Funkce komplexní proměnné - zápočtové příklady (jaro 2014)
Pro získání zápočtu je třeba odevzdat správně vyřešené následující příklady. Je možné je odevzdat
napsané na papíře nebo je naskenované poslat na mail rihacek@physics.muni.cz. V každém případě
musí být čitelné.
1) Řešte rovnici
z6
+ 8 = 0 .
2) Nechť z1, z2, z3 tvoří tři vrcholy rovnoběžníku. Vyjádřete čtvrtý vrchol z4.
3) Popište následující množiny
(a)
M =
{
z ∈ C arg
z + 1
z − 1
= π
}
,
(b)
M =
{
z ∈ C |z|2
= Im z
}
.
4) Dokažte následující tvrzení
(a) Nechť holomorfní funkce f nabývá na oblasti D pouze imaginárních hodnot. Pak f je konstantní
funkce.
Hint: použijte Cauchyho-Riemannovy podmínky.
(b) Nechť f(z) = u(x) + i v(y) je holomorfní na C. Pak f je polynom stupně nejvýše 1.
5) Nalezněte holomorfní funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y), znáte-li:
(a)
v(x, y) = ln (x2
+ y2
) + x − 2y ,
(b)
u(x, y) = x3
− 3xy − 2y .
6) Nechť C je jednoduchá, uzavřená a kladně orientovaná křivka neprocházející body ±i a, a > 0.
Zjistěte všechny hodnoty integrálu
∫
C
ez
z2 + a2
v závislosti na křivce C.
7) Rozviňte následující funkce v mocninnou řadu se středem v z0 a určete poloměr konvergence
(a)
f(z) =
z2
(z + 1)2
, z0 = 1 ,
(b)
f(z) =
z∫
0
sin ζ
ζ
dζ , z0 = 0 ,
1
(c)
f(z) =
z
z2 − 2z + 5
, z0 = 1 .
8) Určete obor konvergence Lautrentovy řady
(a)
∞∑
n=−∞
1
1 + e−n
zn
,
(b)
∞∑
n=−∞
e|n|
(z − 2i )n
.
9) Nalejděte Laurentovu řadu se středem v zadané oblasti
(a)
f(z) =
3z
(2z − 1)(2 − z)
, P(0, 1/2, 2) ,
(b)
f(z) = 3z sin
πz
z + 5
, {maximální možné mezikruží se středem v z0 = −5} .
10) Najděte první tři členy Laurentova rozvoje funkce f(z) = π
sin πz se středem v bodě 0 a určete oblast
konvergence.
11) Nechť funkce f je holomorfní v P(0, r, R), r < R a nechť
|f(z)| ≤ M pro všechna z ∈ P(0, r, R).
Pro koeficienty {an} Laurentova rozvoje funkce f(z) =
∑∞
n=−∞ anzn odvoďte:
|an| ≤ min
(
M
rn
,
M
Rn
)
pro všechna z ∈ Z.
12) Besselovy funkce Jn, n ∈ Z jsou definovány jako koeficienty an(b) v Laurentově rozvoji funkce
f(z) = e
1
2
b(z− 1
z
)
se středem v bodě 0. Vyjádřete Jn(b) pomocí nekonečné řady.
13) Najděte a klasifikujte izolované singularity funkcí
(a)
f(z) =
tan z − 1
z − 1
,
(b)
f(z) = etan 1
z ,
(c)
f(z) =
z + π
z2 sin z
,
2
(d)
f(z) = e1/z 1
z(z2 − 2i )2
.
14) Vypočtěte rezidua
(a)
res1
(
z2 + z − 1
(z − 1)z2
+
sin z
z2
)
,
(b)
res0
(
z2 + z − 1
(z − 1)z2
+
sin z
z2
)
,
(c)
res∞
(
z2 + z − 1
(z − 1)z2
+
sin z
z2
)
,
(d)
reskπ
(
cotan2
z
)
, k ∈ Z ,
(e)
reskπ
(
cotan3
z
)
, k ∈ Z ,
(f)
res0 ( ez
sin 1/z) .
15) Spočtěte integrály využitím reziduové věty
(a)
∞∫
0
cos ax
1 + x2
, a ∈ R , a ≥ 0 .
Jaký by byl výsledek pro a < 0?
(b)
∞∫
0
x
sinh x
.
Hint: jako integrační cestu zvolte vhodně upravený čtverec s vrcholy R, −R, R + πi , −R + πi .
(c)
∞∫
0
xa
1 + x3
, a ∈ R , −1 < a < 2 .
Hint: je třeba vhodně definovat množinu, na teré lze hledat integrační cestu, tj. na které platí
reziduová věta. Rozmyslete si, že je to množina C \ [0, ∞).
(d)
∫
C
1
(z2 − 1)2(z − 3)2
, C je kladně orientovaná asteroida s parametrizací
z = 2 cos3
t + 2i sin3
t , t ∈ [0, 2π] .
3