAP:
APAPAP dy σsin.=∆ , (1.8)APAPAP dx σsin.=∆
• výpočet souřadnic bodu P:
APAP yyy ∆+= , (1.9)APAP xxx ∆+=
Obr. 1.3 Určení souřadnic metodou polárních souřadnic
Znaménko souřadnicového rozdílu bude totožné se znaménkem sínusu, resp. kosínusu
směrníku v příslušném kvadrantě.
1.3 Určení souřadnic bodu metodou protínání napřed z úhlů
Na určení souřadnic bodu P protínáním napřed z úhlů musíme (obr. 1.4):
• znát souřadnice dvou bodů A a B,
• změřit vodorovné úhly ωA a ωB v bodech A, B.
3
Obr. 1.4 Určení souřadnic bodu metodou protínání napřed z úhlů
Před vlastním výpočtem vyhotovíme nákres situace, bez kterého nemůžeme úlohu
jednoznačně řešit.
Výpočet provedeme v tomto pořadí:
• výpočet směrníku σAB a strany sBA podle (1.3), (1.4), (1.5),
• výpočet směrníků σAP , σBP:
AABAP ωσσ += , σ (1.10)BBABP ωσ +=
• výpočet délek stran sBA :
( )BA
AP
ABAP ss
ωω
ω
+
=
sin
sin
,
( )BA
A
ABBP ss
ωω
ω
+
=
sin
sin
(1.11)
• výpočet souřadnicových rozdílů:
,APAPAP sy σsin.=∆ APAPAP sx σcos.=∆
BPBPBP sy σsin.=∆ , (1.12)BPBPBP sx σcos.=∆
• výpočet souřadnic bodu P:
BPBAPAP yyyyy ∆+=∆+=
BPBAPAP yyyyy ∆+=∆+= (1.13)
1.4 Určení souřadnic bodu metodou protínání napřed z délek
Přesné a rychlé měření délek elektronickými dálkoměry umožňuje více častěji určit
polohu bodů protínáním napřed z délek.
Na určení souřadnic bodu Z protínáním napřed z délek musíme (obr. 1.5):
• poznat souřadnice bodů A a B,
• změřit délky z bodů A a B na určený bod dAZ a dBZ.
4
Obr. 1.5 Určení souřadnic bodu metodou protínání napřed z délek
Postup výpočtu je tento:
Po výpočtu směrníku σAB a strany sAB (1.5) vypočítáme (např. podle Herónových vzorců)
hodnoty úhlů ωA , ωB a ωZ :
)(
))((
2 ass
zsbs
tg A
−
−−
=
ω
;
)(
))((
2 bss
zsas
tg B
−
−−
=
ω
;
)(
))((
2 zss
bsas
tg Z
−
−−
=
ω
;
kde
2
zba
s
++
=
Kontrolou výpočtů je : ωA + ωB + ωZ = 200g
.
Dále výpočet pokračuje stejně jako při protínání napřed úhly, což znamená výpočtem
směrníků na určený bod, souřadnicových rozdílů a nakonec souřadnic určeného bodu
–dvojmo.
Úhly ωA , ωB a ωZ je možné vypočítat taktéž pomocí kosínusové věty:
bz
azb
A
2
cos
222
++
=ω ;
az
bza
B
2
cos
222
++
=ω ;
ab
zba
Z
2
cos
222
++
=ω ;
5